《超几何分布与二项分布型概率题》参考答案
二项分布超几何分布正态分布总结归纳及练习
专题：超几何分布与二项分布● 假定某批产品共有100个，其中有5个次品，采用不放回和放回抽样方式从中取出10件产品，那么次品数X 的概率分布如何？一、先考虑不放回抽样：从100件产品中随机取10件有C 10100种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有C 25C 895种基本事件，根据古典概型，得P (X = 2) = C 25C 895C 10100则称X 服从超几何分布类似地，可以求得X 取其它值时对应的随机事件的概率，从而得到次品数X 的分布列X 0 12345P C 05C 595C 10100C 15C 495C 10100C 25C 395C 10100C 35C 295C 10100C 45C 195C 10100C 55C 095C 10100二、再考虑放回抽样：从100件产品中有放回抽取10次，有10010种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有C 210·52·958种基本事件，根据古典概型，得P (X = 2) = C 210·52·95810010= C 210(5100)2(95100)8． 一般地，若随机变量X 的分布列为P (X = k ) = C k n p k qnk，其中0 < p < 1，p + q = 1，k = 0，1，2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布记作X ～B (n ，p )。
例1： 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴； 12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为22，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C PY C ===．因此，Y 的分布列为某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．超几何分布和二项分布都是离散型分布 超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布超几何分布与二项分布练习：1．一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列． 2、.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布；(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．3、已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X 的分布列; (Ⅱ)求X 的数学期望E (X ).4、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值;(Ⅱ)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E ξ.5、有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.6、一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望。
高中数学选择性必修三 专题33 二项分布与超几何分布(含答案)
专题33 二项分布与超几何分布一、单选题1．（2020·山西应县一中高二期中（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为()A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C【解析】对于选项A，概率为133741012C CC=.对于选项B，概率为4741016CC=.对于选项C，概率为2237410310C CC=.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.2．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于（）A．715B．815C．1415D．1【答案】C【解析】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝27210715CC=，P(X＝1)＝1173210715C CC=⋅，P(X＝2)＝23210115CC=，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝7714 151515 +=故选C3．（2020·江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ） A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村【答案】B 【解析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==， 所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B4．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（理））在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A ．542B ．435C ．1942D ．821【答案】A 【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。
高中试卷-7.4 二项分布与超几何分布(精练)(含答案)
7.4 二项分布与超几何分布（精练）【题组一 二项分布】1．（2021·北京房山区·高二期末）已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（ ）A ．2764B ．964C ．364D ．34【答案】B【解析】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为14所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C æöæö=´´=ç÷ç÷èøèø故选：B 2．（2020·北京高二期末）已知随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）A ．4n =，12p =B ．6n =，13p =C ．8n =，14p =D ．10n =，15p =【答案】D【解析】随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =，故选：D.3．（2020·山西晋中市）某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.A ．60，24B ．80，120C ．80，24D ．60，120【答案】D【解析】设该同学20次罚篮，命中次数为X ，则320,5X B æöç÷èø:，所以()320125E X =´=，()3324201555D X æö=´´-=ç÷èø，所以该同学得分5X 的期望为()551260E X =´=，方差为()224551205D X =´=.故选：D4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为X ，已知()3E X =，则m 等于（ ）A ．2B ．1C ．3D ．5【答案】C【解析】根据题意可得出63()()(33kk m k m P X k C m m-==++ ，即3(6,)3X B m ~+ 所以()36333E X m m=´=Þ=+故选C 5.（多选）（2020·全国高二单元测试）若随机变量ξ～B 1(5,)3，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】依题意5512()33kkk P k C x -æöæö==ç÷ç÷èøèø，k=0，1，2，3，4，5.可以求得P (ξ=0)=32243，P (ξ=1)=80243，P (ξ=2)=80243，P (ξ=3)=40243，P (ξ=4)=10243，P (ξ=5)=1243.故当k=2或1时，P (ξ=k )最大.故选：AB .．6．（2021·广东东莞）为迎接8月8日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取16名男生参加1500米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶)，如图，若跑步时间不高于5.6秒，则称为“好体能”.（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）要从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好体能”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生(人数众多)任取3人，记X 表示抽到“好体能”学生的人数，求X 的分布列【答案】（1）众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）19140；（3）分布列见解析；【解析】（1）这组数据的众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）设至少有2人是“好体能”的事件为A ，则事件A 包含得基本事件个数为；2134124C C C +g 总的基本事件个数为316C ，213412431619()140C C C P A C +==g （3）X 的可能取值为0，1，2，3，由于该校男生人数众多，故X 近似服从二项分布1(3,)4B 3327(0)()464P x ===，1231327(1)()4464P x C ===g ，223139(2)(4464P x C ===g ，311(3)(464P x ===X 的分布列为：X123P276427649641647．（2021·山东德州市·高三期末）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],,(1.7,1.8]L 这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m 、n 、t 的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X 为抽取学生的身高在(1.4,1.6]的人数求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.25m = ， 1.25n =， 3.5t =；（2）分布列见详解；2.1.【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于1.60米的有18人，所以该校学生身高大于1.60米的频率为180.15120= 记d 为学生身高，则()()31.2 1.3 1.7 1.80.025120p p d d ££=<£== ()()151.3 1.4 1.6 1.70.125120p p d d <£=<£==()()()11.4 1.5 1.5 1.6120.02520.1250.352p p d d <£=<£=-´-´=所以0.0250.250.1m == ，0.125 1.250.1n ==，0.353.50.1t ==；（2）由（1）知学生身高在[]1.41.6, 的概率20.350.7p =´=随机变量X 服从二项分布()~3,0.7X B 则()()33010.70.027p x C ==´-= ()()213110.70.70.189p x C ==´-´=()()1223210.70.70.441p x C ==´-´=()33330.70.343p x C ==´=所以X 的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.34330.7 2.1EX =´=8．（2020·湖北随州市·高二期末）疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X ，求X 的分布列；（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为110（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.【解析】（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为13，抽到白球的概率为23，依题意，X 的取值可能为90，110，130，150.且30328(90)327P X C æö==×=ç÷èø，1213124(110)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø223122(130)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø，33311(150)327P X C æö==×=ç÷èø其分布列为X 90110130150p8274929127（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为8421()90110130150110279927E X =´+´+´+´=（元），选择方案二时，设摸到红球的次数为Y ，最终可能获得返金券金额为Z 元，由题意可知，1~3,3Y B æöç÷èø，得1()313E Y =´=()(100)100()100E Z E Y E Y ===由()()E X E Z >可知，该顾客应该选择方案一抽奖.【题组二 超几何分布】1．（2020·辽宁沈阳市）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X ，求X 的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【答案】（1）910；（2）13.【解析】（1）取出的3个球中红球的个数为X ，可能取值为：0，1，2，3，所以()37310350120p X C C===， ()2731016331120p X C C C===， ()1731022132120p X C C C===，()3103313120p X C C===．所以X 的数学期望()35632119012312012012012010E X =´+´+´+´=.（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，而()12341310320C C P A C ==，()()21372310217212040C C P A P X C =====，()()3037331013120C C P A P X C ×====，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=．2．（2021·山东德州市）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：员工编号12345678910捐款数额120802155013019530090200225（1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，65.【解析】（1）10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为：1136210182455C C P C ===（2）由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，则随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3()4741035102106C P X C ====，()133********12102C C P X C ====，()2237410623221010C C P X C ====()313741071321020C C P X C ====则X 的分布列为X0123P1612310130()1131601236210305E X =´+´+´+´=；（用超几何分布公式()366105nM E X N ´===计算同样得分）3．（2020·河北省盐山中学高二期末）在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.（1）求a ，b 的值；（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）10a =，3b =.（2）61天（3）见解析【解析】（1）由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的12，所以5+a=15，8+4+b=15，可得10a =，950.（2）依题意可知，一年中每天空气质量指数为优的概率为51306P ==，则一年中空气质量指数为优的天数约为1366616´=.（3）由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4，4541051(0)21042C P X C ====，135510505(1)21021C C P X C ====，225541010010(2)21021C C P X C ====，3551410505(3)21021C C P X C ====，4541051(4)21042C P X C ====，X 的分布列为X1234P142 521 1021521 142故151051()0123424221212142E X =´+´+´+´+´=.4．（2020·延安市第一中学）在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量x 为取得红球的个数.（1）求x 的分布列；（2）求x 的数学期望()E x 和方差()D x .【答案】（1）详见解析（2）6()5E x =，9()25D x =【解析】（1）x 的取值为0,1,2.