连续时间信号与系统的傅里叶分析课程
信号与系统分析PPT电子教案第三章连续时间信号与系统的频谱分析
f (t ) A0 An cos(n1t n ) n1
A0
n1
An 2
[e e ] j(n1t n ) j(n1t n )
A0
1 2
n1
An
e e jn jn1t
1 2
n1
An
e e jn jn1t
上式中第三项的n用–n代换，则上式写为
f (t)
A0
1 2
n1
An e jn e jn1t
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
② 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值
为有限值。
③ 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。
其它形式
余弦形式 f (t) A0 An cos n1t n
2
n1
A0 a0
an An cosn
An an2 bn2
bn An sinn
cos
2 1 t
4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15
)
cos
2 1 t
4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
A0 1
0 0
An A1 2.24
A0 1
A2 1
0 1 21
n
0.25
1
0
21
0.15
A1 5 2.236 1 0.15
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性 延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非 周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时 的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋 于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期 信号的频域表示方法。
信号与系统7-1连续信号的傅里叶变换分析课件
t=linspace(-2,4,400); w=linspace(-15,15,400); f=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)') F=fourier(f); F=simple(F) f1=subs(f); Fv=subs(F); F1=abs(Fv); P1=angle(Fv)*180/pi; subplot(3,1,1),plot(t,f1,'linewidth',2); grid;ylabel('f(t)'); subplot(3,1,2),plot(w,F1,'linewidth',2); grid;ylabel('|F(j\omega)|'); subplot(3,1,3),plot(w,P1,'linewidth',2); grid;ylabel('\angleF(j\omega)(度)');xlabel('\omega (rad/sec)')
Fn
1 T0
T0
2 f (t) e jn0t dt
T0 2
F (
j)
lim
T0
FnT0
f (t) e jt dt
傅里叶变换
f (t) 1 F ( j)e jt d
2
傅里叶反变换
简记：F(j) =F [ f (t)] 称频谱函数；
f (t) = F -1[F(j)] 称为原函数。
或记为： f (t) F( j)
周期信号非周期信号 功率信号能量信号
傅里叶级数傅里叶变换 傅里叶级数是傅里叶变换的一个特例， 而傅里叶变换是傅里叶级数的推广。
2
拉普拉斯变换与傅里叶变换
通信原理第四章word版
第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t eh t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰点 测 法： ()()j t y t e H j ωω=⋅ 2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t T t f t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限 ○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t e y t ∞Ω=-∞Ω=∑ 二.非周期信号的傅里叶变换（备注）二.非周期信号的傅里叶变换1.连续傅里叶变换性质2.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线3. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ： 2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波。
信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示
sin(2 k(1/ 4)) k
sin(k k
/ 2)
根据Example3.5的结果，用性质计算傅里叶级数的系数
分析：原函数为x(t),本函数为g(t)
g (t )
x(t
1)
1 2
,周期方波的参数T
4,T1
1,
如果原函数的系数为ak，x(t 1)的系数为bk
bk
a e jk (2 / 4)1 k
在不连续点上，傅里叶级数的收敛趋势-吉伯斯现象
不连续点上收敛于不连续点的平均值 不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随N增加而降低 峰值为不连续点差值的9%
吉伯斯现象的实际意义
不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏 选择足够大的N，可以保证这些起伏的总能量可以忽略
2024/6/10
2024/6/10
信号与系统－第6讲
19
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（4）Example3.8 计算周期冲激串的傅里叶级数系数 根据性质计算周期方波的系数
周期冲激串可表示为x(t) (t kT ) k
ak
1 T
T / 2 (t)e jk 2t /T dt 1
T / 2
T
周期方波为g (t ),它的导数为q(t )
c0为直流分量， c0 2T1 / T
对照前面 例题验证
结果
20
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（5）Example3.9
1.x(t)是实信号
2.x(t)是周期信号，T 4，傅里叶级数系数ak
3.ak 0，k 1
4.傅里叶系数为bk
e
j
k
/
2
a
的信号是奇信号
