信号处理中傅里叶变换简介
傅里叶变换及其应用
傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具和数学分析方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等领域。
通过将一个函数表示成一组正弦和余弦函数的叠加，傅里叶变换能够将时域中的信号转化为频域中的信号，从而使得复杂的信号处理问题变得更加简单。
本文将介绍傅里叶变换的原理、性质以及其在实际应用中的几个重要方面。
一、傅里叶变换的原理和基本定义傅里叶变换是将一个函数f(x)表示成指数函数的叠加的过程。
设f(x)在时域上是以周期T为基本周期的连续函数，那么其傅里叶变换F(k)在频域上将成为以1/T为基本周期的连续函数。
傅里叶变换的基本定义如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-i2πkx/T)]dx其中，i是虚数单位，k是频率变量。
通过这样的变换，我们可以将时域上的函数转换为频域上的函数，从而可以更加清晰地分析信号的频谱特征。
二、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。
1. 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则对应线性组合的傅里叶变换为aF(k) +bG(k)，其中a和b为常数。
2. 时移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(x - a)的傅里叶变换为e^(-i2πak/T)F(k)，即时域上的平移将对频域上的函数进行相位调制。
3. 频移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则e^(i2πax/T)f(x)的傅里叶变换为F(k - a)，即频域上的平移将对时域上的函数进行相位调制。
4. 尺度变换性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(ax)的傅里叶变换为1/|a|F(k/a)，即函数在时域上的尺度变换会对频域上的函数进行缩放。
5. 卷积定理：若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则f(x) * g(x)的傅里叶变换为F(k)G(k)，即在频域上的乘积等于时域上的卷积。
常见信号的傅里叶变换
常见信号的傅里叶变换介绍傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱特性，并提取出信号中的各种频率成分。
本文章将介绍常见信号的傅里叶变换，帮助读者深入了解这一重要的信号处理技术。
简介信号的时域和频域表示•时域表示：信号在时间上的变化情况，通常使用函数表示，如f(t)。
•频域表示：信号在频率上的分布情况，使用频谱表征，表示信号中各个频率成分的大小和相位信息。
傅里叶变换的基本原理傅里叶变换基于傅里叶级数的思想，将一个信号分解为一系列复指数函数的叠加，这些复指数函数包含了不同频率的成分。
傅里叶变换可以用公式表示为：F(ω)=∫f∞−∞(t)e−jωt dt其中，F(ω)表示信号f(t)的频域表示，e−jωt为复指数函数。
常见信号的傅里叶变换正弦信号与余弦信号正弦信号与余弦信号是最基本的周期信号，在通信、电子、音频等领域中广泛应用。
对于正弦信号f(t)=Asin(ωt+ϕ)，其频域表示为：F(ω)=A2j[δ(ω−ω0)−δ(ω+ω0)]其中，δ(ω)为单位冲激函数。
对于余弦信号f(t)=Acos(ωt+ϕ)，其频域表示与正弦信号类似，只是相位不同。
矩形脉冲信号矩形脉冲信号是一种在时域上为矩形、在频域上为sinc 函数的信号。
其时域表示为：f (t )={1,|t |≤T 20,|t |>T 2其中，T 为脉冲宽度。
矩形脉冲信号的频域表示为：F (ω)=T sinc (ωT 2) 高斯信号高斯信号是一种通过高斯函数表示的连续信号。
在时域上，高斯信号的表示为：f (t )=Ae −αt 2其中，A 表示幅度，α表示衰减系数。
高斯信号的频域表示为：F (ω)=√2α−ω24α 方波信号方波信号是一种周期为T 的信号，其时域表示为由连续的正弦信号叠加而成。
方波信号的频域表示为：F (ω)=2sin (ωT/2)ω三角脉冲信号三角脉冲信号是一种周期为T 的信号，其时域表示为：f (t )=4A T2(t −T/2), 0≤t ≤T 三角脉冲信号的频域表示为：F (ω)=(2A T )2sin 2(ωT/2)ω2指数衰减信号指数衰减信号是一种在时间上随指数衰减的信号，其表示为：f (t )=Ae −αt其中，A 表示幅度，α表示衰减系数。
傅里叶变换信号处理
