人教版九年级数学上册22.1.3二次函数 的图像和性质(第一课时)
4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____
>2
x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方
，则k
<2
.
课堂检测
基础巩固题
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位.
>0
（2）函数y=-x2+1，当x
对称轴右侧y随x增大而减小
__________________________
探究新知
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
y=ax2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（x=0）
y轴（x=0）
顶点坐标
（0,k）
（0,k）
最值
增减性
当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的
是 y轴 ，在 对称轴左 侧，y随着x的增大而增大；
在 对称轴右侧，y随着x的增大而减小.
探究新知
知识点 4
二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究
解析式
点的坐标
y=2x2-1
-1
(x, 2x2-1 )
+1
y=2x2
(x, 2x2 )
y=2x2+1
(x, 2x2+1)
函数对应值表
x
…
y=2x2-1
(0，-1)
y=x
2
探究新知
素养考点 1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1，
y = 2x2 -1的图象。
解析 先列表：
x
… -2 -1.5
-1 -0.5
0
0.5
1
1.5 2 …
y =2x2+1 … 9
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5 9 …
图象
性质
与y=ax2的关系
增减性结合开
平移规律：
2.k决定顶点位置；
口方向和对称
k正向上；
3.对称轴是y轴.
轴才能确定.
k负向下.
1.开口方向由a的符号决定；
当x
=0
时， y随x的增大而减小；
时，函数y有最大值，最大值y是
图象与y轴的交点坐标是
是 (-1,0),(1,0)
(0,1)
1 ，其
，与x轴的交点坐标
.
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
课堂检测
能力提升题
1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大
2
0
-2
2
-2
1
y x2
3
1
y1 x 2 2
3
1 2
y2 x 2
3
-4
x
探究新知
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 抛物线 .
向下
(2)三条抛物线的开口方向_______;
直线x=0
(3)对称轴都是__________
(4) 从上而下顶点坐标分别是
( 0，2) ( 0,0) ( 0,-2)
的图象．
1
y x2
2
与
解：先列表：
x
···
1
y x 2 ···
2
1
y x 2 1 ···
2
－3
9
2
11
2
－2
2
3
－1
1
2
3
2
0
0
1
1
1
2
3
2
2
2
3
3
9
2
11
2
···
···
···
1
y x2 1
2
探究新知
再描点、连线，画出这两个函数的图象：
1
y x2 1
2
y
1
y x2
8
6
4
2
-4
-2 O
-1
2
4 x
探究新知
【思考】
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点
各是什么？
y
解答：
y = 2x2 -1
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2x2+1
向上
x=0
（0,1）
y=2x2-1
向上
x=0
（0，-1）
y = 2x2+1
8
6
4
2
-4
-2 O
增大而减小；x＞0
时，y随x的增大而
增大.
当x＞0时，y随x的
增大而减小；x＜0
时，y随x的增大而
增大.
注意：
k带前
面的
符号！
探究新知
素养考点 2
二次函数y=ax2+k的性质的应用
例2 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值
c
相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
向 下 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
探究新知
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移
k
个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移
k
个单位长度得到.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
向下
x=0
（0，-2）
y= - x2
y= -x2-2
-4
1
y x2 +2
2
1
y x2
2
1
y x 2 -2
2
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
探究新知
知识点 2
二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
在同一直角坐标系中，画出二次函数
-1
2
4 x
巩固练习
y 1 x 2 ，y 1 x 2 2
2
1. 在同一坐标系中，画出二次函数
，
2
y 1 x 2 2 的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.
2
y
如图所示
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
x=0
（0,0）
y= - x2+2
向下
x=0
（0,2）
2
6
5
4
3
2
1
-4
-3 -2
-1
o
1
2
3
4
x
探究新知
【思考】抛物线
y
1 2
1
x ，y x 2 1
2
2
的开口方向、对称轴和顶
点各是什么？
抛物线
1
y x2
2
1
y x2 1
2
开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
（0,0）
y轴
向上
（0,1）
y轴
【想一想】通过观察图象，二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质是
y = 3x2
向上
（0,0）
y轴
有最低点
y = 3x2＋1
向上
(0,1)
y轴
有最低点
y = -4x2－5
向下
(0,-5)
y轴
有最高点
课堂检测
基础巩固题
3.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上 ，点
2+a（a不为0）
在
(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax
的图象上.