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
何子述信号与系统习题解答第4章连续时间傅里叶分析(2012新)
2 2 3j 1
F δ t 1 δ
n
j t
F
n
再由傅里叶变换的线性，可得 h t 为
h t 2 t 3¢ t t
（c）同理可得
j Y 6Y j F 2 j F 3F
何子述
高等教育出版社
h t
题 4.8 解：
sin 1t πt
δ t
sin 2 t πt
该题中的单边带通滤波器的频率响应可看成是一个截止频率为 c 的低通滤波器的 频率响应在频谱上的一个搬移，搬移量为 3c ，由第三章傅里叶变化的频移特性知，信 号在时域乘以一个复指数信号 e j0t 后，其傅里叶变换在频域上平移 0 。 由主教材式（4.2.2）知，低通滤波器的冲激响应为
h t
由上可知，一定存在一个信号 g t ，使得
sin c t t
h t
且 g t 为
sin c t πt
g t
g t e j3c t
题 4.9 解： 由主教材式（4.2.1）知，理想低通滤波器的频率响应为
1, H 0,
由主教材式（4.2.2）知，其冲激响应为
c c
h t
sin c t πt
由主教材式（4.1.3）知，系统频率响应 H 可表示为
H H e jH
（a）由上式知，该滤波器对应的频率响应为
H1 H e
0 c c 0 其他
上式可看成截止频率为 c / 2 的低通滤波器被频移至 c / 2 和 c / 2 ，并分别乘上幅度 j 和 j ，且截止频率为 c / 2 的低通滤波器可表示为 H 2 ，所以 H 3 可表示为
连续时间信号与系统的傅里叶分析
连续时间信号与系统的傅里叶分析连续时间信号与系统的傅里叶分析是一种非常重要的数学工具和技术，广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
通过傅里叶分析，我们可以将一个复杂的时域信号分解成一系列简单的正弦函数（或复指数函数）的叠加，从而更好地理解和处理信号。
在傅里叶分析中，我们首先需要了解傅里叶级数和傅里叶变换两个概念。
傅里叶级数是将一个周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间周期为T的周期信号x(t)，其傅里叶级数表示为：x(t) = a0/2 + ∑ {an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)}其中，n为整数，ω0为角频率（ω0 = 2π/T），an和bn为信号的系数。
傅里叶级数展示了信号在频域上的频谱特性，即信号在不同频率上的成分。
通过傅里叶级数，我们可以得到信号的基频和各个谐波分量的振幅和相位信息。
而对于非周期信号，我们则需要使用傅里叶变换来分析。
傅里叶变换可以将一个非周期信号分解成一系列连续的正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为：X(ω) = ∫ x(t)*e^(-jωt) dt其中，X(ω)为信号在频域上的频谱表示，ω为角频率，e为自然对数的底。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而得到信号在不同频率上的成分。
同时，我们还可以通过逆傅里叶变换将信号从频域再转换回时域。
傅里叶分析的重要性在于它能够提供信号在时域和频域之间的转换关系，从而可以更好地理解信号的特性和行为。
通过傅里叶分析，我们可以确定信号的频谱特性、频率成分等信息，从而在信号处理、通信系统设计等方面进行相应的优化和调整。
除了傅里叶级数和傅里叶变换，还有诸如快速傅里叶变换（FFT）、傅里叶变换对（FT pair）、功率谱密度（PSD）等相关概念和技术。
这些工具和技术在实际应用中非常有用，例如在音频处理、图像处理、雷达信号处理等方面经常被使用。
总之，连续时间信号与系统的傅里叶分析为我们提供了一个强大的数学工具，能够将信号从时域转换到频域，揭示信号的频谱特性和频率成分，为信号处理和系统设计提供了有力支持。
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t0
t0
T
cos n0t
sin
m0tdt
0
t0
t0
T
cos
n0t
cos
m0tdt
T0 2
mn mn
t0
t0
T
sin
n0t
sin
m0tdt
T0 2
mn mn
2020年6月9日星期二
信号与系统 第3章第1次课
16
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢完三备角正函交数函集数{co集sn0t, sinn0t|n=0, 1, 2, …}是
3.0 引言
➢时域分析
❖基sint或虚指数
信号 ejt
❖傅里叶变换，自变量为 j
➢复频域分析
❖基本信号：复指数信号 est
❖拉氏变换, 自变量为 s = +j
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信号与系统 第3章第1次课
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3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示
➢函数的正交性
t2 t1 t2 t1
g1(t)g2 (t)dt gi2 (t)dt ki
0
i 1, 2
➢正交函数集
t2
t1 t2
t1
gi2 (t)dt ki gi (t)g j (t)dt
0
i 1, 2, , n i, j 1, 2, , n, 且i j
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信号与系统 第3章第1次课
t0
❖一般周期信号都满足这些条件
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信号与系统 第3章第1次课
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3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢周期信号的三角函数正交集表示
f
(t)
c0 2
cn
n 1
cosn0t
n
f (t)
d0 2
dn sin(n0t
n 1
n )
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信号与系统 第3章第1次课
➢三角形式的傅里叶级数 ➢指数形式的傅里叶级数 ➢周期信号的波形对称性与谐波特性的
关系
➢典型周期信号的傅里叶级数 ➢关于傅里叶级数的有关结论 ➢周期信号的频谱及其特点
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信号与系统 第3章第1次课
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3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢三角函数在区间(t0, t0+T)内相互正交
