13谓词逻辑
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第3章 谓词逻辑
【谓词公式的类型】根据公式与解释的关系，可以把谓词公式分为三种 类型：永真式、矛盾式和可满足式。 定义 3.13 若公式 A 在任何解释下均为真，则称 A 为永真式。 定义 3.14 若公式 A 在任何解释下均为假，则称 A 为矛盾式(或永假式)。 定义 3.15 若(至少)存在一个解释使公式 A 为真，则称 A 为可满足式。
例3.5 用谓词公式表示下列命题： (1) 所有人都吃饭 (2) 存在不吃饭的人 (2) 没有不吃饭的人
令 M (x) 表示： x 是人
E (x) 表示： x 吃饭 （1） x ( M ( x ) E ( x)) （2） x( M ( x) E ( x)) （3） (x( M ( x) E ( x)))
• 存在量词：表示个体变元在个体论域中取某个值 的量词称为存在量词
符号 加上一个个体变元表示。如 x, y
量词
所有的、任意的、一切的、每一个 有些、至少有一个、某一些、存在
x
x
3.2 谓词公式
定 义 3.5 设 P 是 一 个 n 元 谓 词 ， t1 , t2 ,, tn 是 项 ， 则
P(t1 , t2 ,, tn ) 构成一个谓词公式，称为原子谓词公式。
F(x): x 是奇数 H(x,y): x 大于 y L(x,y): x 比 y 聪明
定义 3.6 谓词逻辑中的合式公式定义如下： (1) 任何一个原子谓词公式都是合式公式； (2) 若 A 是合式公式，则 ( A ) 也是合式公式； (3) 若 A， 是合式公式， ( A B ) ， A B ) ， A B ) ， B 则 ( ( ( A B ) 都是合式公式； (4) 若 A 是合式公式，则 ( xA ) ， ( xA ) 也是合式公式； (5) 仅由(1)—(4)在有限步内产生的公式才是合式公式。
《离散数学》谓词逻辑
§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。
24
谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）
第三章 谓词逻辑与归结原理
以正向推理所得结果作为假设进 行反向推理
退出
是 还需要正向推理吗？
否
2014-4-9
18
华北电力大学
概述-推理的控制策略
搜索策略
推理时，要反复用到知识库中的规则，而知识库中 的规则又很多，这样就存在着如何在知识库中寻找 可用规则的问题 为有效控制规则的选取，可以采用各种搜索策略 常用搜索策略：
归结推理方法在人工智能推理方法中有着很重 要的历史地位，是机器定理证明的主要方法
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25
华北电力大学
归结法的特点
归结法是一阶逻辑中，至今为止的最有效的半可 判定的算法。也是最适合计算机进行推理的逻辑 演算方法 半可判定 一阶逻辑中任意恒真公式，使用归结原理，总 可以在有限步内给以判定（证明其为永真式） 当不知道该公式是否为恒真时，使用归结原理 不能得到任何结论
(5) 上下文限制
上下文限制就是把产生式规则按它们所描述的上下文分组，在某种 上下文条件下，只能从与其相对应的那组规则中选择可应用的规则
2014-4-9
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华北电力大学
概述-推理的控制策略
推理的控制策略
3．冲突解决策略
(6) 按匹配度排序
在不精确匹配中，为了确定两个知识模式是否可以进行匹配，需要 计算这两个模式的相似程度，当其相似度达到某个预先规定的值时，就 认为它们是可匹配的。若有几条规则均可匹配成功，则可根据它们的匹 配度来决定哪一个产生式规则可优先被应用
如专家系统、智能机器人、模式识别、自然语言理解等
推理
按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程。 推理是由程序实现的，
称为推理机
医疗诊断专家系统
• 知识库中存储经验及医学常识 • 数据库中存放病人的症状、化验结果等初始事实 • 利用知识库中的知识及一定的控制策略，为病人诊治疾病、开出医疗处方就 是推理过程
2-123 谓词逻辑(Predicate Logic)
2-2.2 量词(quantifier)
定义：特性谓词 在讨论带有量词的命题函数时，必须确 定其个体域，为了方便，可使用全总个体域。 限定客体变元变化范围的谓词，称作特性谓 词。 利用特性谓词，对以上两个命题进行符 号化 (1) (x)( M(x)→F(x) ) (2) (x)( M(x)∧G(x) )
ax可以表示x是a类型的命题表达了客体的性质称为一元谓词可以表示x小于y类型的命题表达了客体之间的关系称为二元谓词可以表示点x在y与z之间类型的命题表达了客体之间的关系称为三元谓表示n元谓词在这里n个客体变元的顺序不能随意改动
