材料力学 第十章 压杆稳定问题
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材料力学10压杆稳定_1欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F
F
2 1
0.7
压杆两端固定可轴向移动：
0.5
6
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
材料力学10压杆稳定_2经验公式
其中，直线公式适用的柔度的界限值 s = (a－s) / b，为材料常数
这类杆称为中长杆（或中柔度杆），亦即直线公式适用于中长杆 （或中柔度杆）
说明： 当 ≤ s，称为粗短杆，则应按强度问题处理。
三、临界应力总图
压杆的临界应力 cr 可视作压杆柔度 的分段函数，即
π2E 2
cr
查表得 a = 461 MPa、b = 2.567 MPa
临界应力 临界力
cr a b 461 2.567 64.7 294.9 MPa Fcr cr A 162.7 kN
3）由于连杆在 x-y、x-z 两个平面内的柔度 z = 64.7、y = 57.4 比
π 2 EI min
0.7l 2
870 kN
2）两端固定但可沿轴向相对移动
长度因数 = 0.5， 立柱柔度
3600
zz
s
l
imin
0.5 3600 24
75 p
此时，立柱为中柔度杆，应用直线公式计算其临界力
由表 10-2 查得 a = 304 MPa，b = 1.12 MPa
临界应力 临界力
cr a b 304 1.12 75 220 MPa Fcr cr A 220 48.541 1068 kN
[例2] 图示连杆，已知材料为优质碳钢，弹性模量 E = 210×109 GPa， 屈服极限 s = 306 MPa。试确定该连杆的临界力Fcr ，并说明横截面的 设计是否合理。
解： 由于连杆在两 个方向上的约束情 况不同，故应分别 计算连杆在两个纵 向对称平面内的柔 度，柔度大的那个 平面即为失稳平面
1）计算柔度 在 x-y 平面（弯曲中性轴为 z 轴）： 两端铰支
这类杆称为中长杆（或中柔度杆），亦即直线公式适用于中长杆 （或中柔度杆）
说明： 当 ≤ s，称为粗短杆，则应按强度问题处理。
三、临界应力总图
压杆的临界应力 cr 可视作压杆柔度 的分段函数，即
π2E 2
cr
查表得 a = 461 MPa、b = 2.567 MPa
临界应力 临界力
cr a b 461 2.567 64.7 294.9 MPa Fcr cr A 162.7 kN
3）由于连杆在 x-y、x-z 两个平面内的柔度 z = 64.7、y = 57.4 比
π 2 EI min
0.7l 2
870 kN
2）两端固定但可沿轴向相对移动
长度因数 = 0.5， 立柱柔度
3600
zz
s
l
imin
0.5 3600 24
75 p
此时，立柱为中柔度杆，应用直线公式计算其临界力
由表 10-2 查得 a = 304 MPa，b = 1.12 MPa
临界应力 临界力
cr a b 304 1.12 75 220 MPa Fcr cr A 220 48.541 1068 kN
[例2] 图示连杆，已知材料为优质碳钢，弹性模量 E = 210×109 GPa， 屈服极限 s = 306 MPa。试确定该连杆的临界力Fcr ，并说明横截面的 设计是否合理。
解： 由于连杆在两 个方向上的约束情 况不同，故应分别 计算连杆在两个纵 向对称平面内的柔 度，柔度大的那个 平面即为失稳平面
1）计算柔度 在 x-y 平面（弯曲中性轴为 z 轴）： 两端铰支
《材料力学压杆稳定》课件
05
压杆稳定性设计原则与实例
压杆稳定性设计原则
压杆稳定性是指压杆在受到外力作用 时，能够保持其原有平衡状态的能力 。
压杆稳定性设计原则是确保压杆在使 用过程中能够承受外力作用，避免发 生失稳和破坏的关键。
设计压杆时，应遵循以下原则：选择 合适的材料、确定合理的截面尺寸、 优化压杆长度和形状、避免过大的偏 心载荷等。
本课程介绍了多种稳定性分析方法，包括欧拉公式法、经验公式法、能量法等。通过这些 方法的学习和应用，我们能够根据不同情况选择合适的分析方法，对杆件进行准确的稳定 性评估。
实际应用与案例分析
本课程结合实际工程案例，对压杆稳定问题进行了深入的探讨和分析。通过这些案例的学 习，我们了解了压杆稳定问题在实际工程中的重要性和应用价值，提高了解决实际问题的 能力。
不同截面形状的压杆，其临界载荷和失稳形态 存在差异。
支撑条件
支撑刚度、支撑方式等对压杆的稳定性有重要 影响。
提高压杆稳定性的措施
选择合适的材料
选择具有高弹性模量和合适泊松 比的材料，以提高压杆的稳定性
。
优化截面形状与尺寸
通过改变截面形状或增加壁厚等 方法，提高压杆的稳定性。
改善支撑条件
采用具有足够刚度的支撑，并合 理布置支撑位置，以提高压杆的
的比率。
03
压杆稳定性的定义与分类
压杆稳定性的定义
压杆稳定性是指压杆在受到轴向 压力时，保持其平衡状态而不发
