算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：算术平均数与几何平均数(1)教学目的：１．学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理．2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等.３．通过掌握公式的结构特点,运用公式的适当变形,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.教学重点：均值定理证明教学难点:等号成立条件教学过程:一、复习引入：不等式的基本性质.二、讲解新课：１．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a２．定理：如果a,b 是正数,那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 说明：ⅰ)我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数,因而,此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的:前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数．ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件. 3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为a +b 的线段为直径作圆,在直径ＡB 上取点Ｃ，使ＡＣ=a,C Ｂ＝b.过点C 作垂直于直径AB 的弦D Ｄ′,那么CB CA CD ⋅=2,即ab CD = 这个圆的半径为2b a +,显然,它不小于CD ,即ab b a ≥+2,其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时,等号成立.三、讲解范例：例1 已知x ，y 都是正数，求证:（1）如果积x ｙ是定值P ,那么当x=y 时，和x +y 有最小值;2P（2)如果和x ＋ｙ是定值S ,那么当ｘ=y 时,积x ｙ有最大值.412S 说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件:ⅰ)函数式中各项必须都是正数；ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; a b ab D'D A B Cⅲ）等号成立条件必须存在.例2 已知：a ｂ>0,求证:2b a a b+≥． 当且当a =b 时等号成立. 反思:由本例可以得出什么结论?例3 已知a ,b 都是正数,求证222.1122a b a b ab a b ++≤≤≤+ 当且当a =ｂ时等号成立.(介绍ｎ个正数的“调和平均数”、“几何平均数”、“算术平均数”、“平方平均数”的概念及它们的关系）四、课堂练习:１.已知a 、ｂ、c 都是正数,求证(a +b )（ｂ+c ）(c ＋a )≥8a ｂｃ２.已知x 、y 都是正数,求证：(x ＋y )（x 2+ｙ2）(ｘ３+y 3)≥8x 3y ３.3．求证:(2b a +）2≤222b a +. 五、作业:(1）“a +ｂ≥2ab ”是“ａ∈R +,b ∈Ｒ＋”的( ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 Ｃ.充要条件 D ．即不充分也不必要条件(２)设b ＞a >0，且ａ+b ＝1，则此四个数21，2a ｂ,a 2＋b 2,b 中最大的是( ) A.b B.a ２+b ２ ﻩ C ．2a ｂ D ． 21 (３）设a ,b ∈Ｒ,且ａ≠b ，a +ｂ＝2,则必有（ ）A.1≤ａb ≤222b a + B ．a ｂ<1<222b a + Ｃ.ab <222b a +<1 D . 222b a +<ab <1 (4)已知a ，b ∈R +且a ＋b =4,则下列各式恒成立的是（ )Ａ.211≥ab B.b a 11+≥1 C.ab ≥2 D ．41122≤+b a (５)若a ＞b >0,则下面不等式正确的是( ) A.ab b a b a ab <+<+22 B ．ab ba ab b a <+<+22 C.22b a ab b a ab +<<+ Ｄ.22b a b a ab ab +<+< (６）若a ,ｂ∈Ｒ且ａ≠b ,在下列式子中，恒成立的个数为（ ） ①a 2＋3ab ＞2b 2 ②a ５＋b ５＞ａ3b 2+a 2b 3 ③ａ２+b ２≥2（a -ｂ-1） ④a b b a +>2 Ａ．4 B.3ﻩ ﻩﻩ Ｃ.2 D.1（7)设a ,ｂ，c 是区间(0,１)内的三个互不相等的实数且p =lo ｇc 2b a +,q =2log log b ac c +，r ＝2log 21b a c +,则p ,ｑ,ｒ的大小关系是（ ) Ａ.p >ｑ＞r B.p ＜ｑ＜ｒﻩﻩC ．r <P <ｑ Ｄ.p ＜r <q算术平均数与几何平均数(2）教学目的:１.进一步掌握均值不等式定理；2.会应用此定理求某些函数的最值；3．能够解决一些简单的实际问题.教学重点：均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧教学过程：一、复习引入:１．重要不等式：（1)如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a(2）如果ａ,ｂ都是正数,那么 222.1122a b a b ab a b ++≤≤≤+ 当且当a ＝b 时等号成立．2.上课时中“例1”的条件、结论及注意事项.二、讲解新课：定理:如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++(当且仅当ａ=b=c 时取“=”)推论：如果+∈R c b a ,,,那么33abc c b a ≥++ (当且仅当a ＝ｂ＝c 时取“=”） 三、例题例１已知a ,ｂ，c ,d 都是正数,求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++例2 求下列函数的最小值,并求相应的x 值．