3.1 唯一性定理
边值问题和唯一性定理(静电场)
静电场的边值问题
静电场的唯一性定律
目前可解决的静电场问题
电荷在有限区域内，电荷的分布情况已知，并 且介质为线性各向同性均匀介质中的静电场问 题。对于此类问题，一般可以先求出电位，再 计算场中各点的电场强度和电位移矢量。 电荷、介质分布具有某种对称性的问题。由于 电荷和介质的分布具有对称性，因此电位移矢 量的分布必然也具有对称性。在这种情况下， 可以先用高斯通量定理求解电位移矢量，然后 再求电场强度。 已知电场的分布求电荷分布的问题。在这种情 况下，可直接由公式计算电荷的体密度，导体 上的面电荷密度根据分界面条件确定。
2
静电场边值问题的提出
实际中对于很多电磁场的问题通常并不 知道电荷分布，如静电场中导体表面的 感应电荷分布，介质极化后极化电荷的 分布等。对于此类的问题，必须通过求 解满足给定边界条件的电位微分方程 （泊松方程或拉普拉斯方程）的电位函 数，进而再求场域中的电场强度。我们 把这种在给定边界条件下，求解泊松方 程或拉普拉斯方程的问题称为边值问题。
对于各向同性、线性的非均匀媒质，电位 满足的微分方程又是什么形式呢？
D
D E
E
( )
7
边值问题举例－直接积分法
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷 体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位 及电场。（同例2-4） 解:采用球坐标系,分区域建立方程
自学)
10
反设满足场的解答有两个相异的解答1和 2，则差
场u= 1 2 满足拉普拉斯方程
2 2
u 1 2 0 根据矢量恒等式
电动力学二二(唯一性定理)
对所有分 区Vi求和 在均匀 区界面
i
Si
2 i dS i dV
Vi
S S S 0
dSi dS j
6
内部边界积分相互抵亦为零
而右边被积函数i()2 0。上式成立的条件 是在V内各点上都有=0 ，即在V内，
一、静电问题的唯一性定理
区域V可以分为若干个均匀区域Vi，每 一均匀区域的电容率为i 。设V内有给 定的电荷分布(x) 。电势φ在均匀区域 Vi内满足泊松方程
i
2
1
在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系
i j ,
i j . n i n j
此解满足唯 一性定理的 所有条件， 因此是唯一 正确的解。
注意导体两半球上的面电荷分布是 不同的，但E却保持球对称性。
20
虽然E仍保持球对称性，但是D和导体面 上的电荷面密度σ不具有球对称性。
设内导体半径为a，则球面上的电 荷面密度为
1Q 1 D1r 1 E1r , (Le ft) 2 2 ( 1 2 )a 2Q 2 D2 r 2 E 2 r , (Right) 2 2 ( 1 2 )a
第二类型：设区域V内有一些导体，给定导体 之外的电荷分布 ，给定各导体上的总电荷Qi 以及V的边界S上的 或/n 值，则V内的电 场唯一地确定。
10
也就是说，存在唯一的解，
它在导体以外满 足泊松方程 在第i个导体上满 足总电荷条件 和等势面条件
i
2
Si
Qi dS n
除此之外，要完全确定V内的电 场，还必须给出V的外边界S上的 一些条件。
解的存在唯一性定理2017-3-21
x
x0 x x0 h
12
因此, y ( x) 是积分方程在 x0 x x0 h 上的连续解.
2017/6/19
Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
反之，如果 y ( x) 是 (3.1.6) 的连续解，则有：
x0 x
x
( x) y
n
0
x0
f ( , n1 ( ))d
14
2017/6/19
Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
0 ( x) y0
y
1 ( x) y0 f ( ,0 ( ))d
0 ( x) [k ( x) k 1 ( x)] x0 x x0 h
k 1
为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:
n ( x) y0 f ( ,n1 ( ))d
x0
x x0
x
x0 h x x0 h
(3.1.12)
1 ( x) 0 ( x) f ( , 0 ( )) d M ( x x0 )
2 ( x) 1 ( x) f ( ,1 ( )) f ( , 0 ( )) d
x0 x
L 1 ( ) 0 ( ) d
x0
x
ML ( x x0 ) 2 L M ( x0 )d x0 2!
