Chirp信号的傅里叶变换的特征比较.
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换分数傅里叶定义：分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次，其中不一定要为整数（比傅里叶变换更加广泛）；通过分数傅里叶变换之后，图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。
1.1（维基百科）第一种定义:第二种定义：1.2从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式：Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换A.W.Lohmann在1993 年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数空间中相当于角度是pπ/2的旋转，这里，p是分数傅里叶变换的级次。
分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。
当分数傅里叶变换的幂次p从0 连续增长到达1 时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。
因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具分数傅里叶的分类：1.一维分数傅里叶变换分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式,1.积分形式2级数表达式形式其中2.二维分数傅里叶变换其中C为相应常系数。
当a=b时, 上式就是二维分数傅里叶变换的表达式; 当a=b=1时, 上式转化为常规二维傅里叶变换; 当a与b不相等时, 我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。
此时在x、y 方向实施的变换级次是不同的。
分数傅里叶变换的性质1周期性：（k为整数）2线性：（c1和c2是复常数）3阶数可加性：4尺度变换特性：5时移特性：6频移特性：7可逆性：对一个函数进行P 级分数傅里叶变换后，接着进行－P 级的分数傅里叶变换，则可得到原函数:分数傅里叶变换的数值算法(1) 基于傅立叶变换矩阵因子幂的离散化算法，利来计算离散的分数傅立叶变换的核矩阵，从而利用FFT来计算离散分数傅立叶。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)C
(3.4.9)
def 1 ' 1 ' X (k ) X a f k k X a kF f = T T NT T
p
k 0,1, 2,, N 1
由此可得： ' kF =TX (k ) T DFT[ x(n)] X a N
k 0,1, 2,, N 1
解：
1 1 Tp 0.1 s F 10
因此Tp min=0.1 s。因为要求Fs≥2fc，所以
Tmax
N min
1 1 0.2 103 s 2 f c 2 2500 2 f c 2 2500 500 F 10
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此 选用N =512点。 为使频率分辨率提高1倍，即F=5 Hz，要求：
说明了X(k)与Xa(jΩ)的关系. 为了符合一般的频谱描述习惯，以频率f为自变量
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
令：
X a' ( f ) X a j X a j2πf 2 πf ' 2πf Xa ( f ) X X a a 2 πf
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
x ( n) 如果 ~ 的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即
(n) RM (n) xM (n) x X M (k ) DFT[ xM (n)]
再将截取长度扩大1倍，截取
0 k M 1
（3.4.18）
x (n)的频谱结构，只是在k=im 由此可见，XM(k)也能表示 ~ (i) ，表示 ~ x (n) 的i次谐波谱线，其幅度扩 时，X (im) mX
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换分数傅里叶定义：分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次，其中不一定要为整数（比傅里叶变换更加广泛）；通过分数傅里叶变换之后，图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。
1.1（维基百科）第一种定义:第二种定义：1.2从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式：Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换A.W.Lohmann在1993 年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数空间中相当于角度是pπ/2的旋转，这里，p是分数傅里叶变换的级次。
分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。
当分数傅里叶变换的幂次p从0 连续增长到达1 时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。
