(完整word版)高一数学必修一函数的最值问题试题(1).doc
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.已知函数，则下列结论正确的是（）．A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是【答案】C【解析】，其图像如图所示，由图像得是奇函数，递减区间是.【考点】分段函数的图像与性质.2.己知函数，在处取最小值．（1）求的值；（2）在中，分别是的对边，已知,求角．【答案】（1）；（2）或．【解析】(1)先将函数解析式化为形如，这时要用倍角公式、降幂公式、两角和的正弦公式，得到，再利用在处取得最小值得关于的关系式，结合限制条件，解出；(2)解三角形问题，主要利用正余弦定理，本题可由，解出角，由正弦定理得，解出角或，再由三角形内角和为，解出或，本题求解角时，需注意解的个数，因为正弦函数在上有增有减．，所以有两个解．试题解析：（1）3分因为在处取得最小值，所以故，又所以 6分（2）由（1）知因为，且为的内角所以，由正弦定理得，所以或 9分当时，当时，综上，或 12分．【考点】1．倍角公式；2．两角和差公式；3．三角函数的图像与性质；4．用正余弦定理解三角形．3.定义在上的函数满足对任意的，有.则满足＜的x取值范围是( )A．（，）B．［，）C．（，）D．［，）【答案】A【解析】因为，所以函数在上单调增. 由＜得：【考点】利用函数单调性解不等式4.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】要使在区间上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以或即得的范围.【考点】二次函数的单调性.5.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）；（3）.【解析】(1)因为为奇函数，所以利用,求出的值；(2) 在（1）的条件下，证明的单调性，在恒成立，即,根据单调性，可以求出其最大值；(3)若函数在上是以3为上界的有界函数，则,将函数代入，反解,,利用函数的单调性求出他们的最大，和最小值，就是的范围.试题解析：解：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，得，而当时不合题意，故． 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间上单调递增，证明略． 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为． 8分（3）由题意知，在上恒成立．，．在上恒成立．10分设，，，由得,设，，,所以在上递减，在上递增， 12分在上的最大值为，在上的最小值为．所以实数的取值范围为． 14分【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的最值.6.设是上的奇函数，且时，，对任意，不等式恒成立，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【解析】（排除法）当，则得，即，整理得在时恒成立,而当时取最大值0，则恒成立，排除B，C项，同理再验证时,不成立，故排除D项.【考点】函数单调性的应用．7.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.【答案】（1）-1;（2）;（3）【解析】（1）因为为奇函数，所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得的值，由于真数大于零，所以排除.即可得到结论.（2）由（1）得到的值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间上单调递增.所以上，.即.所以可得.即存在常数，都有.所以所有上界构成的集合.（3）因为函数在上是以3为上界的有界函数，所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式，再通过分离变量求得的范围.试题解析：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，得，而当时不合题意，故. 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间上单调递增，证明略. 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为. 8分（3）由题意知，在上恒成立.，.在上恒成立.10分设，，，由得,设，，,所以在上递减，在上递增， 12分在上的最大值为，在上的最小值为 .所以实数的取值范围为. 14分【考点】1.函数的奇偶性.2.新定义的函数的性质.3.函数的最值的求法.4.分离变量的思想.8.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求；（2）求的解析式；（3）若，求区间.【答案】（1）；（2）；（3）区间为.【解析】(1) ∵是奇函数，，∴，∴，∴；(2)只需要求出的解析式即可，利用奇函数，所以设，则，则，再与的解析式和在一起，写出分段函数；(3)本题是已知函数的值域求定义域问题，根据函数图象可得在上单调递增，分别讨论，来求解，当时，解得；当时，解得；所以区间为.试题解析：（1）∵是奇函数，∴ 3分（2）设，则，∴∵为奇函数，∴ 5分∴ 6分（3）根据函数图象可得在上单调递增 7分当时，解得 9分当时，解得 11分∴区间为. 12分【考点】本题考查函数的性质（奇函数）；函数的解析式；函数的定义域和值域.9.已知函数，对于满足的任意，下列结论：（1）；（2）（3）；（4）其中正确结论的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．(3)(4)【答案】C【解析】因为函数，所以函数在定义域内单调递增，对于满足，可得与同号，所以（1）不正确.所以排除A,B两选项.由可得.因为函数递增，所以（2）成立.(3)不成立，斜率不可能都大于1，函数是下凹的图像，所以（4）正确.故选C.【考点】1.函数的单调性.2.函数的斜率公式.3.凹凸函数的性质.10.