傅里叶变换信号处理引言傅里叶变换是一种非常重要的信号处理技术，广泛应用在各个领域，包括通信、图像处理、声音处理等等。
本文将详细介绍傅里叶变换的原理、应用以及处理过程。
傅里叶变换原理傅里叶变换是将一个时间域的连续函数（或离散函数）分解成多个不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
其数学表示可以用积分或者离散求和的形式表示。
连续傅里叶变换 (CTFT)连续傅里叶变换将一个连续时间域的函数转换为一个连续频率域的函数。
其数学表示为：∞(t)e−jωt dtF(ω)=∫f−∞其中，f(t)是原始信号，F(ω)是其频率域表示。
离散傅里叶变换 (DFT)离散傅里叶变换将一个离散时间域的序列转换为一个离散频率域的序列。
其数学表示为：N−1(n)e−j2πN nkX(k)=∑xn=0其中，x(n)是原始序列，X(k)是其频率域表示，N是序列的长度。
傅里叶变换应用傅里叶变换在信号处理领域有广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景。
音频处理在音频处理中，傅里叶变换可以将时域的音频信号转换为频域表示，从而能够实现音乐压缩、音频滤波、音频特征提取等功能。
例如，我们可以使用傅里叶变换将一段音频分解成多个频率的正弦波，通过对各个频率分量的处理来实现音频的降噪、均衡等效果。
图像处理在图像处理中，傅里叶变换可以将一个二维图像转换为频域表示，对图像的频率特性进行分析、处理。
通过傅里叶变换，我们可以对图像进行滤波、增强、去噪等操作。
例如，可以通过傅里叶变换将图像中的低频和高频成分分离出来，从而可以对图像的细节和纹理进行增强或者模糊处理。
信号处理傅里叶变换在信号处理中也有重要的应用，可以对信号的频率特性进行分析和处理。
例如，可以利用傅里叶变换对信号进行滤波、降噪、频谱分析等操作。
通过傅里叶变换，我们可以看到信号中各个频率分量的强度和相位信息，从而能够更好地理解和处理信号。
傅里叶变换的处理过程傅里叶变换可以通过数学公式进行计算，下面将介绍傅里叶变换的处理过程。
傅里叶变换在信号处理中的应用
傅里叶变换在信号处理中的应用信号处理是指对信号进行采集、处理和分析的过程，而傅里叶变换是信号处理领域中一种重要的数学工具。
本文将讨论傅里叶变换在信号处理中的应用，并介绍其原理和基本算法。
一、傅里叶变换原理傅里叶变换是数学中一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它的核心思想是将一个信号表示成一系列谐波的叠加。
傅里叶变换可以帮助我们分析信号的频谱特性，从而对信号进行更深入的了解和处理。
在数学表示上，傅里叶变换可以表示为以下公式：F(ω) = ∫[−∞, ∞] f(t)e^(−iωt)dt其中，F(ω)表示频域信号，f(t)表示时域信号，ω表示角频率， i是虚数单位。
傅里叶变换将时域信号f(t)变换为频域信号F(ω)，通过分析F(ω)可以了解信号的频谱特征。
二、傅里叶变换的算法傅里叶变换有多种算法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等。
这些算法在信号处理中具有广泛的应用。
以快速傅里叶变换为例，它是一种高效的计算傅里叶变换的算法。
FFT算法的核心思想是将傅里叶变换的计算复杂度由O(N^2)降低到O(NlogN)，使得快速傅里叶变换在计算机中得到快速的实现。
FFT算法的基本步骤如下：1. 将信号分为偶数点和奇数点。
2. 对偶数点和奇数点分别进行FFT变换。
3. 将两个FFT结果进行合并。
通过FFT算法，可以快速计算出信号的傅里叶变换结果，从而更快地获得信号的频域特性。
三、傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 信号滤波：傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的谐波分量，通过对特定频率的谐波分量进行滤波，可以实现对信号的降噪和去除干扰等目的。
2. 音频处理：傅里叶变换可以将音频信号转换为频谱图，通过分析频谱图可以了解音频信号的音调、音高以及音量等特性。
这在音频编码、音乐处理等领域中非常有用。
3. 图像处理：傅里叶变换在图像处理中也有重要的应用。
通过对图像进行傅里叶变换，可以得到图像的频域表示，从而实现图像的滤波、增强和压缩等操作。
傅里叶变换及其应用
傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将一个函数（或信号）从时域（时间域）转换为频域的数学技术。
它是由法国数学家傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）提出的，因此得名。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛的应用，并且为这些领域的发展做出了重大贡献。
