离散数学(集合)
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离散数学---集合
特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ， ， ， 自然数集 整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合 ， ， ， ， ， 有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合 ， ∈ 实数集合R={ x x是实数 是实数} 实数集合 是实数 复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
E B A
集合的相等
2、 相等： 、 相等： 定义： 相等， 定义：若 A⊆ B，且B⊆ A则 称A，B相等， ⊆ ， ⊆ 则 ， 相等 记 作A=B。 。 即 ∀ x∈A则 x∈B， 并且有 ∀ x∈B则 x∈A。 ∈ 则 ∈ ， 并且有∀ ∈ 则 ∈ 。 若A，B 不相等记 作 A≠ B
真子集： 真子集：
集合的说明： 集合的说明：
1、描述法中A={ x 1≤x≤5}与A={y1≤y≤5} 、描述法中 与 是表示同一个集合 2、集合中元素是无序的。 、集合中元素是无序的。 {a,b,c},{a,c,b},{b,c,a}表示同一个集合 。 表示同一个集合。 表示同一个集合 3、集合中的元素可能也是集合， 、集合中的元素可能也是集合， 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} ， ， ， ， ， =5， {2}∈ A,{6}∈ A=5，2∈A，{2}∈A，6∉A,{6}∈A
求幂集的过程
写出A的全部子集 设A={0，1，2}写出 的全部子集。 ， ， 写出 的全部子集。 元子集： 解：A的0元子集：∅ 的 元子集 A的1元子集：{0}，{1}，{2} 元子集： ， ， 的 元子集 A的 2元子集 ： {0， 1}， {0， 2}， {1， 2}。 元子集： ， ， ， ， ， 。 的 元子集 元子集： ， ， A的3元子集：{0，1，2} 的 元子集 A共有 个子集，即P（A）=8 共有8个子集， （ ） 共有 个子集 一般地如果 ， 一般地如果A=n， 元子集有1个即空集 则A的0元子集有 个即空集∅， 的 元子集有 个即空集∅ A的1元子集共有 n1个， 元子集共有C 的 元子集共有 A的 2元子集共有 2n个，…， 元子集共有C 的 元子集共有 ， A的m元子集共有 mn个，… 元子集共有C 的 元子集共有 n元子集共有 nn=1个， 元子集共有C 元子集共有 个 所以A的子集个数为 的子集个数为C 所以 的子集个数为 0n+ C1n+…+ Cnn=2n
《离散数学》集合的基本概念和运算
（2）若AB,BC,则AC
解 错误。举反例如下：设A={a}，
B={{a},b}，C={{a},b,{c}}，显然AB， BC，但A不是C的子集。因为aA，但aC。
定义3.7 A、B是任意集合，由属于A或属于B的
所有元素组成的集合称为A与B的并集，记
3.2 作 A B 。即
集
A B u | u A或u B
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此
1=2 全集 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个
集合的子集，则称这个集合为全集，记作E
全集具有相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
三、幂集（PowerSet）
定义1.2.2 给定集合A，以A的所有子集为元素
- 命题演算法 - 包含传递法
的
- 等价条件法
基
- 反证法
(A B) A B
算 对偶原理：把一个等式中的中的∪，∩，E和
的分别代以∩，∪，和E后得到另一等式
二、对称差运算的性质：
① AA= ②A =A ③ A E= A
3.2 ④A B＝B A
集 ⑤(A B) C A (B C)
合 ⑥A I (B C) (A I B) (A I C)
一、集合运算的十条定律
3.2
对于全集合E的任意子集A、B、C，有：
集 交换律 AB B A AB B A
合 的 结合律 A(B C) (A B) C
基
A(B C) (A B) C
本 分配律 A(B C) (A B) (AC)
运 算
A(B C) (A B) (AC)
概 念
(5)A ( )
1.1-集合的基本概念(离散数学)
幂集的性质
1.