1(1)(0);1(5)(2)(2)(1).1y x x x x x y x x =+≥+++=>-+例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为48００ｍ3，深为3m ，如果池底每１m ２的造价为１5０元,池壁每1m 2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元？四、课堂练习:1．已知ｘ≠0，当x 取什么值时,x 2+281x 的值最小?最小值是多少? ２.一段长为L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大,最大面积是多少?四、作业:(1)求函数y ＝2x 2+x3(x >0)的最小值． (２)求函数y ＝x 2+41x（x ＞0)的最小值. (３)求函数ｙ＝3x 2-2x 3（０＜x <23)的最大值． (4)求函数y =x （1-x 2）(０＜ｘ＜1)的最大值. （5)设a >0，b >０,且ａ2+22b =１，求ａ21b 的最大值.算术平均数与几何平均数(3)教学目的：1.进一步掌握均值不等式定理；2.会应用此定理求某些函数的最值；3．能够解决一些简单的实际问题.教学重点:均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧教学过程：一、复习引入：1.重要不等式：(１）如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a（２)如果a ,b 都是正数,那么222.1122a b a b ab a b ++≤≤≤+ 当且当a =b 时等号成立.(3)如果a ｂ＞０，那么2b a a b+≥. 当且当a =b 时等号成立． （4）如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当a=ｂ=c 时取“＝”)（5）如果+∈R c b a ,,,那么33abc c b a ≥++ (当且仅当a ＝b=ｃ时取“=”） 2. 利用“均值不等式”求最值．二、例题 例1 (１)已知lg ｘ+lgy=2，求yx 11+的最小值; (2)已知ｘ>0,y>0，且 2x ＋5ｙ＝2０,求lgx ＋lgy 的最大值；（3)已知0<x ＜2,求x(8-3x)的最大值.例2 求下列函数的最大值：215(1)42();4542(2)(2).1y x x x x y x x x =-+<-+=>-++例3 (1)已知a ＞b>0,求1()a a b b +-的最小值. (2）已知310<<x ,求)31(2x x -的最大值．例4 求函数)0(sin 9sin π<<+=x xx y 的最小值.例５ 从一块半径为R 的半圆铁板上剪一块矩形，当矩形的长和宽各取多少时矩形的面积最大，并求这个最大面积.三、作业1.填空（1)如果b>ａ>0,则b,2ab,ａ2+ｂ2的大小顺序是 . (2) 函数222)1(164)(++=x x x f 的最小值是 （3)当ｘ= 时，函数)20)(24()(22<<-=x x x x f 取得最大值(4）若x>0,xx x f 24618)(--=的最大值是 (５)若ab+ｂc+c ａ＝１，则当 时｜a+ｂ+c|取得最小值 （6）2221,12,0,0b a b a b a +=+≥≥则设的最大值是 (7)45)(22++=x x x f 的最小值是（８)若ｘ2+ｙ2=1,Ｓ=(１－xy ）（1+xy),则S 的取值范围是（９)若x ｙ＞0，ｘ2ｙ=2,则x ｙ+x2的最小值为2.已知2160,()a b a b a b >>+-求的最小值. 3.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米,已知流出的水中该杂质的质量份数与a 、b 的乘积ab 成反比.现有制箱材料60平方米,问ａ、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(Ａ、B 孔面积忽略不计).４.如图，在△AB Ｃ中,∠Ｃ＝90°,AC ＝３，BC =４,一条直线分△ＡBC 的面积为相等的两部分，且夹在AB 与BC 之间的线段最短,求此线段长.。
算术平均数与几何平均数
6.2.3 算术平均数与几何平均数●教学目标(一)教学知识点1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.(二)能力训练要求通过两个例题的研究，进一步掌握均值不等式定理，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.(三)德育渗透目标掌握两个正数的算术平均数和几何平均数顺序定理及相应的一组不等式，使学生认清定理的结构特点和取“＝”条件.要在分析具体问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生分析问题和解决问题的能力.●教学重点基本不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab （a ＞0，b ＞0）的应用，应注意： (1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy ＝4时，如果没有x 、y 都为正数的条件，就不能说x ＋y 有最小值4，因为若都是负数且满足xy ＝4，x ＋y 也是负数，此时x ＋y 可以取比4小的值.(2)这两个(或三个)数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.例如，求当x ＞0时，y ＝x 2＋x 1的最小值，若写成y ＝x 2＋x 1≥2x xx 212=⋅，就说“最小值为2x ”是错误的，因为x 2·x 1不是定值，而2x 仍为随x 变化而变化的值.