一、傅里叶变换的定义和性质傅里叶变换可以将一个连续函数表示为正弦和余弦的加权和，它的数学公式如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-iωt)] dt其中，F(ω)表示频域上的函数，f(t)表示时域上的函数，e^(-iωt)是复指数函数。
傅里叶变换有一些重要的性质，如线性性、时移性、频移性、对称性等。
这些性质使得傅里叶变换成为一种非常有用的工具，在信号处理中广泛应用。
二、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数是傅里叶变换的一种特殊形式，主要用于分析周期性信号。
傅里叶级数可以将一个周期为T的函数展开成正弦和余弦函数的和。
而傅里叶变换则适用于非周期性信号，它可以将一个非周期性函数变换为连续的频谱。
傅里叶级数和傅里叶变换之间存在着密切的关系，它们之间可以相互转换。
傅里叶级数展开的周期函数可以通过将周期延拓到无穷大，得到其对应的傅里叶变换。
而傅里叶变换可以通过将频谱周期化，得到其对应的傅里叶级数。
三、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中有着重要的应用。
通过将信号从时域转换到频域，我们可以分析信号的频谱特性，如频率成分、幅度、相位等。
这对于音频、图像、视频等信号的处理非常有帮助，例如音频信号的降噪、图像的去噪、视频的压缩等。
2. 图像处理傅里叶变换在图像处理中也有广泛的应用。
通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像从时域转换为频域，进而进行频域滤波和频域增强等操作。
这些操作可以实现图像的模糊处理、边缘检测、纹理分析等。
3. 通信在通信领域中，傅里叶变换是无线通信、调制解调、信道估计等技术的基础。
通信中的快速傅里叶变换技术简介
通信中的快速傅里叶变换技术简介快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种在信号处理、图像处理、数据分析等领域广泛使用的技术。
FFT可以将时间域信号（时域信号）转换为频域信号，也可以将频域信号转换为时域信号，从而实现对信号的分析和处理。
一、傅里叶变换在介绍FFT之前，我们需要先了解傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的概念。
傅里叶变换是一种将一个函数表示为多个正弦函数和余弦函数的和的技术，它将时域信号（时间上变化的信号）转换为频域信号（以频率为变量的信号）。
通过对信号在时域和频域的分析，可以得到信号的各种特性，例如频率、振幅、相位等。
傅里叶变换的计算可以使用积分式进行，但是这种方式的计算复杂度很高，特别是对于长度比较长的信号。
因此，为了优化计算速度，就出现了FFT技术。
二、FFT技术FFT技术是一种基于DFT（Discrete Fourier Transform，离散傅里叶变换）的计算快速算法。
DFT是傅里叶变换的离散化处理，将连续信号离散化为时域上的N个采样点，然后进行傅里叶变换。
FFT技术的优点在于其计算复杂度为O(N*logN)，比DFT的计算复杂度O(N^2)要低得多。
FFT可以分为多个子问题，每个子问题都是规模较小的DFT问题，因此可以使用递归方式解决，提高了计算效率。
对于长度为N的信号，FFT需要进行log2(N)次迭代计算，每次迭代计算的时间复杂度是O(N)，因此FFT的总复杂度为O(N*logN)。
三、应用领域FFT技术在信号处理、图像处理、数据分析等领域广泛使用。
以下是一些应用领域的例子：1.音频信号处理：FFT可以将音频信号转换为频谱信号，根据频率成分实现语音识别、噪声抑制等功能。
2.图像处理：FFT可以将图像转换为频域信号，从而实现高通滤波、低通滤波、频域特征提取等功能。
3.机器学习：FFT可以对信号进行预处理，提取有用的频域特征，用于分类和回归等机器学习任务。
fft变换 滤波
fft变换滤波
摘要：
1.傅里叶变换简介
2.傅里叶变换的应用
3.快速傅里叶变换
4.滤波的基本概念
5.滤波的应用
6.傅里叶变换与滤波的关系
正文：
1.傅里叶变换简介
傅里叶变换，是一种在信号处理、图像处理等领域具有重要应用的数学方法。
它是一种将时间域信号转换为频域信号的方法，可以分析信号的频率成分，从而实现信号的滤波、降噪等操作。
2.傅里叶变换的应用
傅里叶变换在许多领域都有广泛应用，例如在音频处理中，可以通过傅里叶变换分析音频信号的频率特性，从而调整音频信号的音色；在图像处理中，傅里叶变换可以应用于图像的频谱分析、图像增强等。
3.快速傅里叶变换
由于傅里叶变换的计算量较大，为了提高计算效率，提出了快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT 算法通过分解信号的对称性，将计算量降低了一个数量级，使得傅里叶变换在实际应用中更加可行。