()0232251010C C P C x ===，()113225631105C C P C x ====，()2032253210C C P C x ===，则x 的分布列为：x012P11035310（2）()1336012105105E x =´+´+´=，2226163639()0125105551025D x æöæöæö=-´+-´+-´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.5．（2020·西藏拉萨市）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数.求X 的分布列和期望．【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，()23E X =【解析】（1）①平均值为()2.50.2 3.50.25 4.50.4 5.50.05 6.50.057.50.051 4.15´+´+´+´+´+´´=②设中位数为x ，则()0.200.250.4040.5x ++-=解得中位数为 4.125x =（2）可知15n =其中超过7万人次的有5天()2010521545301057C C P X C ====()111052155010110521C C P X C ====()02105215102210521C C P X C ====X012P371021221所以()31022012721213E X =´+´+´=6．（2021·福建莆田市）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设x 为取出的4个球中红球的个数，求x 的分布列和数学期望．【答案】（1）715；（2）见解析.【解析】（1）记事件:A 取出的4个球中恰有1个红球，事件1:A 取出的4个球中唯一的红球取自于甲盒，事件2:A 取出的4个球中唯一的红球取自于乙盒，则12A A A =U ，且事件1A 与2A 互斥，由互斥事件的概率公式可得()()()1221134324122246715C C C C C P A P A P A C C +=+==，因此，取出的4个球中恰有1个红球的概率为715；（2）由题意知随机变量x 的可能取值为0、1、2、3，()22342246105C C P C C x ===，()7115P x ==，()111223243222463210C C C C C P C C x +===，()123222461330C C P C C x ===.所以，随机变量x 的分布列如下表所示：x123P15715310130因此，随机变量x 的数学期望为17317012351510306E x =´+´+´+´=.7．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题．(1)求甲选手能晋级的概率；(2)若乙选手每题能答对的概率都是34，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平．【答案】（1）45；（2）乙选手比甲选手的答题水平高【解析】解法一：（1）记“甲选手答对i 道题”为事件i A ，1,2,3i =，“甲选手能晋级”为事件A ，则23A A A =U ．()()()()2134242323336645C C C P A P A A P A P A C C =È=+=+=；（2）设乙选手答对的题目数量为X ，则3~3,4X B æöç÷èø，故()39344E X =´=，设甲选手答对的数量为Y ，则Y 的可能取值为1,2,3，()124236115C C P Y C ===，()214236325C C P Y C ===，()3436135C P Y C ===，故随机变量Y 的分布列为Y123P153515所以，()1311232555E Y =´+´+´=，则()()E X E Y >，所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件A ，则()124236141155C C P A C =-=-=；（2）同解法二．8．（2020·全国高二课时练习）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A 、B 、C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．（1）求3个人来自两个不同专业的概率；（2）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列．【答案】（1）79120（2）见解析【解析】()1令事件A 表示“3个来自于两个不同专业”，1A 表示“3个人来自于同一个专业”，2A 表示“3个人来自于三个不同专业”，()3335131011120C C P A C +==，()111235231030120C C C P A C ==，3\个人来自两个不同专业的概率：()()()1211307911120120120P A P A P A =--=--=．()2随机变量X 有取值为0，1，2，3，()0337310350120C C P X C ===，()1237310631120C C P X C ===，()2137310212120C C P X C ===，()307331013120C C P X C ===，X \的分布列为：X123P3512063120211201120【题组三 二项分布与超几何分布综合运用】1．（2020·甘肃省会宁县第四中学） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（1）在这15天的 2.5PM 日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记x 表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求x 的分布列及数学期望；（3）以这15天的 2.5PM 日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.【答案】（1）45；（2）分布列见解析，45；（3）219.【解析】（1）由茎叶图可得中位数是45.（2）依据条件，x 服从超几何分布：其中15N =，6M =，2n =，x 的可能值为0,1,2，()026921512035C C P C x ===，()116921518135C C P C x ===，()2069215512357C C P C x ====，所以x 的分布列为：x012P1235183517()121814012353575E x =´+´+´=.（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P =，一年中空气质量达到一级或二级的天数为h ，则3365,5B h æöç÷èø:，33652195E h =´=，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.2．（2020·山东高二期末）1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日.中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.（1）求A 恰好答对两个问题的概率；（2）求B 恰好答对两个问题的概率；（3）设A 答对题数为X ，B 答对题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】(1)35 ;(2)49；(3)选择A .【解析】(1) A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=；(2) B 恰好答对两个问题的概率为223214339C æö´=ç÷èø；(3) X 所有可能的取值为1,2,3. ()124236C C 11C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，所以131()1232555E X =´+´+´=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-´+-´+-´=；而23,3Y B æö-ç÷èø，2()323E Y =´=，212()3333D Y =´´=，所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定.所以选择投票给学生A .3．（2021·湖南高二期末）一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分.（1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）拿4次所得分数x 的分布列和数学期望()E x 【答案】（1）34；（2）分布列见解析；期望为2.【解析】(1)一次拿到奇数的概率3162P ==，所以拿2次得分为0分的概率为2021124C æö=ç÷èø所以拿2次得分不小于1分的概率为2211311244C æö-=-=ç÷èø（2）x 可以取值：0，1，2，3，4所以()404121601C P x æö=ç÷èø==()13141112124C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()22241132228C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()31341112324C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()404411122164P C x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==分布列x01234P116143814116满足二项分布概率1~42B x æöç÷èø，1()=4=22E x \´4．（2020·武汉外国语学校高二期中）为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记x 表示成绩优良的人数，求x 的分布列及数学期望；（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到k 人的成绩是优良的可能性最大，求k 的值．【答案】（Ⅰ）分布列见解析；()2E x =；（Ⅱ）7k =.【解析】（Ⅰ）由题意12人中有8人体质优良，x 可能的取值为0，1，2，3，()343121055C P C x ===，()128431212155C C P C x ×===，()218431228255C C P C x ×===，()3831214355C P C x ===，所以x 的分布列为：x0123P155125528551455数学期望()1122814 01232 55555555E x=´+´+´+´=；（Ⅱ）由题意可知，抽取的10人中，成绩是优良的人数210,3X Bæöç÷èø∼，所以()10 102133k k kP X k C-æöæö==××ç÷ç÷èøèø，0,1,210k=×××，令()()10110111010101101110102121333321213333k k k kk kk k k kk kC CC C------+-++ìæöæöæöæö×׳××ïç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøíïæöæöæöæö×׳××ç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøî，解得192233k££，又kÎN，所以7k=，所以当7k=时，抽到k人的成绩是优良的可能性最大.。
考点36 超几何分布与二项分布(练习)(解析版)
考点36 超几何分布与二项分布【题组一 超几何分布】1．某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：（1）若所抽调的50名市民中，收入在[35,45)的有15名，求a ，b ，c 的值，并完成频率分布直方图．（2）若从收入（单位：百元）在[55,65)的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有X 人赞成“楼市限购令”，求X 的分布列与数学期望．（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果． 【答案】（1）0.2,0.3,10a b c ===，频率分布直方图见解析；（2）分布列见解析，()45E X =；（3）来自[)65,75的可能性最大．【解析】（1）由频率分布表得：0.10.20.10.11a b +++++=，即0.5a b +=． 收入在[)35,45的有15名，150.350b ∴==，0.2a ∴=，0.25010c ∴=⨯=，则频率分布直方图如下：（2）收入在[)55,65中赞成人数为2，不赞成人数为3， X ∴可能取值为0,1,2，则()23253010C P X C ===；()113225315C C P X C ===；()22251210C P X C ===， X ∴的分布列为：()4012105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=． （3）来自[)65,75的可能性更大．2．某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队.往年的智慧对和理想队的构成数据如下表所示，现要求选出的4名大学生中两队中的大学生都要有.（1）求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；（2）记选出的4名大学生中女生的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】(1)2968;(2)见解析. 【解析】（1）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是：12223144444416361668C C C C C C ++=++=（种）选出的4名大学生仅有1名女生的选法有：从智慧队中选取1女生的选法共有12213232369C C C C +=+=（种）从理想队中选取1女生的选法共有103112121223223223212620C C C C C C C C C ++=++=（种）或者用排除法：1335129C C -=（种）所以，选出的4名大学生仅有1名女生的概率为920296868+= （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3则()221323233250686868C C C C P X ++====， ()2112132323253620291686868C C C C C C P X ++++====， ()225313101292686868C C P X -⨯-====， ()15536868C P X ===， 所以随机变量X 的分布列为5292951023012368686868682EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. 3．某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A B 、两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B 队的平均分比A 队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．（1）根据茎叶图中的数据，求出A 队第六位选手的成绩；（2）主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，求至少有一个为“晋级”的概率；（3）主持人从A B 、两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列．【答案】（1）20；（2）35；（3）答案见解析. 【解析】（1）B 队选手的平均分为111221252736226+++++=，设A 队第6位选手的成绩为x ， 则911132431186x+++++=，得20x（2）A 队中成绩不少于21分的有2个，从中抽取2个至少有一个为“晋级”的对立事件为两人都没有“晋级”，则概率2426135C P C -== （3）ξ的可能取值有0，1，2，3，4，()2242226660225C C P C C ξ===()1122112424422266561225C C C C C C P C C ξ+=== ()111122222442224422661012225C C C C C C C C P C C ξ++=== ()1111122422442266563225C C C C C C P C C ξ+=== ()1224226664225C C P C C ξ===∴ξ的分布列为【题组二 二项分布】1．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为34，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为Y ，求Y 的分布列及数学期望和方差.【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，()15E Y =，75()4D Y =. 【解析】（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，∴甲通过自主招生初试的概率314626144881114C C C P C C =+= 参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为34， ∴乙通过自主招生初试的概率43324313189()444256P C ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 1118914256>，∴甲通过自主招生初试的可能性更大. （2）根据题意，乙答对题的个数X 的可能取值为0，1，2，3，4.