常用信号的傅里叶变换
通信第三章 常见函数的傅里叶变换
(t)
…
-T0 O T0 2T0 t
求T0 (t) 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。
解
Fn
1 T0
T0 2
T0 2
(t)e jn0tdt
1 T0
T0 (t)
1 T0
e jn0t
n
a0
1 T0
又
an
2 T0
T0 2
T0 2
(t) cos
n0tdt
2 T0
bn 0
T0 (t)
的三角傅里叶级数为：T0
第3章 傅里叶变换
重点：
1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换
3.1 傅里叶变换的产生
傅里叶1768年生于法国,1807年提 出“任何周期信号都可用正弦函数 级数表示”, 1822年在“热的分析 理论”一书中再次提出。1829年 狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。 傅里叶变换得到大规模的应用，则 是到了上世纪60年代之后。
nT0 )
n
[ A
A T0
(t
nT0 )][u(t
nT0 )
u(t
(n
1)T0 )]
将 f (t) 去除直流分量，则仅剩交流分量 fAC (t)
fAC (t)
f
(t)
A [u(t
T n 0
nT0 ) u(t
(n 1)T0 )]
n
[
A
A T0
(t
nT0
)]{
(t
nT0
)
（2）利用直接法求解
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
对于任意一个周期信号，傅里叶变换可以将其表示成一系列正弦波的叠加形式，从而更好地理解和处理信号。
在实际应用中，有很多信号都需要进行傅里叶变换。
下面介绍一些常用信号的傅里叶变换。
1. 正弦信号正弦信号是一种最基本的周期信号，其函数形式为y=sin(wt)，其中w为角频率。
通过傅里叶变换，可以将正弦信号表示为一组频率为w的正弦波的叠加形式，即：y(t) = A1*sin(wt) + A2*sin(2wt) + A3*sin(3wt) + …其中，An为振幅，表示第n个正弦波的幅度。
2. 方波信号方波信号是一种由周期为T的矩形波形组成的信号，其函数形式为：y(t) = sgn(sin(wt))其中，sgn表示符号函数，即当sin(wt)>0时，sgn(sin(wt))=1，否则sgn(sin(wt))=-1。
通过傅里叶变换，可以将方波信号表示为一组频率为w的正弦波的叠加形式，即：y(t) = (4/pi)*[sin(wt) + (1/3)*sin(3wt) + (1/5)*sin(5wt) + …]3. 带限信号带限信号是指信号的频率范围有限，通常是指截止频率为一定值的信号。
通过傅里叶变换，可以将带限信号表示为一组频率在一定范围内的正弦波的叠加形式，即：y(t) = (1/2*pi)*Int[-w0,w0]{F(w)*e^(jwt)dw}其中，F(w)为信号的频谱，w0为信号的截止频率，Int表示积分运算。
以上三种信号只是常用信号中的一部分，实际应用中还有很多其他类型的信号需要进行傅里叶变换。
傅里叶变换不仅可以分析信号的频域特性，还可以用于信号的滤波、压缩、编码等方面，具有广泛的应用价值。
傅里叶变换性质及常见函数傅里叶变换总结,表格打印版
（为虚、奇函数）
7
奇偶性
（为实、偶函数）
（为实、偶函数）
（为实、奇函数）
（为虚、奇函数）
8
尺度展缩
，
9
时域延迟
，
10
频移
▲初值：
（条件:）
（条件:）
（条件： ）
11
时域微分
▲ 函数的性质
·
·
＊
＊
·
·
＊ ；
＊
·
·
＊
＊
·
12
时域积分
பைடு நூலகம்13
频域微分
14
频域积分
15
时域卷积
16
频域卷积
17
时域抽烟
序号
性质名称
▲信号功率:
（直流分量+各次谐波分量）
▲能量信号:
1.一个信号只能是功率信号或
能量信号二者之一,但也可
以两者都不是。
2.直流信号与周期信号为功率
信号；收敛和有界的非周期
信号为能量信号。
3.功率信号能量为∞,能量信
号功率为0.
