《确定一次函数表达式》典型例题

第12周 《确定一次函数表达式》例1 已知一次函数4)36(-++=n x m y ，求；（1）m 为何值时，y 随x 增大而减小；（2）n 为何值时，函数图像与y 轴的交点在x 轴下方； （3）m ，n 分别取何值时，函数图像经过原点；（4）若31=m ，5=n ，求这个一次函数的图像与两个坐标轴交点的坐标；（5）若图像经过一、二、三象限，求m ，n 的取值范围.·例2 设一次函数)0(≠+=k b kx y ，当2=x 时，3-=y ，当1-=x 时，4=y 。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。

例3（1）已知一次函数图像经过点（0，2）和（2，1）.求此一次函数解析式. （2）已知一次函数图像平行于正比例函数x y 21-=的图像，且经过点（4，3）.求此一次函数的解析式.例4求下列一次函数的解析式：（1）图像过点（1，－1）且与直线52=+y x 平行；[（2）图像和直线23+-=x y 在y 轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.例5 已知一次函数b kx y +=的图像与另一个一次函数23+=x y 的图像相交于y 轴上的点A ，且x 轴下方的一点),3(n B 在一次函数b kx y +=的图像上，n 满足关系式nn 16-=，求这个一次函数的解析式。

'例6 已知一次函数的图象交正比例函数图象于M 点，交x 轴于点N(-6，0)，又知点M 位于第二象限，其横坐标为-4，若△MON 面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．{例7 求直线012=++y x 关于x 轴成轴对称的图形的解析式。

例8 如图，ABC ∆是边长为4的等边三角形，求直线AB 和BC 的解析式．：例9 如图，直线y=x ＋3的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分．求直线l 的解析式．，即学即练：1、下面图像中，不可能是关于x 的一次函数)3(--=m mx y 的图像的是（ ）2、已知：)0(≠++=+=+=+c b a k cba b c a a c b ，那么k kx y +=的图像一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、已知直线)0(≠+=k b kx y 与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：①0,0>>b k ；②0,0<>b k ；③0,0><b k ；④0,0<<b k ，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4、4、正比例函数的图像如图所示，则这个函数的解析式是（ ）A ．x y = B ．x y -= C ．x y 2-= D ．x y 21-=5、已知直线m x y +-=2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求这条直线的函数解析式．6、已知直线b kx y +=过点（25，0），且与坐标轴所围成的三角形的面积为425，求该直线的函数解析式．@小专题：图像的平移规律1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。

2. 直线y=223+-x 向左平移2个单位得到直线 3. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 4. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线5. 直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。

6. 直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线 。

?7. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是 。

8. 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是 .9．把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是____________； 10．直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；过手练习1、已知直线12)31(-+-=k x k y1) 当k__________________时，直线过原点；2) 当k__________________时，直线与y 轴的交点坐标是（0，-2）； 3) 当k__________________时，直线与x 轴交于点（)0,434) 当k__________________时，y 随x 的增大而增大；5)!6)当k__________________时，该直线与直线53--=x y 平行。

2、已知点A )1,2(a a -+在函数12+=x y 的图像上，则a=____________。

3、一次函数k kx y -=，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图像经过 象限。

4、已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( )A B C D 5、一次函数y=ax+b 与y=ax+c (a>0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）A B C D 6、已知直线m x y +-=2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求这条直线的函数解析式．<7、已知：函数y = (m+1) x+2 m ﹣6（1）若函数图象过（﹣1 ，2），求此函数的解析式。

（2）求满足（1）条件的直线与y = ﹣3 x + 1 的交点并求这两条直线 与y 轴所围成的三角形面积*【能力提升训练】1、已知m 是整数，且一次函数(4)2y m x m =+++的图象不过第二象限，则m 为 .2、若直线y x a =-+和直线y x b =+的交点坐标为(,8)m ，则a b += .3、函数312y x =-，如果0y <，那么x 的取值范围是 4、若直线11y k x =+与24y k x =-的交点在x 轴上，那么12k k 等于（ ）.4A.4B-1.4C1.4D-:5、已知关于x的一次函数27y mx m=+-在15x-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7m>B．1m>C．17m≤≤D．都不对6、如图6，两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）7、已知一次函数2y x a=+与y x b=-+的图像都经过(2,0)A-，且与y轴分别交于点B，c，则ABC∆的面积为（）A．4 B．5 C．6 D．7~参考答案例1 分析（1）已知一次函数图像上两个点的坐标，代入解析式中可以求k、b值。

（2）求出直线与x轴、y轴两个交点，利用这两个交点与坐标轴所围的三角形是直角三角形可求出面积。

解（1）由题意，得⎩⎨⎧+-=+=-.4,23bkbk解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.35,37bk∴所求一次函数的解析式为.3537+-=xy（2）直线3537+-=xy与x轴交于)0,75(，与y轴交于)35,0(.∴这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.4225357521=⨯⨯例2 分析由于23+=xy与y轴的交点很容易求出，因此，要求bkxy+=的解析式，只要再求出bkxy+=上另一点的坐标就可以了，而),3(nB在x轴下方，因此0<n，利用nn16-=求出n的值就知道B点的坐标了。