4.滤波的基本概念
滤波是一种信号处理技术，其主要目的是通过去除或衰减信号中的某些频率成分，从而改善信号的质量。
滤波分为低通滤波、高通滤波、带通滤波和带阻滤波等类型。
5.滤波的应用
滤波在许多领域都有广泛应用，例如在音频处理中，可以通过滤波器去除音频信号中的噪声；在图像处理中，滤波可以应用于图像的去噪、边缘检测等。
6.傅里叶变换与滤波的关系
傅里叶变换与滤波有着密切的关系。
首先，傅里叶变换可以将信号从时域转换为频域，从而便于观察信号的频率特性；其次，通过在频域中对信号进行滤波，可以更加直观地实现信号的滤波。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的，用于分析信号的频谱成分。
在信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频谱分析、滤波、解调和压缩等方面。
1. 正弦信号的傅里叶变换正弦信号是最简单的周期信号之一，它可以表示为一个频率和幅度确定的正弦函数。
对于一个正弦信号，它的傅里叶变换是一个由两个峰值组成的频谱图。
其中一个峰值位于正弦信号的频率上，另一个峰值位于负频率上，其幅度与正弦信号的幅度相等。
2. 方波信号的傅里叶变换方波信号是一种以方波函数为基础的周期信号。
方波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个由多个峰值组成的频谱图。
频谱图上的峰值对应于方波信号中各个频率的成分。
3. 矩形脉冲信号的傅里叶变换矩形脉冲信号是一种在有限时间内突然变化的信号。
它在时域上表现为一个宽度有限的矩形脉冲，其傅里叶变换是一个以脉冲宽度为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值表示了矩形脉冲信号中各个频率的成分。
4. 高斯信号的傅里叶变换高斯信号是一种以高斯函数为基础的连续非周期信号。
高斯信号在时域上呈钟形分布，其傅里叶变换是一个以高斯函数为形状的频谱图。
频谱图上的峰值表示了高斯信号中各个频率的成分。
5. 三角波信号的傅里叶变换三角波信号是一种以三角函数为基础的周期信号。
三角波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个以基频为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值对应于三角波信号中各个频率的成分。
6. 音频信号的傅里叶变换音频信号是一种连续时间的信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
音频信号的傅里叶变换可以得到音频信号的频谱图，从而可以对音频信号进行频谱分析、滤波和合成等操作。
7. 语音信号的傅里叶变换语音信号是一种声音信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
语音信号的傅里叶变换可以得到语音信号的频谱图，从而可以对语音信号进行声音分析、语音识别和语音合成等操作。
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傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f(x)，可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。
泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式，本质上自变量未改变，仍为x，而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式，同时将自变量由x变成ω，且由于三角函数处理比较简单，具有良好的性质，故被广泛地应用在信号分析与处理中，可将时域分析变换到频域进行分析。
信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数）、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换）、DFS（离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换）。
通过对连续非周期信号x c(t)在时域和频域进行各种处理变换，可推导出以上几种变换，同时可得出这些变换之间的关系。
以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。