1
唯一性
2
齐次性
3
叠加性
4
线性
5
折叠性
6
对称性
（一般函数）
（为实、偶函数）
18
频域抽样
常用时间信号傅里叶变换
常用非周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
序号
↔
1
1
↔
2
↔
3
单位直流信号1
↔
4
5
6
一般周期信号
↔
其中
或,
或 ，
五种傅里叶变换的比较
五种傅里叶变换包括常规的傅里叶变换（FT）、短时傅里叶变换（STFT）、小波变换（WT）、希尔伯特变换（HT）和希尔伯特黄变换（HHT）。
它们的主要区别和联系如下：
1. 傅里叶变换（FT）：将一个以时间t为自变量的连续的信号f(t)转换为以频率为自变量的函数F(jf)，该函数是复数形式的。
此变换的前提是信号是平稳的，即其频率特性不会随时间变化。
2. 短时傅里叶变换（STFT）：在傅里叶变换的基础上，对每个时间段内的信号进行傅里叶变换，从而得到该时间段的频谱。
STFT可以处理非平稳信号，因为其可以将信号的时间依赖性和频率依赖性分开。
3. 小波变换（WT）：与傅里叶变换类似，小波变换也是将信号分解成不同的频率成分。
不同的是，小波变换使用的是小波基，可以更好地适应处理非平稳信号。
4. 希尔伯特变换（HT）：对一个信号进行希尔伯特变换可以得到该信号的解析信号，该解析信号可以更好地表示信号的相位信息。
5. 希尔伯特黄变换（HHT）：是一种用于处理非线性和非平稳信号的变换，其基于经验模式分解（EMD），可以将信号分解成一系列固有模式函数（IMF）。
每个IMF都可以进行希尔伯特变换，从而得到该IMF的相位信息。
总的来说，五种傅里叶变换都是为了更好地处理和解析信号，选择哪种变换取决于具体的应用场景和信号的性质。
常见的傅里叶变换
常见的傅里叶变换
傅里叶变换（FourierTransformation）是在数学术语中指任何将时域信号转换成频域信号（包括反向转换）的一种算法。
它可以将任何时域函数转换为复杂的频率函数，并使用它来衡量信号的性质。
这种变换的另一种表达形式是“Fourier分析”，它可以用于分析和解释复杂的信号，以及从中提取有关信号频率和振幅的信息。
傅里叶变换的主要用途是将复杂的时域信号转换为频域信号，以便快速获取信号的性质。
它也被广泛用于信号处理，数字信号处理，图像处理，科学可视化，生物信号处理，信号检测，滤波器设计等领域。
它可以提取有关信号的重要特征，包括频率，振幅，相位等，这些特征在信号分析，处理和重构方面非常重要。
在数学中，傅里叶变换可以用来进行积分及其反向变换，以及用于传输函数系统的稳定性分析。
此外，它也可以用于语音处理，设计滤波器，图像处理等方面。
常见的傅里叶变换有：
1. 傅里叶变换（Fourier Transform）：这是最基本的傅里叶变换，它用于将时域函数转换为频域函数。
2. 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）：它是基于傅里叶变换的优化算法，可以将复杂信号的傅里叶变换运算时间减少到计算机可承受的最低水平。
3. 非负傅里叶变换（Non-negative Fourier Transform）：它是一种特殊的傅里叶变换，它只用非负数来表示傅里叶变换的系数，这
样可以更加精确地表示一个原始信号的复杂结构。
4. 小波变换（Wavelet Transform）：它是一种相对傅里叶变换而言的更加复杂的算法，它可以更精确地描述复杂信号，更有效地提取信号特征。
014第三章-5常用信号的傅里叶变换
jct
jc t
F ( j( c ))
相乘，等效于在
频域中将整个频谱向频率增加方向搬移c
F f (t )e
jct
f (t )e
jct jt
e
dt dt F j jc
f (t )e
j c t
例：已知 f (t ) F ( j ) 求 f (t ) cosc t 的频谱。 解：
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
扩展
压缩
压缩
扩展
2 A Sa( )
ASa (
2
)
A Sa ( ) 2 4
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
t
记 f1 (t ) e (t )
1 F f1 (t ) j
则 f (t ) e
|t|
t f1 (t ) f1 (t )
F ( j) F[ f1 (t )] F[ f1 (t )]
F1 ( j) F ( j)
* 1
F f at
f at e