~X B 34,4⎛⎫ ⎪⎝⎭()4431()0,1,2,3,444k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且5Y X =∴Y 的概率分布列为：()554154E Y np ∴==⨯⨯= ()25(1)254444D Y np p =-=⨯⨯⨯=.2．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的9COVID -病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.（1）求一个接种周期内出现抗体次数K 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①825元；②选择方案二.【解析】（1）由题意可知，随机变量K 服从二项分布13,2KB ⎛⎫⎪⎝⎭， 故()331122kkk P K k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0,1,2,3k =）则X 的分布列为（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，因为()12004P ξ==，()33004P ξ==，所以()1320030027544E ξ=⨯+⨯=. 所以三个接种周期的平均花费为()()33275825E X E ξ==⨯=. ②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，()311882P A =+=. 所以()()13002P Y P A ===， ()()()160014P Y P A P A ==-⨯=⎡⎤⎣⎦， ()()()19001114P Y P A P A ==-⨯-⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以()111300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯= 因为()()E X E Y >. 所以选择方案二.3．某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为12,p p .（1）若123p =，212p =，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；（2）若1243p p +=则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时12,p p 的值.【答案】（1）49（2）理论上至少要进行27轮游戏.2123p p == 【解析】（1）由题可知,所以可能的情况有①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次.故所求概率12212222222221112211221143322332233229P C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为()()()122221222222211222122221221212121()()1()()23()()P C p p C p C p C p p C p C p p p p p p p =-+-+=+-因为1243p p +=,所以22121283()()3P p p p p =- 因为101p ≤≤,201p ≤≤,1243p p +=,所以1113p ≤≤,2113p ≤≤,又21212429p p p p +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭所以121499p p <≤,令12t p p =,以1499t <≤,则()2833P h t t t ==-+ 当49t =时,max 1627P =,他们小组在n 轮游戏中获“优秀小组”次数ξ满足()~,B n p ξ由max ()16np =,则27n =,所以理论上至少要进行27轮游戏.此时1243p p +=,1249p p =,2123p p == 4．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.（1）求一个接种周期内出现抗体次数k 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元.比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【答案】（1）分布列答案见解析.（2）()()E X E Y >【解析】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22k kk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则k 的分布列为（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，因为1(200)4P ξ==，3(300)4P ξ==， 所以13()20030027544E ξ=⨯+⨯=. 所以三个接种周期的平均花费为()3()3275825E X E ξ==⨯=.②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，311()882P A =+=.所以1(300)()2P Y P A ===， 1(600)[1()]()4P Y P A P A ==-⨯=， 1(900)[1()][1()]14P Y P A P A ==-⨯-⨯=， 所以111()300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯=. 所以()()E X E Y >.【题组三 超几何分布与二项分布综合运用】1．全国中小学生的体质健康调研最新数据表明我国小学生近视眼发病率为22.78%，初中生为55.22%，高中生为70.34%．影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素．学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视．除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因．为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），如图：（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率．若从该地区学生（人数较多）中任选3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）众数为4.6和4.7，中位数为4.75（2）①19140②见解析，3()4E X =【解析】（1）由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.7 4.8 4.752+=． （2）①设事件i A ，表示“所选3名学生中有i 名是‘好视力’”(0,1,2,3)i =，设事件A 表示“至少有2名学生是好视力”．则()()213112423331616()C C C P A P A P A C C =+=+19140=②因为这16名学生中是“好视力”的频率为14，所以该地区学生中是“好视力”的概率为14．由于该地区学生人数较多，故X 近似服从二项分布13,4B ⎛⎫⎪⎝⎭．3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 2131327(1)4464P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223139(2)4464P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为X 的数学期望为13()344E X =⨯=．。
超几何分布与二项分布概率答案
1、北京海淀一模某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品,其中6件是一等品,4件是二等品.Ⅰ 随机选取1件产品,求能够通过检测的概率；Ⅱ 随机选取3件产品,其中一等品的件数记为X ,求X 的分布列； Ⅲ 随机选取3件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.解析Ⅰ设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分Ⅱ 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分故X 的分布列为……………9分Ⅲ设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以,3111()()303810P B =⋅=. ……………13分2、深圳一模第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者;将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图单位:cm ：若身高在175cm 以上包括175cm 定义为“高个子”,身高在175cm 以下不包括175cm 定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.Ⅰ如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人, 再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少123Ⅱ若从所有“高个子”中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中能担 任“礼仪小姐”的人数,试写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.解析Ⅰ根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人,…………1分用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是61305=, ………………2分 所以选中的“高个子”有26112=⨯人,“非高个子”有36118=⨯人． (3)分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”,则()P A =-12523C C 1071031=-=．……5分 因此,至少有一人是“高个子”的概率是107．…6分Ⅱ依题意,ξ的取值为0,1,2,3． ………………7分 5514C C )0(31238===ξP , 5528C C C )1(3122814===ξP ,5512C C C )2(3121824===ξP , 551C C )3(31234===ξP ． …………………9分因此,ξ的分布列如下：分15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ． …………12分 3、广州二模某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.3人.,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25.Ⅰ试确定a 、b 的值；Ⅱ从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.解析Ⅰ由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10)a +人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ,则102()405a P A +==,解得6a =,从而40(32)40382b a =-+=-=. Ⅱ由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为32416k k C C -,所以从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为32416340()k k C C P k C ξ-==(0,1,2,3)k =.ξ的可能取值为0、1、2、3. 因为03241634014(0)247C C P C ξ===,12241634072(1)247C C P C ξ===,212416340552(2)1235C C P C ξ===,302416340253(3)1235C C P C ξ===,所以ξ的分布列为46个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23．Ⅰ记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ,求X 的分布列及数学期望； Ⅱ求教师甲在一场比赛中获奖的概率；Ⅲ已知教师乙在某场比赛中,6个球中恰好投进了4个球,求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗解析ⅠX 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知X ~B 6,23.6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =所以X所以(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=4729=.频率组距 20 25 3频率组距或因为X ~B 6,23,所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4． Ⅱ设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ,则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81Ⅲ设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ,则2444662()5A A P B A ==.此处为244625C C =会更好因为样本空间基于:已知6个球中恰好投进了4个球即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25.显然2323258081=≠,所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．5、北京石景山一模为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示． Ⅰ频率分布表中的①、②位置应填什么数据并在答题卡中补全频率分布直方图如图,再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035，）岁的人数； Ⅱ在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．解析Ⅰ①处填20,②处填35.0；补全频率分布直方图如图所示. 500名志愿者中年龄在[)35,30 的人数为 0.35500175⨯=人．…6分 Ⅱ用分层抽样的方法,从中选取20人, 则其中“年龄低于30岁”的有5人,“年龄不低于30岁”的有15人． …………7分 故X 的可能取值为0,1,2；21522021(0)38C P X C ===,1115522015(1)38C C P X C ===,252202(2)38C P X C ===,……11分 所以分组 单位：岁 频数 频率①②合计B 1B 2∴ 0123838382EX =⨯+⨯+⨯=． …………13分 6、北京朝阳二模为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16,第二轮检测不合格的概率为110,两轮检测是否合格相互没有影响. Ⅰ求该产品不能销售的概率；Ⅱ如果产品可以销售,则每件产品可获利40元；如果产品不能销售,则每件产品亏损80元即获利-80元.已知一箱中有产品4件,记一箱产品获利X 元,求X 的分布列,并求出均值EX .解析Ⅰ记“该产品不能销售”为事件A ,则111()1(1(1)6104P A =--⨯-=. 所以,该产品不能销售的概率为14. ……………………………………4分 Ⅱ由已知,可知X 的取值为320,200,80,40,160---. ………………………5分411(320)(4256P X =-==, 134133(200)(4464P X C =-=⋅⋅=, 22241327(80)(()44128P X C =-=⋅⋅=,3341327(40)()4464P X C ==⋅⋅=, 4381(160)(4256P X ===. ……………………………………10分所以X…11分 EX 1127278132020080401602566412864256=-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯40=,故均值EX 为40.……12分7、北京丰台二模张先生家住H 小区,他在C 科技园区工作,从家开车到公司上班有L 1,L 2两条路线如图,L 1路线上有A 1,A 2,A 3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1,B 2两个路口,33Ⅰ若走L 1路线,求最多．．遇到1次红灯的概率； Ⅱ若走L 2路线,求遇到红灯次数X 的数学期望；Ⅲ按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生 从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由． 解析Ⅰ设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件,则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=．…4分所以走L 1路线,最多遇到1次红灯的概率为12． Ⅱ依题意,X 的可能取值为0,1,2． …………5分331(=0)=(1)(1)4510P X -⨯-=,33339(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=,339(=2)=4520P X ⨯=．