L n ( ) n1 ( ) d
( x) y0 f ( x, ( x))dx
x0
Peano定理
R :| x x0 | a, | y y0 | b 上连续，并满足李氏条件，则
y f ( x, y ) Cauchy问题 y ( x0 ) y0
在
| x x0 | h 存在唯一解。
b 其中 h min{ a, }, M max | f ( x, y ) | M
x
( F ( x)e a
) ( x)e a
x
两端在[a, x]上积分，并边乘以
a ( t ) dt e
a
得
x
a (t ) dt F ( x) e
x
( x) exp (t 推论设
( x), ( x)
机动
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结束
定义3.1 （Lipschitz条件）设 f(x,y) 在平面区域 R上定义，若存在常数 L>0 使 得对任意 (x, y1), (x, y2) 恒有
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |
则称 f(x,y) 在平面区域 R上满足Lipschitz条件（简称李氏条件），L为李氏常数。
y f ( x, y ) y ( x0 ) y0
y ( x) y0 f (t , y (t )) dt
x0
x
y0 ( x ) y0 yn ( x) y0 f (t , yn 1 (t )) dt
第二步：证明Picard逼近序列的连续且|x0-x|≤h上满足 运用数学归纳法： n=1时：
| f y ( x, y ) || 2 y | 2
故李氏常数可选为L=2。
与精确解得误差为不超过0.05时 n=3。
唯一性定理
唯一性定理唯一性定理是数学中的重要定理之一，它指出了在某些条件下，特定类型的方程或问题只有唯一解。
唯一性定理最经典的形式是微分方程的唯一性定理，它在微积分和微分方程的研究中占据重要的地位。
微分方程是描述自然现象和物理规律的重要工具，通过对微分方程的求解，可以得到问题的解析解，从而更好地理解和预测现象。
然而，并不是所有的微分方程都能够得到解析解，有些方程可能只能通过数值方法进行求解。
因此，唯一性定理提供了一种重要的判据，用于确定方程是否有唯一解。
在微分方程的唯一性定理中，通常需要满足连续性和局部利普希茨条件。
连续性要求方程中的函数在某个区域内是连续的，这是非常基本的要求，因为连续性是数学分析中的重要概念。
局部利普希茨条件则要求方程中的函数在一定范围内具有有界的导数，这个条件保证了方程的解在某个区间内是唯一的。
微分方程的唯一性定理可以通过三个步骤来证明。
首先，需要利用泰勒级数展开将微分方程转化为一个无穷级数。
其次，需要证明无穷级数的解存在且唯一。
最后，通过局部利普希茨条件和连续性条件，得到解的存在范围。
除了微分方程的唯一性定理，数学中还有一些其他类型问题的唯一性定理。
例如，线性代数中的矩阵方程的唯一性定理，数论中的素因数分解的唯一性定理等等。
这些定理都有一个共同点，即在满足一定条件下，问题的解是唯一的。
唯一性定理在数学研究和应用中有着广泛的应用。
通过这些定理，我们可以确定问题是否存在唯一解，从而帮助我们深入研究和理解问题。
唯一性定理也经常被用于证明其他定理，深化了我们对数学的认识和理解。
总之，唯一性定理是数学中的一类重要定理，它指出了在满足特定条件下，方程或问题具有唯一解的情况。
微分方程的唯一性定理是其中最经典和重要的定理之一，它在微积分和微分方程的研究中扮演着重要的角色。
唯一性定理的应用广泛，帮助我们理解和解决各种数学问题，并进一步推动数学的发展。
唯一性定理除了在微分方程中应用广泛，还在其他数学领域中有重要的应用。
唯一性定理
唯一性定理蒋文佼（080320124）宋宝璋（080320125）夏世宇 (080320126) 李宝平 (080320127) 章文显 (080320129) 常 悦 (080320130) 1、试用唯一性定理证明：封闭导体壳内部的电场不受壳外电荷（包括壳外表面）的影响。
证：导体壳无论是用电势还是用总电量给定，壳的内外一般存在着四部分电荷。
如图所示，壳内外的电荷分布分别为 ρ 和 ρe ，壳内、外表面1S 、2S 上各自的面电荷分布为σ 和 σe 。
壳内外的场是这四部分电荷共同激发的。
根据定理，首先写出壳内空间电势应满足的条件：（一） 2ρϕε∇=- ，ρ 为壳内电荷分布。
（二）壳内表面1S 上的边界条件是：2S 上的总电量 1s dS q σ=-⎰ （1）其中 Vq dV ρ=⎰ 是壳内的总电量，V 是壳内区域的体积。
在壳层内作一高斯面 0S 后（如图中虚线所示），用高斯定理很容易证明（1）成立。
因此在给定 ρ 布后， 1S 上边界条件也已经给定为 q - ，和导体壳本身是有电势还是用总电量给定无关。
根据唯一性定理，满足（一）、（二）的ϕ 就是解。
由于（一）e和（二）与壳外的ρe 和 σρ 的电势并不唯一，可以差一个常数。
当然当壳用电势 0φ 给定时，1S 上的边界条件就是10|S ϕφ= 。
所以壳内不但电场唯一，而且电势也是唯一。
2．如图，有一电势为0φ的导体球壳，球心有一点电荷q ，球壳内外半径分别为2R 和1R 。
试用唯一性定理： （一）判断0R φ是否球壳外空间的电势分布。
（二）求球壳内空间的电势分布解：（一）首先必须找出球内外电势应满足的条件，他们是：（a ）20∇ϕ=（b ）球壳外表面1S 上的边界条件，10s ϕ=φ （c ）无穷远边界条件,0R →∞ϕ→若R φ是解，根据唯一性定理，它必须满足以上三个条件。
下面来检验：220010R Rφ∇=φ∇= (0),R ≠ 方程已满足。
解的存在唯一性定理
