2015届高考数学总复习 第二章 第六节对数与对数函数课时精练试题 文(含解析)
2015届高考数学(理)一轮复习单元卷：对数与对数函数(苏教版)
对数与对数函数第Ⅰ组：全员必做题1．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为________．2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________.3．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为________．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是____________．5．(2014·常州期末)设函数y ＝f (x )在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )>k ，k ， f (x )≤k .若函数f (x )＝log 3|x |，则当k ＝13时，函数f k (x )的单调减区间为________． 6．计算：(log 29)·(log 34)＝________.7．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________． 8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________. 9．(2014·长春模拟)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域．(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．10．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·徐州联考)函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．2．(2014·无锡模拟)若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)，x 的取值范围是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg 10，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为(－2,8]．答案：(－2,8]2．解析：f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .答案：log 2x3．解析：a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a ＞b ＞c .答案：a ＞b ＞c4．解析：当m >0时，f (m )<f (－m )⇒log 12m <log 2m ⇒m >1； 当m <0时，f (m )<f (－m )⇒log 2(－m )<log 12(－m )⇒－1<m <0.所以m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)5．解析：因为f (x )＝log 3|x |，k ＝13，所以由f (x )>k 得log 3|x |>13，解得x <－33或x >33.同理由f (x )≤k 得－33≤x <0或0<x ≤33，所以f k (x )＝⎩⎨⎧ log 3|x |，x <－33或x >33，13，－33≤x <0或0<x ≤33，所以函数f k (x )的单调减区间为(－∞，－33)．(闭区间也对)答案：(－∞，－33)⎝⎛⎭⎫或(－∞，－33]6．解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：47．解析：令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数，所以有log 12t ≤log 128＝－3. 答案：(－∞，－3]8．解析：由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1b ＝2，即1log 2m ＋1log 5m＝2， ∴1lg m＝2，即m ＝10. 答案：109．解：∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为 (－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．解：当a >1时，f (x )＝log a x 在⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ log a 13≥－1，log a 2≤1，解得a ≥3. ∴此时a 的取值范围是a ≥3.当0<a <1时，f (x )＝log a x 在⎣⎡⎦⎤13，2 上单调递减，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧log a 13≤1，log a 2≥－1，解得0<a ≤13. ∴此时，a 的取值范围是0<a ≤13. 综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：取x －1＝1得原函数的图像恒过定点A (2,1)，代入直线方程得2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n m ＝4m n ，即2m ＝n ＝12时等号成立，故最小值为8.答案：82．解析：因为g (lg x )>g (1)，所以f (|lg x |)>f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |>1，从而lg x >1或lg x <－1.解得0<x <110或x >10.答案：⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞)。
2015届高考数学总复习配套课件：2-6 对数与对数函数
东 金 太
(2)由已知，得 x＝log43，
阳 书
则 4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋31＝130.
业 有 限
公
司
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第十六页，编辑于星期五：十点 十二分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
对数函数图象及应用
悟典题
能力 提升
【例2】 (2014年济南模拟)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题 能力 提升
对数式的运算
提素能
高效 训练
【例 1】 求值：(1)lloogg8293；
(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；
山 东
(3)21lg3429－43lg 8＋lg 245.