第二章 谓词逻辑 Predicate Logic
前言
苏格拉底三段论(Socrates syllogism)： 所有人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 （ Socrates, 古希腊哲学家,公元前470~前 399） (孔子,中国伟大哲学家,公元前551~前479)
定义2．存在量词(existential quantifier) 用符号 “ ” 表示。 x 表示存在个体域里的个体。 (x)P(x)表示存在个体域里的个体具有性质P。 符号“”称为存在量词，用以表达“某个”，“存在一 些”，“至少有一个”，“对于一些”等词。 The existential quantifier , a backward E is used to form propositions like （x）P(x), which we read as “there exists an x such that P(x),” “there is an x such that P(x),” or “for some x, P(x).” The compound proposition （x）P(x) has these truth values: （ x ） P(x) is true if P(x) is true for at least one x in U; （x）P(x) is false if P(x) is false for every x in
《离散数学》谓词逻辑
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
7
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
3.1 自然语言的谓词符号化
第 3章 谓词逻辑
8
命题是具有真假意义的陈述句，从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。
学习要求
重点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词公式的解释 3 特性谓词识别与翻译 4 基本等价规律 5 量词去掉/添加规则 6 谓词逻辑的推理
第 3章 谓词逻辑
6
难点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词逻辑与命题逻辑的联系与区别 3 谓词翻译的两条原则 4 合式公式的解释 5 量词去掉/添加规则的正确使用
历史人物
第 3章 谓词逻辑
4
1848-1923，德国数学家、 逻辑学家和哲学家
1906-1978，美籍奥地利数学家、逻 辑学家和哲学家，二十世纪最伟大的 逻辑学家之一
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
5
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
(x)(P(x)∧C(x))
谓词符号
变量符号
提出问题
第 3章 谓词逻辑
22
符号化“李兰的母亲是高级工程师”
设M(x,y)：x是y的母亲，
设g(x)：x的母亲；
P(x)：x是高级工程师；
P(x)：x是高级工程师；
第四章、谓词逻辑
第四章 谓词逻辑
命题逻辑是关于命题联结词用法的逻辑理论。在命题逻辑中，简单命题 不含任何命题联结词，因此它们用字母p、q、r等表示；每个复合命题都是从 简单命题运用命题联结词构造起来的。真值表方法能够用来判定一个仅仅涉 及命题联结词的推理是否有效，命题逻辑的自然演绎系统能够证明任何命题 逻辑的有效推理形式。但是，还有一些有效的推理形式是命题逻辑不能处理 的，例如下面的三段论：
更一般地，有n元谓词符号，表示n个个体之间的关系，用H(t1, …, tn)表达t1, …, tn 所代表的n个个体具有H所代表的关系。例如下面的三元关系：
（9）武汉位于重庆与上海之间。
（10）孙悟空、猪八戒和沙和尚是师兄弟。
这两个命题很容易写成用三元谓词符号表达的三元关系。对命题（9），用a表 示“武汉”，b表示“重庆”，c表示“上海”，用H(x1, x2, x3)表示“x1位于x2和x3之 间”，那么H(a, b, c)表示“武汉位于重庆与上海之间”。命题（10）的符号形式类似 表示。
除了“所有”和“有的”这两个量词之外，自然语言中还有许多量词。例如，至 少有两个、至多有两个、恰好有两个；大多数、少许、许多；有穷多个、无穷多个， 等等。在谓词逻辑中，我们仅仅关心“所有”和“有的”这两个量词以及能够在谓词 逻辑中定义的其它量词，如至少有两个、至多有两个、恰好有两个，等等。
第二节 谓词逻辑的形式语言