…8分01210202020EX =⨯+⨯+⨯=．………………10分Ⅲ设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ,随机变量Y 服从二项分布,1(3,)2Y B ,所以13322EY =⨯=．……12分 因为EX EY <,所以选择L 2路线上班最好．……14分8、北京海淀二模某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客,假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的. Ⅰ 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；Ⅱ 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数,求X 的分布列和数学期望.解析Ⅰ设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A ,……………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13, ……………………………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭ .……………………………6分 Ⅱ X 的可能取值为0,1,2,3,4, ………………………7分由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13,且每个人下电梯互不影响,所以1(4,)3X B .…9分………………………………11分14()433E X =⨯=.………………………13分9、福建福州3月质检“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏,其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时,不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的． Ⅰ求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率； Ⅱ若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ,求X 的分布列及其期望．解析Ⅰ玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：石头,石头；石头,剪刀；石头,布；剪刀,石头；剪刀,剪刀；剪刀,布；布,石头；布,剪刀；布,布．共有9个基本事件,--------------------3分玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：石头,剪刀；剪刀,布；布,石头,共有3个．所以,在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率3193P ==．--------------------6分 ⅡX 的可能取值分别为0,1,2,3．()303280327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭,()1213121213327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()212312623327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,()333113327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．--------------------10分X0123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=或：~(3,)3X B ,1313EX np ==⨯=．-----13分10、湖北黄冈3月质检某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为123p =,乙的命中率为2p ,在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”；Ⅰ若212p =,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；Ⅱ计划在2011年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ,如果5E ξ≥,求2p 的取值范围.解析Ⅰ1122211122111()()()()332233223P C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=---------6分Ⅱ该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率 而(12,)B P ξ,所以12E P ξ=,由5E ξ≥知2228412()599p p -≥,解得2314p ≤≤.-------12分 11、湖北部分重点中学第二次联考一射击测试每人射击三次,每击中目标一次记10分;没有击中记0分,某人每次击中目标的概率为2.3Ⅰ求此人得20分的概率； Ⅱ求此人得分的数学期望与方差; 解析Ⅰ此人得20分的概率为9431)32(223=⨯=C p ……4分Ⅱ记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分,则η～)32,3(B ,ξ=10η…6分∴2032310)(10)(=⨯⨯==ηξE E ……9分320031323100)(100)(=⨯⨯⨯==ηξD D ……12分 12、2011江西八校4月联考设不等式224x y +≤确定的平面区域为U ,1x y +≤确定的平面区域为V ．Ⅰ定义横、纵坐标为整数的点为“整点”,在区域U 内任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；Ⅱ在区域U 内任取3个点,记这3个点在区域V 的个数为X ,求X 的分布列和数学期望．解析Ⅰ依题可知平面区域U 的整点为()()()()()()0,0,0,1,0,2,1,0,2,0,1,1±±±±±±共有13个,平面区域V 的整点为()()()0,0,0,1,1,0±±共有5个, ∴2158313.40143C C P C == Ⅱ依题可得：平面区域U 的面积为224ππ⋅=,平面区域V 的面积为：12222⨯⨯=,在区域U 内任取1个点,则该点在区域V 内的概率为2142ππ=, 易知：X 的可能取值为0123，，，,且 ()()320312013333213211111(0)1(1)1228228P X C P X C ππππππππ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-===⋅⋅-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ,∴X123∴X 的数学期望：()()()32333321321321130123=88882EX ππππππππ---=⨯+⨯+⨯+⨯……12分或者： 1~(3,)2X B π,故13=322EX np ππ=⨯=13、山东淄博二模 A 、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验;每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A ,另2只服用B ,然后观察疗效;若在一个试验组中,服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多,就称该试验组为甲类组;设每只小白鼠服用A 有效的概率为32,服用B 有效的概率为21.Ⅰ求一个试验组为甲类组的概率；Ⅱ观察3个试验组,用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数,求ξ的分布列和数学期望;解析Ⅰ设i A 表示事件“一个试验组中,服用A 有效的小白鼠有i 只”,i=0,1,2； i B 表示事件“一个试验组中,服用B 有效的小白鼠有i 只”,i=0,1,2依题意有1124()2339P A =⨯⨯=,2224()339P A =⨯=,0111()224P B =⨯=,1111()2222P B =⨯⨯=,所求的概率为0102121414144()()()4949299P P B A P B A P B A =++=⨯+⨯+⨯=Ⅱ的可能取值为0,1,2,3,且 ~ B3,错误!, 3345()()(),0,1,2,399k k k P k C k ξ-===∴ 的分布列为`0123所以数学期望44393E ξ=⨯=.14、温州一模盒子中装有大小相同的10只小球,其中2只红球,4只黑球,4只白球．规定：一次摸出3只球,如果这3只球是同色的,就奖励10元,否则罚款2元．Ⅰ若某人摸一次球,求他获奖励的概率；Ⅱ若有10人参加摸球游戏,每人摸一次,摸后放回,记随机变量ξ为获奖励的人数,i 求(1)P ξ> ii 求这10人所得钱数的期望．结果用分数表示,参考数据：10141152⎛⎫≈ ⎪⎝⎭解析Ⅰ3421021=15C p C =Ⅱi 由题意知110,)15B ξ（,则101910141141(1)1(0)(1)1()()1515157P P P C ξξξ>=-=-==--⨯⨯=ii 设η为在一局中的输赢,则114610215155E η=⨯-⨯=-,所以6(10)1010()125E E ηη==⨯-=-,即这10人所得钱数的期望为12-.15、2011天津高考学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.每次游戏结束后将球放回原箱 Ⅰ求在1次游戏中：①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率； Ⅱ求在2次游戏中获奖次数X 的分布列与数学期望.解析Ⅰ①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3)i A i =,则2132322531()5C C P A C C =⋅=.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ,则23B A A =,又22111322222222253531()2C C C C C P A C C C C =⋅+⋅=,且2A 、3A 互斥,所以23117()()()2510P B P A P A =+=+=. Ⅱ法1：由题意可知X 的所有可能取值为0、1、2.279(0)(1)10100P X ==-=；127721(1)(1)101050P X C ==-=；2749(2)()10100P X ===.X 的数学期望012100501005EX =⨯+⨯+⨯=. 法2：因为7(2,)10XB ,得X 的分布列同上,X 的数学期望772105EX =⨯=.16、全国高考根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为,设各车主购买保险相互独立. Ⅰ求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率； ⅡX 表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X 的期望. 解析记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.Ⅰ()0.5P A =,()0.3P B =.因为C A B =,且A 、B 互斥,所以()()()0.8P C P A P B =+=. Ⅱ因为D C =,所以()1()10.80.2P D P C =-=-=.而~(100,0.2)X B ,即X 服从二项分布,所以X的期望为1000.220EX=⨯=.。
专题02 二项分布与超几何分布(解析版)
概率与统计专题02 二项分布与超几何分布常见考点考点一 二项分布典例1．溺水､校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两个中学代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为23，乙队3人回答正确的概率分别为12，23，34，且两队各人回答问题正确与否互不影响. (1)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率； (2)求甲队总得分X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)19；(2)分布列见解析，()2E X =. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；（2）由题意有{0,1,2,3}X =，利用二项分布概率公式求各可能值对应的概率，进而写出分布列，再根据分布列求期望即可. (1)由题设，甲队得2分，即2人答对1人答错，概率为2213224()(1)339P C =-=， 乙队得1分，即1人答对2人答错，概率为211112111312342342344P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率1219P P P =⨯=. (2)由题设，{0,1,2,3}X =，且3033211(0)()()3327P X C ===，2123212(1)()()339P X C ===，1213214(2)()()339P X C ===，0303218(3)()()3327P X C ===，甲队总得分X的分布列如下：所以1248 ()01232279927E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.变式1-1．党的十九届五中全会强调“创新”在我国现代化建设中的重要战略地位，确保发展经济着力点放在实体经济上，为促进经济活力，拉动市场经济快速发展，必须大力推进大众创业、万众创新．某几位大学毕业生自主创业创办了一家服务公司，该公司提供A、B两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A产品的概率为23，购买B产品的概率为13，而前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为14，购买B产品的概率为34，前一次购买B产品的人下一次来购买A产品的概率为12，购买B产品的概率也是12，如此往复．记某人第n次来购买A产品的概率为n P．(1)求2P；(2)记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，3人是否购买A产品相互独立，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1)21 3P=(2)分布列见解析，数学期望为1【解析】【分析】（1）根据概率公式求出2P；（2）根据二项分布的概率公式求得X的各种取值所对应的概率，再计算出期望即可.(1)某人第2次来购买A产品的概率为2P,即221111 34323P=⨯+⨯=；(2)由题意得13,3X B⎛⎫⎪⎝⎭，其中X的可能取值有3，2，1，0，故()3333312C 731323P X -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===，()323221222C 339P X -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()313111241C 339P X -⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()003031280C 3327P X -⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故X 的分布列为X 的数学期望为()124832101279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 变式1-2．某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格:(1)每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元，根据以上100名消费者的购机情况，求该商场销售一部该款手机的平均利润；(2)该商场某天共销售了4部该款手机，每销售一部该款手机的型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为X ，将样本频率视为概率，求X 的概率分布列及期望. 【答案】(1)475(2)分布列见解析，1EX = 【解析】 【分析】（1）根据给定频数表直接计算平均数作答.（2）由题意，X 服从二项分布，即1~(4,)4X B ，根据二项分布的概率公式和期望公式即得解 (1) 依题意，25600404001550020450475100x ⨯+⨯+⨯+⨯==，所以该商场销售一部手机的平均利润为475元.(2)该商场每销售一部手机，该手机为甲配置型号手机的概率为2511004=， 由题意，甲配置型号手机售出的数量为X 服从二项分布，即1~(4,)4X B ， 则X 所有可能取值为0,1,2,3,4，4413()()()(0,1,2,3,4)44k k kP X k C k -===，故X 的分布列为：由二项分布的期望公式：1414EX np ==⨯=.变式1-3．某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲､乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲､乙档学生做对每道题的概率分别为p ，58p ，现从甲､乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合.