金 太 阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十三页，编辑于星期五：十点 十二分。
经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范
山 东
围．
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第二十页，编辑于星期五：十点 十二分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
对数函数性质及应用
研考向 要点 探究
【例3】 (1)(2013年高考全国课标卷Ⅱ)设a＝log32，b＝log52，c
有 限
公
司
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第二页，编辑于星期五：十点 十二分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库：第2章 第6讲 对数与对数函数
第6讲对数与对数函数一、填空题1．已知函数f(x）＝错误!则f错误!＝________.解析因为f错误!＝log2错误!＝－2，所以f错误!＝f(－2）＝3－2＝错误!.答案错误!2．函数y＝ln（1－x)的图象大致为________．解析由1－x〉0，知x<1，排除①、②；设t＝1－x（x〈1)，因为t＝1－x为减函数,而y＝ln t为增函数，所以y＝ln（1－x)为减函数，故选③。
答案③3．若实数x满足log3x＝1＋sin θ，则｜x－1|＋|x－9｜的值为________．解析log3x＝1＋sin θ∈［0，2］，x＝31＋sin θ∈［1,9］，｜x－1｜＋｜x－9|＝x－1＋9－x＝8.答案84．已知函数f（x）＝错误!若f(3－2a2)＞f(a）,则实数a的取值范围为________．解析画图象可得f(x)是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数,于是由f(3－2a2）＞f（a)，得3－2a2＜a，即2a2＋a－3＞0，解得a＜－3 2或a＞1。
答案错误!∪（1,＋∞)5．已知函数f（x)＝lg x．若f(ab)＝1，则f(a2）＋f（b2)＝________.解析∵f(x)＝lg x，f(ab)＝1，∴lg（ab)＝1，∴f（a2)＋f(b2）＝lg a2＋lg b2＝2lg a＋2 lg b＝2lg(ab）＝2。
答案26．已知2a＝5b＝错误!，则错误!＋错误!＝________.解析∵2a＝5b＝错误!，∴a＝log2错误!，b＝log5错误!，利用换底公式可得：错误!＋错误!＝log错误!2＋log错误!5＝log错误!10＝2.答案2[来源：学科网]7．设a>0且a≠1，函数f（x）＝a lg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a(x2－5x＋7)〉0的解集为________．解析∵函数y＝lg(x2－2x＋3）有最小值,f(x）＝a lg（x2－2x＋3)有最大值，∴0〈a〈1。
【创新设计】2015届高考数学一轮总复习 2.6 对数与对数函数题组训练 理 苏教版
第6讲 对数与对数函数基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．如果，那么x ，y,1的大小关系是________．解析 ∵是(0，＋∞)上的减函数，∴x ＞y ＞1.答案 1＜y ＜x2．(2014·某某调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________.解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案 －13．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______.解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 24．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，x ＜2，log a x 2－1，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________.解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1， ∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 185．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过一定点是________．解析 当x ＝2时y ＝2. 答案 (2,2)6．(2012·某某卷改编)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233>log 22＝1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a >1，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c . 答案 a ＝b >c7．(2014·池州一模)函数y ＝log 2|x |的图象大致是______．解析 函数y ＝log 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 2－x ，x ＜0，所以函数图象为①.答案 ①8．(2013·某某二模)若a ＝ln 264，b ＝ln 2×ln 3，c ＝ln 2π4，则a ，b ，c 的大小关系是________．①a ＞b ＞c ；②c ＞a ＞b ；③c ＞b ＞a ；④b ＞a ＞c解析 ∵ln 6＞ln π＞1，∴a ＞c ，排除②，③；b ＝ln 2·ln 3＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋ln 322＝ln 264＝a ，排除④. 答案 ① 二、解答题9．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x－1＞0解得x ＞0， 因此 f (x )的定义域为(0，＋∞)．(3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415， 因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．10．已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)． (1)若常数a <2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是减函数，求a 的取值X 围． 解 (1)由题意知ax －2x －1>0，当0<a <2时， 解得x <1或x >2a；当a <0时，解得2a<x <1.故当0<a <2时，f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1，或x >2a ； 当a <0时，f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a<x <1. (2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数，故要使f (x )在(2,4)上是减函数，只需u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1在(2,4)上单调递增且为正．故由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，u 2＝2a －22－1≥0，得1≤a <2.故a ∈[1,2)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·某某三模)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)， f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则是“同形”函数的是________．①f 2(x )与f 4(x )；②f 1(x )与f 3(x )；③f 1(x )与f 4(x )； ④f 3(x )与f 4(x )．解析 因为f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，所以f 2(x )＝log 2(x ＋2)，沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，根据“同形”函数的定义，f 2(x )与f 4(x )为“同形”函数．f 3(x )＝log 2x 2＝2log 2|x |与f 1(x )＝2log 2(x ＋1)不“同形”．答案 ①2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝答案 －13．(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝lnx1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值X 围是________．解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，14二、解答题4．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a .。