生弯曲或屈曲变形的能力。
压杆稳定性问题主要关注的是压 杆在轴向压力作用下，是否能够 保持直线形状而不发生弯曲变形
。
压杆的稳定性取决于其自身的力 学特性和外部作用力的大小和分
布。
压杆稳定性的分类
材料力学-10-压杆的稳定问题
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零 的条件是他们的系数行列式等于零：
0
1
sinkl coskl
0
sinkl 0
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图 长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面 形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：
＝
l
i
I A
其中，I为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：
i
从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条件以 及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡 微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦 因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆， 这些公式可以写成通用形式：
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同支承 影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈曲后 的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比 值确定。
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念
前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这 就要求在分叉载荷即临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时， 其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即
材料力学之压杆稳定
25
解: 图 (a) 中, AD 杆受压
N AD
2EI
2 P1
2
2a
1 2EI
P1 22
a2
图 (b) 中, AB , BD 杆受压
N AB
NBD
P2
2EI a2
2EI
P2 a 2
26
例: 长方形截面细长压杆, b/h=1/2 ; 如果将 b 改为 h 后
仍为细长杆, 临界力 Pcr 是原来的多少倍？
解: (1).
Pcr
2EI ( l)2
2E d4
64
( l)2
1 16
(2).
2E I正
Pcr正 ( l)2 Pcr圆 2 E I 圆
I正 I圆
a4
12
d4
d
4
2
2
12
d4
3
( l)2
64
64
28
例: 三种不同截面形状的细长压杆如图所示。 试: 标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主惯性轴转动。
解：
2E Ib
Pcr b Pcr a
( l)2 2EIa
( l)2
Ib Ia
h4
12 hb 3
h b
3
8
12
27
例: 圆截面的细长压杆, 材料、杆长和杆端约束保持
不变, 若将压杆的直径缩小一半, 则其临界力为 原压杆的＿116＿; 若将压杆的横截面改变为面积相同 的正方形截面, 则其临界力为原压杆的＿＿3 倍。
工程上要求 Pmax＜ Pcr
与压杆的材料、截面形式、 长度、及杆端约束有关1。8
§10-2 细长压杆的临界压力欧拉公式
一. 两端铰支细长压杆的临界压力 设: 理想的中心受压细长杆, 在最小抗弯平面内失稳。
压杆·稳定性
=
2 ，因为 h＞b ，则 I y
=
hb3 12
＜ bh3 12
=
Iz ，由式（10.3）得
Pcr
=
π 2 EI (μl)2
=
π2
× (200 ×103
MPa) × ( 1 × 40 mm × (20 12
(2 ×1000 mm)2
mm)3 ) ≈13200
N
= 13.2
kN
10.2.2 临界应力
当压杆受临界压力作用而维持其不稳定直线平衡时，横截面上的压应力仍然可按轴向压
10.3.2 临界应力经验公式与临界应力总图
在工程实际中，常见压杆的柔度λ 往往小于 λp ，即 λ＜λp ，这样的压杆横截面上的应力 已超过材料的比例极限，属于弹塑性稳定问题。这类压杆的临界应力可通过解析方法求得， 但通常采用经验公式进行计算。常见的经验公式有直线公式与抛物线公式等，这里仅介绍直 线公式。把临界应力 σcr 与柔度λ 表示为下列直线关系称为直线公式。