正确的解法是：由于x 2·x 21·x 21＝41为定值，故x 2＋x 1＝x 2＋x21＋x 21≥3·3322232121=⋅⋅x x x ，即y 的最小值为2233. (3)要保证等号确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值. ●教学难点如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.例如“教学重点”(2)中y ＝x 2＋x 1凑成y ＝x 2＋x 21＋x21. ●教学方法启发式教学法●教具准备投影片一张●教学过程Ⅰ.课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，(打出投影片§6.2.2 A ，教师引导学生略作分析)，使同学们掌握下面几个重要的不等式：(1)a 2＋b 2≥2ab （a ，b ∈R ），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (2)ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (3) ba ab +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (4) 33abc c b a ≥++（a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号； (5)a 3＋b 3＋c 3≥3abc （a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号.在此基础上，上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知x 、y 都是正数，求证：(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值41S 2. ［师］本题显然是均值不等式的应用，在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.［生］∵x ，y 都是正数∴xy y x ≥+2(1)当积xy ＝P 为定值时，有P y x ≥+2， 即x ＋y ≥2P .上式中，当x ＝y 时取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(3)当和x ＋y ＝S 为定值时，有2S xy ≤， 即xy ≤41S 2. 上式中，当x =y 时取“=”号，因此，当x =y 时积x y 有最大值41 S 2. ［师生共析］通过对本题的证明，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x ＋x1，当x ＜0时，绝不能错误地认为关系式x ＋x 1≥2成立，并由此得出x ＋x 1的最小值是2.事实上，当x ＜0时，x ＋x1的最大值是－2，这是因为x ＜0⇒－x ＞0，－x 1＞0⇒－（x ＋x 1）＝（－x ）＋（－x 1）≥2)1()(x x -⋅-＝2⇒x ＋x1≤－2.可以看出，最大值是－2，它在x ＝－1时取得.(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.［例2］已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd .［师］运用均值不等式，结合不等式的基本性质，是证明本题的关键.［生］∵a ，b ，c ，d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0. ∴cd ab cd ab ⋅≥+2＞0， bd ac bd ac ⋅≥+2＞0. 由不等式的性质定理4的推论1，得4))((bd ac cd ab ++≥abcd 即（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd .［师生共析］用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?［师］应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.(在教师的引导分析下，师生共同完成解答过程).［生］设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为x34800m ，又设水池总造价为ｌ元.根据题意，得ｌ＝1５0×34800＋120（2×3x ＋2×3×x34800） ＝240000＋７20（x ＋x 1600）. ≥240000＋７20×2xx 1600⋅ ＝240000＋７20×2×40＝2９７６00.当x ＝x1600，即x ＝40时，ｌ有最小值297600. 因此，当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.［师生共析］我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.Ⅲ.课堂练习1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少? 分析：注意到x 2＋281x 是和的形式，再看x 2·281x＝８1为定值，从而可求和的最小值. 解：x ≠0⇒x 2＞0，281x ＞0. ∴x 2＋281x ≥22281xx ⋅＝1８， 当且仅当x 2＝281x ，即x ＝±3时取“＝”号. 故x =±3时，x 2+281x 的值最小，其最小值是18. 2.一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案.解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积 S ＝x （Ｌ－2x ） ＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4L m 时菜园面积最大为82L m 2. 解法二：设矩形的长为x m ，则宽为2x L -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=- ≤82)2(22L x L x =-+（m 2）. 