【创新设计】2015届高考数学第一轮复习 2-6 对数与对数函数题组训练 理(含14年优选题,解析)新人教A版
第6讲 对数与对数函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )．A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析 ∵log 12x ＜log 12y ＜log 121，又y ＝log 12x 是(0，＋∞)上的减函数，∴x ＞y ＞1. 答案 D2．(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝ ( )．A ．－1B ．－3C ．1D ．3解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案 A3．(2013·宣城二模)若a ＝ln 264，b ＝ln 2×ln 3，c ＝ln 2π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c解析 ∵ln 6＞ln π＞1，∴a ＞c ，排除B ，C ；b ＝ln 2·ln 3＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋ln 322＝ln 264＝a ，排除D. 答案 A4．若函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，则实数a 的值等于( )．A.12 B.14 C ．－14D ．4解析 令h (x )＝ax 2＋2x －1，由于函数g (x )＝log 3h (x )是递增函数，所以要使函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，应使h (x )＝ax 2＋2x －1有最大值3，因此有⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝4＋4a ≥0，－4a －44a ＝3，解得a ＝－14，此即为实数a 的值．答案 C5．已知f (x )＝log a [(3－a )x －a ]是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,3)D ．(3，＋∞) 解析 记u ＝(3－a )x －a ，当1＜a ＜3时，y ＝log a u 在(0，＋∞)上为增函数， u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为增函数， ∴此时f (x )在其定义域内为增函数，符合要求． 当a ＞3时，y ＝log a u 在其定义域内为增函数， 而u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为减函数， ∴此时f (x )在其定义域内为减函数，不符合要求．当0＜a ＜1时，同理可知f (x )在其定义域内是减函数，不符合题目要求．故选B. 答案 B 二、填空题6．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝______.解析 要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3，∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 27．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，x ＜2，log a (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1，∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 188．(2014·深圳中学模拟)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是________．解析 当x ∈(－∞，0)时，则－x ∈(0，＋∞)， 所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ) ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，0，0，－log 2(－x )，x ＜0，由f (x )＜－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，log 2x ＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－log 2(－x )＜－1，解得0＜x ＜12或x ＜－2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，或x ＜－2三、解答题9．已知f (x )＝log 4(4x －1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的值域． 解 (1)由4x －1＞0解得x ＞0， 因此 f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0＜x 1＜x 2，则0＜4x 1－1＜4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)＜log 4(4x 2－1)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上递增，又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，f (2)＝log 415， 因此f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[0，log 415]． 10．已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)． (1)若常数a <2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是减函数，求a 的取值范围．解 (1)由题意知ax －2x －1>0，当0<a <2时，解得x <1或x >2a ；当a <0时，解得2a<x <1.故当0<a <2时，f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1，或x >2a ； 当a <0时，f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a<x <1. (2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数，故要使f (x )在(2,4)上是减函数，只需u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1在(2,4)上单调递增且为正． 故由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，u (2)＝2a －22－1≥0， 得1≤a <2.故a ∈[1,2)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·河南洛阳二模)如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交点，那么称这个点为“好点”．下列四个点P 1(1,1)，P 2(1,2)，P 3⎝⎛⎭⎫12，12，P 4(2,2)中，“好点”的个数为 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 设指数函数和对数函数分别为y ＝a x (a ＞0，a ≠1)，y ＝log b x (b ＞0，b ≠1)．若为“好点”，则P 1(1,1)在y ＝a x 的图象上， 得a ＝1与a ＞0，且a ≠1矛盾；P 2(1,2)显然不在y ＝log b x 的图象上；P 3⎝⎛⎭⎫12，12在y ＝a x ，y ＝log b x 的图象上时，a ＝14，b ＝14； 易得P 4(2,2)也为“好点”．答案 B2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时， f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )．A ．1 B.45 C ．－1D ．－45解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(＋15)＝－1. 答案 C 二、填空题3．如果函数y ＝f (x )图象上任意一点的坐标(x ，y )都满足方程lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ， 那么y ＝f (x )在[2,4]上的最小值是________．解析 由lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝xy ，由x ＋y ＝xy 得y ＝f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1(x ≠1)．则函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以y ＝f (x )在[2,4]上的最小值是f (4)＝1＋14－1＝43. 答案 43三、解答题4．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)，∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a .。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6课时 对数与对数函数学案(含解析)(1)(20