=2 ；若顶点位于
y = 2x2 -1 … 7
3.5
1
-0.5 -1
-0.5
1
3.5 7 …
探究新知
x
…
-2
-1.5 -1 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y = 2x2+1
…
9
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
9
…
y = 2x2 -1
…
7
3.5
1
-0.5 -1
-0.5
1
3.5
7
…
y
然后描点画图：
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
10
8
…
探究新知
2.描点，连线：
y
10
y=x2+1
8
y=x2-1
6
4
2
y=x2
O
-5
-2
5
x
探究新知
【思考】抛物线y=x2 、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对
称轴、顶点各是什么？
解：
抛物线
2
开口方向 对称轴
>2
x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方
，则k
<2
.
课堂检测
基础巩固题
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位.
>0
（2）函数y=-x2+1，当x
对称轴右侧y随x增大而减小
__________________________
探究新知
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
y=ax2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（x=0）
y轴（x=0）
顶点坐标
（0,k）
（0,k）
最值
增减性
当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的
是 y轴 ，在 对称轴左 侧，y随着x的增大而增大；
在 对称轴右侧，y随着x的增大而减小.
探究新知
知识点 4
二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究
解析式
点的坐标
y=2x2-1
-1
(x, 2x2-1 )
+1
y=2x2
(x, 2x2 )
y=2x2+1
(x, 2x2+1)
函数对应值表
x
…
y=2x2-1
(0，-1)
y=x
2
探究新知
素养考点 1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1，
y = 2x2 -1的图象。
解析 先列表：
x
… -2 -1.5
-1 -0.5
0
0.5
1
1.5 2 …
y =2x2+1 … 9
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5 9 …
图象
性质
与y=ax2的关系
增减性结合开
平移规律：
2.k决定顶点位置；
口方向和对称
k正向上；
3.对称轴是y轴.
轴才能确定.
k负向下.
1.开口方向由a的符号决定；
当x
=0
时， y随x的增大而减小；
时，函数y有最大值，最大值y是
图象与y轴的交点坐标是
是 (-1,0),(1,0)
(0,1)
1 ，其
，与x轴的交点坐标
.
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
课堂检测
能力提升题
1.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大
2
0
-2
2
-2
1
y x2
3
1
y1 x 2 2
3
1 2
y2 x 2
3
-4
x
探究新知
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 抛物线 .
向下
(2)三条抛物线的开口方向_______;
直线x=0
(3)对称轴都是__________
(4) 从上而下顶点坐标分别是
( 0，2) ( 0,0) ( 0,-2)
的图象．
1
y x2
2
与
解：先列表：
x
···
1
y x 2 ···
2
1
y x 2 1 ···
2
－3
9
2
11
2
－2
2
3
－1
1
2
3
2
0
0
1
1
1
2
3
2
2
2
3
3
9
2
11
2
···
···
···
1
y x2 1
2
探究新知
再描点、连线，画出这两个函数的图象：
1
y x2 1
2
y
1
y x2
8
6
4
2
-4
-2 O
-1
2
4 x
探究新知
【思考】
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点
各是什么？
y
解答：
y = 2x2 -1
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2x2+1
向上
x=0
（0,1）
y=2x2-1
向上
x=0
（0，-1）
y = 2x2+1
8
6
4
2
-4
-2 O
增大而减小；x＞0
时，y随x的增大而
增大.
当x＞0时，y随x的
增大而减小；x＜0
时，y随x的增大而
增大.
注意：
k带前
面的
符号！
探究新知
素养考点 2
二次函数y=ax2+k的性质的应用
例2 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值
c
相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
向 下 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
探究新知
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移
k
个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移
k
个单位长度得到.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
向下
x=0
（0，-2）
y= - x2
y= -x2-2
-4
1
y x2 +2
2
1
y x2
2
1
y x 2 -2
2
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
探究新知
知识点 2
二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
在同一直角坐标系中，画出二次函数
-1
2
4 x
巩固练习
y 1 x 2 ，y 1 x 2 2
2
1. 在同一坐标系中，画出二次函数
，
2
y 1 x 2 2 的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.
2
y
如图所示
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
x=0
（0,0）
y= - x2+2
向下
x=0
（0,2）
2
6
5
4
3
2
1
-4
-3 -2
-1
o
1
2
3
4
x
探究新知
【思考】抛物线
y
1 2
1
x ，y x 2 1
2
2
的开口方向、对称轴和顶
点各是什么？
抛物线
1
y x2
2
1
y x2 1
2
开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
（0,0）
y轴
向上
（0,1）
y轴
【想一想】通过观察图象，二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质是
y = 3x2
向上
（0,0）
y轴
有最低点
y = 3x2＋1
向上
(0,1)
y轴
有最低点
y = -4x2－5
向下
(0,-5)
y轴
有最高点
课堂检测
基础巩固题
3.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上 ，点
2+a（a不为0）
在
(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax
的图象上.