当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为2L m ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2. 3.设0＜x ＜2，求函数f （x ）＝)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值. 分析：根据均值不等式：2b a ab +≤，研究)38(3x x -的最值时，一要考虑3x 与８－3x 是否为正数；二要考查式子21［3x ＋（８－3x ）］是否为定值. 解：∵0＜x ＜2∴3x ＞0，８－3x ＞0 ∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4 当且仅当3x ＝８－3x 时，即x ＝34时取“＝”号. 故函数f （x ）的最大值为4，此时x ＝34. Ⅳ.课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立.只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P 11习题6.2 4、５、７.(二)1.预习内容：课本P 12 §６.3.1 不等式的证明.2.预习提纲：(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：作差(或商)→变形→判断差的符号(或商与1的大小)→得证.●板书设计。
算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数（一）1. 简介算术平均数和几何平均数是常见的统计学概念，用于描述一组数据的集中趋势。
在统计学中，平均数是最常用的描述集中趋势的指标之一。
在本文档中，我们将讨论算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们的特点和用途。
通过了解这两种平均数的性质，我们可以更好地理解和应用它们。
2. 算术平均数2.1 定义算术平均数（或简称平均数）是一组数据的所有数值之和除以数据的个数。
它描述了这组数据的集中趋势，是一种典型值。
2.2 计算方法计算算术平均数的方法是将一组数据的所有数值相加，然后除以数据的个数。
用数学公式表示为：平均数= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。
2.3 特点和应用算术平均数的特点有：•算术平均数是一种对数据集中趋势的概括，它能够反映数据的大致水平。
•算术平均数对异常值（极大值或极小值）比较敏感，会使得平均数产生明显的偏差。
•算术平均数可以用于比较不同数据集之间的集中趋势，以及进行数据的综合分析。
算术平均数在实际应用中有广泛的用途，例如：•统计某一地区的平均气温、平均收入等指标。
•确定商品的平均价格。
•分析学生成绩的平均水平等。
3. 几何平均数3.1 定义几何平均数是一组数据的连乘积的n次方根。
它描述了这组数据的平均变化率，是一种典型比率。
3.2 计算方法计算几何平均数的方法是将一组数据的所有数值相乘，然后取n次方根。
用数学公式表示为：几何平均数= (x₁ * x₂ * ... * xn) ^ (1/n)其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。
3.3 特点和应用几何平均数的特点有：•几何平均数是一种对数据集变化率的概括，它能够反映数据的平均相对大小。
•几何平均数对异常值的影响较小，不会使得平均数产生明显的偏差。
•几何平均数可以用于比较不同数据集之间的平均变化率，以及进行数据的综合分析。
算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数（一）一． 知识点回顾1． 重要公式：如果a 、b_____，那么22b a +_____2ab ，当且仅当_____取等号。
2． 如果a 、b_____，那么2ba +_____ab ，当且仅当_____取等号。
3．推广：如果n a a a ,,,21⋅⋅⋅___，那么na a a n ⋅⋅⋅++21_____n n a a a ⋅⋅⋅21，当且仅当____取等号。
二． 例题讲解 例1．0>≥b a ，试比较,,2,2,22ab ba b a a ++b a ab +2，b 的大小，并利用不等号将它们连接起来。
例2．已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1，求证：（1）（11-a）8)11)(11(≥--c b ，（2）31222≥++c b a（3）27111222≥++c b a 例3．（1）求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++，（2）已知22)1(112:,02≥++⋅++≥x xxx 求证三． 巩固练习 1．0,0""2">>≥+b a ab b a 是的（ ）条件。
A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分又不必要2．设2,,,=+≠∈b a b a R b a 且则必有（ ）A 、2122b a ab +≤≤B 、2122b a ab +<<C 、1222<<b a abD 、222ba +1<<ab3．已知0<a<b<1，,2log 21b a P +=Q )(log 21),log (log 21212121b a M b a +=+=，则P 、Q 、M 三个数的大小关系是（ ） A 、P>Q>MB 、Q> P>MC 、Q >M>PD 、M>Q>P4．下列不等式：①21≥+x x ②|2|1≥+xx ③若0<a<1<b ，则2log log -≤+a b b a ④若0<a<1<b ，则2log log ≥+a b b a 其中正确的是（ ）A 、②④B 、①②C 、②③D 、①②④5．在下列结论中，错用算术平均数与几何平均数不等式作依据的是（ ） A 、2,,≥+xy y x y x 则均为正数 B 、4)1)(1(,≥++aa a a 则为正数C 、1,210log lg >≥+x x x 其中D 、21222≥++x x6．