解设点A的坐标为),0(m，∵点),0(mA在一次函数23+=xy的图像上，∴223=+⨯=m，即点A的坐标为)2,0(.(∵ 点),3(n B 在x 轴下方，∴ 0<n ，416162±==-=-n n nn ，，，而0<n ， ∴4-=n ，点B 的坐标为)4,3(-.又点)2,0(A ，)4,3(-B 在一次函数b kx y +=的图像上，∴⎩⎨⎧-=+=+⋅.43,20b k b k 解得22=-=b k ， ∴ 这个一次函数的解析式为.22+-=x y例3 解 设所求的直线解析式为b kx y +=. ∵ 012=++y x ， ∴ .12--=x y当0=y 时，21-=x ，即图像过对称轴上)0,21(-点，显然这一点也在b kx y +=上。

在012=++y x 上任取一点P ，如2=x 时，5-=y ，则)5,2(-P 可以知道P 点关于x 轴对称点的坐标为)5,2(P '。

∴ )5,2()0,21(，-都在所求的直线上，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-.52,021b k b k ∴ ⎩⎨⎧==.1,2b k ∴ 所求直线的解析式为12+=x y .%例4 分析：要确定一次函数的解析式，必须知道图象的两个已知点的坐标，而要确定正比例函数又必须知道图象上一个点的坐标，但题设中都缺少条件，它们交点坐标中不知道纵坐标的值．已知条件中给出了△MON 的面积，而△MON 的面积，因底边NO 可以求到，因此实际上需要把△MON 的面积转化为M 点的纵坐标解：根据题意画示意图，过点M 作MC ⊥ON 于C∵点N 的坐标为(-6，0) ∴|ON|=6∴MC=5∵点M 在第二象限 ∴点M 的纵坐标y=5 ∴点M 的坐标为(-4，5)`∵一次函数解析式为y=k 1x+b 正比例函数解析式为y=k 2x 直线y=k 1x+b 经过(-6，0)∵正比例函数y=k 2x 图象经过(-4，5)点，例5 解：（1）把52=+y x 变形为52+-=x y .；∵所求直线与52+-=x y 平行，且过点（1，－1）.∴设所求的直线为b x y +-=2，将1,1-==y x 代入，解得1=b . ∴所求一次函数的解析式为12+-=x y .（2）∵所求的一次函数的图像与直线23+-=x y 在y 轴上的交点相同. ∴可设所求的直线为2+=kx y .把3,2-==y x 代入，求得25-=k.∴所求一次函数的解析式为225+-=x y .说明：如果两直线2211,b x k y b x k y +=+=平行，则21k k =；如果两直线2211,b x k y b x k y +=+=在y 轴上的交点相同，则21b b =.掌握以上两点，在求一次函数解析式时，有时很方便.例6 解：（1）由A 可得⎩⎨⎧>-->,0)3(,0m m 故30<<m ，∴A 可能；由B 可得⎩⎨⎧>=--,0,0)3(m m 故3=m ，∴B 可能；.由C 可得⎩⎨⎧<--<,0)3(,0m m 此不等式组无解.故C 不可能，答案应选C.（2）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,,,kc b a kb c a ka c b 三式相加得：0 ,)()(2≠++⋅++=++c b a k c b a c b a ，∴2=k，故直线k kx y +=即为22+=x y .此直线不经过第四象限，故应选D.（3）直线b kx y +=与x 轴的交点坐标为：0,0,0,<>-⎪⎭⎫⎝⎛-k b k b k b 即b k ,异号，∴②、③正确，故应选B.（4）∵正比例函数)0(≠+=k b kx y 经过点（1，－1）， ∴x y k -=∴-= ,1，故应选B.说明：一次函数)0(≠+=k b kx y 中的b k ,的符号决定着直线的大致位置，题（3）还可以通过b k ,的符号画草图，来判断各个结论的正确性，这类题型历来都是各地中考中的热点题型，同学们一定要熟练掌握.#例7 解：（1）因为y 随x 增大而减小，所以036<+m ，解得：2-<m . 所以当2-<m ，n 为任何实数时，y 随x 的增大而减小.（2）因为图像与y 轴交点在x 轴下方，所以⎩⎨⎧<-≠+,04,036n m 解得⎩⎨⎧<-≠.4,2n m所以当2-≠m 且4<n 图像与y 轴交点在x 轴的下方.（3）因为图像经过原点，所以⎩⎨⎧=-≠+,04,036n m 解得⎩⎨⎧=-≠.4,2n m所以2-≠m 且4=n ，图像经过原点.》（4）把31=m ，5=n 代入)4()36(-++=n x m y 中得， 17+=x y .令0=x ，解得1=y ，所以图像与y 轴交点为（0，1）.令0=y ，解得71-=x ，所以图像与x 轴交点为⎪⎭⎫⎝⎛-0,71. （5）因为图像经过一、二、三象限，所以⎩⎨⎧>->+,04,036n m 解得⎩⎨⎧>->.4,2n m所以当2->m 且4>n 时，图像经过一、二、三象限.说明：主要考查一次函数的知识。