(1)现从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为()f p ，求出()f p 的最大值点0p ； (2)若以0p 作为p 的值，①求每一个互助组合做对题的概率；②现选取n 个组合，记做对题的组数为随机变量X ，当90X =时，()P X 取得最大值，求相应的n 和()E X .【答案】(1)045p = (2)①0.9；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题可知()()()4445151f p C p p p p =-=-，然后利用导数可求出函数的最大值点，（2）①记事件A 为一个互助组合做对题，事件B 为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C 为一个互助组合中乙档中的学生做对题，根据题意求出(),()P B P C ，然后利用对立事件的概率公式求解即可，②由题意知随机变量(),0.9X B n ，然后根据题意利用二项分布的概率公式列不等式组可求得结果(1)由题可知()()()4445151f p C p p p p =-=-，()()3545f p p p '=-，令()0f p '=，得45p =，当40,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当4,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在4,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.所以()f p 的最大值点045p = (2)①记事件A 为一个互助组合做对题，事件B 为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C 为一个互助组合中乙档中的学生做对题， 则4()5P B =，()451582P C =⋅=，()()()11110.952P A P B P C =-=-⋅=.②由题意知随机变量(),0.9X B n ，()()0.90.10,1,2,,kk n k nP X k C k n -==⨯⨯=⋅⋅⋅ 因为()90P X =最大，所以9090909191919090908989890.90.10.90.10.90.10.90.1n n n n n n nn C C C C ----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，解得901999n ≤≤， 因为n 是整数，所以99n =或100n =， 当99n =时，()990.989.1E X np ==⨯=； 当100n =时，()1000.990E X np ==⨯=考点二 超几何分布典例2．共享电动车（sharedev ）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为0.4P =，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X 的分布列与数学期望. 【答案】(1)12；(2)分布列见解析，数学期望为65. 【解析】 【分析】（1）先求出两种颜色的电动车各有多少辆，然后根据超几何分布求概率的方法即可求得答案； （2）先确定X 的所有可能取值，进而求出概率并列出分布列，然后根据期望公式求出答案. (1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.记A 为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则()2164310C C 1C 2P A ⨯==. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.所以()3064310C C 10C 6P X ⨯===，()2164310C C 11C 2P X ⨯===， ()()1264310C C 32C 10P X P A ⨯====，()0364310C C 13C 30P X ⨯===. 所以分布列为数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.变式2-1．为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（20212025-）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为(]50,60、(]60,70、(]70,80、(]80,90、(]90,100，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中a 、b 、c 成公比为2的等比数列．(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，用X 表示得分高于90分的人数，求X 的分布列及期望；(2)若学校打算从这20名学生中依次抽取3名学生进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90的概率． 【答案】(1)分布列见解析，期望为1； (2)257. 【解析】 【分析】（1）求出a 的值，分析可知随机变量X 的可能取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进一步可求得随机变量X 的数学期望值；（2）记事件:A 第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内，记事件:B 后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90内，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. (1)解：由题意得2b a =，4c a =，因为10101010101a b c b a ++++=，所以0.01a =． 由分层抽样，抽出的20名学生中得分位于区间(]50,60内有200.12⨯=人， 位于(]60,70内有200.24⨯=人，位于(]70,80内有200.48⨯=人， 位于(]80,90内有200.24⨯=人，位于区间(]90,100学生有200.12⨯=人， 这样，得分位于80分以上的共有6人，其中得分位于(]90,100的有2人，所以X 的可能取值有0、1、2，()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()124236C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为：所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=. (2)解：记事件:A 第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内， 记事件:B 后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90内，则()82205P A ==，()1284320C A 4A 1519P AB ==⨯，由条件概率公式可得()()()4521519257P AB P B A P A ==⨯=⨯. 变式2-2．十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm ，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60%，次品率为6%；第二批占40%，次品率为5%．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查． (1)从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；(2)若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批片数X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.944 (2)分布列见解析，65【解析】 【分析】（1）设事件B = “任取一个芯片是合格品”，事件1A =“产品取自第一批”，事件2A =“产品取自第二批”，则12A A Ω=且1A 、2A 互斥，由全概率公式可得答案；（2）求出X 的可取值和概率可得分布列. (1)设事件B = “任取一个芯片是合格品”，事件1A =“产品取自第一批”， 事件2A =“产品取自第二批”，则12A A Ω=且1A 、2A 互斥；由全概率公式可知：()()()()()1122P B P A P B A P A P B A =+， 所以()()()0.610.060.410.050.944P B =⨯-+-=. (2)由条件可知：第一批芯片数：9，第二批芯片数：6； X 的可取值为0，1，2，3；()393158412045565C P X C ====；()21963152161455C C P X C ===；()129631513527245591C C P X C ====；()36315204345591C P X C ====所以X 的分布列为：所以()12216274601236545591915E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 变式2-3．某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答.假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是23且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成. (1)求甲至少正确完成其中2道题的概率；(2)设随机变量X 表示乙正确完成题目的个数，求X 的分布列及数学期望()E X ；(3)现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由. 【答案】(1)2027(2)分布列见详解；()2E X = (3)乙；理由见详解 【解析】 【分析】（1）结合独立重复试验概率公式即可求解；（2）判断1,2,3X =，结合超几何分布公式求出对应概率，写出分布列，求出期望； （3）比较两人正确完成题目数大于等于2对应概率，即可做出判断. (1)设随机变量η表示甲正确完成题目的个数，则当2η=时，()2232142339P C η⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当3η=时，()333283327P C η⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则甲至少正确完成其中2道题的概率为482092727P =+=；(2)由题可知，1,2,3X =，()()()1221304242423336661311,2,3555C C C C C C P X P X P X C C C ⋅⋅⋅=========，则X的分布列为：()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=；(3)由（1）（2）可知()20227P η≥=，()425P X ≥=，因为420527>，所以乙进入下一轮比赛的可能性较大.考点三 二项分布与超几何分布的区分典例3．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．【答案】（1）12件；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）结合频率分布直方图求解(1)；（2）结合超几何分布及古典概型求X的分布列；（3）先分析Y服从二项分布，再利用公式求解．【详解】（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．（2）重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件∴P(X＝0)＝228240CC＝63130，P(X＝1)＝111228240C CC＝2865，P(X＝2)＝212240CC＝11130，∴X的分布列为（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B3 (2,)10，P(Y＝k)＝223311010k k kC-⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以P(Y＝0)＝22710C⎛⎫⎪⎝⎭＝49100，P(Y＝1)＝123721 101050C⨯=，P(Y＝2)＝2223910100 C⎛⎫=⎪⎝⎭.∴Y的分布列为变式3-1．2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望；(3)转化为百分制后，规定成绩在[90，100]的为A等级，成绩在[70，90)的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为η，记B 等级的人数为k 的概率为()P k η=，写出()P k η=的表达式，并求出当k 为何值时，()P k η=最大？ 【答案】(1)0.012m =，68 (2)分布列见解析，911(3)100100()(0.4)(0.6)kk k P k C η-==，0k =，1，3，⋅⋅⋅，40，40 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1列方程，化简求得m 的值，根据由频率分布直方图计算中位数的方法，计算出中位数.（2）结合超几何分布的知识计算出ξ的分布列和数学期望.（3）根据二项分布的知识求得()P k η=，由此列不等式，解不等式来求得()P k η=的最大值时对应的k 的值. (1)由频率分布直方图的性质可得，(0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=， 解得0.012m =， 设中位数为m ，0.004100.02210(60)0.30.5m ⨯+⨯+-⨯=，解得68m =．(2)[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组频率之比为0.28:0.12:0.047:3:1=，∴从[70，80)，[80，90)，[90，100]中分别抽取7人，3人，1人，ξ所有可能取值为0，1，2，3，3831156(0)165C P C ξ===，218331128(1)55C C P C ξ===，12833118(2)55C C P C ξ===，333111(3)165C P C ξ===，故ξ的分布列为：故5628819)012316555551651(1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． (3)B 等级的概率为(0.0280.012)100.4+⨯=，B 等级为1000.440⨯=，100100()(0.4)(0.6)kk k P k C η-==，0k =，1，3，⋅⋅⋅，40，令1001199100100(0.4)(0.6)(0.4)(0.6)kk k k k k C C -++-≥∴，10011101100100(0.4)(0.6)(0.4)(0.6)k k k k k k C C ----≥∴，由∴可得，0.60.41001k k ≥-+，解得39.4k ≥，由∴可得，0.40.6(101)k k ≥-，解得40.4k ≤，故40k =时，()P k η=取得最大．变式3-2．某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机抽样，获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在(]7,11的学生称为运动达人．（1）从上述抽取的学生中任取2人，设X 为运动达人的人数，求X 的分布列；（2）以频率估计概率，从该校学生中任取2人，设Y 为运动达人的人数，求Y 的分布列． 【答案】（1）分布列见解析；（2）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）题目考查超几何分布，任取2人中，运动达人的人数可能为0，1，2，分别求概率即可 （2）题目考查二项分布，每个人是否是运动达人的概率是不变的，从而可求分布列 【详解】解：（1）X 的可能取值为0，1，2，()2822014095C P X C ===，()1181222048195C C P X C ⋅===，()21222033295C P X C ===，X ∴的分布列为：（2）由表中数据可得，抽到运动达人的频率为35，将频率视为概率，则随机变3~2,5Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，()202240525P Y C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()12231215525P Y C ==⨯⨯=，()222392525P Y C ⎛⎫===⎪⎝⎭， Y ∴的分布列为：变式3-3．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X ，求X 的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y ，求Y 的分布列． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 【解析】 【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数13,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列．（2）不放回抽样时，取到的黑球个数()~10,3,2Y H ，可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得Y 的分布列． (1)解：若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为21825=+． 