1、CFS（连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x)可展开为由此类比，已知连续周期信号x(t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令则对于D n，有n≤0时同理。
故CFS图示如下：Figure 1理论上，CFS对于周期性信号x(t)在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。
在实践中，只要n取值范围足够大，就可以保证在某一点附近对x(t)展开都有很高的精度。
2、CFT（连续时间傅里叶变换）连续非周期信号x(t)，可以将其看成一连续周期信号的周期T0→∞。
当然，从时域上也可以反过来看成x(t)的周期延拓。
将x(t)进行CFS展开，有若令则有T0→∞使得Ω0→0，则由此，定义傅里叶变换与其逆变换如下CFT：CFT-1：x(t)是信号的时域表现形式，X(jΩ)是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。
CFT即将x(t)分解，并按频率顺序展开，使其成为频率的函数。
上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）。
CFS中的D n与CFT中的X(jΩ)之间有如下关系即从频域上分析，D n是对X(jΩ)的采样（可将Figure 1与Figure 2进行对比）。
CFT图示如下：Figure 23、DTFT（离散时间傅里叶变换）首先，先从连续信号得到离散信号。
用冲激信号序列对连续非周期信号x c(t)进行采样，采样间隔为T s，有此时的x s(t)还不是真正的离散信号，它只是在满足t = nT s的时间点上有值，在其它时间点上值为零。
对x s(t)进行进一步处理有规定则其中，x[n]是最终所得的离散信号。
x s(t)自变量为t，其单位为秒s，间隔为T S；x[n]自变量为n，其单位为1，间隔为1。
从频域分析上有其中。
令，定义以上式为DTFT定义式。
DTFT逆变换为DTFT是在时域上对CFT的采样（图示可见Figure 3与Figure 4），在DTFT中，时域信号x[n]为离散的，而对应的频域表示X(e jω)为连续的，且有周期ωs = 2π。
X(e jω)与X s(jΩ)之间的关系为ω= ΩT sX s(jΩ)中，自变量Ω单位为弧度/秒（rad/s），周期为Ωs = 2π/T s；X(e jω)中，自变量ω单位为弧度（rad），周期为ωs = 2π。
CFT时域采样图示如下：Figure 3DTFT图示如下：Figure 44、DFS（离散时间傅里叶级数）在离散时间信号x[n]基础上，用冲激序列对DTFT中的X(e jω)进行采样，采样间隔为Δω = 2π/N，则有而S(ω)的逆DTFT变换为对X s(e jω)进行逆DTFT变换，有x s[n]相当于对x[n]进行了周期延拓，周期为N = 2π/Δω。
由上式可得若延拓周期N大于x[n]的时长，则延拓不会发生混叠，于是k为任意整数令周期信号，k为任意整数，则有取ω= 2πk/N，令则有是以k为自变量的函数，有以下性质m为任意整数即的周期为N。
为了避免重复计算，我们只考虑一个周期N内的情况，即同时，为时域表示，为频域表示。
故定义DFS为其逆变换为的自变量n单位为1，周期为N；的自变量k单位为1，周期也为N。
DFS应用于离散时间周期性信号中，其相当于在频域中对DTFT采样，而对应地在时域中相当于对DTFT进行周期延拓（图示见Figure 5与Figure 6）。
DFS与DTFT的关系为DTFT频域采样图示如下：Figure 5DFS图示如下：Figure 65、DFT（离散傅里叶变换）在DFS基础上，取离散时间周期性信号的基础上，0,1,2,…N-1这一个周期内的N个点，得其中，R N[n]表示当n = 0,1,2,…N-1时函数取值为1，当n取其它值时函数取值为0。
定义DFT为其逆变换为x d[n]的自变量n单位为1，时长为N；X d[k]的自变量k单位为1，时长也为N。
DFT相当于对DFS的时域及频域都取0,1,2,…N-1这一个周期内的N个点。
6、傅里叶变换之间的关系傅里叶变换之间的关系主要有两点，一是采样与周期延拓之间的对应关系，二是对自变量的替换关系。
（1）采样与周期延拓之间的对应关系采样与周期延拓之间是一种对应关系，时域中对信号采样相当于在频域中对信号进行周期延拓，同样地，频域中对信号采样相当于在时域中对信号进行周期延拓，二者间是对应与平行的关系，不存在因果关系。
傅里叶变换中的CFS、CFT、DTFT、DFS、DFT可由连续非周期信号x c(t)进行采样及周期延拓处理得到各种变换，它们之间的关系如图Figure 7与Figure 8：Figure 7Figure 8上两图中，蓝色箭头表示在时域或频域中采取的主动措施，白色箭头表示在频域或时域中产生的相应变换。
（2）对自变量的替换关系在对信号进行采样与周期延拓的同时，对自变量进行某种替换，从而完成傅里叶变换类型的转变。