为有穷集， 若A为有穷集，|A|=n，则 为有穷集 ， |2A | = Cn0 + Cn1 + … + Cnn =2n 。 x∈ρ 当且仅当 A。 ∈ρ(A)当且仅当 ∈ρ 当且仅当x 。 是两个集合， 当且仅当 设 A、 B是两个集合 ， AB当且仅当 、 是两个集合 ρ(B)； ρ(A)ρ ； ρ
多样性
集合中的元素可以是任意的对象， 集合中的元素可以是任意的对象，相 互独立， 互独立，不要求一定要具备明显的共 同特征。 同特征。 例如： 例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} A={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车 地球 是汽车},地球 是汽车 地球}
罗素悖论(Russell’ paradox) 罗素悖论(Russell’s paradox)
集合的表示法
列举法；将集合中的元素一一列举， 列举法；将集合中的元素一一列举， 或列出足够多的元素以反映集合中元 素的特征，例如： 素的特征，例如：V={a,e,i,o,u} 或 B={1,4,9,16,25,36……}。 。 描述法 ；通过描述集合中元素的共同 特征来表示集合，例如： 特征来表示集合，例如： V= {x|x是元 是元 音字母} 是自然数} 音字母 ，B= {x|x=a2 , a是自然数 是自然数
空集、 空集、全集
约定，存在一个没有任何元素的集合， 约定，存在一个没有任何元素的集合， 称为空集(empty set) ，记为φ，有时也用{} ) 记为φ 有时也用{} 来表示。 来表示。 约定， 约定，所讨论的对象的全体称为全集 (universal set)，记作 或U，我们所讨论 ，记作E或 ， 的集合都是全集的子集 全集是相对的。 的集合都是全集的子集 。全集是相对的。 全集
离散数学第3章 集合
命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式) (1) 证XY
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
11
第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
12
第三章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
11
第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
12
第三章 集合
离散数学集合的表示方法
离散数学集合的表示方法离散数学是指以一定的符号系统来表示数学概念和数学运算的学科，其中最基本的概念是集合。
集合是一组独立的元素的有序集，也可以说是一类物体的总称，它可以用简单的符号表示。
这种表示方法在数学研究和计算上起着重要作用。
本文着重介绍离散数学集合的表示方法。
首先，在离散数学中，所有的集合都可以用符号表示，通常用大写字母代表集合，如A、B、C等。
确定集合的方法通常有三种：①通过给出其元素的方式，如表示集合A={1,3,5,7,9}；②通过用公式表示法，如表示集合B={2n|n∈N，n≤5}；③通过用符号表示，如表示集合C={x|x∈A，x>3}。
此外，在离散数学中，还有一些特殊的集合概念，包括空集、自身的集合、全集以及基本集合。
空集是指不包含元素的集合，它有一个特殊的符号，即；自身的集合，即一个集合的元素全部不在其他集合中，如集合A={1,2,3}，则A∈A；全集是指包含所有元素的集合，标识符为G；基本集合是指包含元素的所有集合，标识符通常是N、Z、R等。
另外，集合运算也是离散数学中非常重要的概念，其中有一些重要的运算，如交集、并集、补集、差集等。
其定义和运算方法是：对于两个集合A={1,2,3}、B={2,4,6}，交集A∩B={2}，即A和B的交集，两个集合的公共元素；并集A∪B={1,2,3,4,6}，即A和B的并集，包含A和B全部元素；补集A′={4,6}，即在A中没有的元素；差集A-B={1,3}，即A中有，而B中没有的元素。
总之，离散数学集合的表示方法有大写字母表示、公式表示法和符号表示，以及特殊的集合概念如空集、自身的集合、全集以及基本集合，以及交集、并集、补集、差集等重要的集合运算。
它们为离散数学的理解和应用提供了基础，同时也为计算机科学技术的发展提供了条件和依据。
《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
17
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
离散数学(集合论)
D.M 律
双重否 定
26
E
补元律 零律 同一律
AA= A= A=A
AA=E AE=E AE=A
否定
=E
27
E=
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念
3.2 集合的基本运算
3.3 集合中元素的计数
28
3.3 集合中元素的计数
集合的基数与有穷集合 包含排斥原理 有穷集的计数
0 n 1 n n n n
15
幂 集 定义
P(A) = { B | BA }
设 A={a,b,c},则 P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}
计数: 如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n
16
空集和全集 空集：不含任何元素的集合,记为
42
文氏图法
求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被 5 和6 整除， 也不能被 8 整除的数有多少个？
43
例2 24名科技人员，每人至少会1门外语. 英语：13； 日语：5； 德语：10； 法语：9 英日：2; 英德：4； 英法：4； 法德：4 会日语的不会法语、德语 求：只会 1 种语言人数，会 3 种语言人数
元素
a A
a A
表示方法：列举法A={a,b,c,d} 描述法 B={x|x∈Z,3<x≤6} …
12
集合与元素的关系
Ａ＝｛a，｛b， c｝，d ｝
aA
｛b, c｝ A
b x( x A x B) A
包含 A B x (xA xB)
(4)
37
3.1 容斥原理
又 A U A,
离散数学集合论基础知识