=2 ；若顶点位于
y = 2x2 -1 … 7
3.5
1
-0.5 -1
-0.5
1
3.5 7 …
探究新知
x
…
-2
-1.5 -1 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y = 2x2+1
…
9
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
9
…
y = 2x2 -1
…
7
3.5
1
-0.5 -1
-0.5
1
3.5
7
…
y
然后描点画图：
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
10
8
…
探究新知
2.描点，连线：
y
10
y=x2+1
8
y=x2-1
6
4
2
y=x2
O
-5
-2
5
x
探究新知
【思考】抛物线y=x2 、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对
称轴、顶点各是什么？
解：
抛物线
2
开口方向 对称轴
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03-第二十二章22.1.3二次函数y=a(x-h)2 k的图象和性质
确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为 (1,2),故A、B、C均不正确.∵抛物线开口向上,顶点(1,2)在第一象限, ∴抛物线与x轴没有交点,故D正确.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
的面积为16,则抛物线l2的函数表达式为
.
图22-1-3-2
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
解析 当y=0时,有 1 (x-2)2-2=0,
2
解得x1=0,x2=4,∴OA=4.
∵S阴影=OA·AB=16,∴AB=4,
∴抛物线l2的函数表达式为y= 1 (x-2)2-2+4= 1 (x-2)2+2.
当x=0时,y有最大值,y最大值=k
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
例1 (2017湖南邵阳模拟)关于二次函数y=-2x2+1的图象,下列说法中,正 确的是 ( ) A.对称轴为直线x=1 B.顶点坐标为(-2,1) C.可以由二次函数y=-2x2的图象向左平移1个单位得到 D.在y轴的左侧,图象上升,在y轴的右侧,图象下降
当x=h时,y有最大值,y最大值=0
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
例2 (2017广东潮州潮安期中)二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2,以下说法:
①它们的图象都是开口向上;②它们的图象的对称轴都是y轴,顶点坐标
都是原点(0,0);③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大;④它
二次函数的图象和性质(第1课时 )九年级数学上册课件(人教版)
然后描点、连线，得到图象如下图.
y
-4 -2 O 2 4
-2 4 6 8
由图象可知，这个函数 具有如下性质： 当x＜-1时，函数值y随x
x
的增大而增大； 当x＞-1时，函数值y随x 的增大而减小； 当x=-1时，函数取得最 大值，最大值y=3.
练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
( C) A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
4．【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛 物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( B )
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点 P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的 说法如下，
6．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函 数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( D)
A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
7．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( B)
(1)求 b、c 的值；
解：把 A(0，3)，B－4，－92的坐标分别代入
y＝－136x2＋bx＋c，得 c－＝1336，×16－4b＋c＝－92，解得bc＝＝398.，
(2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否有公共点？ 若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
人教版九上数学精品教学课件 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
2a
,
4a
。
2a
4a
二次函数 的一般表 达式
二次函数的 顶点式
对称轴为
x b 2a
。
因此，抛物线的对称轴是
x b 2a
b 4ac b2
，顶点是
2a
,
4a
。
二次函数y=ax2+bx+c的图象：顶点坐标
b 2a
，4ac 4a
b2
y
增减性？
y
最大值
y ax2 bx c
y ax2 bx c
（3）会根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.
推进新课
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系
思考 探索二次函数函数y 1 x2 - 6x 21的图象和性质。
2
解：y
1 2
x2
6x
21
配
12（x 6）2 3
方
有哪几种画
图方法？
y
1 2
x2
6x
21
12（x 6）2 3
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3
C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
综合运用
3.如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a(a是常数)与x轴相交于点A，B， 且过点C(5，4). (1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标； (2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二 象限，并写出平移后抛物线的解析式．
-4
顶点： (-1，-1)
-6
y
hO
k
x
y=a(x-h)2+k
怎么画二次函数 y=ax2+bx+c的图象?
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质课件2022-2023学年人教版九年级数学上册
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
4 函数y=4(x+1)2的图象是由抛物线__y_=_4_x_2____向左___
平移__1___个单位得到.
5.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_x_2_-2__, 再向上平移3个单位得到抛物线_y_=_-_2_x_2+_1_____; 若向 左平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_（__x_+_2_）__2 __，向右平 移2个单位得到抛物线__y_=_-2_（__x_-2_）__2____.