式中，λ 称为压杆的柔度或长细比，为无量纲量，它综合反映了压杆的长度、约束形式及截 面几何性质对临界应力的影响。于是，式（10.4）中的临界应力可以改写为
·219·
材料力学
σ cr
=
π2E λ2
式（10.6）是欧拉公式（10.3）的另一种表达形式，两者并无实质性差别。
（10.6）
10.3 欧拉公式的适用范围·临界应力总图·直线公式
2
≤σ
p
或
λ≥π E σp
（10.7）
令
于是条件式（10.7），可以写成
λP = π
E σp
（10.8）
λ ≥ λp
（10.9）
第十章 材料力学压杆稳定
2
y
即 : 189.325.612.74(1.52a/2) 时合理
a4.32 cm
求临界力：
L 0.76
i Iz 2A1
0.76 396.610 212.74104
8
106.5
2 E 220010 9 p 99.3 6 P 20010
2 EI
(2l ) 2
=1
0.7
=0.5
=2
2l
l
例1钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面， h=50 mm，b=30 mm，材料是A3钢，弹性模量E=200GPa； 求临界力和临界应力。 解：
(1)由于杆截面是矩形，杆在不同方向发生弯曲的难易程度不同， 如下图
因为 Iy<Iz，所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下， 压杆最易在xz平面内发生弯曲；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
1.一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的 压杆的挠曲线的一半部分；
2 EI 2 EI
4l
2
Pcr
2l
2
P l l
2.二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为 0.5l的压杆；
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
y
P x
M
P
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
y
即 : 189.325.612.74(1.52a/2) 时合理
a4.32 cm
求临界力：
L 0.76
i Iz 2A1
0.76 396.610 212.74104
8
106.5
2 E 220010 9 p 99.3 6 P 20010
2 EI
(2l ) 2
=1
0.7
=0.5
=2
2l
l
例1钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面， h=50 mm，b=30 mm，材料是A3钢，弹性模量E=200GPa； 求临界力和临界应力。 解：
(1)由于杆截面是矩形，杆在不同方向发生弯曲的难易程度不同， 如下图
因为 Iy<Iz，所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下， 压杆最易在xz平面内发生弯曲；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
1.一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的 压杆的挠曲线的一半部分；
2 EI 2 EI
4l
2
Pcr
2l
2
P l l
2.二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为 0.5l的压杆；
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
y
P x
M
P
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
材料力学第十章 压杆稳定性问题2
在求Pcr 及 cr的基础上，进行稳定性校核。 的基础上 进行稳定性校核
Pcr P Pcr nst
nst 为稳定安全系数， 为稳定安全系数 一般大于强度安全系数 般大于强度安全系数。 由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔 等 都会降低 Pcr 。而且柔度越大，影响越大。 等，都会降低 而且柔度越大 影响越大
S
cr
max
若 P ，图中CD段选欧拉公式 若 S P ，图中 图中BC段选经验公式 若 S ，图中AB段按强度计算，即 cr
何斌
s
Page 13
