第三章 3.2 3.2.1 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)(优秀经典公开课比赛课件)
曲线在点 Pπ6，12处的切线斜率是：
y′|x＝π6＝cos π6＝ 23.
∴过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为－
2 ，故所求的直线方程为 3
y－12＝－
23x－π6，
即 2x＋ 3y－ 23－π3＝0.
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(2)设 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y＝x 的最小距离． 解析：如图，设 l 是与直线 y＝x 平行，且与曲线 y＝ex 相切的直线，则切点到直线 y ＝x 的距离最小．
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题型：基本初等函数的导数． 方法步骤：①根据导数的几何意义，上涨速度就是导数． ②利用导数公式表求出 p′(t)． ③再求出 p′(10)就是第 10 个年头的上涨速度．
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[例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝10x；(2)y＝lg x； (4)y＝4 x3；(5)y＝sinx2＋cosx22－1.
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方法技巧 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以 进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导公式求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做 到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
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[素养培优] 1．未能区分好变量与常量而致错 求 f(x)＝cos a 的导数． 易错分析 很容易忽视 a 是常数． 自我纠正 f′(x)＝(cos a)′＝0.
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2．没有意识到切点也在曲线上致误 过原点作曲线 y＝ex 的切线，则切点坐标为________． 易错分析 设切点 P(x0，y0)， 则 y′|x＝x0＝ex0， 从而 ex0＝xy00－－00， ∴y0＝x0ex0， 所以切点坐标为(x0，x0ex0)． 该解法没有意识到切点也在曲线上致误． 考查逻辑推理及数学运算的学科素养．
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自我纠正 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则 y0＝ex0， 则切线方程为 y－ex0＝ex0(x－x0)， 由于原点在切线上， 则－ex0＝ex0(－x0)⇒x0＝1，y0＝ex0＝e， 即切点为(1，e)． 答案 (1，e)
解析：∵y＝1x＝x－1， ∴y′＝－x－2＝－x12， ∴y′|x＝1＝－1， ∴曲线 y＝1x在(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2.
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[例 2] (1)求过曲线 y＝sin x 上点 Pπ6，12且与在这点处的切线垂直的直线方程． [解析] ∵y＝sin x，∴y′＝cos x，
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设与直线 y＝x 平行的直线 l 与曲线 y＝ex 相切于点 P(x0，y0)．
因为 y′＝ex，所以 ex0＝1，所以 x0＝0.
代入 y＝ex，得 y0＝1，所以 P(0,1)．
所以点
P
到直线
y＝x
的最小距离为|0－1|＝ 2
22.
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1 x＋Δx＋
＝ x2
1
x.
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知识梳理 几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝ 0 f(x)＝x f′(x)＝ 1 f(x)＝x2 f′(x)＝ 2x
f(x)＝1x f′(x)＝－x12
f(x)＝ x
1
f′(x)＝ 2 x
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3．2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数 3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
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内容标准
学科素养
1.能根据定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝ x的导数． 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx＝Δlixm→0
x＋1ΔΔxx－1x＝Δlixm→0
－xx＋1 Δx＝－x12；
(5)f′(x)＝ lim
Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
＝ lim
Δx→0
x＋Δx－ Δx
x＝ lim Δx→0 Δx
Δx x＋Δx＋
x
＝ lim
Δx→0
答案： (2)g(x)＝cos π4＝ 22，∴g′(x)＝0； (3)h′(x)＝3xln 3.
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探究一 利用导数公式求函数的导数 [阅读教材 P83 例 1]假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5%，物价 p(单位：元) 与时间 t(单位：年)有如下函数关系 p(t)＝p0(1＋5%)t， 其中 p0 为 t＝0 时的物价．假定某种商品的 p0＝1，那么在第 10 个年头，这种商品的价 格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)?
∴所求切线方程为 y－1＝2(x－1)或 y－25＝10(x－5)， 即 2x－y－1＝0 或 10x－y－25＝0.