x 成立的是则下列不等式中等号不且,00>>y （ ）A 、211≥+++xx x x B 、4)1)(1(≥++y y x x C 、4)11)((≥++y x y x D 、2lg lg )2lg lg (222y x y x +≤+ 7．已知>x ，则由不等式+x ⋅⋅⋅≥+≥34,212xx x 成立；推广为一般情况有*)(,1N n n x ax n∈+≥+，则常数a 为（ ） A 、2nB 、n 2C 、2)1(2+n D 、n n8．若b a R b a ≠∈且,在下列式子中，恒成立的个数为（ ） ①2223b ab a>+②322355b a b a b a +>+③)1(222--≥+b a b a ④2>+abb a A 、4B 、3C 、2D 、19．已知a>0,b>0，且a+b=4,则下列各式恒成立的是（ ） A 、211≥abB 、111≥+baC 、2≥abD 、41122≤+ba 10．若实数a,b 满足a+b=2，则b a33+的最小值为（ ）A 、18B 、6C 、32D 、24311．设2221,12,0,0b a b a b a +=+≥≥则的最大值为_____________。
高中数学第二册(上)算术平均数与几何平均数1
一．课题：算术平均数与几何平均数〔1〕二．教学目标：1. 能推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2. 理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式.三．教学重、难点：均值定理证明及运用.四．教学过程：〔一〕复习：1．用>和<号填空：〔1〕如果a b >，那么a -b -；〔2〕如果0a b <<，那么1a 1b； 〔3〕如果0a b c >>>，那么c a c b ； 〔4〕如果*01,a b n N <<<∈，那么1n a 1n b 1； 〔5〕如果a b >，那么2c a -2c b -．〔二〕新课讲解：1．基本不等式：定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+〔当且仅当b a =时取“=〞〕．证明：222)(2b a ab b a -=-+， ⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+〔当且仅当b a =时取“=〞〕． 说明：〔1〕指出定理适用X 围：R b a ∈,；〔2〕强调取“=〞的条件b a =．定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2〔当且仅当b a =时取“=〞〕 证明：∵ab b a 2)()(22≥+， ∴ab b a 2≥+， 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2． 说明：〔1〕这个定理适用的X 围：,a b R +∈；〔2〕我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数. 即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2．ab b a ≥+2的几何解释：〔如图1〕以b a +为直径作圆，在直径AB 上取一点C ，过C 作弦DD AB '⊥，那么ab CB CA CD =⋅=2，从而ab CD =，而半径ab CD b a =≥+2． 例1．c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222证明：∵c b a ,,为两两不相等的实数，∴ab b a 222>+，222b c bc +>，ca a c 222>+，以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ 所以，ca bc ab c b a ++>++222．B 〔图1〕例2．,,,a b c d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥．证明：由,,,a b c d 都是正数，得：02ab cd +≥>，02ac bd +≥>， ∴()()4ab cd ac bd abcd ++≥， 即()()4ab cd ac bd abcd ++≥．例322>．0>， 又221x +≠，≠，22=2=>=，22>．五．课堂练习：,a b都是正数，求证：2112a b a b+≤≤+． 六．课堂小结：,a b 都是正数，,a b 的算术平均数是什么？几何平均数是什么？它们的关系怎样？七．作业：补充：1．,a b 都是正数，且a b ≠，求证：2ab a b<+； 2．求证：222()22a b a b ++≤； 3．,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥；4．,x y 都是正数，求证：〔1〕2y x x y+≥； 〔2〕223333()()()8x y x y x y x y +++≥． 5．0x >且1x ≠，*n N ∈，求证：1(1)(1)2n n n n x x x +++>．。
第04课时§6.2算术平均数与几何平均数(1)
学习目标：
①理解不等式“两个实数的平方和不小于它们之积的2倍”的证明及其几何解释；②理解两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；
③通过本节课学习，培养对数学知识的理解能力、应用能力及论证能力.
重点难点：①重点是算术平均数与几何平均数定理.
A.
3.若a,b∈R，a≠b,在①a2+3ab>2b2;②a5+b5>a3b2+a2b3;③a2+b2≥2(a-b-1);
④ 四个不等式中成立的有[ ]
A.4个B.3个C.2个D.1个
4.设P= ,Q=a2-a+1，则有：[ ]
A.P≥Q B.P>Q C.P≤Q D.P<Q
5.已知a,b都是正数，a≥b, x= ,y= ，则有：[ ]
例2.求证：
例3.已知a,b都是正数，求证：
例4.已知a,b,c,d都是正数，求证：
例5.已知a,b,c为实数，求证：ac+ab+bc≤a2+b2+c2.