而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此13,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭，所以 03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此X 的分布列为：(2)解：若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，但1次抽取了3个，因此黑球数Y 服从参数为10，3，2的超几何分布，即()~10,3,2Y H ，因此03283107(0)15C C P Y C ===，12283107(1)15C C P Y C ===，21283101(2)15C C P Y C ===．因此，Y 的分布列为：巩固练习练习一 二项分布1．电子科技公司研制无人机，每架无人机组装后每周要进行1次试飞试验，共进行3次.每次试飞后，科研人员要检验其有否不良表现.若在这3次试飞中，有不良表现不超过1次，则该架无人机得6分，否则得2分.假设每架无人机3次检验中，每次是否有不良表现相互独立，且每次有不良表现的概率均为12.(1)求某架无人机在3次试飞后有不良表现的次数X 的分布列和方差；(2)若参与试验的该型无人机有m 架，在3次试飞试验中获得的总分不低于4m 分，即可认为该型无人机通过安全认证.现有6架无人机参与试飞试验，求该型无人机通过安全认证的概率是多少？ 【答案】(1)分布列见解析，()34D X = (2)2132【解析】 【分析】（1）由题意得X 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入公式，分别求得(0),(1),(2),(3)P X P X P X P X ====，写出分布列，代入公式，即可求得方差.（2）由题意得获得6分的架数可取3、4、5、6，先求得该型无人机获得6分的概率，再求得通过安全认证的概率，即可得答案. (1) 由题意得13,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()03031110228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2131312812P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⋅⋅，()2231322182P X C ⎛⎫== ⋅=⎪⎭⋅⎝，()3331113228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()1133224D X =⨯⨯=； (2)当6m =时，424.m =设该型6架无人机获得6分的架数为x ，则获得2分的架数为()6x -， 由题意可得()62641224x x x +-=+≥，解得3x ≥，x ∈N ，则x 的取值有3、4、5、6，记“某架无人机获得6分”为事件A ，则()0321331111122222P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 记“6架无人机参与试飞试验，该型无人机通过安全认证”为事件B ，则()33425634566666111111121222222232P B C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A ，B ，C 三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足，为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A ，B ，C 三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A ，就接种A 种疫苗，以此类推）．若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗．（1）求这四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的概率；（2）记甲，乙，丙，丁四个人中接种A 种疫苗的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）3281；（2）分布列见解析；期望为43．【解析】 【分析】（1）记四个人中恰有一个人接种A 疫苗的事件为M ，则()5141233P M C ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，然后算出答案即可.【详解】（1）记四个人中恰有一个人接种A 疫苗的事件为M ，则()51412323381P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以四个人中恰有一个人接种A 疫苗的概率为3281． （2）由题意可知，X 的取值依次为0，1，2，3，4．且1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()44120,1,2,3,433k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故随机变量X 的分布列为()43E X np ==．3．足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是35.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X 为射进点球的次数，求X 的分布列及数学期望.(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为35，乙队每名球员射进点球的概率为12.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.【答案】(1)分布列见解析，期望为95； (2)2432500. 【解析】 【分析】（1）根据题意3~(3,)5X B ，即可计算分布列及期望；（2）“甲VS 乙：3:0”记为事件1A ， “甲VS 乙：3:1”记为事件2A ，此两互斥事件的和即为所求事件，分别计算两事件的概率，求和即得解. (1)依题意，3~(3,)5X B ，X 的可能取值为：0,1,2,3，3123383336(0)(1);(1)(1)512555125P X P X C ==-===⋅⋅-=；22333354327(2)()(1);(3)()551255125P X C P X ==⋅⋅-====.X 的分布列为：39()355E X ∴=⨯=.(2)记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A .依题意知：在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数比为:“甲VS 乙：3:0”记为事件1A ，或“甲VS 乙：3:1”记为事件2A ，则12A A A =+，且1A 与2A 互斥.依题意有：224133331923181()()(1)(1)355522555165000P A C =-⨯-=⨯⨯⨯⨯=， 312221323343311133311()()(1)(1)()(1)(1)5522255522P A C C C =-⨯-+-⨯- 4444443131812852521000=⨯⨯+⨯⨯=， 12128181243()()()()500010002500A P A A P P P A A ∴=+=+=+=. 4．血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性（即样本携带病毒）的概率均为()01p p <<.现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若13p =，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列；(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p 的取值范围， 【答案】(1)答案见解析(2)01p <<【解析】 【分析】（1）由题意知，1~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的概率计算公式即可求解；（2）方案一中，期望为4；方案二中，设化验次数为Y ，则Y 的所以可能取值为2，4，6，计算出Y 的取值对应的概率，然后根据期望公式求出()E Y ，从而即可求解. (1)解：由题意知，1~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()4411601381P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭；()3141132113381P X C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭； ()22241124821338127P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()334118313381P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()444114381P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列为：(2)解：方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4；方案二中，设化验次数为Y ，则Y 的所以可能取值为2，4，6， 每组两个样本化验呈阴性的概率为()21p -，设()21x p =-，则()22P Y x ==；()()1241P Y C x x ==-；()()261P Y x ==-.所以()()()22122416164E Y x C x x x x =⨯+⨯-+⨯-=-， 若方案二比方案一更“优”，则()644E Y x =-<，解得12x >，即()2112x p =->，解得01p <<所以当01p <<时，方案二比方案一更“优”.练习二 超几何分布5．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X >为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率； (2)从图中考核成绩满足[]70,79X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人中成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； (3)根据以往培训数据，规定当8510.510X P ⎛-⎫≤≥ ⎪⎝⎭时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 【答案】(1)15(2)分布列见解析，()158E Y = (3)有效，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；（2）分析可知变量Y 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量Y 在不同取值下的概率，可得出随机变量Y 的分布列，进一步可求得()E Y 的值； （3）求出满足85110X -≤的成绩有16人，求出85110X P ⎛-⎫≤ ⎪⎝⎭，即可得出结论. (1)解：设该名学生的考核成绩优秀为事件A ，由茎叶图中的数据可知，30名同学中，有6名同学的考核成绩为优秀，故()15P A =. (2)解：由8510X -≤可得7595X ≤≤，所以，考核成绩满足[]70,79X ∈的学生中满足8510X -≤的人数为5， 故随机变量Y 的可能取值有0、1、2、3，()3338C 11C 56P Y ===，()213538C C 151C 56P Y ===，()123538C C 152C 28P Y ===，()3538C 53C 28P Y ===， 所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：因此，()115155150123565628288E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. (3) 解：由85110X -≤可得7595X ≤≤，由茎叶图可知，满足7595X ≤≤的成绩有16个， 所以851610.51030X P ⎛-⎫≤=≥⎪⎝⎭，因此，可认为此次冰雪培训活动有效. 6．某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草､翻地､播种､浇水四个项目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；。
超几何分布与二项分布
最新资料推荐1. （2010 r 东，本小题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作 为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490, 495], （495, 500], (510)515],由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（I ） 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.（II ） 在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数呈:，求丫的分布列.（III ） 从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率.解：（I ）重量超过505克的产品数量是40x （0.05x5+0.01 x5）=40x0.3= 12 件. （II ） Y 的可能取值：0丄2Y 的分布列为Y 0 1 2 P6313056 13011 130（III ）以下的方法①②哪个正确？①利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率是0.3,令§为任取的5件产品中，重量超过505克的产品数邕 则歹~ 8（5,03）, 故所求概率为：P(g = 2) = C ； O.32(l- 0.3)3 = 0.3087②从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率是P(Y = 2)=c ；0" 130二遢颅资料推卷=二=¥=—二28x27x26 12x11。
28。
］2 _ 3x2x1 2x1 _ 21x11 = 231C］（＞ ~ 40x39x38x37x36 一37x19 _ 703'5x4x3x2xl超几何分布与二项分布—、超几何分布一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取“件SWN）,这“件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为山时的概率为P（X = m）= “ j （0W mWl, /为“和M中较小的一个）.5我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超儿何分布，也称X服从参数为N, M, n的超几何分布.在超几何分布中，只要知道N, M和“，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P（X =/n）,从而列出X的分布列.二、二项分布（1）独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及灭，并11事件A发生的概率相同.在相同的条件下，重复地做"次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为"次独立重复试验.“次独立重复试验中，事件A恰好发生R次的概率为= 於（1一卩严仗=0」,2,..・,“）•（2）二项分布若将事件A发生的次数设为X,事件A不发生的概率为q = i，那么在“次独立重复试验中，事件A恰好发生代次的概率是P（X =k） = C； P k q"'k»其中£=0,1, 2,..., 于是得到X的分布列由于表中的第二行恰好是二项展开式S + PY = C：P°g n + C；时+••• + © 如 + • • .C；：内。
二项分布与超几何分布 (人教A版2019)(解析版)
