静磁场唯一性定理的证明

静磁场唯一性定理的证明
标量场的问题，情况与静电场完全相同。

讨论用磁矢量位描述的磁场问题。

设场域内有电流密度J ，讨论在什么边界条件下，旋度旋度方
程
J A μ=⨯∇⨯∇
的解是唯一的。

证明：反证法。

假定在相同边界条件下有两个磁矢量位1A 和2A ，它们
确定了1B 和2B
11A B ⨯∇=、 22A B ⨯∇=
它们的差值 21A A F -= 应满足
V F ∈=⨯∇⨯∇0
对于恒等式 ()()()
()Q P P Q Q P ⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇=⨯∇⨯⋅∇ 运用高斯散度定理有
dS n Q P dV Q P P Q S
V ⋅⨯∇⨯=⨯∇⨯∇⋅-⨯∇⋅⨯∇⎰⎰)()( 令 F Q P ==，代入上式应有
dS F F n dS F F n dS n F F dV F S
S S V ⋅⨯∇⨯-=⨯∇⋅⨯=⋅⨯∇⨯=⨯∇⎰⎰⎰⎰)()()()(2 上式若要使体积分为零，必须是
0=⨯∇F
这可能是0=F ，即21A A =，或者是
o A A ϕ∇±=21
可以采取措施来进行必要处理，以使磁矢量位的解答唯一。

可分三种情况讨论
(1) 边界面上给定第一类边界条件o A A =，则边界上有0=F ，面
积分必为零，则21A A =，解答唯一；
(2) 边界面上给定A n ⨯∇⨯，应有0=⨯∇⨯F n ，所以
21A n A n ⨯∇⨯=⨯∇⨯
这也能使积分方程的面积分项为零，进而使21A A =解唯一。

而条件
A n ⨯∇⨯，其大小等于t
B ，方向由B n ⨯确定。

可见在S 面上给定了t B ，即n A ∂∂ ——第二类边界条件，或给定了t H ，即n
A ∂∂ μ1——仍是第二类边界条件，场域中的A
的解唯一。

(3) 在边界上给定A n ⨯，有
21A n A n
⨯=⨯
也可以使面积分项为零。

而A n ⨯的大小即为t A ，方向由A n ⨯确
定。

即正确给定边界上A n ⨯，则V 域中A 有唯一解。