函数的图象可能是【答案】B【解析】函数定义域为，且，所以函数为偶函数，图像关于轴对称。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.（1）若在上单调递减,求的取值范围．（2）若使函数和都在上单调递增,求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意知，函数的定义域满足：在上恒成立，且函数在上单调递减，分别运用变量分离法和二次函数的单调性求出参数所满足的取值范围，取交集即可得出答案；（2）分别根据一次函数的图像和反比例函数图像知，当时，函数为单调递增的；当时，在上单调递增．试题解析：（1）由题意在上单调递减且在上恒成立．若在上单调递减，则,即；由在上恒成立得，当时显然成立；时可得：在上恒成立．因为，所以，故的取值范围是．（2）由函数在单调递增得: ，所以．又因为在上单调递增,所以．综上所述：的取值范围是．【考点】二次函数的单调性；一次函数的单调性；反比例函数的单调性．2.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上为减函数，且；且，；又因为在上为减函数，所以.【考点】函数的单调性与奇偶性.3.已知函数是定义在的奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，∵函数是奇函数∴当x＞0时，，∴∴f（x）在R上是单调递减函数，且满足9f（x+t）=f（3x+3t），不等式f（x）≤9f（x+t）在[t，t+1]恒成立，x≥3x+3t在[t，t+1]恒成立，即：在[t，t+1]恒成立，∴，解得，故实数t的最大值是．故选：A．【考点】函数恒成立问题, 函数的单调性与奇偶性．4.若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y)是y＝f(x)图象的对称中心，且x∈，求点A的坐标．【答案】(1)m＝－或m＝，a＝2(2)或.【解析】（1）先通过二倍角公式、两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为的形式，根据T=可求出a，函数f（x）的最大值等于m等于A+b 可求m的值．（2）若点A（x0，y）是y=f（x）图象的对称中心，且x∈，求出x＝,利用0≤≤，求出点A的坐标．.试题解析：解：.(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax＝sin2ax＝，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－或m＝；由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，所以m＝－或m＝，a＝2.(2)∵f(x)＝，∴令＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，由0≤≤(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为或.【考点】1.由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.正弦函数的对称性．5.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】要使在区间上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以或即得的范围.【考点】二次函数的单调性.6.已知函数定义在(―1，1)上，对于任意的，有，且当时，。
人教A版数学必修一第一章 10 函数最值.docx
高中数学学习材料唐玲出品必修1第一章 10 函数最值班级 学号 姓名 .【单点理解】1．已知函数1+=x y ，[]2,2-∈x ，则该函数的最大值为 ；最小值为 ．2．函数222+-=x x y 在定义域上有最 值 ．3．已知函数32+=x y ，下列说中正确的是（ ）（A ）函数在定义域上有最小值；（B ）若)2,1(∈x ，则函数有最大值7，最小值5；（C ）若[)2,1∈x ，则函数无最大值，但有最小值5；（D ）若(]1,1-∈x ，则函数无最值．4．已知函数2+=kx y ，[)+∞∈,0x ，下列说法中正确的是（ ）（A ）函数有最大值2 （B ）函数有最小值2（C ）当0>k 时函数有最大值2 （D ）当0<k 时函数有最大值25．下列四个命题中正确的是（ ）（A ）函数12++=x ax y 的最小值是a a 414- （B ）函数3+=x y 的最大值是3 （C ）函数xy 2=的最小值是0 （D ）函数3)1(2+--=x y 的最大值是3 【组合掌握】6．已知函数2)(2++=mx x x f 在)1,(-∞上是减函数，在),1(+∞上是增函数，求实数m 的值；并根据所求的m 的值求函数在),(+∞-∞上的最值．7．已知函数222+-=x x y ，[]2,3-∈x ，求该函数的最值．8．已知函数32+-=xy ，[]6,2∈x ，求该函数的最值．9． 已知函数12+=ax y ，试求该函数在定义域上的最值．【综合应用】10．某公司要生产一种产品，必须向另一公司租一种机器，出口该产品将获得利润．若获得的年利润与租机器的年租金之间的函数关系式为30201842-+-=x x y ，单位为万元．那么当机器的年租金为多少万元时，该公司的年利润最多？最大年利润是多少？11．已知函数32)(2--=x x x f ．（1）写出该函数的单调区间；（2）求函数在区间[]5,1-∈x 上的最值．12．已知函数xx x f 2)(+=． （1）试讨论函数在),0(+∞∈x 上的单调性，并证明之；（2）由（1）试求函数在),0(+∞上的最值．必修1第一章 10 函数最值1．最大值3；最小值－1；2．有最小值1；3．C ；4．D ；5．D ；6．2-=m ；最小值1；7．最大值17（x =－3时）；最小值1（x =1时）；8．最大值38；最小值2； 9．0=a 时，无最大最小值，函数值恒等于1；0>a 时，最小值为1；0<a 时，最大值为1；10．当机器的年租金为92万元时，该公司的年利润最多，最大年利润是5444万元；11．（1）增区间是：)1,1(-和),3(+∞；减区间是：)1,(--∞和),3(+∞；（2）最大值12；最小值0；12．（1）增区间是：),2(+∞；减区间：)2,0(（2）当2=x 时，取到最小值22．。