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对数与对数函数1．对数： (1） 定义：如果Na b =)1,0(≠>a a 且,那么称 为 ，记作 ,其中a 称为对数的底，N 称为真数。
① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2） 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ;③ 1log =a a ; ④ 对数恒等式:N a N a =log ． （3） 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ （n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ （a >0，a ≠1，m >0，m ≠1,N 〉0）⑤ log m na a nb b m= 。
2．对数函数:① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为（ ；2） 函数的值域为 ；3） 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4） 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数。
高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第六节对数与对数函数练习文
高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第六节对数与对数函数练习文【最新考纲】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．会画底数为2，10，12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x(a ＞0，且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念如果a x＝N(a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b＝b(a ＞0，且a≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M·N)＝log a M ＋log a N ，②log a M N ＝log a M －log a N ，③log a M n＝nlog a M (n∈R)．3．对数函数的定义、图象与性质4.反函数指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log2x2＝2log2x.( )(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( )(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．( )(4)当x＞1时，若log a x＞log b x，则a＜b.( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1，0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1，0＜c ＜1解析：由图象可知y ＝log a (x ＋c)的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.答案：D3．(2015·四川卷)lg 0.01＋log 216的值是________． 解析：lg 0.01＋log 216＝lg 1100＋log 224＝－2＋4＝2. 答案：24．(2015·北京卷)2－3，312，log 25三个数中最大的数是________．解析：因为2－3＝123＝18＜1，1＜312＝3＜2，log 25＞log 24＝2，所以三个数中最大的数是lo g 25. 答案：log 255．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析：当x≥1时，log 12x ≤0，当x ＜1时，0＜2x＜2，故值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)． 答案：(－∞，2)两种关系1．a b＝N ⇔log a N ＝b(a ＞0，a ≠1，N ＞0)．2．指数函数y ＝a x(a ＞0，且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．两点注意1．在无M ＞0的条件下，log a M n＝nlog a |M|(n∈N *，且n 为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时，务必先研究函数的定义域．对数函数的单调性取决于底数a ，应注意底数的取值范围．两类方法1．对数值的大小比较方法：(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化为同真数后利用图象比较．2．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．一、选择题1．2lg 2－lg 125的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：2lg 2－lg 125＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫22÷125＝lg 100＝2.答案：B2．(2016·石家庄一模)已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c解析：因为312＞1，0＜log 1312＜1，c ＝log 213＜0所以a ＞b ＞c. 答案：A4．函数f(x)＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )解析：f(x)＝lg 1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x|的图象左移1个单位得到．由y ＝－lg|x|的图象可知选D. 答案：D5．(2016·唐山统考)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：要使函数f(x)的值域为R ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a＜12.答案：C 6．设f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f(x)＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：由f(x)是奇函数可得a ＝－1， ∴f(x)＝lg 1＋x1－x 的定义域为(－1，1)．由f(x)＜0，可得0＜1＋x1－x ＜1，解得－1＜x ＜0.答案：A二、填空题7．(2014·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278＋0＝278.答案：2788．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________．解析：x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，则y≤log 128＝－3，即函数的值域为(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]9．(2015·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b)取得最大值．解析：由于a ＞0，b ＞0，ab ＝8，所以b ＝8a.所以log 2a ·log 2(2b)＝log 2a ·log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫16a ＝log 2a ·(4－log 2a)＝－(log 2a －2)2＋4，当且仅当log 2a ＝2，即a ＝4时，log 2a ·log 2(2b)取得最大值4. 答案：4 三、解答题10．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a ＞0且a ≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的取值集合． 解：(1)f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f(x)的定义域为{x|－1＜x ＜1}． (2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x ＜1}， 且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)， 故f(x)为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x ＜1}内是增函数，所以f(x)＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1.