因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具分数傅里叶的分类：1.一维分数傅里叶变换分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式,1.积分形式2级数表达式形式其中2.二维分数傅里叶变换其中C为相应常系数。
当a=b时, 上式就是二维分数傅里叶变换的表达式; 当a=b=1时, 上式转化为常规二维傅里叶变换; 当a与b不相等时, 我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。
此时在x、y 方向实施的变换级次是不同的。
分数傅里叶变换的性质1周期性：（k为整数）2线性：（c1和c2是复常数）3阶数可加性：4尺度变换特性：5时移特性：6频移特性：7可逆性：对一个函数进行P 级分数傅里叶变换后，接着进行－P 级的分数傅里叶变换，则可得到原函数:分数傅里叶变换的数值算法(1) 基于傅立叶变换矩阵因子幂的离散化算法，利来计算离散的分数傅立叶变换的核矩阵，从而利用FFT来计算离散分数傅立叶。
基于MATLAB的脉冲压缩技术
基于MATLAB的脉冲压缩技术周春明;杨丹【摘要】文章以线性调频Chirp信号为例,给出了一种基于MATLAB软件的脉冲压缩技术的仿真研究方法.该方法能够得到窗函数类型、脉冲压缩参数如时宽T和带宽B对脉冲压缩的影响效果,研究中利用MATLAB软件搭建匹配滤波器系统模型,分别在改变窗函数类型、发射信号的时宽T、带宽B的条件下对Chirp信号进行脉冲压缩处理的仿真,得出3组脉压后信号的主瓣峰值、主瓣宽度以及旁瓣峰值的特征效果图.结果表明,脉冲压缩后主瓣高度随时宽T的增大而增高;一定范围内带宽B越大主瓣越窄;加窗函数削弱了旁瓣能量,但同时降低了主瓣峰值,加宽了主瓣宽度.脉冲压缩技术为提高医疗领域的图像分辨率和探测深度提供了巨大的助力,同时脉冲压缩技术的日益成熟将为其他领域带来全新的技术革新.【期刊名称】《辽东学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(026)003【总页数】5页(P199-203)【关键词】时宽T;带宽B;Chirp信号;脉冲压缩【作者】周春明;杨丹【作者单位】辽东学院机械电子工程学院,辽宁丹东 118003;丹东百特仪器有限公司,辽宁丹东 118000【正文语种】中文【中图分类】TP311脉冲压缩的理论及技术研究普遍应用于雷达领域中，主要用于距离的探测和目标辨认。
Newhouse于1974年将脉冲压缩技术引入到了B型超声诊断仪[1]。
脉冲压缩技术可以很好地解决影响B型超声诊断仪图像效果的图像分辨率和探测深度之间的矛盾[2]。
脉冲压缩后信号的主瓣高度决定了探测深度，主瓣宽度和旁瓣决定了图像分辨率，它们是表征脉压效果的重要特征[3]。
脉冲压缩技术的引进不仅可以提高图像分辨率和探测深度，还将增加系统的信噪比，进而提高B超仪的诊断效果。
因此本文的研究将间接的对医学的发展和人们的生活质量产生不同程度的影响。
本文以线性调频Chirp信号的脉冲压缩处理为例,介绍基于MATLAB软件的脉冲压缩技术的研究与仿真方法。
傅里叶特征提取
傅里叶特征提取
傅里叶特征提取是指利用傅里叶变换来从信号中提取特征。
傅里叶变换是一种将一个信号分解成不同频率的正弦波成分的数学工具。
在傅里叶特征提取中，首先将信号转换为频域表示，即将信号从时间域转换为频率域。
这可以通过对信号进行傅里叶变换来实现。
傅里叶变换将信号表示为一组正弦波的叠加，每个正弦波具有不同的频率和振幅。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱。
频谱表示信号在不同频率上的能量分布情况。
频谱中的特征包括主要频率、频率分布等。
通过分析频谱，我们可以提取出信号的特征信息。
傅里叶特征提取可以应用于很多领域，例如音频处理、图像处理、信号处理等。
在音频处理中，可以利用傅里叶特征提取来提取音频信号的频谱特征，用于音频分类、声音识别等任务。
在图像处理中，可以将图像转换为频率域表示后，提取图像的频谱特征用于图像分类、图像识别等任务。
总之，傅里叶特征提取是一种常用的信号处理方法，通过将信号转换为频率域表示，可以提取出信号的频谱特征，用于信号分析和处理。
scipy singnal 小波变换 加傅里叶-概述说明以及解释
scipy singnal 小波变换加傅里叶-概述说明以及解释1.引言1.1 概述本文旨在介绍和比较scipy signal模块中的两种信号处理方法，即小波变换和傅里叶变换。
通过对这两种方法的原理和应用进行探讨，我们可以更深入地了解信号处理领域的一些基本概念和技术。
在信号处理中，小波变换和傅里叶变换是两种常用的方法。
它们都可以将一种函数或信号转换为另一种表示形式，以便更好地理解和分析信号的特性。
小波变换通过在时间-频率域上分析信号，可以提供关于信号的瞬时频率和局部特征的信息。
傅里叶变换则将信号分解为基本频率成分，可以揭示信号的频谱特性。
scipy signal模块是Python科学计算库scipy中的一个子模块，提供了丰富的信号处理功能。
它集成了多种信号处理算法和函数，包括小波变换和傅里叶变换。
通过使用scipy signal模块，我们可以方便地对信号进行处理和分析，以及提取信号中的有用信息。
本文将首先介绍scipy signal模块的基本特点和功能，包括其提供的各种信号处理函数和类。
然后，我们将详细阐述小波变换和傅里叶变换的原理及应用，包括它们在信号处理中的作用和优缺点。
最后，我们将对小波变换和傅里叶变换进行比较，并展望未来可能的研究方向和应用前景。