数学必修一《函数的最值》精选练习(含答案解析)
数学必修一《函数的最值》精选练习（含答案解析）一、选择题1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)>4,则f(x)的最小值是( )A.4B.f(4)C.4.001D.不能确定2.函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是( )A.2B.3C.-1D.13.函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为( )A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对4.已知函数f(x)=x2-4x+10,x∈[-1,m],并且f(x)的最小值为f(m),则实数m的取值范围是( )A.(-1,2]B.(-1,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,-1)5.已知f(x)=,则y=f(x+2)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为( )A.与B.与1C.与D.与6.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( )A.2B.-2C.2或-2D.07.函数f(x)=的最大值是( )A. B. C. D.二、填空题8.函数y=f(x)的定义域为[-4,6],且在区间[-4,-2]上递减,在区间(-2,6]上递增,且f(-4)<f(6),则函数f(x)的最小值是,最大值是.9.函数f()=x-1的最小值是.10.若函数y=(k>0)在[2,4]上的最小值为5,则k的值为.11.函数y=|-x2+2x+3|在区间[0,4]上的最大值是.12.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1,x2,总有>0成立,且f(-3)=a,f(-1)=b,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是.三、解答题(每小题10分,共20分)13.求函数f(x)=+x在[2,+∞)上的最小值.14.已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)+f(-x)=0.(2)若f(-3)=a,试用a表示f(24).(3)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)=-,试求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值.15.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示).(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的解析式.(2)设公司获得的利润为S元(利润=销售总价-成本总价;销售总价=销售单价×销售量,成本总价=成本单价×销售量).①试用销售单价x表示利润S;②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?16.已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.(1)求证:f(x)是R上的单调减函数.(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.参考答案与解析1【解析】选D.根据函数最小值的概念可知,此函数的最小值不能确定.【误区警示】对于最小值概念理解不到位而错选A.2【解析】选D.易判断f(x)在区间[1,3]上是单调递增的,所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)=1.【补偿训练】函数f(x)=在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是( ) A.,1 B.1, C.,1 D.1,【解析】选B.函数f(x)=在[2,6]上单调递减,当x=2时,f(x)有最大值为1,当x=6时,有最小值为.3【解析】选 A.函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,所以函数f(x)的最大值为f(2)=10,最小值为f(-1)=6.【补偿训练】设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x) ( )A.只有最大值B.只有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值【解析】选D.f(x)=画出图象可知,函数f(x)既无最大值又无最小值.4【解题指南】由条件可知f(x)在区间[-1,m]上单调递减,所在区间[-1,m]是f(x)在R上的减区间的子集,据此可求得m的范围.【解析】选A.函数f(x)=x2-4x+10的对称轴为直线x=2,所以f(x)在(-∞,2]上单调递减,又f(x)在[-1,m]上的最小值是f(m),所以[-1,m]是f(x)的单调减区间,所以-1<m≤2.5【解析】选A.因为f(x+2)=,x∈[2,8],易证f(x+2)=在[2,8]上是减少的,所以x=8时,y min=;x=2时,y max=,故选A.6【解析】选C.当a=0时,不满足题意;当a>0时,y=ax+1在[1,2]上为增函数,所以2a+1-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,y=ax+1在[1,2]上为减函数,所以a+1-(2a+1)=2,解得a=-2,故a=±2.7【解析】选D.分母1-x(1-x)=x2-x+1=+≥,显然0<f(x)≤,故最大值为.8【解析】因为y=f(x)在[-4,-2]上递减,在(-2,6]上递增,故当x=-2时f(x)取最小值f(-2),又因为f(-4)<f(6),所以最大值为f(6).答案:f(-2) f(6)9【解析】设=t,t≥0,所以f(t)=t2-1,t≥0,所以f(x)=x2-1,x≥0,因为f(x)=x2-1在[0,+∞)上为增函数,所以f(x)的最小值为-1.