随堂训练：
1.设0<m<1,0<n<1,则下列各式中最大的一个是[ ]
A.2mn B.m+n C.2 D.m2+n2
2.已知a、b为正数，下列不等式不成立的是[ ]
②难点是算术平均数与几何平均数定理a2+b2≥2ab；
②对于正数a、b，称 叫做a、b的算术平均数，称 叫做几何平均数；
③正数a、b的算术平均数和几何平均数之间的关系是： ≥ .
（当且仅当a=b时，取等号）
例题精讲：
例1.已知：x,y都是正数，求证：
(1) (2) (x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数知识点：（1） 算术平均数：称2ba +为两正数a,b 的算术平均数;几何平均数：称ab 为两正数a,b 的几何平均数（2） 重要不等式：222a b ab +≥（R b a ∈,，当a=b 时取等号） （3） 算术平均数与几何平均数定理：2b a +≥ab （a>0，b>0,当a=b 时取等号）常用变形式：2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+（a>0，b>0,当a=b 时取等号） 附加定理：abc c b a 3333≥++（R c b a ∈,,，当a=b=c 时取等号）33abc c b a ≥++（a>0,b>0,c>0，当a=b=c 时取等号）(4)利用算术平均数和几何平均数求函数最值（一正、二定、三等号）和为定值：2)2(b a ab +≤（a>0，b>0,当a=b 时取等号） 3)3(c b a abc ++≤（a>0,b>0,c>0，当a=b=c 时取等号） 积为定值：ab b a 2≥+ （a>0，b>0,当a=b 时取等号） 33abc c b a ≥++（a>0,b>0,c>0，当a=b=c 时取等号）1． 已知0x >，0y <，且191x y +=，求x y +的最小值。
2． （1）求函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值。
（2）已知0x >，0y <，且3412x y +=。
求lg lg x y +的最大值及相对应的x ，y 值。
3．已知a 、b 、c R ∈，求证：（1)a b c ++。
（2）444222222()a b c a b b c c a abc a b c ++≥++≥++。
4．某单位用木料制作如图1所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架未成的总面积为28m ，问x 、y 为多少时用料最省。
算术平均数与几何平均数1
例3：求函数 y 2x2 3 (x 0)
的最小值。
x
例4：已知正常数a,b和正常数x,y满足
a+b=10, a b 1, x+y的最小值为 xy
18，求a,b的值。
经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女的转动，小路状的粉末像腰鼓一样念动咒语：“铜指哔 嘟，面具哔 嘟，铜指面具哔 嘟……『白金瀑祖彩蛋理论』！老娘！老娘！老 娘！”只见女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女的身影射出一片湖青色灵光，这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫的钢灰色光猪，似幻影一样直奔湖青色金辉而来……，朝着壮 扭公主时常露出欢快光彩的眼睛狂劈过来！紧跟着女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女也摇耍着咒符像烟枪般的怪影一样向壮扭公主狂劈过来壮扭公主突然像纯灰色的万耳戈壁虾 一样怒咒了一声，突然搞了个倒地抽动的特技神功，身上瞬间生出了七只活像汤勺般的嫩黄了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百周的震撼招式。紧接着扭动浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛一吼，露出一副典雅的神色，接着晃动 跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发，像雪白色的黑胆部落鸽般的一叫，冰冷的睡意朦胧、但却时常露出欢快光彩的眼睛猛然伸长了九倍，长长的的围巾也顿时膨胀了七 倍！最后扭起跳动的棕褐色短发一吼，萧洒地从里面滚出一道幻影，她抓住幻影恬淡地一旋，一件明晃晃、绿莹莹的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件怪 物儿，一边摇晃，一边发出“咻咻”的猛音。……猛然间壮扭公主快速地让自己如同红苹果样的脸晃动出纯白色的竹帘声，只见她略显黑亮的光滑皮肤中，猛然抖出六 缕摇舞着¤天虹娃娃笔→的嘴唇状的糖人，随着壮扭公主的抖动，嘴唇状的糖人像信封一样在额头上深邃地创作出团团光甲……紧接着壮扭公主又摆起崭新的活似银兔 样的五帝冰湖靴，只见她奇如熨斗的手掌中，狂傲地流出五组旋舞着¤天虹娃娃笔→的钉子状的珍珠，随着壮扭公主的摆动，钉子状的珍珠像鱼眼一样念动咒语：“原 野呱 啾，肥妹呱 啾，原野肥妹呱 啾……¤雨光牧童谣→！天仙！天仙！天仙！”只见壮扭公主的身影射出一片纯白色奇辉，这时东北方向狂傲地出现了九 簇厉声尖叫的水红色光雁，似粼光一样直奔纯白色流光而去！，朝着女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女普通的眼睛狂劈过去！紧跟着壮扭公主也摇耍着咒符像烟枪般的怪影一样 向女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女狂劈过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道浅灰色的闪光，地面变成了土黄色、景物变成了深紫色、天空变成了亮青色、四 周发出了梦幻的巨响……壮扭公主时常露出欢快光彩的眼睛受到震颤，但精神感觉很爽！再看女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女暗黑色肥肠一样的眉毛，此时正惨碎成龟蛋样的 纯红色飞烟，加速
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教学目标
（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；
（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；
（3）能够解决一些简单的实际问题；
（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；
（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。
（2）重点、难点分析
本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．
㈠定理教学的注意事项
在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：