所以使f(x)＞0的x 的解集是{x|0＜x ＜1}．11．设x∈[2，8]时，函数f(x)＝12log a (ax)·log a (a 2x)(a ＞0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解：由题意知f(x)＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f(x)取最小值－18时，log a x ＝－32，又∵x∈[2，8]，∴a ∈(0，1)． ∵f(x)是关于log a x 的二次函数，∴函数f(x)的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得． ①若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，此时f(x)取得最小值，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去．②若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a ＝12.。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-7对数与对数函数课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-7对数与对数函数课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题 1．函数y ＝1－1x －1的图像是( )[答案]B[解析]将y ＝－1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图像． 2．已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图像对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |) [答案]C[解析]y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0，f (x )，x <0.3．(文)(2013·某某高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )[答案]A[解析]本题考查函数的图像与性质． ∵f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除C.∵x 2＋1≥1， 则ln(x 2＋1)≥0，且当x ＝0时f (0)＝0， 所以排除B 、D ，选A.(理)(2013·某某高考)函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )[答案]C[解析]本题考查函数图像的形状．函数的定义域为：3x －1≠0，∴x ≠0，排除A ； 取x ＝－1，则f (－1)＝－113－1>0，排除B ；当x →＋∞时，3x －1比x 3增大要快， ∴x 33x －1大于0而且趋向于0，排除D. 故选C.4．函数y＝2x－x2的图像大致是()[答案]A[解析]本题考查了函数图像的性质，考查了学生的识图能力，以及对函数知识的把握程度和数形结合的思维能力，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排除，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A.5．函数y＝f(x)(x∈R)的图像如图所示，下列说法正确的是()①函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)；②函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)；③函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(x)；④函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．A．①③B．②④C．①②D．③④[答案]C[解析]由图像可知，函数f(x)为奇函数且关于直线x＝1对称；对于②，因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]，即f(x＋2)＝f(－x)．故①②正确，选C.6．(2013·高考)函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1[答案]D[解析]∵曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，将y＝e－x的图像向左平移1个单位即得到函数f(x)的图像，∴f(x)＝e－(x＋1)，即f(x)＝e－x－1.二、填空题7．设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图像如图中所示线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)＝________.[答案]x[解析]因为f(x)为偶函数，由偶函数的对称性可知，当x∈[－1,0]时f(x)＝x＋2，所以当x∈[1,2]时，x－2∈[－1,0]，又f(x)是周期为2的偶函数，故当x∈[1,2]时，f(x)＝f(x－2)＝(x －2)＋2＝x.8．已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．[答案](2,8][解析]当f(x)>0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图像知满足f(x)>0的x∈(2,8]．9．(2014·某某调研)设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．[答案]6[解析]在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图像如图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.三、解答题10．若1<x<3，a为何值时x2－5x＋3＋a＝0有两解、一解、无解？[解析]原方程化为：a＝－x2＋5x－3，①作出函数y＝－x2＋5x－3(1<x<3)的图像如图，显然该图像与直线y ＝a 的交点的横坐标是方程①的解， 由图可知：当 3<a <134时，原方程有两解；当1<a ≤3或a ＝1314时，原方程有一解；当a >134或a ≤1时，原方程无解.能力强化训练一、选择题1．(2013·某某高考)函数y ＝f (x )的图像如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值X 围为( )A ．{2,3}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5}[答案]B[解析]如图所示f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n.可以看作点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))与原点(0,0)连线的斜率．对于l 1，l 2，l 3满足条件的x 分别有2个、3个、4个，故选B.2．(文)(2014·宁都一中月考)已知a >b ，函数f (x )＝(x －a )·(x －b )的图像如图所示，则函数g (x )＝log a (x ＋b )的图像可能为( )[答案]B[解析]由函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图像可知，a >1,0<b <1，所以排除A ，D ；函数g (x )的图像是由函数u (x )＝log a x 的图像向左平移b 个单位得到的，故选B.(理)(2014·某某调研)我们定义若函数f (x )为D 上的凹函数须满足以下两条规则：(1)函数在区间D 上的任何取值有意义；(2)对于区间D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf (x 1＋x 2＋…＋x n n )，那么下列四个图像中在[0，π2]上满足凹函数定义的是( )[答案]A[解析]要判断是不是凹函数，需要先明确凹函数的定义，由定义的第一点可以排除D ，在A ，B ，C 这三个选项中可以考虑特殊值法．取x 1＝0，x 2＝π2，则显然选项B ，C 不满足f (x 1)＋f (x 2)≥2f (x 1＋x 22)，故选A.二、填空题3．(文)函数y ＝f (x )(x ∈[－2,2])的图像如图所示，则f (x )＋f (－x )＝________.[答案]0[解析]由图像可知f (x )为定义域上的奇函数．∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0.(理)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值X 围是________． [答案]⎝⎛⎭⎫1，54 [解析]如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，由图可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14a －14<1，解得1<a <54.4．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f (2 014)＋f (2 015)＝________.