即f()=x-1的最小值是-1.答案:-110【解析】因为k>0,所以函数y=在[2,4]上是减函数,所以当x=4时,y min=,此时=5,所以k=20.答案:2011【解析】由y=知此函数在[0,3]上的最大值为4,在[3,4]上的最大值为5,所以在[0,4]上的最大值为5.答案:512【解析】由>0,得f(x)在R上是增函数,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是f(-1)=b.答案:b13【解析】设2≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=+x1--x2=+(x1-x2)=(x1-x2)<0.所以f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).所以f(x)=+x在[2,+∞)上单调递增.所以f(x)min=f(2)=+2.14【解析】(1)令x=y=0得f(0)=0,再令y=-x得f(-x)=-f(x),所以f(x)+f(-x)=0.(2)因为f(-3)=a则f(3)=-a,所以f(24)=8f(3)=-8a.(3)设x∈(-∞,+∞),且x1<x2,则f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1),又因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,f(x1)+f(x2-x1)<f(x1),所以f(x2)<f(x1),所以f(x)在R上是减少的,所以f(x)max=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(x)min=f(6)=6f(1)=6×=-3.15【解析】(1)由图象知,当x=60时,y=40;当x=70时,y=30,代入y=kx+b中,得解得所以y=-x+100(50≤x≤80).(2)①由题意可知:S=xy-50y=x(-x+100)-50(-x+100)=-x2+150x-5000=-(x-75)2+625(50≤x≤80).②由①知S=-(x-75)2+625(50≤x≤80),当x=75时,利润S取得最大值625,所以当销售单价为75元/件时,可获得最大利润625元,此时销售量为25件. 16【解析】(1)设x1和x2是任意的两个实数,且x1<x2,则x2-x1>0,因为x>0时,f(x)<0,所以f(x2-x1)<0,又因为x2=(x2-x1)+x1,所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<f(x1).所以f(x)是R上的单调减函数.(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2. 所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.。
人教A版数学必修一函数的单调性与最值典型题.docx
函数的单调性与最值典型题1．对函数y ＝lg(|x |＋1)单调性的叙述正确的是( ) A ．在(－∞，＋∞)上单调递增 B ．在(－∞，＋∞)上单调递减 C ．在(0，＋∞)上单调递增D ．在(0，＋∞)上单调递减解析：选C y ＝lg(|x |＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －x ＋x，故函数在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，故选C.2．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞)) C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N )D ．y ＝1|x ＋1|解析：选D A 项值域为y ≥0，B 项值域为y >1，C 项中x ∈N ，故y 值不连续，只有D 项y >0正确． 3．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．先减后增解析：选B 由已知得a <0，b <0，∴对于y ＝ax 2＋bx ，a <0时图象开口向下，对称轴方程为x ＝－b2a <0，∴y＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)为减函数．4．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)解析：选A 方法一：∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)． ∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 方法二：由题意知函数y ＝2x －1在(－∞，1)和[2,5)上为减函数，故当x ∈(－∞，1)时，y ∈(－∞，0)；当x ∈[2,5)时，y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.故选A.5．设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－6,2]，则m ＋n 的取值所组成的集合为( ) A ．[0,3] B ．[0,4] C ．[－1,3]D ．[1,4]解析：选B 由题意可得，函数f (x )＝－2x 2＋4x 图象的对称轴为x ＝1，故当x ＝1时，函数取得最大值2.因为函数的值域是[－6,2]，令－2x 2＋4x ＝－6，可得x ＝－1或x ＝3.所以－1≤m ≤1,1≤n ≤3，所以0≤m ＋n ≤4.故选B.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C 当x ≥0时f (x )＝x 2＋4x ，可知f (x )在[0，＋∞)上递增，当x <0时f (x )＝4x －x 2，可判断f (x )在(－∞，0)上递增，故由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0.解得－2<a <1.7．