若不符合绝对可积条件则不能直接计算， 但可通过其它变换对推出，并且一般含有 冲激函数。
常用信号的傅氏变换—8 8、周期性冲激序列δT(t)
间隔为T的均匀冲激序列， 以符号δT(t)表示
δT(t)是一个周期函数，可以展开成傅里叶级数：
1 jnt T (t ) (t nT ) An e 2 n n
8个典型信号的傅里叶变换
8个典型信号的傅里叶变换1. 常数信号（直流信号）这个常数信号啊，就像一个超级稳定的家伙，一直保持一个值不变。
它的傅里叶变换可有趣啦，就是一个冲激函数（狄拉克函数）在频率为0的地方。
你可以想象啊，常数信号就只有一个频率成分，那就是0频率，就像一个静止不动的状态在频率域里的表示呢。
2. 正弦信号。
正弦信号就像一个有规律的摇摆舞者。
它的傅里叶变换呢，是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
比如说一个正弦函数Asin(ω_0t)，在频率ω = ω_0和ω=-ω_0的地方有两个冲激。
这就好像在说，正弦信号就只有一个频率在那欢快地跳动，这个频率就是它自己的角频率ω_0，一正一负就像在频率轴上对称地站着两个代表它的小尖刺。
3. 余弦信号。
余弦信号跟正弦信号是近亲呢。
Acos(ω_0t)的傅里叶变换也是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
不过和正弦信号有点小区别，就像是两个风格相似但又有点不同的舞者。
余弦信号的傅里叶变换，那两个冲激函数就像是在频率轴上标记着它自己独特的角频率ω_0的两个小灯塔。
4. 单位冲激信号（狄拉克函数）这个单位冲激信号啊，就像一个超级突然的小爆炸，瞬间爆发然后就没了。
它的傅里叶变换可神奇了，是一个常数1。
你想啊，这个小爆炸包含了所有频率成分，就像一个超级大杂烩，在频率域里就变成了一个平坦的1，就好像所有频率都被它平等对待，一股脑儿地全在里面了。
5. 矩形脉冲信号。
矩形脉冲信号就像一个突然冒出来又突然消失的小方块。
它的傅里叶变换是Aτ Sa((ωτ)/(2))，这里的A是脉冲的幅度，τ是脉冲的宽度，Sa函数是(sin x)/(x)。
这个变换就像是把矩形脉冲信号这个小方块在时间域的信息，分散到了频率域里，就像把一个集中的小方块打散成了好多频率成分，那些频率成分按照Sa函数的规律分布着。
6. 三角脉冲信号。
三角脉冲信号就像一个小山峰。
它的傅里叶变换是Aτfrac{Sa^2((ωτ)/(2))}{ω^2}。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的，用于分析信号的频谱成分。
在信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频谱分析、滤波、解调和压缩等方面。
1. 正弦信号的傅里叶变换正弦信号是最简单的周期信号之一，它可以表示为一个频率和幅度确定的正弦函数。
对于一个正弦信号，它的傅里叶变换是一个由两个峰值组成的频谱图。
其中一个峰值位于正弦信号的频率上，另一个峰值位于负频率上，其幅度与正弦信号的幅度相等。
2. 方波信号的傅里叶变换方波信号是一种以方波函数为基础的周期信号。
方波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个由多个峰值组成的频谱图。
频谱图上的峰值对应于方波信号中各个频率的成分。
3. 矩形脉冲信号的傅里叶变换矩形脉冲信号是一种在有限时间内突然变化的信号。
它在时域上表现为一个宽度有限的矩形脉冲，其傅里叶变换是一个以脉冲宽度为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值表示了矩形脉冲信号中各个频率的成分。
4. 高斯信号的傅里叶变换高斯信号是一种以高斯函数为基础的连续非周期信号。
高斯信号在时域上呈钟形分布，其傅里叶变换是一个以高斯函数为形状的频谱图。
频谱图上的峰值表示了高斯信号中各个频率的成分。
5. 三角波信号的傅里叶变换三角波信号是一种以三角函数为基础的周期信号。
三角波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个以基频为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值对应于三角波信号中各个频率的成分。
6. 音频信号的傅里叶变换音频信号是一种连续时间的信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
音频信号的傅里叶变换可以得到音频信号的频谱图，从而可以对音频信号进行频谱分析、滤波和合成等操作。