二项分布与超几何分布一、单选题1．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为 A ．925B ．25C ．35D ．34【试题来源】备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用） 【答案】C【分析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，由()()201220161125C p p C p p -+-=可得答案． 【解析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，则()2,X B p ，由题可知()()160125P X P X =+==，即()()201220161125C p p C p p -+-=， 解得35p =．故选C ． 2．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为23，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为A ．2027 B ．89C ．827D ．1318【试题来源】辽宁省名校联盟2020-2021学年高三3月份联合考试 【答案】A【分析】利用二项分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解．【解析】该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，有两天出现大潮概率为223214339C ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，有三天出现大潮概率为33328327C ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以至少有两天出现大潮的概率为482092727+=，故选A ． 3．某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为A ．18 B ．38C ．78D ．89【试题来源】河南省新乡市2021届高三第二次模拟考试 【答案】D【分析】由题意，遇绿灯服从二项分布2(4,)3B ，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率．【解析】4次均不是绿灯的概率为040422113)381(C ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭⋅，3次不是绿灯的概率为31422813381C ⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以至少遇到2次绿灯的概率为188181819--=．故选D ． 4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是 A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．第4次击中目标【试题来源】【新教材精创】导学案（人教B 版高二选择性必修第二册） 【答案】C【分析】根据击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为5ξ=，即可得到答案． 【解析】{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C ． 5．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数等于反面次数的概率为A ．38B ．316 C ．516D ．58【试题来源】湖北省武汉外国语学校2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】利用二项分布的知识求出答案即可．【解析】出现正面的次数等于反面次数的概率为2224113228C ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 6．国庆节期间，小明在4MP 中下载了两首歌曲：《今天是你的生日》和《我和我的祖国》，他选择的是随机播放的形式，每4分钟变化一次，其中出现《今天是你的生日》的概率为13，出现《我和我的祖国》的概率为23．若在前8次播放中出现《今天是你的生日》有5次、出现《我和我的祖国》有3次，则前2次出现《今天是你的生日》，其余6次可任意出现《今天是你的生日》3次的概率为 A ．8803 B ．7803 C ．81603D ．71603【试题来源】2021届新高考同一套题信息原创卷（一） 【答案】C【分析】利用相互独立事件的概率公式和独立重复试验的概率公式求解即可 【解析】由题意得，出现《今天是你的生日》的概率为13，出现《我和我的祖国》的概率为23，所以前两次出现《今天是你的生日》的概率为213⎛⎫ ⎪⎝⎭，其余6次出现《今天是你的生日》3次的概率33361233C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以所求概率为233368811220816033333P C ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．7．十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福．某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物．2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为A．112B．143144C．1172D．23144【试题来源】湖南省长郡十五校2021届高三下学期第二次联考【答案】C【分析】由已知得1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是112，由此可求得选项．【解析】因为1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是1 12，所以2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为1211111C121272P=⨯⨯=，故选C．8．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为．A．34B．3742C．2137D．542【试题来源】湖南省长沙市长郡十五校2019-2020学年高三下学期第二次联考【答案】B【分析】本题首先可以确定所有可能事件的数量为39C，然后确定满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为35C，最后根据“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”即可得出结果．【解析】从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为39C ， 满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为35C ， 因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，所以3539543371198742C P C ⨯⨯=-=-=⨯⨯，故选B ．【名师点睛】本题考查超几何分布的相关概率计算，考查对立事件的灵活应用，考查推理能力，体现了基础性和综合性，是简单题．9．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X <等于A ．715 B ．815 C ．1315D ．1415【试题来源】【新教材精创】基础练 【答案】D【分析】()()()2==1+=0P X P X P X <，然后算出即可．【解析】()()()112377221010142==1+=0=15C C C P X P X P X C C <+=故选D【名师点睛】本题考查的是利用组合数解决超几何分布的问题，较简单．10．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为A ．512625 B ．256625 C ．113625D ．1625【试题来源】2021年高考数学考前信息必刷卷（新高考地区专用） 【答案】A【分析】最多1人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解．【解析】由题得最多1人被感染的概率为041344414256256512()()()555625625C C ++==．故选A【名师点睛】求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量．11．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为1p 和2p ，则A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p >D ．以上三种情况都有可能【试题来源】2021年全国新课改地区高三第三次质量监测 【答案】B 【分析】分别计算1p 和2p ，再比较大小．【解析】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为110，所以至少摸出一个黑球的概率2019110p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．方法二：每箱中的黑球被选中的概率为15，所以至少摸出一个黑球的概率102415p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．10201010124948105105100p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则12p p <．故选B ．【名师点睛】概率计算的不同类型： （1）古典概型、几何概型直接求概率；（2）根据事件间的关系利用概率加法、乘法公式求概率； （3）利用对立事件求概率；（4）判断出特殊的分布列类型，直接套公式求概率．12．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是A ．至少有1个深度贫困村B ．有1个或2个深度贫困村C ．有2个或3个深度贫困村D ．恰有2个深度贫困村【试题来源】【新教材精创】提高练 【答案】B【分析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，则X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==，分别求得概率，再验证选项． 【解析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k k C C P X k C -==，所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===，()()6127P X P X =+==．故选B 【名师点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题． 二、多选题1．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则下列四个选项中，正确的是 A ．他第3次击中目标的概率是0.9 B ．他恰好击中目标3次的概率是0.93⨯0.1 C ．他至少击中目标1次的概率是1-0.14D ．他恰好有连续2次击中目标的概率为3⨯0.93⨯0.1 【试题来源】【新教材精创】基础练 【答案】AC【分析】根据相互独立事件的概念和独立重复试验的概率公式判断．【解析】因为射击一次击中目标的概率是0.9，所以第3次击中目标的概率是0.9，所以A 正确；因为连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以本题是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是34C ⨯0.93⨯0.1，所以B 不正确；因为至少击中目标1次的概率是1-0.14，所以C 正确；因为恰好有连续2次击中目标的概率为3⨯0.92⨯0.12，所以D 不正确．故选AC ． 2．若随机变量1(5,)3B ξ，则P (ξ=k )最大时，k 的值可以为A ．1B ．2C ．4D ．5【试题来源】2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教B 版2019选择性必修第二册） 【答案】AB【分析】根据二项分布的概率公式求出各概率后可得最大值．【解析】依题意5512()33kkk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k=0，1，2，3，4，5．可以求得P (ξ=0)=32243，P (ξ=1)=80243，P (ξ=2)=80243，P (ξ=3)=40243，P (ξ=4)=10243，P (ξ=5)=1243．故当k=2或1时，P (ξ=k )最大．故选AB ．． 3．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才驱动的设备)．已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机的网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，他们之间相互不影响，则 A ．三台设备中至多一台设备能正常工作的概率为0.027 B ．计算机网络不会断掉的概率为0.999 C ．能正常工作的设备数的数学期望为0.27 D ．能正常工作的设备数的方差为0.27【试题来源】江苏省苏州市工业园区苏附2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BD【分析】根据相互独立事件的概率计算公式，可得判定A 不正确，B 正确；根据设备正常工作的个数X 服从二项分布(3,0.9)X B ，结合期望和方差的公式，可判定C 不正确，D正确．【解析】由题意，三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，且相互独立，则至多一台设备能正常工作的概率为()()23130.90.110.90.028C ⨯⨯+-=，所以A 不正确；计算机网络不会断掉的概率为31(10.9)0.999--=，所以B 正确； 根据题意，三台设备正常工作的个数X 服从二项分布(3,0.9)XB ，所以能正常工作的设备数的数学期望为()30.9 2.7E X =⨯=，所以C 不正确； 能正常工作的设备数的方差为()30.9(10.9)0.27D X =⨯⨯-=，所以D 正确；故选BD 4．一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是 A ．取出的最大号码X 服从超几何分布 B ．取出的黑球个数Y 服从超几何分布 C ．取出2个白球的概率为114D ．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为114【试题来源】【新教材精创】提高练 【答案】BD【分析】超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数，由此可知取出的最大号码X 不服从超几何分布，取出的黑球个数Y 服从超几何分布；取出2个白球的概率为226441037C C p C ==；对于D ，取出四个黑球的总得分最大，由此求出总得分最大的概率为46410114C P C ==．【解析】一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球， 对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数， 由此可知取出的最大号码X 不服从超几何分布，故A 错误；对于B ，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数， 由此可知取出的黑球个数Y 服从超几何分布，故B 正确；对于C ，取出2个白球的概率为226441037C C p C ==，故C 错误；对于D ，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分， 则取出四个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为46410114C P C ==，故D 正确．故选BD ．【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查超几何分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 5．下列说法不正确的是A ．随机变量()~3,0.2XB ，则()20.032P X == B ．随机变量2(,)XN μσ，其中σ越小，曲线越“矮胖”；C ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D ．从10个红球和20个白球颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期10月教学调研 【答案】ABC【分析】根据题意，结合二项分布，超几何分布，正态分布等依次分析各选项即可得答案．【解析】对于A 选项，由二项分布的概率公式得 ()()22320.20.80.096P X C ==⨯=，故A 选项错误；对于B 选项， 正态分布的均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度．σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平．故B 选项错误；对于C 选项，至少有一个黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故C 选项错误；对于D 选项，根据题意，设摸出红球的个数为x ，则()()510205300,1,2,3,4,5k kC C P x k k C -===，故满足超几何分布，故D 选项正确；故选ABC【名师点睛】本题考查正态分布，二项分布，超几何分布，互斥事件等，考查基本概念的掌握与运算，是中档题．本题解题的关键在于熟练掌握正态分布，二项分布，超几何分布的特征及其相关的计算公式，依次讨论即可． 三、填空题1．某次投篮测试中，投中2次才能通过测试，通过即停止投篮，且每人最多投3次，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________．【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教版必修3） 【答案】0.784【分析】根据该同学通过测试是指该同学连续投中两次或前两次投中一次且第三次投中，利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．【解析】由题意，该同学通过测试是指该同学连续投中两次或前两次投中一次且第三次投中，所以该同学通过测试的概率为2120.70.7(10.7)0.70.784p C =+⋅⨯-⨯=．故答案为0.7842．甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为34，乙同学一次投篮命中的概率为23，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是__________．【试题来源】天津市和平区2021届高三下学期一模 【答案】1112【分析】考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率． 