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[课后小结] (1)利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好 导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． (2)有些函数可先化简再应用公式求导． 如求 y＝1－2sin2x2的导数．因为 y＝1－2sin2x2＝cos x，所以 y′＝(cos x)′＝－sin x. (3)对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．
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跟踪探究 2.已知曲线方程为 y＝f(x)＝x2，求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程． 解析：设切点 P 的坐标为(x0，x20)． ∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0， ∴切线方程为 y－x20＝2x0(x－x0)． 将点 B(3,5)代入上式得 5－x20＝2x0(3－x0)， 即 x20－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0， ∴x0＝1 或 x0＝5. ∴切点坐标为(1,1)或(5,25)．
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(4)∵y＝3
3 lg
x＝lg
x，
∴y′＝(lg x)′＝xln110.
(5)∵y＝2cos2x2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
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探究二 利用导数公式求曲线的切线方程 [教材 P82 探究改编]求曲线 y＝1x在(1,1)处的切线方程．
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原函数 f(x)＝ex
f(x)＝logax
导函数 f′(x)＝ ex
1 f′(x)＝ xln a (a>0，且 a≠1)
f(x)＝ln x
1 f′(x)＝ x
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求下列函数的导数：
[自我检测]
(1)f(x)＝4 x5；(2)g(x)＝cosπ4；(3)h(x)＝3x.
应用数学抽象 提高数学运算
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01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
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[基础认识] 知识点一 几个常用函数的导数 预习教材P81－83，思考并完成以下问题 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的 瞬时速度．那么，对于函数 y＝f(x)，如何求它的导数呢？
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[解析] (1)y′＝(10x)′＝10xln 10. (2)y′＝(lg x)′＝xln110.
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.
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(5)∵y＝sin
x2＋cos
x22－1
＝sin2x2＋2sin x2cos x2＋cos2x2－1
＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
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方法技巧 1.若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求 导． 2．若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后 求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
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下列函数的导数是什么？
(1)f(x)＝c；(2)f(x)＝x；(3)f(x)＝x2；(4)f(x)＝1x；(5)f(x)＝ x.
提示：由导数的定义得
(1)f′(x)＝ lim
Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx＝Δlixm→0
cΔ－xc＝Δlixm→00＝0；
(2)f′(x)＝ lim
Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx＝Δlixm→0
x＋ΔΔxx－x＝1；
(3)f′(x)＝ lim
Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx＝Δlixm→0
x＋ΔΔxx2－x2＝Δlixm→0
(Δx＋2x)＝2x；
3..2..2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案一．预习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．预习内容1．基本初等函数的导数公式表2.导数的运算法则．．．<2）推论：<常数与函数的积的导数，等于：）三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．学习过程<一）。
【复习回顾】复习五种常见函数、、、、的导数公式填写下表<二）。
【提出问题，展示目标】我们知道,函数的导数为，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。
那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。
减。
乘。
除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。
HMjsKuCRe5<三）、【合作探究】1．<1）分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表数<2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．<1）与<2）与2.<1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点．．．推论：<常数与函数的积的导数，等于：）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.<2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．<1）<2）；<3）；<4）；【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．<四）．典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价<单位：元）与时间<单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少<精确到0.01）？HMjsKuCRe5分析：商品的价格上涨的速度就是：解：变式训练1：如果上式中某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少<精确到0.01）？HMjsKuCRe5例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用<单位：元）为HMjsKuCRe5求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：<1）<2）分析：净化费用的瞬时变化率就是：解：比较上述运算结果，你有什么发现？三．反思总结：<1）分四组写出基本初等函数的导数公式表：<2）导数的运算法则：四．当堂检测1求下列函数的导数<1） <2）<3） <4）2.求下列函数的导数<1） <2）课后练习与提高1．已知函数在处的导数为3，则的解读式可能为：A BC D2．函数的图像与直线相切，则A B CD 1 HMjsKuCRe53.设函数在点<1,1）处的切线与轴的交点横坐标为，则A B C D 14.曲线在点<0,1）处的切线方程为-------------------5.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点P处的切线的斜率为2，则P点的坐标为------------HMjsKuCRe56.已知函数的图像过点P<0,2），且在点处的切线方程为，求函数的解读式。
课件6：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
基本初等函数的导数公式:
序号
y=f(x)
y'=f'(x)
1
y=C
y'=0
2
y=xn
y'=nxn-1,n 为自然数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
y=xμ(x>0,μ≠0)
y'=μxμ-1,μ 为有理数
4
y=ax(a>0,a≠1)
y'=axln a
5
y=ex
y'=ex
6
y=logax(a>0,a≠1,x>0)
y'=x a
7
直线 l 的方程.