我们构造项的符号有三种：个体变元：个体常元：c0, c1, c2, …；个体常元：x0, x1, x2, …；n（1自然数）元函数符号：fn, gn, hn, …。我们用s、t等代表任何项。项是 按如下规则构造的表达式：
（T1）每个个体变元x是项。
（T2）每个个体常元c是项。
（T3）如果t1, …, tn是项并且f是一个n元函数符号，那么f(t1, …, tn)是项。 （T4）只有按照（T1）—（T3）构造的表达式才是项。
命题逻辑是关于命题联结词用法的逻辑理论。在命题逻辑中，简单命题 不含任何命题联结词，因此它们用字母p、q、r等表示；每个复合命题都是从 简单命题运用命题联结词构造起来的。真值表方法能够用来判定一个仅仅涉 及命题联结词的推理是否有效，命题逻辑的自然演绎系统能够证明任何命题 逻辑的有效推理形式。但是，还有一些有效的推理形式是命题逻辑不能处理 的，例如下面的三段论：
更一般地，有n元谓词符号，表示n个个体之间的关系，用H(t1, …, tn)表达t1, …, tn 所代表的n个个体具有H所代表的关系。例如下面的三元关系：
（9）武汉位于重庆与上海之间。
（10）孙悟空、猪八戒和沙和尚是师兄弟。
这两个命题很容易写成用三元谓词符号表达的三元关系。对命题（9），用a表 示“武汉”，b表示“重庆”，c表示“上海”，用H(x1, x2, x3)表示“x1位于x2和x3之 间”，那么H(a, b, c)表示“武汉位于重庆与上海之间”。命题（10）的符号形式类似 表示。
除了“所有”和“有的”这两个量词之外，自然语言中还有许多量词。例如，至 少有两个、至多有两个、恰好有两个；大多数、少许、许多；有穷多个、无穷多个， 等等。在谓词逻辑中，我们仅仅关心“所有”和“有的”这两个量词以及能够在谓词 逻辑中定义的其它量词，如至少有两个、至多有两个、恰好有两个，等等。
第二节 谓词逻辑的形式语言
我们构造项的符号有三种：个体变元：个体常元：c0, c1, c2, …；个体常元：x0, x1, x2, …；n（1自然数）元函数符号：fn, gn, hn, …。我们用s、t等代表任何项。项是 按如下规则构造的表达式：
（T1）每个个体变元x是项。
（T2）每个个体常元c是项。
（T3）如果t1, …, tn是项并且f是一个n元函数符号，那么f(t1, …, tn)是项。 （T4）只有按照（T1）—（T3）构造的表达式才是项。
离散数学习题课-谓词逻辑
5
练习2 练习
(4) 没有不爱吃糖的人。 没有不爱吃糖的人。 是人， 设F(x): x是人，G(x): x爱吃糖 是人 爱吃糖 ¬∃x(F(x)∧¬ ∧¬G(x)) 或 ∀x(F(x)→G(x)) ¬∃ ∧¬ → (5) 任何两个不同的人都不一样高。 任何两个不同的人都不一样高。 F(x):x是人 是人, x与y相同 相同, x与y一样高 设F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高 →∀y(F(y)∧¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y))) ∀x(F(x)→∀ →∀ ∧¬ →¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y)) 或 ∀x∀y(F(x)∧F(y)∧¬ ∀ ∧ ∧¬ →¬ (6) 不是所有的汽车都比所有的火车快。 不是所有的汽车都比所有的火车快。 是汽车, 是火车, 设F(x):x是汽车 G(y):y是火车 H(x,y):x比y快 是汽车 是火车 比 快 ¬∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) ¬∀ ∀ ∧ → ∧¬H(x,y)) 或 ∃x∃y(F(x)∧G(y)∧¬ ∃ ∧ ∧¬
10
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
主要内容 一阶逻辑等值式
基本等值式，置换规则、换名规则、 基本等值式，置换规则、换名规则、代替规则
前束范式 推理的形式结构 自然推理系统N 自然推理系统 L
推理定律、 推理定律、推理规则
11
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
基本要求 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式 并能准确而熟练地应用它们． 并能准确而熟练地应用它们． 熟练正确地使用置换规则、换名规则、 熟练正确地使用置换规则、换名规则、代 替规则． 替规则． 能够理解公式的前束范式． 能够理解公式的前束范式． 深刻理解自然推理系统N 的定义，牢记N 深刻理解自然推理系统 L 的定义，牢记 L 中的各条推理规则，特别是注意使用∀− ∀−、 中的各条推理规则，特别是注意使用∀−、 条推理规则的条件． ∀+、∃+、∃− 4条推理规则的条件． 、 、 条推理规则的条件 能正确地给出有效推理的证明． 能正确地给出有效推理的证明．