如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2 (3x －1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．－1解析：选C 根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 2 8＋log 2 2＝4.8．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x x ，x 2－3x x ，作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x <1，2x，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．解析：[3，＋∞) 由条件知当x <1时f (x )单调递减；当x ≥1时，f (x )单调递增，故实数a 应满足－1＋a ≥2，得a ≥3.10．已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：(1，＋∞) 由题意可知，当a >1时，y ＝ax 2－x 在[3,4]上递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12a ≤3，9a －3>0，解得a >1.当0<a <1时，y ＝ax 2－x 在[3,4]上递减， 且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a ≥4，16a －4>0，此不等式组无解．综上a >1. 10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2(x ≠－2)．设x 1<x 2<－2. 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解：设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， ∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0,1]．11．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，∴2a 2－a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝8(2a 2－a －3)≤0. ∴－1≤a ≤32.∴a ＋3>0，∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)．即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.。
高中数学苏教版必修一 2.2.1第2课时 函数的最值 作业 Word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1.函数f (x )＝x 2＋2ax ＋a ＋1在(－∞ ,2]上是减函数 ,在[2 ,＋∞)上是增函数 ,那么f (x )的最|小值为________．解析：由题意 ,－a ＝2 ,即a ＝－2 ,f (x )＝x 2－4x －1＝(x －2)2－5 ,故f (x )最|小值为－5.答案：－52.函数f (x )＝x ＋x －1的最|小值为________．解析：f (x )定义域为[1 ,＋∞] ,x ＝1时f (1)＝1 ,x >1时f (x )>x > 1 ,∴f (x )在[1 ,＋∞)上单调递增 ,∴f (x )min ＝f (1)＝1.答案：13.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2 0≤x ≤12 1<x <2 3 x ≥2的最|大值是________．解析：0≤x ≤1时 ,f (x )＝2x 2≤2；1<x <2时 ,f (x )＝2；x ≥2时 ,f (x )f (x )的最|大值是3.答案：34.函数f (x )＝2x x ＋1(x ∈[0 ,2])的最|大值为________． 解析：∵f (x )＝2 (x ＋1 )－2x ＋1＝2－2x ＋1, ∴f (x )＝2x x ＋1在x ∈[0 ,2]上单调递增 , 所以当x ＝2时 ,f (x )max ＝43. 答案：435.函数f (x )＝11－x (1－x )的最|大值是________． 解析：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34. 因此 ,有0＜11－x (1－x )≤43.所以f (x )的最|大值为43. 答案：436.对a ,b ∈R ,记max{a ,b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥b b a ＜b,函数f (x )＝max{|x ＋1| ,|x －2|}(x ∈R )的最|小值是________．解析：法一：f (x )＝⎩⎨⎧2－x x <12x ＋1 x ≥12 ,f (x )在(－∞ ,12)和[12 ,＋∞)上分别为减函数和增函数． ∴[f (x )]min ＝f (12)＝32.法二：作函数f (x )的图象如图 ,由图知当x ＝12时 ,[f (x )]min ＝f (12)＝32. 答案：32二、解答题7.函数f (x )＝x 2＋mx －1 ,且f (－1)＝－f (x )在区间[2 ,3]上的最|值．解：∵f (－1)＝－3 ,得1－m －1＝－3 ,∴m ＝3 ,那么f (x )＝x 2＋3x －1＝(x ＋32)2－134. ∴f (x )在区间(－32,＋∞)上是增函数 , 又∵[2 ,3]⊆(－32,＋∞) , 故在区间[2 ,3]上 ,当x ＝2时 ,f (x )min ＝9；当x ＝3时 ,f (x )max ＝17.8.函数y ＝－x 2＋4x －2.(1)假设x ∈[0 ,5] ,求函数的单调区间；(2)假设x ∈[0 ,3] ,求函数的最|大值、最|小值；(3)假设x ∈[3 ,5] ,求函数的最|大值、最|小值．