7. 语音信号的傅里叶变换语音信号是一种声音信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
语音信号的傅里叶变换可以得到语音信号的频谱图，从而可以对语音信号进行声音分析、语音识别和语音合成等操作。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ω1 Sa (ω 1t ) 2 cos ω c t f 5 ( t ) = f ( t ) 2 cos ω c t = π
东南大学 信息科学与工程学院
若再有 6 (ω ) = (ω ωc )t1
f 6 (t ) = f 5 (t t1 )
则
若又有 7
=
2ω1
π
Sa [ω1 (t t1 )] cos[ ω c (t t1 )]
东南大学 信息科学与工程学院
8. 周期信号
An jnΩt 2π fT (t ) = ∑ e , Ω = T n=∞ 2
+∞
+∞ +∞
An FT ( jω) = ∑ 2πδ(ω nΩ) = π ∑ An δ(ω nΩ) 则 n=∞ 2 n=∞
东南大学 信息科学与工程学院
9. 周期性冲激序列
f (t ) = =
π 4ω = {δ(ω+ ωc ) + δ(ω ωc )}+ 2 2 2 j(ω ωc )
东南大学 信息科学与工程学院
东南大学 信息科学与工程学院
4. 尺度变换(比例)性质:
1 ω f ( at ) F( j ) |a | a , a ≠ 0
< Bτ = 常数 >
例:
f ( at t 0 ) ?
j
ω
a
t0
=
dF ( j ω ) j ω dF ( j ω ) j e = e dω dω
j (ω +
π
2
)
东南大学 信息科学与工程学院
8. 卷积定理 (1) 时域卷积定理: f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( jω) F2 ( jω)
1 (2) 频域卷积: f 1 (t ) f 2 (t ) 2 π F1 ( jω) * F2 ( jω)
东南大学 信息科学与工程学院
f (t t0 )=g1 (t )
f (t) 解:
→ F( jω)e
jωt0
g1 (at)
ω 1 → F( j )e | a| a
ω j t0 a
f ( at )= g2 (t )
或
f (t )
→
ω ω 1 1 F( j ) → F ( j )e |a| a |a| a
例 4:求 f 4 (t ) .注: F ( jω ) = F ( jω ) e φ ω
( )
解:与上例相比,
ω1 f 4 (t ) = f (t ) | t = t t0 = Sa [ ω 1 ( t t 0 )] π
东南大学 信息科学与工程学院
例 5: 求 f 5 ( t ) .
解法一:直接用互易定理.
例:已知 f (t ) F ( jω) 实偶,求 (1 t ) f (1 t ) 的 F.T.
dF ( jω) 解:令 tf (t ) = g (t ) , 则 G ( jω) = j d ω
1 ω G ( j )e (1 t ) f (1 t ) = g (1 t ) a |a|
a = 1 t0 = 1
1 f (t ) = 2π
[ F (t )] | ω= t F
东南大学 信息科学与工程学院
例 1:由 δ (t ) 1 ,则 1 2πδ (ω ) A A 2πδ (ω )
2
τt 例 2:求信号频谱,如 f ( t ) = A τ Sa ( 2 ) ,
求 F ( jω)
由
τω 2 τω F (t ) BτSa ( ) = 2πAτSa ( ) 2 2
G ( jω) ∫∞ g (τ)dτ jω + πG (0)δ(ω) ,
+∞
则
其中
G ( 0) =
∞
∫ g (t )dt ;
东南大学 信息科学与工程学院
df ( t ) ] F[ dt + π[ f ( +∞ ) + f ( ∞ )] δ ( ω ) f (t ) (3) jω
df ( τ ) 证:由(2) f ( t ) = ∫ d τ d τ + f ( ∞ ) ∞
2
得
∴ B = 2πA F ( jω) 如图
东南大学 信息科学与工程学院
例 3:求原信号
f (t )
.
2ω1ω ) = 2πf (ω) 解: F (t ) 2ω1 Sa( 2
ω1 1 Sa (ω 1t ) {= F [F (t )] |ω=t } 则 f (t ) = π 2π
东南大学 信息科学与工程学院
+∞
广义定义
东南大学 信息科学与工程学院
2. ε (t )
?