练习2 练习
(4) 没有不爱吃糖的人。 没有不爱吃糖的人。 是人， 设F(x): x是人，G(x): x爱吃糖 是人 爱吃糖 ¬∃x(F(x)∧¬ ∧¬G(x)) 或 ∀x(F(x)→G(x)) ¬∃ ∧¬ → (5) 任何两个不同的人都不一样高。 任何两个不同的人都不一样高。 F(x):x是人 是人, x与y相同 相同, x与y一样高 设F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高 →∀y(F(y)∧¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y))) ∀x(F(x)→∀ →∀ ∧¬ →¬ ∧¬H(x,y)→¬ →¬L(x,y)) 或 ∀x∀y(F(x)∧F(y)∧¬ ∀ ∧ ∧¬ →¬ (6) 不是所有的汽车都比所有的火车快。 不是所有的汽车都比所有的火车快。 是汽车, 是火车, 设F(x):x是汽车 G(y):y是火车 H(x,y):x比y快 是汽车 是火车 比 快 ¬∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) ¬∀ ∀ ∧ → ∧¬H(x,y)) 或 ∃x∃y(F(x)∧G(y)∧¬ ∃ ∧ ∧¬
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习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
主要内容 一阶逻辑等值式
基本等值式，置换规则、换名规则、 基本等值式，置换规则、换名规则、代替规则
前束范式 推理的形式结构 自然推理系统N 自然推理系统 L
推理定律、 推理定律、推理规则
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习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(2) 谓词逻辑
基本要求 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式, 深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式 并能准确而熟练地应用它们． 并能准确而熟练地应用它们． 熟练正确地使用置换规则、换名规则、 熟练正确地使用置换规则、换名规则、代 替规则． 替规则． 能够理解公式的前束范式． 能够理解公式的前束范式． 深刻理解自然推理系统N 的定义，牢记N 深刻理解自然推理系统 L 的定义，牢记 L 中的各条推理规则，特别是注意使用∀− ∀−、 中的各条推理规则，特别是注意使用∀−、 条推理规则的条件． ∀+、∃+、∃− 4条推理规则的条件． 、 、 条推理规则的条件 能正确地给出有效推理的证明． 能正确地给出有效推理的证明．
命题逻辑与谓词逻辑
如 D2 = {1，2，3}
根据上面的分析，在D2上的解释应有29个。
下面是其中的一个解释：
I: P(1, 1) P(1, 2) P(1, 3) P(2, 1) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 1) P(3, 2) P(3,3)
T
T
T
F
F
T
FF
F
由于x = 3时，不存在一个y使P(x, y) = T。所以在这个解释下公式B为假，
要考察在这个解释下公式A的真假，根据量词(x)要对所有x 进行考察。由于：对x = 0时，
P(x)→Q( f (x), a) = P(0)→Q( f (0), 0) = P(0)→Q(1, 0) = F→F = T
对x = 1时
P(x)→Q( f (x), a) = P(1)→Q( f (1), 0) = P(1)→Q(0,0) = T→T = T
定义2-5 永真蕴涵：命题公式A永真蕴 涵命题公式B，当且仅当A→B是一个永真 式，记作AB，读作“A永真蕴涵B”，简 称“A蕴涵B”。
2.2 谓 词 逻 辑
• 1．谓词与个体 原子命题被分解为谓词和个体两部分。
• 个体是指可以单独存在的事物，它可以是 一个抽象的概念，也可以是一个具体的东 西。
定理2-2是反证法的理论依据。
6．谓词公式中的等价和蕴涵式 定义2-13 设P与Q是两个谓词公式，D是它们
共同的个体域。若对D上的任何一个解释，P与Q 的真值都相同，则称公式P和Q在域D上是等价的。 如果在任何个体域上P和Q都等价，则称P和Q是 等价的，记做：P Q。
下面是一些常用的等价式：
• 交换律 P∨QQ∨P
（证毕）
定理2-2 G为B1, B2, …, Bn的逻辑结论，当且仅当 (B1 ∧ B2 ∧ … ∧ Bn) ∧ ～ G