解： 作出函数y ＝－x 2＋4x －2的图象 ,由图象可知：(1)当x ∈[0 ,5]时 ,函数y ＝－x 2＋4x －2的单调递增区间是[0 ,2] ,单调递减区间是[2 ,5]． (2)∵0≤x ≤3 ,f (x )＝－x 2＋4x －2 ,其对称轴为x ＝2 ,∴函数最|大值为f (2)＝2. 又f (0)<f (3) ,∴x ＝0时 ,函数有最|小值－2.(3)∵区间[3 ,5]在对称轴x ＝2的右侧 ,即当x ∈[3 ,5]时 ,函数单调递减 ,∴当x ＝3时 ,函数有最|大值1 ,当x ＝5时 ,函数有最|小值－7.[（高|考）水平训练]一、填空题1.函数f (x )＝|x －1|＋|2－x |的最|小值为________．解析：法一：f (x )＝|x －1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3x >2 11≤x ≤23－2x x <1作出函数图象(如图)易得f (x )最|小值为1.法二：在数轴上 ,设实数1 ,2 ,x 分别对应点A ,B ,P ,那么|x －1|＋|2－x |＝A P ＋B P ,结合图象易得A P ＋B P ≥AB ＝1 ,当P 在A ,B 之间时取等号．答案：12.定义域为R 的函数y ＝f (x )的最|大值为M ,最|小值为N ,那么函数y ＝f (2x )＋3的最|大值为________ ,最|小值为________．解析：y ＝f (2x )的最|大值为M ,最|小值为N ,故y ＝f (2x )＋3的最|大值为M ＋3 ,最|小值为N ＋3.答案：M ＋3 N ＋3二、解答题3.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[－1 ,1]上的最|小值．解：函数f (x )的对称轴为x ＝a ,且函数图象开口向上 ,如下图：当a ＞1时 ,f (x )在[－1 ,1]上单调递减 ,故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；当－1≤a ≤1时 ,f (x )在[－1 ,1]上先减后增 ,故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；当a ＜－1时 ,f (x )在[－1 ,1]上单调递增 ,故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知 ,f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a (a ＞1 )2－a 2 (－1≤a ≤1 ).3＋2a (a ＜－1 )4.我国是水资源比拟贫乏的国|家之一 ,各地采用价风格控等手段以到达节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝根本费＋超额费＋定额损消耗．且有如下三条规定： ①假设每月用水量不超过最|低限量 ,即m 立方米时 ,只付根本费9元和每户每月定额损消耗a 元；②假设每月用水量超过m 立方米时 ,除了付根本费和定额损消耗外 ,超过局部每立方米付n 元的超额费；③每户每月的定额损消耗a 不超过5元．(1)求每户每月水费y (元)与月用水量x (立方米)的函数关系；(2),并求m ,n ,a 的值． 解：(1)依题意 ,得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a 0<x ≤m ①9＋n (x －m )＋a x >m ②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5 ,∴9<9＋a ≤14. 由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元 ,故用水量4立方米 ,5立方米都大于最|低限量m 立方米． 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝23分别代入② , 得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n (4－m )＋a 23＝9＋n (5－m )＋a .两式相减 ,得n ＝6 ,把n ＝6代入17＝9＋n (4－m )＋a ,得a ＝6m －16.,水费为11元<14元．∴将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5y ＝11代入① ,得11＝9＋a , 解得a ＝2 ,将a ＝2代入a ＝6m －16 ,得m ＝3.∴该家庭今年一、二月份的用水量超过了最|低限量 ,三月份的用水量没有超过最|低限量 ,且m ＝3 ,n ＝6 ,a ＝2.。
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】为非奇非偶函数，为偶函数，是奇函数，但在定义域内不是增函数。
【考点】奇函数与增（减）函数的定义。
2.设函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式的的取值范围是．【答案】.【解析】∵是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，∴在上单调递减，故不等式等价于或，∴的取值范围是.【考点】1.偶函数的性质；2.对数的性质.3.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当时，f(x)＝x＋sinx，则( )A．f(1)<f(2)<f(3)B．f(2)<f(3)<f(1)C．f(3)<f(2)<f(1)D．f(3)<f(1)<f(2)【答案】D【解析】由已知得函数关于对称，当时，是单调递增函数，当时函数是单调递减函数，比较1,2,3距离对称轴的远近得出,故选D.【考点】1.函数的对称性；2.函数的单调性.4.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A．；B．C．；D．【答案】D【解析】由题意知当时,函数,当时,函数,所以不等式的解为.故正确答案为D.【考点】1.函数的单调性、奇偶性;2.不等式的解5.对于定义在上的函数，有如下四个命题：①若，则函数是奇函数；②若则函数不是偶函数；③若则函数是上的增函数；④若则函数不是上的减函数．其中正确的命题有______________.（写出你认为正确的所有命题的序号）.【答案】②④【解析】①例如满足，但函数不是奇函数；故①错误②若则函数不是偶函数；正确③例如，，但函数在R上不是增函数；故③错误④若，则函数不是R上的减函数，正确所以填②④【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．6.设函数。