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 3)2 4
y 1 x2 3 2
y 3 (x 5)2 4
y 1(x 6)2 2
小结 拓展
你认为今天这节 课最需要掌握的是
________________ ？
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上.
画出二次函数
y
1 2
(
x
1)
2、
y
1 2
(
x
1)2
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 (2)
y＝ 3x－3， 析式为 y＝ 3 x－3.联立直线 DC 与抛物线的解析式可得y＝13x2－3， 解得
x1＝0， y1＝－3，
yx22＝＝63，3，
所以 M1(3
3 ，6)；
②如图，若点 M2 在点 B 下方，设 M2C 交 x 轴于点 E，易得∠OEC＝45 °－15°＝30°，易得 OE＝3 3 .
15．(10分)(云南中考)已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称 轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值； (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P 的坐标． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0， 解得k1＝－3，k2＝2，又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点， ∴3k＜0，∴k＝－3 (2)∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或 －2，当x＝2时，y＝－5，当x＝－2时，y＝－5.∴P(2，－5)或P(－2，－5)
(1)求m的值； (2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式； (3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐 标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将(0，－3)代入y＝x＋m，可得m＝－3
(2)将 y＝0 代入 y＝x－3 得 x＝3，所以点 B 的坐标为(3，0).
将(0，－3)，(3，0)代入
人教版
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．(3分)抛物线y＝x2＋1的图象大致是( C )
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
− 3
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质课件
人教版 九年级上
二次函数y=a（x-h）2+k 的图像和性质
导教入学新目课
标
一、复习回顾
回顾y=ax2的图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图象是什么？
2.它具有怎样的图象特征和性质？ 3.你是怎么研究的？
y y=x2
0
x
导教入学新目课
标
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线。
2.二次函数y=ax2的图象特征和性质： 对称轴是y轴，顶点是原点； 如果a＞0，抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而 减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
新教课学讲目解
标
练习：
抛物线y=-2x²向上移动1个单位后的对
称轴是
（D ）
A.直线x= 1
2
B.直线x=- 1
2
C.直线x=2
D.y轴
新教课学讲目解
标
2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
新教课学讲目解
标
(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、
画图。
－4 －2 -2 -4 -6 -8
新教课学讲目解
标
(3)归纳与总结：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质：
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位 置不同． 把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到 抛物线y＝a(x－h)2＋k． 平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
新教课学讲目解
标
么位置关系?
-1.5 -1 y
6
y=2x2+1
5
y=2x2
4
y=2x2-1
3
2 1
二次函数y=a（x-h）2+k 的图像和性质
导教入学新目课
标
一、复习回顾
回顾y=ax2的图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图象是什么？
2.它具有怎样的图象特征和性质？ 3.你是怎么研究的？
y y=x2
0
x
导教入学新目课
标
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线。
2.二次函数y=ax2的图象特征和性质： 对称轴是y轴，顶点是原点； 如果a＞0，抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而 减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
新教课学讲目解
标
练习：
抛物线y=-2x²向上移动1个单位后的对
称轴是
（D ）
A.直线x= 1
2
B.直线x=- 1
2
C.直线x=2
D.y轴
新教课学讲目解
标
2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
新教课学讲目解
标
(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、
画图。
－4 －2 -2 -4 -6 -8
新教课学讲目解
标
(3)归纳与总结：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质：
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位 置不同． 把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到 抛物线y＝a(x－h)2＋k． 平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
新教课学讲目解
标
么位置关系?
-1.5 -1 y
6
y=2x2+1
5
y=2x2
4
y=2x2-1
3
2 1
22.1.3二次函数 的图象(第1课时)
你能由函数y=2χ2的性质，得到函数y=2χ2+l的一些性质吗？
小组相互说说（一人记录，其余组员补充）
2、小组汇报：分组探讨这个函数的性质并归纳：当x<0时，函数值y随X的增大而减小；当x>0时，函数值y随X的增大而一增大，当x=0时，函数取得最小值，最小值y=1。
【例题3].你能说出函数y=4χ2和二。工2+%（小女
重点
探究y=OTz+%这类函数的图象.和.y=ad的图象的关系.
难点
y=cιx2+k这类函数的图象和性质的应用.
【教学环节支配】
环节
教学问
题设计
教学活动设计
情境引入
【问题1】
1.二次函数y=2χ2的图象具有哪些性质？
2.猜想二次函数y=2χ2+ι的图象与二次函数y=2χ2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？
成
果
展
示
通过本节课的学习，你驾驭了哪些学问？还有那些怀疑？
学习小组内相互沟通，探讨，.