离散数学集合论基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的基础学科，集合论是离散数学的基础之一。
在这篇文章中，我们将介绍离散数学集合论的基础知识，包括集合的定义、运算、关系等内容。
一、集合的定义与表示集合是具有确定性的事物或对象的总体，它是数学中的一个基本概念。
我们可以用不同的方式表示一个集合，包括列举法、描述法和图形法。
（一）列举法列举法是通过列举集合中的元素来表示一个集合。
例如，可以用列举法表示自然数集合N={1, 2, 3, 4, …}，表示所有正整数的集合。
（二）描述法描述法是通过描述集合中元素的性质来表示一个集合。
例如，可以用描述法表示偶数集合E={x | x是整数，且x能被2整除}，表示所有能被2整除的整数的集合。
（三）图形法图形法是用图形的方式表示一个集合。
例如，可以用图形法表示平面上所有整数坐标点构成的集合。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
（一）并集集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
（二）交集集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
（三）差集集合A与集合B的差集，记作A-B，表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
（四）补集对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示由全集U中不属于集合A的元素组成的集合。
例如，设全集U为自然数集合N，A={2, 4, 6}，则A'={1, 3, 5, 7, ...}（即不是偶数的自然数）。
三、集合的关系集合的关系包括包含关系、相等关系和互斥关系等。
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以上的 X, Y 代表集合公式
27
命题演算法证 XY
任取 x ， xX … xY 例3 证明AB P(A)P(B) 任取x xP(A) xA xB xP(B) 任取x xA {x}A {x}P(A) {x}P(B) {x}B xB
分配 吸收
与 与 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(AB)=A A(AB)=A
25
吸收律的前提：、可交换
集合运算的算律（续）
D.M 律 双重否定 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) (BC)=BC (BC)=BC A=A E
集合 没有精确的数学定义 理解：一些离散个体组成的全体 组成集合的个体称为它的元素或成员 集合的表示 1.列元素法:列出它的元素，元素之间用逗号分开，再 用花括号括起。 A={ a, b, c, d }
5
集合定义与表示
2.谓词表示法: 用谓词公式来确定集合。即个体域中能使 谓词公式为真的那些元素，确定了一个集合，因为这些元 素都具有某种特殊性质。若P(x)含有一个自由变元的谓词 公式，则{x|P(x)}定义了集合B ，并可表为 B={ x | P(x) } B 由使得 P(x) 为真的 x 构成 xBP(x)为真 3.文氏图法 常用数集 N, Z, Q, R, C 分别表示自然数、整数、有理数、 实数和复数集合，注意 0 是自然数.
例10 证明以下等价条件 AB AB=B AB=A AB= (1) (2) (3) (4) 证明顺序： (1) (2), (2) (3), (3) (4), (4) (1)
35
(1) (2) 显然BAB，下面证明ABB. 任取x， xAB xAxB xBxB xB 因此有ABB. 综合上述（2）得证. (2) (3) A=A(AB) A=AB （将AB用B代入)
32
命题演算法证明X=Y
任取 x ， xX … xY xY … xX 或者 xX … xY
例8 证明 A(AB)=A （吸收律） 证 任取x, xA(AB) xA xAB xA (xA xB) xA
33
等式替换证明X=Y
8
集合之间的关系
包含（子集）：设A和B是任意两个集合，如果 集合A的每个元素，都是集合B中的一个元素， 则称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者 说B包含A，并记为A B A B x (xA xB)
这表明，要证明AB，只需对任意元素x，有 下式 xAxB 成立即可。
所有计算机系二年级学生都选修离散数学 数学系一年级的学生都没有选修离散数学 数学系学生或爱好文学或爱好体育运动 只有一、二年级的学生才爱好体育运动 除去数学和计算机系二年级学生外都不 选修离散数学 T(MR)S
S：二年级大学生的集合 M：数学系学生的集合
RS T
(MF)T= MLP PFS S(MR)P
6
集合与元素
元素与集合的关系：隶属关系 属于，不属于 实例 A={ x | xRx2-1=0 }, A={-1,1} 1A, 2A 注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合)， xA和 xA 两者成立其一，且仅成立其一.
7
隶属关系的层次结构
例 3.1 A={ a, {b,c}, d, {{d}} } {b,c}A bA {{d}}A {d}A dA
(5) 若 XS3，X S1, 则 X 与 S1, ... , S5 都不等
24
集合运算的算律
交换 结合 幂等 AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC)
15
3.2 集合的基本运算
集合基本运算的定义 文氏图（John Venn） 例题 集合运算的算律 集合包含或恒等式的证明
16
集合基本运算的定义
并
交 相对补 对称差
AB = { x | xA xB }
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB)
不断进行代入化简，最终得到两边相等 例9 证明A(AB)=A （吸收律） 证 (假设交换律、分配律、同一律、零律成立) A(AB) =(AE)(AB) 同一律 =A(EB) 分配律 =A(BE) 交换律 =AE 零律 =A 同一律
34
反证法证明X=Y
假设 X=Y 不成立，则存在 x 使得 xX且xY， 或者存在 x 使得 xY且xX，然后推出矛盾.