（Ⅰ）若且对任意实数均有成立,求的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,当时,是单调函数,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）根据得出a，b关系，再在定义域上恒成立，可得a，b的值，从而得出表达式.（Ⅱ）由（Ⅰ）可推出表达式，又为单调函数，利用二次函数性质求得实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）恒成立，知从而 .（6分）（Ⅱ）由（1）可知，由于是单调函数，知 .（12分）【考点】二次函数求解析式，单调区间求参量.7.若函数，在上单调递减，则a的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数，在上单调递减，令，则在区间上是单调递减函数，且恒成立，所以，解得.【考点】函数的单调性8.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，那么当时，的递减区间是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则由已知得的定义域为，且为奇函数，当时，，所以当时，有，此时其单调递减区间为，而对于函数来说，其单调递减区间为.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数图像的平移.9.设，则的大小关系是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因指数相同，可由幂函数在上为增函数知；因底数相同，可由指数函数在上为减函数知，再由不等式的传递性知故选A.【考点】初等函数单调性及应用，不等式基本性质.10.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数开口向上，对称轴为，且函数在为减函数，所以，解得．故答案为．【考点】二次函数的单调性11.若那么下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；结合函数的单调性可知，结合的单调性可知成立【考点】比较大小点评：题目中比较大小借助于函数单调性将要比较的函数值关系转化为自变量关系12.已知函数在区间内恒有，则函数的单调递减区间是 .【答案】【解析】根据题意，由于函数在区间内恒有，即可知,因此可知外层的对数函数得到递增，那么内层是二次函数，定义域为,因此可知内层的减区间即为所求，开口向上，对称轴x=1，可知就是减区间，故答案为【考点】对数函数单调性点评：解决的关键是对于对数函数的值域的理解和运用，以及复合函数单调性的判定，属于基础题。
高一数学必修一函数的最值问题试题
函数的最值问题（高一）一．填空题：1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是 。
1()f x x=，[]1,3x ∈的最小值是 。
2.函数y =的最小值是 ，最大值是3.函数212810y x x =-+的最大值是 ，此时x = 4.函数[]23,3,21x y x x -=∈--+的最小值是 ，最大值是 5.函数[]3,2,1y x x x=-∈--的最小值是 ，最大值是 6.函数y=2-x -21+x 的最小值是。
y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是 最小值是 .8.函数()21f x x =-在[2,6]上的最大值是 最小值是 。
9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值 。
12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 222251x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为：18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是 。
二、解答题20.已知二次函数 在 上有最大值4，求实数 a 的值。
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函数的最值问题（高一）一．填空题：1. f ( x)3x 5, x[3,6] 的最大值是。
f ( x)11,3 的最小值是。
， xx2.函数 y 12 4x x 2 的最小值是，最大值是 3.函数 y1的最大值是，此时 x2 x 2 8x104.函数 y 2x 3 3, 2 的最小值是，最大值是x , x15.函数 y 3 2, 1 的最小值是，最大值是x , xx 16.函数 y= x 2 - 的最小值是。
y x 1 2x 的最大值是x 27.函数 y=|x+1| –|2-x| 的最大值是 最小值是.8.函数 f x2 在 [2,6] 上的最大值是 最小值是。
x 19.函数 y= 3x（ x ≥ 0）的值域是 ______________.1 2x10.二次函数 y=-x 2+4x 的最大值11. 函数 y=2x 2-3x+5 在[-2 ，2] 上的最大值和最小值 。
12.函数 y= -x 2 -4x+1 在 [-1 , 3] 上的最大值和最小值13.函数 f （ x ） =1 的最大值是y 2x 22x 5的最大值是1 x(1 x)x 2 x 114. 已知 f （ x ） =x 2－ 6x+8， x ∈［ 1，a ］并且 f （ x ）的最小值为 f （ a ），则 a 的取值范围是15.函数 y= –x 2–2ax(0 x 1)的最大值是 a 2,那么实数 a 的取值范围是16．已知 f （ x ）=x 2－2x+3 ，在闭区间［ 0， m ］上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是17. 若 f(x)= x2+ax+3 在区间 [1,4] 有最大值 10，则 a 的值为：18.若函数 y=x 2 3x 4 的定义域为 [0,m], 值域为 [ 25/4, 4],则 m 的取值范围是19. 已知 f （ x ） =-x 2+2x+3 , x ∈［ 0， 4］ ,若 f （ x ）m 恒成立， m 范围是。