通过研究本文，读者将对scipy signal模块的使用有更深入的了解，并对小波变换和傅里叶变换的应用有更全面和深入的认识。
这些知识将有助于读者在信号处理领域中进行更高效和准确的数据分析和处理工作。
文章结构部分的内容可以参考以下写法：1.2 文章结构本文共分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分首先对本文进行了概述，简要介绍了scipy signal模块、小波变换和傅里叶变换的基本概念和应用领域。
接着说明了本文的结构，以及各个部分内容的关联性和逻辑顺序。
最后明确了本文的目的，即通过对scipy signal模块中小波变换和傅里叶变换的比较研究，探讨它们在信号处理领域的优势和应用前景。
分数阶傅里叶变换讲解
分数阶傅里叶变换的MATLAB 仿真计算以及几点讨论在Haldun M. Ozaktas 和 Orhan Arikan 等人的论文《Digital computation of the fractional Fourier transform 》中给出了一种快速计算分数阶傅里叶变换的算法， 其MATLAB 计算程序可在.tr/~haldun/fracF.m 上查到。
现在基于该程序，对一方波⎪⎩⎪⎨⎧<=其它,01,1)(t t x 进行计算仿真。
注：网上流传较为广泛的FRFT 计算程序更为简洁，据称也是Haldun M. Ozaktas 和 Orhan Arikan 等人的论文《Digital computation of the fractional Fourier transform 》使用的算法。
但是根据Adhemar Bultheel 和 Hector E. Martnez Sulbaran 的论文《Computation of the Fractional Fourier Transform 》中提到，Ozaktas 等人的分数阶傅里叶变换的计算程序仅有上述网站这一处，而两个程序的计算结果基本相符。
本文使用较为简洁的计算程序，Ozaktas 等人的计算程序在附表中给出。
程序如下：clearclc%构造方波⎪⎩⎪⎨⎧<=其它,01,1)(t t x dt=0.05;T=20;t=-T:dt:T;n=length(t);m=1;for k=1:n;% tt=-36+k;tt=-T+k*dt;if tt>=-m && tt<=mx(k)=1;elsex(k)=0;endend%确定α的值alpha=0.01;p=2*alpha/pi%调用计算函数Fx=frft(x,p);Fx=Fx';Fr=real(Fx);Fi=imag(Fx);A=abs(Fx);figure,subplot(2,2,1);plot(t,Fr,'-',t,Fi,':');title(' α=0.01时的实部和虚部π'); axis([-4,4,-1.5,2]);subplot(2,2,2);plot(t,A,'-');title('α=0.01时的幅值');axis([-4,4,0,2]);分数阶傅里叶变换计算函数如下：function Faf = frft(f, a)% The fast Fractional Fourier Transform% input: f = samples of the signal% a = fractional power% output: Faf = fast Fractional Fourier transformerror(nargchk(2, 2, nargin));f = f(:);N = length(f);shft = rem((0:N-1)+fix(N/2),N)+1;sN = sqrt(N);a = mod(a,4);% do special casesif (a==0), Faf = f; return; end;if (a==2), Faf = flipud(f); return; end;if (a==1), Faf(shft,1) = fft(f(shft))/sN; return; end if (a==3), Faf(shft,1) = ifft(f(shft))*sN; return; end% reduce to interval 0.5 < a < 1.5if (a>2.0), a = a-2; f = flipud(f); endif (a>1.5), a = a-1; f(shft,1) = fft(f(shft))/sN; end if (a<0.5), a = a+1; f(shft,1) = ifft(f(shft))*sN; end% the general case for 0.5 < a < 1.5alpha = a*pi/2;tana2 = tan(alpha/2);sina = sin(alpha);f = [zeros(N-1,1) ; interp(f) ; zeros(N-1,1)];% chirp premultiplicationchrp = exp(-i*pi/N*tana2/4*(-2*N+2:2*N-2)'.^2);f = chrp.*f;% chirp convolutionc = pi/N/sina/4;Faf = fconv(exp(i*c*(-(4*N-4):4*N-4)'.^2),f);Faf = Faf(4*N-3:8*N-7)*sqrt(c/pi);% chirp post multiplicationFaf = chrp.*Faf;% normalizing constantFaf = exp(-i*(1-a)*pi/4)*Faf(N:2:end-N+1);function xint=interp(x)% sinc interpolationN = length(x);y = zeros(2*N-1,1);y(1:2:2*N-1) = x;xint = fconv(y(1:2*N-1), sinc([-(2*N-3):(2*N-3)]'/2)); xint = xint(2*N-2:end-2*N+3);function z = fconv(x,y)% convolution by fftN = length([x(:);y(:)])-1;P = 2^nextpow2(N);z = ifft( fft(x,P) .* fft(y,P));z = z(1:N);从图中可见，当旋转角度0→α时，分数阶Fourier 变换将收敛为方波信号)(t x ；当2πα→时，收敛为c sin 函数。