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例如 设论域为自然数。
P( x)：x 是偶数
Q( x)：x 是 素 数
因为存在一个自然数2，2既是偶数又是素数，所以 公式成立。
反之若设
P( x)：x 是偶数
Q( x)：x 是 奇 数
则∃xP(x)∧∃xQ(x) 为真，但论域中不存在一个自
然数既是偶数又是奇数，使得∃x(P(x)∧Q(x)) 为真，
都为前束范式，而下列各式不是前束范式。
xP( x) Q( x) xP( x) xQ( x) x(P( x) xQ( x))
谓词公式转化为前束范式的步骤： ①利用等价公式把公式的联结词归化。 ②利用量词转换律和德•摩根律，把公式中的否定 联结词移到原子命题函数前面。 ③利用约束变元的换名规则和自由变元的代入规 则，使所有约束变元和自由变元不同名。 ④将所有量词按其出现的先后顺序移到公式前面。
则称P永真蕴含Q，简称为P蕴含Q，记为P⇒Q 。
前面介绍了全称量词可以对合取式进行分配，存在量 词可以对析取式进行分配。我们不觉要问，全称量词对析 取式、存在量词对合取式究竟有什么关系呢？ （1）存在量词对合取式的蕴含式
x(P( x) Q( x)) xP( x) xQ( x)
证明：假设前件∃x(P(x)∧Q(x)) 为真，则论域中至少存在 一个个体c ，使得P(c)∧Q(c) 为真。所以P(c)为真、Q(c)也 为真 。 即∃xP(x)为真、∃xQ(x)也为真 。因此， ∃xP(x)∧∃xQ(x) 为真。
例2-13将下列公式转换成前束范式。
(1) xP( x) xQ( x)
(2) xP( x) xQ( x)
(3) x(P( x) yQ( x, y, z) zR( x, y, z))
解(1): xP( x) xQ( x)
xP( x) xQ( x) xP( x) xQ( x)
一 元 谓 词F( x) : x 3,G( x) : x 5, R( x) : x 7; 在I下 求 下 列 各 式 的 真 值 。
(1) xF( x) G( x) (2) xR( x) F( x) (3) xF( x) G( x)
练 习2： 设I是 如 下 一 个 解 释 ：
由以上四点我们可以得到一组常用的谓词等价公式 如下：
xP( x) xP( x)
E16
xP( x) xP( x)
E17
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
E18
x(P( x) Q( x)) xP( x) xQ( x)
E19
x( A( x) B) xA( x) B
(xP( x) xQ( x)) x(P( x) Q( x)) (xP( x) xQ( x)) x(P( x) Q( x)) (xP( x) xQ( x)) x(P( x) Q( x)) (xP( x) xQ( x)) x(P( x) Q( x))
（二）量词转换律
我们将否定符移到量词后面时，全称量词变为存 在量词，存在量词变为全称量词。反之，量词后 面的否定符移到量词的前面时，也要作相应的改 变，这种量词与否定的关系是普遍成立的，人们 习惯称之为量词转换律
xP( x) xP( x)
xP( x) xP( x)
（三）量词辖域的扩张和收缩
P( x) Qபைடு நூலகம் x) P( x) Q( x)
( A B) A B
(P(x) Q(x)) P(x) Q(x)
A B A B
xP(x) xQ(x) xP(x) xQ(x)
( A B) A B (xP( x) xQ( x)) xP( x) xQ( x)
都同姓。 从上述例子中可知，相同量词的出现顺序可以交换，而不同 量词出现的顺序不可以交换，但它们之间存在着蕴含关系。
xyP( x, y) yxP( x, y)
证明：设xyP(x, y) 为真，则至少存在一个个体x c ，使得对 于所有 y, P( x, y)为真。即 P(c, y) 为真，所以 yP(c, y)为真， yxP( x, y) 为真。 该公式的逆反命题为：
x(P( x) Q( x)) x(P( x) Q( x))
解(2): xP( x) xQ( x) xP( x) xQ( x) xP( x) xQ( x) xP( x) yQ( y) xy(P( x) Q( y)) xy(P( x) Q( y))
（1）若量词辖域中是合取式或析取式，则不受约束的谓词公 式可以直接进入和退出该辖域。
（2）若量词辖域是条件命题的前件，则作为后件的不受约 束的谓词公式不能直接进出该辖域。
xA( x) B x( A( x) B)
xA( x) B x( A( x) B)
（3）若量词辖域是条件命题后件，则作为前件不受约束的谓 词公式可以直接进出该辖域。
练 习3： 已 知 个 体 域D {a, b, c},消 去 下 列 公式的量词：
1) xR( x) xS( x); 2) x(R( x) S( x)); 3) x(P( x) Q( x)).
