数字信号处理--第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)C
(3.4.9)
def 1 ' 1 ' X (k ) X a f k k X a kF f = T T NT T
p
k 0,1, 2,, N 1
由此可得： ' kF =TX (k ) T DFT[ x(n)] X a N
k 0,1, 2,, N 1
解：
1 1 Tp 0.1 s F 10
因此Tp min=0.1 s。因为要求Fs≥2fc，所以
Tmax
N min
1 1 0.2 103 s 2 f c 2 2500 2 f c 2 2500 500 F 10
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此 选用N =512点。 为使频率分辨率提高1倍，即F=5 Hz，要求：
说明了X(k)与Xa(jΩ)的关系. 为了符合一般的频谱描述习惯，以频率f为自变量
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
令：
X a' ( f ) X a j X a j2πf 2 πf ' 2πf Xa ( f ) X X a a 2 πf
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
x ( n) 如果 ~ 的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即
(n) RM (n) xM (n) x X M (k ) DFT[ xM (n)]
再将截取长度扩大1倍，截取
0 k M 1
（3.4.18）
x (n)的频谱结构，只是在k=im 由此可见，XM(k)也能表示 ~ (i) ，表示 ~ x (n) 的i次谐波谱线，其幅度扩 时，X (im) mX
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
X(k)与x(n)均为有限长序列,但由于WknN 的周期性,X(k)隐含周 期性， 且周期均为N。 对任意整数m， 总有
k ( WN WNk mN ) , k, m, N
N 1 n 0
均为整数
( 所以,X(k)满足 X (k mN ) x(n )WNk mN ) n kn x(n )WN X (k ) n 0 N 1
k 1 X 1 x n e
n 0
2 1n 4
x n e
n 0
3
x n ( j ) n 2 2 j
n 0
3
k 2
X 2 x n e
n 0 3
3
j
2 2n 4 2 3n 4
x n e j n x n (1) n 2
DFT后的X(k)具周期性，周期为N
x(n)满足
x(n+mN)=x(n)
IDFT后的x(n)具周期性,周期为N
主值区间和主值序列
任何周期为N的周期序列 ~(n) 可以看作长度为N的有限 x
x 长序列x(n)的周期延拓序列, x(n)是 ~(n) 的一个周期。 ~(n) 中n=0到N－1的第一个周期为 ~(n) 的主值区间。 x x x 主值区间上的序列为 ~(n)的主值序列；
x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，
((n))N表示n对N求余，
如果 则 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， M为整数， ((n))N=n1
－－此运算符表示n被N除，商为M，余数为n1。
(n1) 是((n))N 的解,或称作取余数,或称作n对N取模值, 或 简称为取模值,n模N。
数字信号处理--第3章 离散傅里叶变换(DFT)
~
~
2019/3/18
数字信号处理
如果x(n)的长度为N， 且
出
~
x (n)的离散傅里叶级数表示为
N 1 n 0 ~ kn N
~
x
~
(n)=x((n))N， 则可写
X (k ) x(n)W
~
x((n)) N W
n 0
N 1
kn N
m 0 m 0 N 1 N 1
(3.2(3.2.5) 式所表示的运算为 x1(n) 与 x2(n) 的循
环卷积。 下面先证明(3.2.5)式， 再说明其计算方法。 证明： 直接对(3.2.5)式两边进行DFT
X (k ) DFT [ x (n )]
kn (3.1.8) x(n )WN n 0
N 1
1 ~ 1 kn x(n) X (k )WN N N
n 0
N 1
kn X (k )WN
(3.1.9)
式中
X (k ) x(k ) RN (k )
~
(3.1.10)
2019/3/18
数字信号处理
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
N 1
N 1 m n m
k ( n m ) x2 ((n)) N WN
2019/3/18
km x1 (m)WN m 0
N 1 m
数字信号处理 n m
kn x2 ((n)) N WN
因为上式中x2((n′))NW
N 1
kn′ ， N
以N为周期， 所以对
0 k N-1
比较上面二式可得关系式
X (k ) X ( z )
数字信号处理：离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散
傅里叶变换为:
N为变换区间的长 度，N≥M
… N 1 N 1
X (k ) XD(kF) T [DxF(Tn[)x](n)] x(nx)(Wn)WNknNk,n,kk==00,, 1, &&,,NN-1-1(3(.13..11).1)
单位圆上的Z 变换,Z=ejw
3.1 离散傅里叶变换的定义
[例1]：若N=5， x(n)=R4(n)，画出x((n))N图形。
x(n) 1
01234 n x((n))5
1
n -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3.1 离散傅里叶变换的定义
[例2]：已知长度为N的一个有限长序列x(n)，其N点DFT为X(k)。 另一个长度为2N的序列 y(n) 定义为：
)