补偿提高
1.抛物线y=4χ2+ι关于X轴对称的抛物线解析式为.
2.抛物线y=-gx?-2可由抛物线y=一q
向平移—一个单位得到的.
3.抛物线y=-x?+h的顶点坐标为（0,2）则h=.
4.抛物线y=4χ2-1与y轴的交点坐标为一X轴的交点坐标为・
3.能应用y=ax2+k这类函数图象与y=0?的图象的关系解决简洁的数学问题.
情感看法
1.通过学生对y=ax2+k的图象和性质的学习使学生初步体验到数学是一个充溢着,视察、试验、归纳、类比和揣测的探究过程.
2.通过学生自主探究实践，促进学生数学思维实力、创建实力的培育与提高，从而提高学习数学学问的爱好.
小组相互说说（一人记录，其余组员补充）
2、小组汇报：分组探讨这个函数的性质并归纳：当x<0时，函数值y随X的增大而减小；当x>0时，函数值y随X的增大而一增大，当x=0时，函数取得最小值，最小值y=1。
【例题3].你能说出函数y=4χ2和二。工2+%（小女
重点
探究y=OTz+%这类函数的图象.和.y=ad的图象的关系.
难点
y=cιx2+k这类函数的图象和性质的应用.
【教学环节支配】
环节
教学问
题设计
教学活动设计
情境引入
【问题1】
1.二次函数y=2χ2的图象具有哪些性质？
2.猜想二次函数y=2χ2+ι的图象与二次函数y=2χ2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？
成
果
展
示
通过本节课的学习，你驾驭了哪些学问？还有那些怀疑？
学习小组内相互沟通，探讨，.
补偿提高
1.抛物线y=4χ2+ι关于X轴对称的抛物线解析式为.
2.抛物线y=-gx?-2可由抛物线y=一q
向平移—一个单位得到的.
3.抛物线y=-x?+h的顶点坐标为（0,2）则h=.
4.抛物线y=4χ2-1与y轴的交点坐标为一X轴的交点坐标为・
3.能应用y=ax2+k这类函数图象与y=0?的图象的关系解决简洁的数学问题.
情感看法
1.通过学生对y=ax2+k的图象和性质的学习使学生初步体验到数学是一个充溢着,视察、试验、归纳、类比和揣测的探究过程.
2.通过学生自主探究实践，促进学生数学思维实力、创建实力的培育与提高，从而提高学习数学学问的爱好.
人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图像和性质(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图
像和性质(第1课时)
一等奖优秀教学设计-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
22.1.3. 二次函数的图像和性质教学设计
一、教材分析 1、地位作用：
二次函数y=ax 2+k 的图像和性质是人教版九年级数学上册第二十一章第三节第一课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念及y=ax 2的图像和性质之后引入的新内容。
本节课的教学内容既是对y=ax 2的图像和性质的引申，也是后面研究y=a(x-h)2+k 和一般形式的二次函数图像性质的基础。
所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。
2、教学目标：
（1）能够准确绘制y=ax 2+k 二次函数图像；通过图像发现和研究二次函数y=ax 2+k 的性质。
（2）会应用二次函数的性质解决问题.
（3）经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。
3、教学重、难点
教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索二次函数y=ax 2+k 的图像特点和性质。
教学难点：二次函数y=ax 2+k 的性质的应用。
突破难点的方法：类比一次函数的平移和二次函数2ax y 的性质学习，构建一个知识体系。
二、教学准备：多媒体课件，几何画板.。
22.1.3二次函数的图像与性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
x=h 减小 h
x=h 增大 h
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
பைடு நூலகம்
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
左右平移：括号内 左加右减自变量； 上下平移：括号外 上加下减函数值.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
数学享有盛誉还有另一个原因： 正是数学给了各种精密自然科学一定程 度的可靠性，没有数学，它们不可能获 得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦
这是函数 y=a(x-h)2+k 的性质
哦!
(h,k) 小
(h,k) 大
向上
增大 k
向下
减小 k
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
x=h 减小 h
x=h 增大 h
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
பைடு நூலகம்
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
左右平移：括号内 左加右减自变量； 上下平移：括号外 上加下减函数值.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
数学享有盛誉还有另一个原因： 正是数学给了各种精密自然科学一定程 度的可靠性，没有数学，它们不可能获 得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦
这是函数 y=a(x-h)2+k 的性质
哦!
(h,k) 小
(h,k) 大
向上
增大 k
向下
减小 k
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.