傅里叶变换中对自变量的替换情况如图Figure 9所示。
CFS适用于连续周期性信号，其自变量t单位为秒（s），相应的幅频谱|D n|中，自变量n单位为1。
而CFT适用于连续非周期信号x c(t)，其自变量t单位为秒（s），对应的频域信号为X c(jΩ)，其自变量Ω单位为弧度/秒（rad/s）。
由CFS变成CFT相当于连续周期性信号的周期T0趋于无穷，而在频域中则为自变量的替换，由n变成Ω，替换关系为DTFT适用于离散时间信号x[n]，其自变量n单位为1，对应的频域信号为X (e jω)，自变量ω单位为弧度（rad）。
由CFT变成DTFT 相当于对连续信号x c(t)采样及离散化，自变量由t替换为n，替换关系为t = nT s，而在频域中则为周期延拓及自变量的替换，由Ω替换为ω，替换关系为ω = ΩT s。
DFS适用于离散周期性信号，其自变量n单位为1，对应的频域信号为，自变量k单位为1。
由DTFT变成DFS相当于在频域中对X (e jω)进行采样、离散化与自变量替换，由ω替换为k，替换关系为ω = 2πk/N。
DFT的时域与频域序列长度都为N个点（0,1,2,…N-1），时域自变量n单位为1，频域自变量k单位为1。
由图Figure 7、Figure 8和Figure 9可以清楚地研究非相邻变换之间的关系。
Figure 9二、与相关教材内容的辨析1、《Signal Processing and Linear Systems》（thi, Oxford University Press）书中首先将高等数学中的向量理论扩展到了信号系统中，引出正交信号空间的定义，指出任意信号x(t)可用正交信号空间的线性组合表示，进而引出三角傅里叶级数，将这种表示用三角函数的线性组合表示。
CFS的来源介绍比我对CFS的自述更加详细具体，更有逻辑性，体现了高等数学的延伸，CFS定义部分与我的自述大体相同。
书中由CFS引出CFT，指出连续非周期信号x c(t)相当于将连续周期性信号的周期T0趋于无穷，然后对x c(t)按照CFS方法展开，中间过程中引出了CFT。
这一部分与我的自述大体相同。
只是我在对傅里叶变换的总结中将x c(t)进行无混叠的周期性延拓，反向也得出了。
这只是对傅里叶变换的又一种理解，但从本源上考虑，还应该是由连续周期性信号得出连续非周期信号x c(t)。
书中接下来先介绍的是DFS。
书中由CFS类比定义了DFS，定义为其中，这种定义与我对DFS的自述略有差别。
书中完全按照CFS的定义模式定义的，书上在此之后也按照CFS的模式给出了D r的幅频谱与相频谱。
而我的自述则采用类似CFT的定义方式，即正变换为从时域变到频域，逆变换为从频域变到时域，其次书中使用的字母表示方式与我的自述略有差异，不过本质上意义是相同的。
紧接着，书中由DFS引出了DFT，指出DFT的时域及频域都为N点有限序列，此处与我对DFT的自述大体相同，但未进行深入说明。
之后，类似于由CFS引出CFT，书中由DFS中的离散时间周期函数引出离散时间非周期函数x[k]（令周期N0→∞），然后对x[k]按照DFS的方法展开，在中间推导过程中引出了DTFT。
总之，在离散时间信号的傅里叶变换中，书上是类比CFS引出CFT的模式，由DFS引出DTFT，而DFT也由DFS引出，只是未做重点讲解，实质上是从时域角度出发，与连续时间信号进行同等过程的类比。
我对离散时间信号傅里叶变换的自述则从频域角度出发，与连续时间信号的时域推导过程进行同等过程的类比。
二者分析方向不同，顺序不同，但本质上是相同的。
这也从侧面反映出傅里叶变换将单纯的时域分析引向时域与频域的双领域分析，增加了对信号分析与处理的方法与方向，有利于更好地对信号进行理解。
2、《信号与系统》书中也是首先将高等数学中的向量理论扩展到了信号系统中，引出正交信号空间的定义，指出任意周期为T0的信号x(t)可进行正交分解，而正余弦信号集是比较特殊的正交信号集，并用正余弦信号集表示信号，达到一种分解的目的，从而定义出CFS，并将正余弦信号集进一步扩展为虚指数信号集，从而将指数形式的CFS表示出来。
在表示方式上与我的自述基本相同。
而书中对三角形式的CFS与指数形式的CFS总结比较清楚，并对各自形式的幅频谱进行了比较，指出指数形式CFS的频谱为双边谱，而三角形式的CFS的频谱为单边谱。
而由CFS导出CFT的叙述则基本与我的自述相同，即连续非周期信号x c(t)相当于将连续周期性信号的周期T0趋于无穷，然后对x c(t)按照CFS方法展开，中间过程中引出了CFT。
书中对DFS的描述，类比于对CFS的描述，采用离散形式的虚指数正交信号集对离散时间周期性信号表示，表示方式与上一本书相同。
由DFS引出DTFT时类比于由CFS引出CFT的过程，将离散时间周期性信号周期趋于无穷，得出离散时间非周期性信号，按照DFS 的方式对信号进行分解表示，在推导过程中引出DTFT的定义，过程与上一本书基本相同。