（1）和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。
例如成立，而不成立。
（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。
教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：
当时取等号，其含义就是：
仅当时取等号，其含义就是：
综合起来，其含义就是：是的充要条件。
（二）关于用定理证明不等式
当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：
它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。
因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。
（三）应用定理求最值的条件
应用定理时注意以下几个条件：
（1）两个变量必须是正变量；
（2）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值；
（3）当且仅当两个数相等时取最值．
即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．
在求某些函数的最值时，还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数．
（四）应用定理解决实际问题的分析
在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意；
（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
（4）正确写出答案。
2．教法建议
（1）导入新课建议采用学生比较熟悉的问题为背景，这样容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．（2）在新授知识过程中，教师应力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解准确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．
（3）教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．
（4）可以设计解法的正误讨论，这样能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．（5）注意培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．
第一课时
教学目标：
1．学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；
2．理解定理的几何意义；
3．能够简单应用定理证明不等式.
教学重点：均值定理证明
教学难点：等号成立条件
教学方法：引导式
教学过程：
一、复习回顾
上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾.
（学生回答）
由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式.
二、讲授新课
1．重要不等式：
如果
证明：
当
所以，
即
由上面的结论，我们又可得到
2．定理：如果是正数，那么
证明：∵
即
显然，当且仅当
说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求
都是实数，而后者要求都是正数.
ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件.
3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.
以长为的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，.过点C作垂直于直径AB 的弦DD′,那么
即
这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即时，等号成立.
在定理证明之后，我们来看一下它的具体应用.
4．例题讲解：
例1 已知都是正数，求证：
（1）如果积是定值P,那么当时，和有最小值
（2）如果和是定值S,那么当时，积有最大值证明：因为都是正数，所以
（1）积xy为定值P时，有
上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值.
（2）和为定值S时，有
上式当时取“=”号，因此，当时，积有最大值.
说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数;
（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
（3）等号成立条件必须存在.
接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.
三、课堂练习
课本P
练习2，3
11
要求：学生板演，老师讲评.
课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式，但是在应用时，应注意定理的适用条件. 课后作业：习题6.2 1，2，3，4
板书设计：
第二课时
教学目标：
1．进一步掌握均值不等式定理；
2．会应用此定理求某些函数的最值；
3．能够解决一些简单的实际问题.
教学重点：均值不等式定理的应用
教学难点：
解题中的转化技巧
教学方法：启发式
教学过程：
一、复习回顾
上一节，我们一起学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，首先我们来回顾一下定理内容及其适用条件.
（学生回答）
利用这一定理，可以证明一些不等式，也可求解某些函数的最值，这一节，我们来继续这方面的训练.
二、讲授新课
例2 已知都是正数，求证：
分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.
证明：由都是正数，得
即
例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为3m，如果池底每的造价为150元，池壁每的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.
解：设水池底面一边的长度为x m，水池的总造价为l元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.
为了进一步熟悉均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用，我们来进行课堂练习.
三、课堂练习
练习1，4
课本P
11
要求：学生板演，老师讲评.
课堂小结：
通过本节学习，要求大家进一步掌握利用均值不等式定理证明不等式及求函数的最值，并认识到它在实际问题中的应用.
课后作业：
习题6.2 5,6,7
以下无正文
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.。