一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法姜旭东摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。
在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.考虑一阶微分方程 (,)dyf x y dx= (1.1)这里(,)f x y 是在矩形区域00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)上的连续函数.函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。
定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解()y x ϕ=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件00()x y ϕ=这里min(,)bh a M=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h≤≤+来讨论,对于00x h x x -≤≤的讨论完全一样.分五个命题来证明这个定理:命题1、设()y x ϕ=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件00()x y ϕ=的解,则()y x ϕ=是积分方程0(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ϕ=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:0000100()()(,())x nn x x y x y f d x x x hϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰ (1.5)(n=1,2,…)命题2 、对于所有的n ，(1.5)中()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤命题3 、函数序列{}()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ϕ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ϕψ=，00x x x h ≤≤+.综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.2、预备知识定义 2.1、 定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M ＞0，使得对任一f F ∈，都有()f t M ≤，当t αβ≤≤时，则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =，如果对于任给的ε﹥0，总存在δ﹥0，使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈，只要12|,|t t -＜δ就有12()()f t f t -＜ε则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.定义2.3、设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中紧集，则称M 是X 中相对紧集。
电动力学uniquenesstheorem唯一性定理完全解读
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 , 2 , 2 0
i
i
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
n S n S
0
n S
(给定第二类边界条件)
下面需要证明旳是,满足以上方程和边界条件旳'和
1) 绝缘介质静电问题旳唯一性定理及证明 在有限旳边界区域V 内有几种均匀旳绝缘介质Vi 、εi
(i = 1、2、3 …) ，V 中旳自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那
么，当V 旳边界面S 上旳电势 给 定(或电势旳法向导数边
界条件) ，则V 内旳电场有唯一拟定旳解。
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
V′旳全部内、外表面上都有一定旳值或 值，应用有关绝缘介
质旳唯一性定理，则V′内旳电场必有唯一解. n
b）区域V 内有若干导体,假设除导体以外旳区域V′内旳自由电荷分
布ρ已知，V′旳外表面S 上有已知旳值或 值，另外，若每个导
n 体所带旳总电量Qi 为已知，则区域V′内旳电场有唯一解。
数学表达为:
场有唯一解。这么，有导体存在时静电问题旳唯一性定理 也得到证明。
最终需要强调一点,尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程旳详细措 施与环节,但它对于处理实际旳边值问题有着主要旳意义. 首先,它明 确了在哪些条件下能够唯一地拟定一种静电场,即给出了求解静电场 旳根据;其次,它使我们能够灵活地选用最简朴、最合适旳解题措施, 甚至能够猜一种解(即提出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中 旳场方程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就能够肯 定地说,它就是该问题中旳唯一正确旳解.