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载 荷如图示 荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉 为 视图 为俯视图 在 两处为销钉 连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模 量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。 正视图平面弯曲截面z绕轴 正视图平面弯曲截面z 转动；俯视图平面弯曲截 面绕y 面绕 y轴转动。 轴转动 正视图：
2 对中长杆由于 cr与 P , s b 有关 2. 强度越高, cr也越高 3 对短粗杆：强度问题 3. 对短粗杆 强度问题
何斌
P
时才适用
2E P 2
2E P
E
P
P
欧拉公式适用于 P
Page 6
材料力学
第十章 压杆稳定问题
10.4 临界应力和长细比 细长杆 中长杆和短粗杆 细长杆、中长杆和短粗杆
1．细长杆： ① P 的压杆称为细长杆。 的压杆称为细长杆 ② 此类压杆只发生了弹性失稳 ③ 稳定计算：欧拉公式 稳定计算 欧拉公式
何斌
Pcr P Pcr nst
nst 为稳定安全系数， 为稳定安全系数 一般大于强度安全系数 般大于强度安全系数。 由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔 等 都会降低 Pcr 。而且柔度越大，影响越大。 等，都会降低 而且柔度越大 影响越大
S
cr
max
若 P ，图中CD段选欧拉公式 若 S P ，图中 图中BC段选经验公式 若 S ，图中AB段按强度计算，即 cr
何斌
s
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Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载 荷如图示 荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉 为 视图 为俯视图 在 两处为销钉 连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模 量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。 正视图平面弯曲截面z绕轴 正视图平面弯曲截面z 转动；俯视图平面弯曲截 面绕y 面绕 y轴转动。 轴转动 正视图：
2 对中长杆由于 cr与 P , s b 有关 2. 强度越高, cr也越高 3 对短粗杆：强度问题 3. 对短粗杆 强度问题
何斌
P
时才适用
2E P 2
2E P
E
P
P
欧拉公式适用于 P
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材料力学
第十章 压杆稳定问题
10.4 临界应力和长细比 细长杆 中长杆和短粗杆 细长杆、中长杆和短粗杆
1．细长杆： ① P 的压杆称为细长杆。 的压杆称为细长杆 ② 此类压杆只发生了弹性失稳 ③ 稳定计算：欧拉公式 稳定计算 欧拉公式
何斌
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由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
F
1. 一端固支一端自由：
观察：受力与变形与两端 铰支压杆左半部分相同
F
F
l
l
类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于 长2l的对应铰支压杆的临界载荷。
2 EI 2 EI
Fcr (2l )2 4l 2
与解析法结果相同
Page32
2 EI z
l2
其中=0.5 ～1， Iy<Ix
需要判断，杆件总沿临界载荷最小的方向失稳
z
a
Iy
hb3 12
bh3 Iz 12
Page20
第十章 压杆稳定问题
习题10-3：AB刚性杆，BC弹性 梁，弯曲刚度EI，求Fcr
FF A
解：考虑梁杆结构的临界平
a
衡，B为刚性接头，在B处
q1 q2
F
EI
l
解： （1）分析失稳曲线特征： 两端转角为零，B端水平 位移不为零。
（2）类比长为2l 的两端固支杆
Page36
例： 试用类比法求临界载荷
第十章 压杆稳定问题
F
l
F
l
解：（1）分析失稳曲线特征：两端转角为零，B端水平 位移不为零。
（2）分析临界失稳的变形，类比长为2l 的两端固支杆
2 EI 2EI
4.4932 EI 2EI
Fcr
l2
(0.7l)2
思考讨论题：
力学模型（有条件的随遇平衡）、
数学方程（微分方程）、有条件的
随遇平衡的数学表达（齐次方程的 非零解）之间的对应关系。
FR F
x
l
Page30
第十章 压杆稳定问题
上一讲回顾
1．弹性平衡稳定性的概念 受压杆件保持初始直线平衡状态 的能力称为压杆的稳定性；弹性体保持初始平衡状态的能力 称为弹性平衡的稳定性。
A 问题的提出:强度条件是否适用于下列拉压杆？
F
FF
F
短粗杆
F
F
F
F
细长杆
Page 2
第十章 压杆稳定问题 工程实例：石桥、钢桥与稳定问题