【解析】由直线l与直线3x-y+2=0平行,可得kl=3,设切
点为(a,b),则y'|x=a=3a2=3,可得a,即可求出b,从而可求出
切线方程.
解:设切点为(a,b).
因为 y'=3x2,
所以 kl=y'|x=a=3a2.
又因为直线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,
所以 3a2=3,所以 a=±1.
式求导,应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式
的形式.
解:(1)y'=7x6;
3
3 1
2,所以 y'= 2
3
= 2 ;
(2)因为 y=x =
2
1
(3)y'=
;
ln3
(4)因为 y=2sin2·cos2=sin x,所以 y'=cos x;
1 -2
2
-3
(5)因为 y= 2=x ,所以 y'=-2x =- 3.
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
19-20 第3章 3.2 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学习目标核心素养1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1 x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点) 通过利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数的学习，提升学生的数学运算素养.1．常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)＝C f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x u f′(x)＝ux u－1(x＞0，u≠0) f(x)＝sin x f′(x)＝cos xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln a(a＞0，a≠1) f(x)＝e x f′(x)＝e xf (x )＝log a x f′(x )＝1x ln a (a ＞0，a ≠1，x ＞0)f (x )＝ln xf′(x )＝1x1．下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②(x 53)′＝x 23； ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个C [∵②(x 53)′＝53x 23；③(log 3x )＝1x ln 3；∴②③错误，故选C.] 2．若函数f (x )＝x ，则f′(1)等于( ) A ．0 B ．－12 C ．12D ．1C [∵f′(x )＝(x )′＝(x12)′＝12x 12－1＝12x，∴f′(1)＝12，故选C.]3．曲线y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的切线方程为________．42x －8y ＋2(4－π)＝0 [∵k ＝(sin x )′|x ＝π4＝cos π4＝22，∴切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即42x －8y ＋2(4－π)＝0.]利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x . [思路探究] 先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导． [解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11. (2)y ′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x . (5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.导数公式的综合应用1．若y ＝c ，y ＝x 和y ＝x 2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？提示：若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体做变速运动，它在x 时刻的瞬时速度为2x .2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？[提示] (1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y ＝e x 的导数是y ＝a x (a >0，a ≠1)导数的特例．(2)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，y ＝ln x 的导数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)导数的特例．【例2】 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．[思路探究] 先求导数，再根据导数的几何意义求解． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点坐标为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，又切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.所以所求切线方程为 y －14＝(－1)()x ＋12， 即4x ＋4y ＋1＝0.1．(变结论)若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ， 设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0. 又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1， 而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12.所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 所以所求切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.2．(变条件)若函数改为y ＝ln x ，试求与直线PQ 平行的切线方程． [解] 设切点为(a ，b )，因为k PQ ＝1， 则由f′(a )＝1a ＝1，得a ＝1， 故b ＝ln 1＝0，则与直线PQ 平行的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．思考辨析(1)若函数f (x )＝log 2π，则f′(x )＝1πln 2.( ) (2)若函数f (x )＝3x ，则f′(x )＝x ·3x －1.( ) (3)若函数f (x )＝4x ，则f′(x )＝4x 2.( ) [提示] (1)× π为常数． (2)× f′(x )＝3x ln 3. (3)× f′(x )＝－4x 2.2．函数f (x )＝x ，则f′(3)等于( ) A ．36 B ．0 C ．12xD ．32A [∵f′(x )＝12x ，∴f′(3)＝123＝36.]3．设函数f (x )＝log a x ，f′(1)＝－1，则a ＝________. 1e [∵f′(x )＝1x ln a ，∴f′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.] 4．过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12的切线方程为________．63x －12y －3π＋6＝0 [曲线y ＝sin x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝π6＝cos π6＝32. 所以切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即63x －12y －3π＋6＝0.]5．求下列函数的导数：(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .[解] (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x 5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6. (3)∵y ＝x 2x＝x 32.