2.5 谓词演算中的永真蕴含公式
定义2-18 设P、Q为谓词公式，若P→Q为永真式，
E20
x( A( x) B) xA( x) B
E21
x( A( x) B) xA( x) B
E22
x( A( x) B) xA( x) B
E23
xA( x) B x( A( x) B)
E24
xA( x) B x( A( x) B)
x(P( x) yQ( x, y, z) zR( x, y, z))
x(P( x) uQ( x,u, z) zR( x, y, z))
x(P( x) uQ( x, u, z) vR( x, y,v))
xuv(P( x) Q( x, u, z) R( x, y,v)) xuv((P( x) Q( x, u, z)) R( x, y,v))
D 2,3;
a f (2) f (3) F (2) F (3) ,,,,,
23 2 0 1
G(2,2) , G(2,3) , G(3,2) , G(3,3) ;
1
1
1
1
试 求 下 列 公 式 在I下 的 真 值 ：
(1)xF( x) G( x,a)
(2)xF f ( x) Gx, f ( x)
E25
B xA( x) x(B A( x))
E26
B xA( x) x(B A( x))
E27
（五）前束范式 定义2-17 在谓词公式中，如果所有量词都出现在公式的 最前面，且其辖域为整个公式，则称该谓词公式为前束范 式。 例如：
x(P( x) Q( x)) x(P( x) Q( x))
第二章 谓词逻辑
第四讲
回顾
两个谓词公式的个体变元必须有相同的 个体域才能讨论其是否等价。
定义2-13 两个有相同个体域E的谓词公式A和B， 若对两个谓词公式所有变元的任一组赋值，所得 命题真值相同，则称这两个谓词公式在指定个体 域E上等价。记为 A B 。
（一）命题公式的推广
A B A B
yxP( x, y)
yxP( x, y)
xyP( x, y) yxP( x, y)
yxP( x, y)
xyP( x, y)
其中xyP( x, y)和yxP( x, y含) 义相同，xyP( x, y)和 yxP(x, y)
含义相同。后面四种情况经过换名后实际上只有两种情况。 即xyP(x, y) 和 xyP( x, y) 。 例如 设x的个体域为甲班，y 的个体域为乙班。
xuv((P( x) Q( x, u, z)) R( x, y,v))
xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
xF ( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
练 习1： 设 解 释I为 ：
个 体 域D 2,3,6;
例2-14 证明 xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) 证明：xA( x) xB( x) xA( x) xB( x)
xA( x) xB( x) x(A( x) B( x))
x( A( x) B( x))
P(x, y) ：表示同姓。则
xyP( x, y) ：表示甲班每个人和乙班所有人同姓。 yxP(x, y) ：表示乙班每个人和甲班所有人同姓。
所以甲班和乙班所有人同姓，即xyP(x, y) yxP(x, y)
同理可得：xyP( x, y) yxP( x, y)
仍以上述例子讨论其它两种情况： xyP(x, y)：甲班每个人在乙班中可以找到同姓的人。 xyP(x, y) ：甲班有人与乙班中所有人同姓。此时乙班所有人
分别用A( x)、B ( x)替换P( x)和Q( x)，得
(xA( x) xB( x)) x( A( x) B( x))为真。
xA( x) xB( x) x( A( x) B( x))
（3）其它蕴含式
xP( x) xP( x)
证明：设论域为D，∀xP(x)若为真，则对于论域中的任一个 体c，P(c)为真。根据定义∃xP(x)为真。所以蕴含式成立。
yxP( x, y) xyP( x, y)
所以有两个量词的谓词公式有如下的蕴含关系：
xyP( x, y) yxP( x, y) yxP( x, y) xyP( x, y) yxP( x, y) xyP( x, y) xyP( x, y) yxP( x, y) xyP( x, y) yxP( x, y) yxP( x, y) xyP( x, y)