二、解答题20.已知二次函数 f ( x)a x 22ax 1 在 x3,2 上有最大值 4，求实数 a 的值。
21.已知二次函数 f ( x)x 22ax 1 a 在 x 0,1 上有最大值 2，求a的值。
22.求函数 y=x 2-2ax-2 在区间 [0， 2]上的最小值．23..求函数 y=2x 2+x- 1 在区间 [t, t+2] 上的最小值24.已知二次函数 f ( x ) ax2 ( 2a 1)x 1 在区间3,2上的最大值为3，求实数 a 的值。
2函数的最大值和最小值问题（高一）一．填空题：1.函数 y2.函数 y3.函数 y4.函数 y5.函数 y6.函数 y=x 2 4x 3, x1,1 的最大值是，最小值是 8； 012 4x x 2 的最小值是，最大值是 0； 42 x 21 10 的最大值是，此时 x1； 28x22x 3 , x 3, 2 的最小值是，最大值是 9 ； 11x 12 3x3, x 2, 1 的最小值是 ，最大值是1； 2x2x 2 -1。
y x 1 2x 的最大值是1 的最小值是 2x 27.函数 y=|x+1| –|2-x| 的最大值是3最小值是-3 .8.函数 f x2 在 [2,6] 上的最大值是 最小值是。
x 19.函数 y= 3x（ x ≥ 0）的值域是 ______________.1 2x10.二次函数 y=-x 2+4x 的最大值11. 函数 y=2x 2-3x+5 在[-2 ，2] 上的最大值和最小值 。
12.函数 y= -x 2 -4x+1 在 [-1 , 3] 上的最大值和最小值13.函数 f （ x ） =11 的最大值是y 2x22x 5的最大值是 6x(1 x)x 2x 114. 已知 f （ x ） =x 2－ 6x+8， x ∈［ 1，a ］并且 f （ x ）的最小值为 f （ a ），则 a 的取值范围是（ 1， 3］15.函数 y= –x 2–2ax(0 x 1)的最大值是 a 2,那么实数 a 的取值范围是 （–1 a 0）16．已知 f （ x ）=x 2－ 2x+3，在闭区间［ 0，m ］上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 __m ∈［ 1，2］17. 若 f(x)= x2+ax+3 在区间 [1,4] 有最大值 10，则 a 的值为：－918.若函数 y=x 243x 4 的定义域为 [0,m], 值域为 [25/4, 4],则 m 的取值范围是[3/2,3]19. 已知 f （ x ） =-x 2+2x+3 , x ∈［ 0， 4］ ,若 f （ x ） m 恒成立， m 范围是。
二、解答题20.已知二次函数 f ( x)a x 2 2ax 1 在 x3,2上有最大值 4，求实数 a 的值。
解：因为有固定的对称轴 x1 ，且 13,2（ ）若 a >0 时，则 f (2)4即 8a14∴ a3 81（2）若 a < 0 时，则 f ( 1) 4 即 a 2a 1 4 ∴ a3综上可知：a 3 8 或a321.已知二次函数 f ( x)x 2 2ax1 a 在 x 0,1 上有最大值 2，求a的值。
解：分析：对称轴 x a与区间 0,1的相应位置分三种情况讨论：（ ）当 a < 0 时， f ( 0) 1 a 2 a 1（2）当0 a1 时，f (a)a 2a 1 22a1无解；即a（3）当 a > 1 时， f (1) a2∴a=2. 综上可知： a=-1 或 a=222.求函数 y=x 2-2ax-2 在区间 [0， 2]上的最小值．解：对称轴 x=a 与区间 [0， 2] 的相应位置分三种情况讨论： （ 1） a ＜ 0 时，在区间 [0， 2]上单调递增，故 ymin=-2（ 2） 0≤ a ≤2 时，在对称轴处取最小值，故 ymin=-a 2-2 （ 3） a ＞ 2 时，在区间 [0， 2]上单调递减，故 ymin=2-4a ，综合可得， a ＜ 0 时， ymin=-20≤ a ≤ 2 时， ymin=-a 2-2 a ＞ 2 时， ymin=2-4a ．23..求函数 y=2x 2+x- 1 在区间 [t, t+2] 上的最小值解:函数 y= 2x 2+ x-1 的对称轴是 x=1 4（1）当对称轴 x=1在区间[ t , t+2 ] 的左侧时 , 则 t > 12+ x-1 在区4 4此时函数 y= 2x间[ t , t+2 ] 上是增函数。
所以，当 x= t 时 y m in= 2t 2 + t-1(2) 当对称轴 x=14 在区间 [ t , t+2 ] 上时 , 则 t14t+29即41时，所以，当 x=1 时 y m in =9 t 4 48(3)当对称轴 x=1 在区间 [ t , t+2 ] 的右侧时 , 则 t+2<1 4 4即 t <9时 y m in =2t 2+9t+94 时， 函数在区间 [ t , t+2 ] 上是减函数。
所以，当 x=t+224.已知二次函数 f ( x )ax 2( 2a 1)x 1 在区间3 ,2 上的最大值为 3，求实数 a 的值。
2分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 0 与 a 0 两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。
若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检 验其真假，过程就简明多了。
解 ：（ 1 ） 令 f (2a 13 ， 得 a12 ， 且2a )此 时 抛物 线 开 口 向 下 ， 对 称 轴 方 程 为 x223,2 ，故 1 不合题意；2 2（ 2）令 f ( 2 ) 3 ，得 a1 1 此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故 a 符合22题意；3 ) 3 ，得 a 2 闭区间的右端点距离对称轴较远， 2 （ 3）若 f (此时抛物线开口向下， 故 a2 33符合题意。
综上， a 1 2或 a32。