∵y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x . (4)y ′＝1x ln 10. (5)y ′＝5x ln 5.(6)∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．课时分层作业(十七) 常数与幂函数的导数导数公式表(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知f (x )＝1x ，则f ′(3)＝( ) A ．－13 B ．－19 C ．19D ．13B [∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(3)＝－132＝－19，故选B.] 2．已知f (x )＝ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．0 B ．1e C ．1D ．eB [∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，则f ′(e)＝1e ，故选B.] 3．已知f (x )＝x α(α∈Q )，若f ′(－1)＝4，则α等于( ) A ．3 B ．－3 C ．4D ．－4D [∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1. ∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝4. ∴α＝－4.]4．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A ．1e B ．－1e C ．－eD ．eD [y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝k x 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0，∴e x 0·x 0＝e x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.]5．若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝0C [因为函数f (x )＝mx α为幂函数，所以m ＝1.又幂函数f (x )＝x α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，所以α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，所以f (x )的图象在点A 处的切线方程为y －12＝x －14，即4x －4y ＋1＝0.]6．已知函数f (x )＝x m －n (m ，n ∈Q )的导数为f ′(x )＝nx 3，则m ＋n ＝________. 12 [∵f (x )＝x m －n ，∴f ′(x )＝(m －n )x m －n －1， ∴⎩⎨⎧m －n ＝n ，m －n －1＝3，解得m ＝8，n ＝4，∴m ＋n ＝12.] 7．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．(1,1) [因为y ′＝e x ，所以曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率为k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1·k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．]8．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．21 [∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.]9．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？ [解] (1)因为y ′＝3x 2， 所以切线斜率k ＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0. (2)由⎩⎨⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3， 所以(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 所以x 1＝1，x 2＝－2，所以公共点为(1,1)及(－2，－8)，即其他公共点为(－2，－8)． 10．若曲线y ＝x－12在点(a ，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为9，求实数a 的值．[解] ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32， ∴曲线在点(a ，a－12)处的切线的斜率为k ＝－12a －32， ∴切线方程为y －a－12＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12；令y ＝0， 得x ＝3a .由题意知，a >0，该切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝9，∴a ＝16.[能力提升练]1．设曲线y ＝x 在点(2，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．22B ．24C ．－2 2D ．2 2D [∵y ＝x ＝x 12，∴y ′＝12x －12＝12x ，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝122，由已知，得－a ＝－22，即a ＝22，故选D.]2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 020(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xA [f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，所以f 2 020(x )＝f 505×4(x )＝sin x ．]3．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．12log 2e [y ′＝1x ln 2＝1x ·log 2e ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝log 2e ，切线方程为y ＝(x －1)log 2e ，令x ＝0，得y ＝－log 2e ，令y ＝0，得x ＝1，因此所求三角形的面积S ＝12×1×log 2e ＝12log 2e.]4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln x ，0＜x ＜1，，f ′(a )＝12，则实数a 的值为________．112或－2 [由题意得 f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2，x ≤0，1x ，0＜x ＜1，若 f ′(a )＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1a＝12或⎩⎨⎧a ≤0，3a 2＝12，解得a ＝112或a ＝－2.]5．点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[解]如图，当曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P 到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(e x)′＝e x，所以e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0,1)．由点到直线的距离公式，得最小距离为d＝|－1|2＝22.11/11。
第3章 3.2.1常见函数的导数