+∞
F ( jω) =
∞
∫ ε (t ) e
αt
jω t
+∞
dt =
∫e
0
jω t
dt
=
?
令
ε(t ) = lim e
α →0
1 ε(t ) ,则 F( jω) = lim α→0 α + jω
( ε(t ) 非奇函数)
(ω ) = ω t 2 ,
f 7 (t ) = 2 f 4 (t ) cos ω c t
则
=
2ω1
π
Sa [ω1 (t t 2 )] cos( ω c t )
东南大学 信息科学与工程学院
6. 时域微积分性质
d f (t ) n (1) dt n ( jω) F ( jω) ;
(2)设
t
n
g (t ) G ( jω) ,
∴
G (0) = 0
1 2 ωτ ) F ( jω ) = G ( j ω ) = A τ Sa ( 2 jω
∴
东南大学 信息科学与工程学院
d n F ( jω ) ( jt ) n f ( t ) 7. 频域微分性质: dω n dF ( j ω ) tf ( t ) j 特别: n = 1 时, dω
例:已知:1 2πδ(ω) ,则 e
jωct
2πδ(ω + ωc )
东南大学 信息科学与工程学院
例:求 cos(ω c t )ε (t ) 的频谱 F1 ( jω ) .
1 1 1 1 } } + {πδ(ω ωc ) + F1( jω) = {πδ(ω + ωc ) + 2 j(ω + ωc ) 2 j(ω ωc )
而
α A = lim ∫ 2 dω = π 2 α →0 ∞ α + ω
+∞
1 ε ( t ) πδ ( ω ) + jω
东南大学 信息科学与工程学院
3.直流 A ?
F ( jω ) =
+∞
由
∞
∫ Ae
jω t
dt = 2π A δ (ω )
A 2πAδ(ω)
注:
直流 2 π A π An = F ( jω ) → → 2π A δ (ω ) dω dω
∑ A δ (ω nΩ )
n n = ∞
+∞
∴
2π = T
∑ δ (ω nΩ ) = Ω ∑ δ (ω nΩ )
n = ∞
+∞
+∞
东南大学 信息科学与工程学院
注:关于常用信号傅里叶变换的计算: (1)有F.T.的表可查; (2)常用F.T.性质求.
东南大学 信息科学与工程学院
§3-8 傅里叶变换的基本性质 信号时域波形与频域频谱的关系
5. 互易(对称)性质: 若 f ( t ) F ( j ω ) ,则 F ( jt ) 2 π f ( ω )
若 f ( t ) 实偶 F ( j ω ) = F (ω ) 也是实偶 , 则 F ( t ) 2 π f (ω )
或 由 得
常用
F [ F (t )] = 2πf (ω) ,
e
5.虚指数信号
6. 余弦
7.正弦
jω c t jω c t
2 πδ(ω ω c ) 2πδ(ω + ω c )
e
cos ω c t π[ δ ( ω + ω c ) + δ ( ω ω c )]
sin ωc t jπ [δ (ω ωc ) δ (ω + ωc )] = jπ [δ (ω + ωc ) δ (ω ωc )]
东南大学 信息科学与工程学院
例:
τ τ f (t ) = A[ε(t + ) ε(t )] 门函数 2 2
jω τ 2
1 ∴ F ( jω) = A[πδ(ω) + jω]e
1 A[πδ(ω) + ]e jω
jω
τ 2
2A ωτ ωτ = sin( ) = A τSa ( ) 2 2 ω
东南大学 信息科学与工程学院
t g2 (t 0 ) a
ω j t0 a
东南大学 信息科学与工程学院
例:已知 f (t ) 的带宽为 B ,求 f (3t 6) 的带宽.
解: f (3t 6) 的带宽与 f (3t ) 的带宽相等 ( ∵ 延时不改变幅频 )
∴ f (3t 6) 的带宽为 3B .
东南大学 信息科学与工程学院
∴
f (t ) = e
αt
ε(t ) * e
前提: 设 f i (t ) Fi ( jω ) =| Fi ( jω ) | e
ji (ω )
1.
∑a f (t) ∑a F ( jω) 线性性质:
i i i i i i
f (t t0 ) F ( jω )e
2. 延时特性:
jω t0 j [ Φ ( ω ) ω t 0 ]