= DDFFSS[[x~x~((nn))]]=DNnNF01SXX~[kx~x((((ekn()jn)=e)))NDXjX2]N(FF((keSTnk[)j[)x~x~N)((nn))F]]NT[N2x~N1(nk)x~](n)2eNX~
(
j2 k
n0
N 1
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n x(n)WNkn X (k)
n0
n0
N 1
(3) 序列x(n)隐含的周 期性x(周n)W期Nk为n NX)(k)
n0
x(n+mN)=x(n)
3.1 离散傅里叶变换的定义
~
任何周期为N的周期序列 x(n) 都 x可(n以)N看作长(度3.1为.7N)的有限长序列 ~
离散傅里叶变换(DFT)
X (k) X (e j ) 2 k , N
0 k N-1
(3.1.4)
序列x(n)的N点DFT是 x(n)的DTFT在[0，2π]上的N点等间隔采样
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
2 N
m
-1 单位圆
jIm(z)
j
z平面
2 N
0
1
Re(z)
2 ( N 1) N
-j
图 3.1.1 X(k)与X(z),X(e jω)的关系
x((n))N 表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算
n 25, N 9, 25 7 9
第3章 离散傅里叶变换(DFT) x(n)
n
0 ~x (n) N-1
...
...
n
0
N-1
定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)从DFS到离散傅里叶变换
(4) 周期为N 的离散周期信号
DFS
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
k ~ n ~
时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四种傅立叶变换:
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
x(n)e
《数字信号处理——原理、实现及应用》第三章_离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
X (k )W N
1
k 0
N 1
k n N
, n 0, 1, , N 1
长度为 N的离 散序列
返回
回到本节
例3.1： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)的8点、16点DFT。 解: x(n)的8点DFT为
X (k )
频率域 Ω、s:连续
时间域
n:离散
数字域 FT、ZT 数字域
频率域
ω、z：连续
DFT
频率域
k：离散
返回
离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域 表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程 学习的一大重点。 本节主要介绍
X ( z ) ZT[ x ( n )] X (e ) FT[ x ( n )] X ( k ) DFT[ x ( n )] N
j
n0
M 1
x(n) z n x ( n )e j n k 0,1, , N 1
返回
n0
M 1
n0
M 1 kn x ( n )W N ,
返回
回到本节
X ( k ) DFT[ x ( n )] N
x(n)W
n0
N 1
kn N
,
k 0, 1, , N 1
也可以表示成矩阵形式
X DN x
式中，X是N点DFT频域序列向量:
X [ X (0) X (1) X ( N 2) X ( N 1)]T
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~ ~
~
M为整数，
则有
所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。
2012-10-5
数字信号处理
如果x(n)的长度为N， 且 x (n)=x((n))N， 则可写 ~ 出 x (n)的离散傅里叶级数表示为
所以， 在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］=x(n), 0≤n≤N-1
由此可见， (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 设变换区间N=8， 则
X (k )
2 8
7
x ( n )W 8 sin ( sin (
设x(n) 是长度为N的有限长序列， y(n)为x(n)的循 环移位， 即 y(n)=x((n+m))NRN(n) 则
Y(k)=DFT［y(n)］
=W-km NX(k) 其中X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1。 (3.2.3)
2012-10-5
数字信号处理
证明：
Y ( k ) D F T [ y ( n )]
kn
因为上式中x2((n′))NW
N 1
kn′ ， N
以N为周期， 所以对
其在任一个周期上求和的结果不变。 因此
X (k )
m 0
x 1 ( m )W N
kn
X 1 ( k ) X 2 ( k ),
0 k N 1
循环卷积过程中， 要求对x2(m)循环反转， 循环移 位， 特别是两个N长的序理的循环卷积长度仍为N。 显 然与一般的线性卷积不同， 故称之为循环卷积， 记为
2012-10-5 数字信号处理
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
2012-10-5
数字信号处理
2012-10-5
图 3.2.1
数字信号处理 循环移位过程示意图
2. 时域循环移位定理
X ( k ) D F T [ x ( n )]
N 1
x ( n )W N , k = 0 , 1 , & , N -1 (3 .1 .1 )
kn
n0
X(k)的离散傅里叶逆变换为
X ( k ) D F T [ x ( n )] 1 N
N 1
X ( n )W N
kn