第3章 §3.2 导数的运算3.2.1 常见函数的导数学习目标1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝kx ＋b ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝ 的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数.1x问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 幂函数与一次函数的导数思考1 函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？答案 当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快；当k<0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减少的越快.思考2你能结合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及(12x)1212x答案 f′(x)＝(x n)′＝nx n－1.梳理 (1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地C′＝0(C为常数).(2)(x±)′＝±x±－1(±为常数).知识点二 基本初等函数的求导公式思考计算过程cosÀ6′＝－sin À6＝－12正确吗？ 答案 不正确.因为cos À6＝32为常数，其导数为0.梳理 原函数导函数f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a xln a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝f (x )＝ln x f ′(x )＝f (x )＝x ±(±为常数)f ′(x )＝±x±－11x ln a1x4.若f (x )＝1x 2，则f ′(x )＝－2x 3.( )3.sin À3′＝cos À3＝12.( ) 2.(ln x )′＝1x .( )1.(e x)′＝e x.( )[思考辨析判断正误]√×√√题型探究类型一 利用导数公式求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y＝x12；解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y＝1x4；解y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4 x5.(3)y＝5x3；解y′＝(5x3)′＝(35x31535x2535x2535x(4)y ＝2sin x 2cos x2；解 ∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)y ＝；解 y ′＝()′＝1x ln 12＝－1x ln 2. (6)y ＝3x.解 y ′＝(3x)′＝3xln 3.12log x 12log x反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.(1)f (x )＝；解f ′(x )＝ 12x ′＝12xln12＝－2－xln 2；跟踪训练1 求下列函数的导数：解 f ′(x )＝( )′＝1x ln 2＝2x ln 2；(2)f (x )＝2－x；(3)f (x )＝e 2；解 f ′(x )＝(e 2)′＝0；(4)f (x )＝cos x .解 f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x .2log x 2log x类型二 导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式解决切线问题例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由.设切点为(x0，y0)，则PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，解 因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线.而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－12.所以切点为－12，14.所以所求切线方程为y－14＝(－1)x＋12，即4x＋4y＋1＝0.引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.又因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，解 因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则在点x＝x0处的导数为2x0，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12.所以切点为M12，14.所以所求切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，即sin 2x0＝2，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.命题角度2 利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.解 依题意知抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20).∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为12，14，∴所求的最短距离d ＝12－14－22＝728.反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大.¼AOB 解 设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1.故可得M (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，∴AB 为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，故点M (1,1)即为所求弧 上的点，使△ABP 的面积最大.¼AOB达标检测解析 ∵f ′(x )＝1x ln a ，则f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e .1.设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝___.1e2.下列结论：①(sin x )′＝－cos x ；②1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的结论是____.④解析由求导公式知，(sin x )′＝cos x ，1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x ，故④正确.3.在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P 的坐标为_____.依题意，得－8x －30＝tan 135°＝－1，∴x 0＝2. (2,1)解析 y ′＝(4x －2)′＝－8x －3，设点P (x 0，y 0)，又P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x 2上，∴y 0＝1.4.设正弦函数y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围为_______________.∴－1≤k l ≤1，∴±l ∈ 0，À4∪3 À4，À. 0，À4∪3 À4，À解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，x2 x ＝32x32x解∵y＝1x5＝x－5，∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－5x6.(1)y＝cos À6；解 y′＝0.(2)y＝1x5；5.求下列函数的导数.(3)y＝x2x；1232x解∵y＝解∵y ＝cosÀ2－x ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)y ＝lg x ；(6)y ＝cosÀ2－x .解 y ′＝1x ln 10.(5)y ＝5x；解 y ′＝5xln 5.1.利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.规律与方法如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x 2＝cos x ，。
3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12， 所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12， 所以所求切线方程为 y＋4＝－12(x－1)， 即 y＝－12x＋8.
＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.
(3)解法一：y′＝(xx＋－11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212. 解法二：∵y＝xx－＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
∴y′＝(1－x＋2 1)′＝(－x＋2 1)′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
(8)若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝___x_____.
2．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝__f′___x__g__x_＋___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)－f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、计 算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难点在于 对式子的恒等变形．
练 3 在曲线 y＝x3＋3x2＋6x－10 的切线中，求斜率最 小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当 x＝－1 时， 切线的斜率最小，最小斜率为 3，此时，y＝(－1)3＋3×(－ 1)2＋6×(－1)－10＝－14，切点为(－1，－14)．∴切线方程 为 y＋14＝3(x＋1)，即 3x－y－11＝0.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
高中数学 第三章3.2.13.2.2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课
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跟踪训练 1 求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝(12)x；(3)y＝x x；(4)y＝log1 x.
3
解 (1)y′＝8x7；
(2)y′＝(12)xln 12＝－(12)xln 2；
(3)∵y＝x
x＝
x
3 2
，∴y′＝32
x
1 2
；
(4)y′＝ 1 1＝－xln1 3. xln 3
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f′(x)＝ αxα－1 f′(x)＝ cos x f′(x)＝ －sin x f′(x)＝ axln a (a>0) f′(x)＝ ex
f(x)＝logax
1 f′(x)＝ xln a(a>0 且 a≠1)
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问题 5 画出函数 y＝1x的图象.根据图象，描述它的变化情 况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. 结答合案函数函图数象y＝及1x其的导图数象y如′图＝所－示x12，发现，当 x<0 时，随着 x 的增加，函数 y＝1x减少得越 来越快；当 x>0 时，随着 x 的增加，函数减少得越来越慢.
3．2.1 几个常用函数的导数 3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的
运算法则(一)
【学习要求】 1.能根据定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
【学法指导】 1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项
式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想.通过定义求 导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣. 2.本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容 的关键.记公式时，要注意观察公式之间的联系，如公式 6 是公式 5 的特例，公式 8 是公式 7 的特例.公式 5 与公式 7 中 ln a 的位置的不同等.
基本初等函数导数公式
基本初等函数导数公式基本初等函数导数公式还有同学记得吗?不记得的话，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“基本初等函数导数公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。
基本初等函数导数公式C'=0、(x^n)'=nx^(n-1)、(a^x)'=a^x*lna、(e^x)'=e^x、(loga(x))'=1/(xlna)、(lnx)'=1/x、(sinx)'=cosx、(cosx)'=-sinx。
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。
不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。
拓展阅读：高一数学必修一知识点总结高一数学集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R列举法：{a,b,c……}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x(R| x-3>2} ,{x| x-3>2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn图:集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝高一数学集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：① 任何一个集合是它本身的子集。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 人教课标版精品课件
(g(x) 0)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数 运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
解 (x3 )： (2x) (3) 3x2 因2
为
所 以
练习2、求下列函数的导数。
(1) y x4 2x
(2) y 3cos x 4sin x
(3) y 2ex (4)y (x 1)(x 2)
那个年代的钱特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是单位给分的，房子也都不交水电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。 一九七六年唐山大地震的时候，老吴在唐山的老家也遭受了灾害，屋子倒了，人也砸伤了，老吴赶紧请假和他爱人一起回去处理老家的事情去了。老李对老吴说，“你放心的回老家吧！你的孩子我帮你看。”当时老吴的老大才十四岁，还有一个刚刚才上学的七岁的小女儿。
大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。
导数的运算法则: 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的