左图：隋朝建成 的赵州桥
右图： Tacoma 海峡 大桥1940年破坏
Euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论）
Page 3
Page18
第十章 压杆稳定问题
例：确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y
O
z
xF
l
F
h
解：临界载荷
Fcr
2 EI
l2
b
y
1. 当两端的约束是球形铰。
I
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2a
I yz sin 2a
z
a
Iz
bh3 12
Iy
hb3 12
压杆在x-z平面内失稳
Fcr
Asin kl 0
•存在非零解的条件： sin kl 0
Page13
第十章 压杆稳定问题
•临界载荷欧拉公式
F
F
sin kl 0
kl n
k n
l
注意到： F k 2 , EI
F
n2 2EI
l2
设： n=1
2 EI
Fcr l 2
(n 1, 2 )
Page14
由对A的力矩平衡
解析法确定临界载荷：铰支-固支压杆 类比法确定临界载荷 相当长度与长度因素 例题
Page23
第十章 压杆稳定问题
一、解析法确定临界载荷
1. 固支-自由压杆
根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
A
M(x) F( w)
d2w M(x)
dx2 EI
A
d 2w dx 2
F EI
第十章 压杆稳定问题
•刚体与变形体的稳定性
（1）刚性面上，刚性球受微干扰
F F
FR
FR
W
a. 合力FR指向平衡位置
W
b. FR为0
W
c. FR偏离平衡位置
稳定平衡
临界(随遇)平衡
不稳定平衡
Page 4
第十章 压杆稳定问题
（2）刚杆－弹簧系统受微干扰
刚杆－弹簧系统稳定性演示
a. F k l
d 2w dx 2
F EI
w
FR EI
(l
x)
x
M ( x) FR
Fw
lx
FR F
FR
F
通解：
w
A sin
kx
B cos
kx
FR EIk 2
(l
x)
(k2 F ) EI
Page27
第十章 压杆稳定问题
通解：
w
A sin
kx
B cos
kx
FR EIk 2
(l
x)
(k2 F ) EI
0 k sin kl
1 0 cos kl
l
EIk 2
1 EIk
2
0
0
Asin kl Bcos kl 0
FR
F x
l
tan kl kl
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第十章 压杆稳定问题
tan kl kl
y1 tan kl y2 kl
( kl)a 4.493
F k2EI
F l 4.493 EI
比较显示了理想压杆小挠度理论的实际意义。
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第十章 压杆稳定问题
例：确定图示压杆的临界载荷(h>b)
y
l
O
xF
z
解：临界载荷
Fcr
2 EI
l2
问题：结构在哪个平面内失稳？ 临界载荷等于多少？
1. 当两端的约束是球形铰。
F
h
b
y
z
a
2. 当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。
B Fcr
0.7l B Fcr
Fc Br 0.7l
Page33
3. 两端固支压杆：
拐点
l4
l2
第十章 压杆稳定问题
拐点
Fcr l4
Fcr
(l
2 EI / 2)2
Fcr
Fcr
l2
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第十章 压杆稳定问题
三、欧拉公式的统一表达式：
Fcr
2 EI
l2
1
2 EI
Fcr (2l )2
薄壁圆筒轴向受压
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•风洞颤振试验照片
第十章 压杆稳定问题
左侧为风速低于颤振速度，结构稳定； 右侧为风速等于颤振速度，结构振动发散。
Page 9
•飞机颤振问题研究
第十章 压杆稳定问题
Page10
第十章 压杆稳定问题
§10-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
• •
两
两
端
端
铰
铰
支
支
压
压
杆
杆
临
失
考虑位移边界条件：
x 0, w 0
B
FR l EIk 2
0
x 0, w' 0
Ak
FR EIk 2
0
FR
F x
l
x l, w 0 Asin kl Bcos kl 0
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第十章 压杆稳定问题
B
FR l EIk 2
0
Ak
FR EIk 2
0
•存在非零解的条件：
2
2 EI
Fcr l / 22