, k= 0 , 1 , & , N -1 (3 .1 .2 )
(3.2.6)
N 1
X 1 ( l ) X 2 (( k l )) N R N ( k )
l0
X 2 (k ) X 1(k )
N 1
X 2 ( l ) X 1 (( k l )) N R N ( k )
l0
X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(n)］
2012-10-5
3 j k 8
k) , k 0,1, ,1 5 k)
16
2012-10-5
数字信号处理
3.1.2 DFT和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
X ( z ) Z T [ x ( n )]
N 1
x (n ) z
n
n0
X ( k ) D F T [ x ( n )]
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
2012-10-5
数字信号处理
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为
N 1
k 0
[ x ( m )W N ]W N
mk m 0
N 1
kn
m 0
x(m )
1 N
1
N 1
WN
k (m n )
k 0
1 N
2012-10-5
WN
k (m n )
{0
m n M N ,M m n M N ,M
M为整数 M为整数
k 0
数字信号处理
边等于左边即可。
X ( N k ) [ x ( n )W N
n0 N 1 ( N k )n
]
N 1
x ( n )W N x ( n )W N
( N k )n
n0 kn
N 1
n0
D F T [ x ( n )]
又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0) 用同样的方法可以证明 DFT［x*(N-n)］=X*(k)
kn
令n-m=n′， 则有
X (k )
2012-10-5
m 0
N 1
x1 ( m )
n m N 1 m km
x 2 (( n )) N W N
k ( n m )
m 0
N 1
x 1 ( m )W N
数字信号处理 m n
x 2 (( n )) N W N
~
实际上， 任何周期为N的周期序列
则是 x
~
x
都可以看
作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)
~
的一个周期， 即
x(n )
m
x(n m N )
( 3 .1 .5)
x(n ) x(n ) RN (n )
~
(3 .1 .6 )
为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：
N 1
x ( n )W N
kn
0 k N -1
n0
比较上面二式可得关系式
X (k ) X ( z )
ze j
2 N
j
k
,
0 k N -1
(3 .1 .3 )
X (k ) X ( z
2012-10-5
)
2 N
,
k
0 k N -1
(3 .1 .4 )
数字信号处理
kn
kn
WN WN
km
n 0 km
N 1
X (k )
3. 频域循环移位定理如果
X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1
Y(k)=X((k+l))NRN(k) 则 y(n)=IDFT［Y(k)］=WnlNx(n)
2012-10-5 数字信号处理
(3.2.4)
3.2.3 循环卷积定理
x (n ) x (n ) N
~
(3 .1 .7 )
2012-10-5
数字信号处理
图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓
2012-10-5 数字信号处理
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，
((n))N表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如， N 5, x ( n ) x ( n ) 5 ,
2012-10-5
m 0
N 1
x 1 ( m )(( n m )) N R N ( n ) x 2 ( m )(( n m )) N R N ( n )
(3.2.5)
m 0
N 1
数字信号处理
一般称(3.2.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循
环卷积。 下面先证明(3.2.5)式， 再说明其计算方法。 证明： 直接对(3.2.5)式两边进行DFT
n0
201FT变换区间长度N≥M， 通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 下面 证明IDFT［X(k)］的唯一性。
j
2
把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有
ID F T [ X ( k )]
N 1
1 N
N 1
X (k ) x(n )
~ ~
~
1 N
N 1
x ( n )W N
kn ~ kn
~
n0
1 N
~
N 1
x (( n )) N W N
kn
n0
N 1
x ( n )W N
kn
(3.1.8)
(3.1.9)
n0
X ( k )W N
N 1
X ( k )W N
kn
n0
有限长序列x1(n)和x2(n)， 长度分别为N1 和N2 ， N=max［ N1, N2 ］。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFT［x1(n)］ X2(k)=DFT［x2(b)］
如果
X(k)=X1(k)·X2(k) 则
x ( n ) ID F T [ X ( k )] x ( n ) ID F T [ X ( k )]
所以
x ( n ) ID F T [ X ( k )] x 1 ( n ) x 2 ( n ) x 2 ( n ) x1 ( n )
即循环卷积亦满足交换律。
2012-10-5
数字信号处理
作为习题请读者证明频域循环卷积定理：