36
(3) (4) 假设AB, 即xAB，那么xA且xB. 而 xB xAB. 从而与AB=A矛盾.
(4) (1) 假设AB不成立，那么 x (xA xB) xAB AB 与条件（4）矛盾.
37
集合运算法证明X=Y
由已知等式通过运算产生新的等式 X=Y XZ=YZ, XZ=YZ，X-Z=Y-Z 例11 证明AC=BC AC=BC A=B 证 由 AC=BC 和 AC=BC 得到 (AC)-(AC)=(BC)-(BC) 从而有 AC=BC 因此 AC=BC (AC)C =(BC)C A(CC) =B(CC) A=B A=B
38
集合的笛卡尔积
笛卡尔积在后面讨论关系有重要应用。 定义 两个元素a,b组成二元组，若它们有 次序之别，称为二元有序组，或有序对， 记为<a, b> ， 称a为第一分量，b为第一分 量。 若ab时，<a, b><b, a>。
其中P(x)为任何谓词公式。
{x | x2+1=0xR} 就是空集
定理 空集是任何集合的子集 A x (xxA) T 推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此1=2
12
空集与全集
空集 不含任何元素的集合
={x|P(x)P(ห้องสมุดไป่ตู้)}
补元律 零律 同一律 否定
AA= A= A=A =E
AA=E AE=E AE=A E=
26
集合包含或相等的证明方法
证明 XY
命题演算法 包含传递法 等价条件法 反证法
证明 X=Y
命题演算法 等式代入法 反证法 运算法
并交运算法
30
反证法证 XY
欲证XY, 假设命题不成立，必存在 x 使得 xX 且 xY. 然后推出矛盾. 例6 证明 AC BC ABC 证 假设 AB C 不成立， 则 x (xABxC) 因此 xA 或 xB，且 xC 若 xA, 则与 AC 矛盾； 若 xB, 则与 BC 矛盾.
相对性 在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
14
幂集
定义：一个集合的幂集是指该集合所有子集的 集合，即是由这些子集所组成的集合族。 P(A) = { x | xA } 由定义可知，P(A)，AP(A)。 实例 P() = {}， P({}) = {,{}} P({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数 如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n
绝对补
A = EA
17
文氏图表示
文氏(Venn)图是一种利用平面上的点构成 的图形来形象展示集合的一种方法。全
集U用一个矩形的内部表示，其他集合用
矩形内的园面或一封闭曲线圈成的面积 来表示。
18
如果AB，则表示A的圆面一般将完全落
在表示B的圆面内，如图1中(a)。如果A
与B没有公共元素，那么表示A的圆面将
真包含 ：设A和B是两个集合，若AB且AB， 则称A是B的真子集，记为AB，也称B真包含 A。该定义也可表为 ABABAB 不真包含 AB 思考： 和 的定义 注意 和 是不同层次的问题
11
空集与全集
空集 不含任何元素的集合
={x|P(x)P(x)}
实例
31
利用已知包含式并交运算
由已知包含式通过运算产生新的包含式 XY XZYZ, XZYZ
例7 证明 ACBC ACBC AB 证 ACBC， AC BC 上式两边求并，得 (AC)(AC) (BC)(BC) (AC)(AC) (BC)(BC) A(CC) B(CC) AE BE AB
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包含传递法证 XY
找到集合T 满足 XT 且 TY，从而有XY 例4 AB AB 证 AB A A AB 所以 AB AB
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利用包含的等价条件证 XY
A B A B B A B A A-B
例5 ACBC ABC 证 AC AC=C BC BC=C (AB)C=A(BC)=AC=C (AB)C=C ABC 命题得证
23
例2
分别对条件(1)到(5)，确定 X 集合与下述那些集合相等。 S1 = { 1, 2, …, 8, 9 }, S2= { 2, 4, 6, 8 }, S3= { 1, 3, 5, 7, 9 }, S4 = { 3, 4, 5 }, S5= { 3, 5 } (1) 若 XS3=, 则 X = S2 (2) 若 XS4, XS2=, 则 X = S5 (3) 若 XS1，X S3, 则 X = S1, S2, S4 (4) 若 XS3=, 则 X = S3, S5
集合论
1
集合论部分
第3章 第4章
集合的基本概念和运算 二元关系和函数
2
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算 3.3 集合中元素的计数
3
3.1 集合的基本概念
集合的定义与表示
集合与元素 集合之间的关系 空集 全集 幂集