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信号与系统 第3章第1次课
5
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢傅里叶变换的性质 ➢连续周期信号的傅里叶变换 ➢练习三
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信号与系统 第3章第1次课
6
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢卷积定理 ➢连续LTI系统的频率响应与理想滤波
器 ➢练习四
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信号与系统 第3章第1次课
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第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢连续时间LTI系统的频域求解 ➢练习五
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信号与系统 第3章第1次课
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3.0 引言
➢傅里叶生平
❖1768年3月21日生于法国 ❖1807年提出“任何周期信
号都可用正弦函数级数表 示” ❖拉格朗日反对发表 ❖1822年首次发表在“热的 分析理论”中 ❖1829年狄里赫利第一个给 出收敛条件
12
3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示
➢函数的正交分解
❖不完备分解
f (t) c1g1(t) c2 g2 (t) cn gn (t)
❖完备分解 f (t) c1g1(t) c2g2(t) cn gn (t)
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信号与系统 第3章第1次课
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3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示
➢三角函数完备正交函数集
❖三角函数是基本函数
❖建立了时间与频率两个基本物理量之 间的联系
❖三角函数是简谐信号，简谐信号容易 产生、传输、处理
❖三角函数信号通过线性时不变系统后， 仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位 有变化，计算更方便
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信号与系统 第3章第1次课
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3.1 连续周期信号的傅里叶级数表示
信号与系统
——多媒体教学课件 (第三章 Part 1)
主要内容
➢傅里叶级数和傅里叶级数的性质 ➢傅里叶变换和傅里叶变换的性质 ➢周期信号和非周期信号的频谱分析 ➢卷积定理和连续时间LTI系统的频
域分析
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信号与系统 第3章第1次课
2
概述
➢时域与变换域转换的对应关系
时域 连续 离散 变换域 变换域 非周期 周期 时域
➢一般表达式
f
(t)
a0 2
an
n1
cos n0t
bn
n1
sin n0t
直流 分量
基波分量 n =1
0
2
T
谐波分量 n>1
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3.1.1 三角形式的傅里叶级数
❖直流分量
a0 1 t0T f (t)dt
2 T t0
❖余弦分量
an
2 T
t0 T
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信号与系统 第3章第1次课
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3.0 引言
➢傅里叶的两个最主要的贡献
❖“周期信号都可表示为成谐波关系的 正弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点
❖“非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
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➢复指数函数集 e jn0t (n Z) 是完备正交集
➢表达式的推导
❖由前知
f
(t)
a0 2
an
n1
cos n0t
bn
n1
sin n0t
❖由欧拉公式得
时域 实部 虚部 变换域 变换域 偶对称 奇对称 时域
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信号与系统 第3章第1次课
3
第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢引言 ➢连续周期信号的傅里叶级数表示 ➢练习一
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第3章连续时间信号与系统的傅里叶分析
➢连续非周期信号的傅里叶变换 ➢练习二
t0
f
(t) cos n0tdt
❖正弦分量
bn
2 T
t0 T
t0
f (t) sin n0tdt
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信号与系统 第3章第1次课
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3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢狄里赫利条件
❖在一个周期内有有限个间断点 ❖在一个周期内有有限个极值点 ❖在一个周期内能量有限即绝对可积
t0 T f (t) 2 dt
20
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
➢几种系数的关系
a0 c0 d0 cn dn an2 bn2
an cn cosn dn sinn
tan n
an bn
tan n
bn an
bn cn sinn dn cosn
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信号与系统 第3章第1次课
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3.1.2 指数形式的傅里叶级数