[答案]3[解析]由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2014)＋f (2015)＝f (671×3＋1)＋f (672×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图像可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2014)＋f (2015)＝1＋2＝3.三、解答题5．(文)已知函数f (x )＝2x －a2x ，将y ＝f (x )的图像向右平移两个单位，得到y ＝g (x )的图像．(1)求函数y ＝g (x )的解析式；(2)若函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图像关于直线y ＝1对称，求函数y ＝h (x )的解析式． [解析](1)由题设，g (x )＝f (x －2)＝2x －2－a2x －2.(2)设(x ，y )在y ＝h (x )的图像上，(x 1，y 1)在y ＝g (x )的图像上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x ，y 1＝2－y ，∴2－y ＝g (x )，y ＝2－g (x )， 即h (x )＝2－2x －2＋a2x －2.(理)设函数f (x )＝x ＋1x 的图像为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图像为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．[解析](1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎨⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y ，得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；word11 / 11 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．6．(2014·某某模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式．[解析](1)证明：设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图像上任一点，则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)．因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)]＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0，所以P ′也在y ＝f (x )的图像上，所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，所以f (－x )＝－2x －1.又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]．当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0，－2]，所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7.而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]－2x －1，x ∈[－2，0].。
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1．(2013·浙江卷)已知x ，y 为正实数，则( )
A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y
B ．2lg (x ＋y )＝2lg x ·2lg y
C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y
D ．2lg (xy )＝2lg x ·2lg y
解析： 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确． 答案：D
2．函数f (x )＝2|log 2x |的图象大致是( )
解析：∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ，x ≥1，1
x
，0<x <1，∴选C.
答案：C
3．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12
(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1
.其中在区间(0,1)
上单调递减的函数序号是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
答案：B
4. (2012·海口模拟)已知a ，b ∈R ，则“log 2a ＞log 2b ”是 “⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b
”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由a >b >0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，但由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b
⇒a >b ⇒ / log 2a >log 2b .故选A.
答案：A
5．(2012·重庆卷)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a ＝b ＜c
B ．a ＝b ＞c
C ．a ＜b ＜c
D ．a ＞b ＞c
解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，
而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B. 答案：B
6. (2013·河北石家庄质检)函数f (x )＝log a x 与g (x )＝b －x
(其中a ＞0，a ≠1，ab ＝1)的图象可能是( )
解析：若a ＞1，则f (x )＝log a x 是(0，＋∞)上的增函数，因为ab ＝1，所以1
b
＝a ＞1，
于是g (x )＝b －x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b
x 是R 上的增函数．故选C.
答案：C
7．(2013·揭阳二模)若点(a ，－1)在函数y ＝log 13x 的图象上，则tan 4π
a
的值为
________．
解析：将x ＝a ，y ＝－1代入函数解析式得：－1＝log 1
3
a ，解得：a ＝3，
则tan 4πa ＝tan 4π3＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫π＋π 3＝tan π3＝ 3. 答案： 3
8．(2013·山西四校联考)若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x ＞0，
－2x
＋1，x ≤0，则函数f (x )的零点为
__________．
解析：当x ＞0时，由log 2x ＝0得，x ＝1；当x ≤0时，由－2x
＋1＝0得x ＝0.所以函数的零点为0和1.
答案：0和1
9．(2013·北京东城区检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；
(3)若a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．
解析： (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1＞0，1－x ＞0，
解得－1＜x ＜1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}． (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}． 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，
故f (x )为奇函数．
(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}内是增函数，
所以f (x )＞0⇔x ＋1
1－x
＞1.解得0＜x ＜1.
所以使f (x )＞0的x 的解集是{x |0＜x ＜1}．
10．设x ，y ，z ∈R ＋，且3x ＝4y ＝6z
.
(1)求证：1z －1x ＝1
2y
；
(2)比较3x,4y,6z 的大小．
证明：设3x ＝4y ＝6z
＝k ，
因为x ，y ，z ∈R ＋，所以k ＞1，x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .
(1)1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2
＝12log k 4＝12log 4k ＝12y . 即1z －1x ＝1
2y
成立． (2)解析：因为k ＞1，所以lg k ＞0,
所以3x －4y ＝lg k
lg 3×lg 4(lg 64－lg 81)＜0，
4y －6z ＝lg k
lg 2×lg 6
(lg 36－lg 64)＜0，
所以3x ＜4y ＜6z .。