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a21 b22
所以：
2 0
利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为 较简单问题的组合，便于求解。 20:14:58 11
3.1
唯一性定理
例1：半径为a的导体球壳接地，壳内中心放置一个点电 荷Q，求壳内的场强。 解：点电荷Q放在球心处，球壳接地，有
|S 0
0 （r 0)
V ( )dV S n dS
2
V
3.1
唯一性定理
S
对于第一类边界条件： * S 1 S 2 S 0
1和2 我们在引入电位函数时就曾指出，电位 的绝对值无意义， 代表的是同一电场，所以 2和2 C 实际上是一个解，亦即解 20:14:58 8 是唯一的。
2）为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为 结果正确性提供了判据。
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的 20:14:58 6 理论依据。
3.1
界条件的解是唯一的。
唯一性定理
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的体积V内， 泊松方程有两个解 1 2 ，则有
20:14:58
2
3.1
一、边值问题
唯一性定理
边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程 或拉普拉斯方程。 V 根据给定边界条件对边值问题分类：
第一类边值问题（或狄里赫利问题） 已知场域边界面上的位函数值，即 |S f1 ( S ) 第二类边值问题（或纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即
（第三类边值问题）
5
3.1
二、唯一性定理
1.唯一性定理
唯一性定理
内容：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部
边界条件的解是唯一的。
唯一性定理的意义： 1）指出了静态场边值问题具有唯一解的条件； 满足方程2 或2 0，这是必要条件; 在整个边界上满足所给定的边界条件（三类）。
唯一性定理
自然边界条件 （无界空间）
( 2 )
lim r 有限值
r
2
衔接条件 不同媒质分界面上的边界条件，如
r
S
1 2 1 2 , 1 2 n n 20:14:58
1 2
1
2
4
3.1
例：
b
唯一性定理
2 2 2 0 2 x y (0, y) 0, (a, y) 0
1 2 常数
V
( ) 2 dV 0
0
3.1
2
唯一性定理
V ( ) dV S n dS 对于第二类边界条件：
1 2 * S S n n n
S
(1)
0VFra bibliotek( ) 2 dV 0
0
S
第三类边值问题（或混合边值问题）
上则已知位函数的法向导数值，即 |S1 f1 ( S1 )、 |S2 f 2 ( S2 ) 20:14:58 n
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面
S S1 S2
3
3.1
周期边界条件
y
U0
( x,0) 0, ( x, b) U 0
o
a
y
b
U0
x
（第一类边值问题）
例：
0 x
0 x
o
20:14:58
a
x
2 2 2 0 2 x y x 0 0, xa 0 x x ( x,0) 0, ( x, b) U 0
S
0
0 7
* S1
1
S1
2
0,
S2
利用格林公式
令上式中
2 2 [ ( ) ] dV V S n dS 因为 2 0，所以 2 ( ) dV V S n dS (1)
1 * 令 1 2
2
2
2
V
S
则在场域V内，有
2 * 21 22 0
S
且在边界面S 上有
* S 1 S 2
或
20:14:58
0
S1
或
1 2 * S S n n n
* n 1 S2 n 2 S2 n
20:14:58 10
3.1
2. 叠加定理
唯一性定理
若 1和 2分别满足拉普拉斯方程，则 1和 2 的线性 组合 a1 b2 必然满足拉普拉斯方程。 证明： 已知 1和 2 满足拉普拉斯方程
21 22 0
2 2 (a1 b2 ) 2 (a 1) 2 (b2)
3.1
唯一性定理的实质
唯一性定理
1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。 2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论 采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程 和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝 试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满 足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
1 2 常数 解也是唯一的。
2
S1
对于第三类边界条件：
* S1
1
S1
* 0, n
1 S2 n
2 S2 n
S2
0
V
( ) 2 dV 0
0
1 2 常数
解也是唯一的。 唯一性定理得证，说明满足泊松方程或拉普拉斯 20:14:58 9 方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。
2
a
Q
因而腔内场唯一确定。 已知点电荷产生的电位为
1
Q 4 0 r Q 4 0 a
但它在边界上 1 |S
20:14:58
不满足 |S 0
12
3.1
Q 4 0 r
唯一性定理
Q 4 0 a
要使边界上任何一点电位为0，可设
2 它满足 0 |S 0
第三章 静态场边值问题的解法
◇ 静电场边值问题可归结为在给定边界条件下求解 拉普拉斯方程或泊松方程。 解析法 ◇ 常用的方法 数值法 本章主要内容： 静电场的唯一性定理 直接求解法
20:14:58
直接法 间接法
分离变量法(三种坐标系下) 镜像法
1
间接求解法
处理静电问题总是根据一定条件去解泊松方 程。静电学中许多问题都涉及到有限空间区域， 在区域内可以有电荷，也可以没有电荷，但都具 有确定的边界条件。 现在有这样一个问题：要使区域内存在唯一 的、合理的解，问适合泊松方程的边界条件是什 么？ 唯一性定理回答了这个问题。
根据唯一性定理，它是腔内的唯一 解。
E Q 4 0 r r (r a) 3
可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。
20:14:58