【解析】两个都不命中的概率为321114312⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故至少有一人命中的概率是1112，故答案为1112． 3．某学生投篮三次，且每次投篮是否命中是相互独立的，每次投篮命中的概率都是23，则该学生只有第三次投篮没投中的概率为__________．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（一） 【答案】427【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解． 【解析】由题知，该学生投篮三次，第一次和第二次都投中，第三次没投中的概率222413327P ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为4274．遗爱湖国家湿地公园是黄冈市城市亮丽的名片．2021年元月份以来，来黄冈参观游览的游客络绎不绝，现通过对参观遗爱湖的游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩遗爱湖的概率都是13，不游玩遗爱湖的概率都是23，若不游玩遗爱湖记1分，继续游玩遗爱湖记2分，记已调查过的所有游客累计得分恰为n 分的概率为n a ，则4a ＝__________． 【试题来源】【新教材精创】第四章 复习与小结 B 提高练 【答案】6181【分析】先分析4a 表示累计得4分和它包含的三种情况，再根据独立性进行概率计算即可． 【解析】4a 表示累计得4分，包含以下三种情况：调查2人都继续游玩遗爱湖，或者调查4人都不游玩遗爱湖，或者调查3人，其中1人继续游玩遗爱湖，2人都不游玩遗爱湖．故241243122161()()()333381a C =++⨯⨯=．故答案为6181． 5．已知X~B （5，13），则P （32≤X ≤72）=__________． 【试题来源】【新教材精创】导学案（人教B 版高二选择性必修第二册） 【答案】4081【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解． 【解析】P (32≤X ≤72)=P (X=2)+P (X=3)=251(3C )2(23)3+351(3C )3(23)2=4081．故答案为4081 6．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为__________． 【试题来源】【新教材精创】提高练 【答案】35【分析】由题意知，射击命中的次数服从二项分布，直接利用独立重复试验的概率公式求解． 【解析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，则()2,X B p ，由题可知()()160125P X P X =+==，即()()201220161125C p p C p p -+-=，解得35p =．故答案为357．随机变量2~19,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()P k ξ=取最大值时k 的值为__________． 【试题来源】湖北省武汉市武钢三中2019-2020学年高二下学期期中 【答案】13【分析】利用二项分布的概率表达式，假设()P k ξ=最大建立不等式组，解出k ．【解析】因为随机变量2~19,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()19192133k kk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由题意得191201191919118119192121333321213333k k k kk k k k k kk k C C C C -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即340317k k ≤⎧⎨≥⎩，又k 取整数，所以k =13． 故答案为138．李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．则李明入选的概率为__________．【试题来源】2021学年高中数学新教材人教A 版选择性必修配套提升训练 【答案】23【分析】根据超几何分布公式可得答案．【解析】设所选3题中李明能答对的题数为X ，则X 服从参数为10,6,3N M n ===的超几何分布，且364310C C ()(0,1,2,3)C k k P X k k -===， 故所求概率为21306464331010C C C C 60202(2)(2)(3)C C 1201203P X P X P X ≥==+==+=+=， 故答案为23． 【名师点睛】本题考查超几何分布，属于基础题．9．在含有3件次品的20件产品中，任取2件，则取到的次品数恰有1件的概率是______． 【试题来源】山东省临沂市2019-2020学年高二（下）期末【答案】51190【分析】先求得正品件数，利用超几何分布公式求解即可．【解析】由题意得20件产品中，有3件次品，17件正品，故任取2件，恰有1件是次品的概率113172203175120191902C C P C ⨯===⨯，故答案为51190【名师点睛】本题考查超几何分布的识别与计算，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题．10．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为12，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________．【试题来源】2020-2021学年高中数学新教材人教A 版选择性必修配套提升训练 【答案】43120【分析】首先对事件进行分类，分成女生0分，男生6分，或女生2分，男生4分，或女生4分，男生2分，女生的概率可以按照超几何概率求解，男生按照独立重复求解概率． 【解析】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A ，则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件1A ；女生得2分男生得4分，设为事件2A ；女生得4分男生得2分，设为事件3A ，则：()32321326112120C P A C C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，()211224232611241221205C C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()22143326111832212020C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()12343120P A P A P A P A =++=．故答案为43120【名师点睛】本题考查概率的应用问题，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，熟练掌握概率类型，属于中档题型．本题的关键是对事件分类．四、解答题1．为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的生与生人数之比为1∶4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”，按文用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示．其中，a ，b ，c 构成以2为公比的等比数列．（1）求a ，b ，c 的值；（2）填写上面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文”有关？（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中.n a b c d =+++【试题来源】【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义 分层训练 【答案】（1）0.005；0.010；0.020；（2）列联表见解析；不能；（3）答案见解析． 【分析】（1）由题知(0.0180.0220.025)101a b c +++++⨯=，再结合,,a b c 成等比数列得即可得答案；（2）根据题意完善列联表，求得2K 的观测值 1.316 6.635k ≈<，故不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文”有关；（3）由题知获得“优秀作文”学生的概率为0.005100.05⨯=，故2,0().05X B ～，再根据二项分布的公式求解即可．【解析】（1）由题意，得(0.0180.0220.025)101a b c +++++⨯=， 而,,a b c 构成以2为公比的等比数列，所以(240.0180.0220.025)101a a a +++++⨯=，解得0.005a =． 则0.010,0.020b c ==．（2）获得“优秀作文”的人数为4000.0051020⨯⨯=． 因为生与生人数之比为1∶4，所以生与生人数分别为80，320. 故完成2×2列联表如下：由表中数据可得2K的观测值2400(63061474) 1.316 6.6352038080320k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文”有关． （3）由表中数据可知，抽到获得“优秀作文”学生的概率为0.005100.05⨯= ， 将频率视为概率，所以X 可取0,1,2，且2,0().05X B ～．则220,1,211()1()2020kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭=故X 的分布列为故X 的期望为()01240040040010E X ⨯+⨯==⨯+（或()20.050.1E X =⨯=） 【名师点睛】本题考查了频率分布直方图、独立性检验、分层抽样、二项分布的概率公式和数学期望公式，考查运算求解能力，属于中档题．本题第三问解题的关键在于由题知获得“优秀作文”学生的概率为0.005100.05⨯=，进而根据二项分布的概率公式求解．2．天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中[]0,1.3a ∈．（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率； （2）已知北京的纬度是北纬40︒，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于50-︒时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X 颗，求X 的分布列和数学期望；（3）记0a =时10颗恒星的视星等的方差为21s ，记 1.3a =时10颗恒星的视星等的方差为22s ，判断21s 与22s 之间的大小关系．（结论不需要证明）【试题来源】北京市西城区2021届高三一模 【答案】（1）12；（2）分布列见解析；数学期望为145；（3）2212s s <． 【分析】（1）由图表数据可知有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，由古典概型概率公式可计算得到结果；（2）首先确定X 所有可能取值，利用超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可得期望； （3）根据数据的波动程度可得方差大小关系．【解析】（1）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A ， 由图表可知10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值．()51102P A ∴==． （2）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于50-︒，有3颗恒星的“赤纬”数值小于50-︒，则随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4．()137341*********C C P X C ====，()22734103210C C P X C ===，()3173410132C C P X C ===，()3407041146C C P X C ===．∴随机变量X 的分布列为()13111412343010265E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）结论：2212s s <．理由：当0a =时，视星等的平均数为0.143-；当 1.3a =时，视星等的平均数为0.013-；可知当0a =时，视星等的数值更集中在平均数附近，由此可知其方差更小．【名师点睛】本题第二问考查了服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解，关键是能够确定随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式计算得到每个取值对应的概率．3．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
超几何分布与二项分布型概率解答题
【湖南省历年高考试题】
（2010年湖南17）下图是某城市通过样本得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.
（1）求直方图中x 的值;
（2）若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3
位居民（看作有放回的抽样）,求月均用水量在3
至4吨的居民数X 的分布列和数学期望.
解析：（1）依题意及频率分布直方图知,
0.020.10.370.391,x ++++=解得0.12.x =
（2）由题意知, ~(3,0.1)X B ,因此
033(0)C 0.90.729,
P X ==⨯=1
23(1)C 0.10.90.243,P X ==⨯⨯=
223(2)C 0.10.90.027,P X ==⨯⨯=3
33(3)C 0.10.001.P X ==⨯=
故随机变量X 的分布列为
X 0
1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001
X 的数学期望为30.10.3.EX =⨯=
【备考要点】
超几何分布和二项分布是随机变量的分布列与数学期望中的两大模型.两大模型的共同特点是从总体中抽取若干元素,但超几何分布是不放回抽取，而二项分布是有放回抽取或者总体容量很大可视为有放回抽样.掌握两大模型，是概率与统计解答题最基本的要求.二项分布在近七年的湖南理科数学试题中出现过两次.湖南省的概率与统计解答题往往是与生活生产上的实际问题相结合,从这个角度上看,超几何分布模型似乎先天不足，近七年没有命题.
【高考仿真试题】
1.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里,有连续2天日销售量都不
低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个
的天数,求随机变量X 的分布列，期望EX 及方差
.DX
解析：（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”,
2A 表示事件“日销售量低于50个”. B 表示事件
“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100
个且另一天销售量低于50个”. 因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯=, 2()0.003500.15,P A =⨯=故()0.60.60.1520.108.P B =⨯⨯⨯=
（2）因为~(3,0.6),X B 故033(0)C 0.40.064,P X ==⨯=
1
23(1)C 0.60.40.288,P X ==⨯⨯=223(2)C 0.60.40.432,P X ==⨯⨯=
333
(3)C 0.60.216.P X ==⨯= 随机变量X 的分布列为
X
0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216
二轮复习
X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=,方差30.60.40.72.DX =⨯⨯=
2.为了了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量
;
（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列与数学期望.
解析：（1）设乙厂生产的产品数量为x ,由
98145
x =得35.x =故乙厂生产的产品数量为35件. （2）易见只有编号为2,5的产品为优等品,所以乙生产的产品中的优等品率为25
,故乙生产有大约235145
⨯=（件）优等品. （3）ξ的取值为0,1,2.21123322222555C C C C
331(0),(1),(2),C 10C 5C 10P P P ξξξ⨯========= 所以ξ的分布列为
故ξ的数学期望412.5105
E ξ=⨯+⨯= 3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110
和.p （1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
49,50求p 的值. （2）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望.E ξ
解析：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ,那么1491()1,1050P C p -=-
= 解得1.5p =（2）由题意,9~(3,)10B ξ故391()C
()()3,0,1,2,3.1010
k k P k k k ξ==⨯⨯-= 随机变量ξ的分布列为
故随机变量ξ的数学期望3.1010E ξ=⨯=。