基于双通道 DFRFT 互谱法的 Chirp 信号时延估计
基于双通道 DFRFT 互谱法的 Chirp 信号时延估计李昕【摘要】针对脉冲Chirp类信号的时延估计问题，理论推导了基于离散分数阶Fourier变换的脉冲Chirp信号的特性，分析了当时延参量等效的分数阶Fourier 域的频率大于采样率时，脉冲Chirp信号的分数阶Fourier域谱产生混叠，造成时延估计模糊的问题，并提出基于离散分数阶Fourier变换（DFRFT ）双通道互谱法进行时延估计，给出两个通道采样率选取的原则及算法的性能分析，实验结果表明，在一定的采样率下，算法能够快速精确地估计脉冲Chirp信号的时延参数。
%For the problem of time-delay estimation for Chirp pulse signals ,the characteristics of Chirp pulse signals based on the discrete fractional Fourier transform was theoretically derived .When time-delay equivalent frequency parameter was greater than the sampling rate in fractional Fourier domain ,the spectrum of Chirp pulse signals in fractional Fourier domain produced aliasing , which caused the delay estimation ambiguity problem .In order to solve this problem ,the time-delay estimation of Chirp signal based on double-channel DFRFT cross-spectral method was proposed ,then the principles of the two-channel sampling rate selection and the performance analysis was given .The experimental results show that ,in a certain sampling rate ,the proposed algorithm is able to quickly and accurately estimate the time-delay parameters of Chirp pulse signals .【期刊名称】《电子学报》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】6页(P1068-1073)【关键词】离散分数阶Fourier变换(DFRFT);互谱;时延估计;脉冲chirp信号【作者】李昕【作者单位】北京理工大学信息与电子学院，北京 100081; 安徽理工大学电气与信息工程学院，安徽淮南 232001【正文语种】中文【中图分类】TN957.511 引言Chirp类信号也称线性调频信号,因其具有大时宽带宽积的特性,被广泛应用于雷达、声纳等通信系统之中,对Chirp类信号的检测和参数估计具有重要意义,如脉冲Chirp类信号时延估计就是信号处理领域中参数估计的一项重要内容,时延估计的性能直接影响着线性调频体制雷达定位系统的性能.随着新的时频分析工具分数阶Fourier变换(FRactional Fourier Transform,FRFT)理论的出现与不断发展,作为傅里叶变换广义形式的分数阶Fourier变换,因其对Chirp信号具有良好的能量聚集性,且具有与快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)计算量相当离散算法,近年来被广泛应用于Chirp类信号的检测与参数估计的分析[1～9].Sharam等人于2007年提出了基于分数阶傅里叶变换的时延估计算法,给出算法的输出信噪比与估计精度分析[1].针对线性调频脉冲，Tao等人证明了该算法在特定的分数阶Fourier域对Chirp信号进行时延估计是最优的,时延估计子可达到克拉美罗下界(CRLB)[2].文献[3,4]以传统相关处理算法脉冲压缩的时域特性为参照,分析了基于FRFT的线性调频脉冲时延估计的分数阶Fourier域特性,并对比两者在数字信号处理上的差异,说明了基于FRFT的时延估计精度往往更高,所需数据率可以更低,运算复杂度更低.文献[1～3]仅针对连续分数阶Fourier变换时延估计的理论分析仿真,未对实际工程应用的离散分数阶Fourier变换(Discrete FRactional Fourier Transform,DFRFT)的应用进行分析.文献[2]中指出基于FRFT的时延估计是将时延信息转换为分数阶Fourier域的频率参数进行估计,采样率对时延等效分数阶Fourier域的频率参数是否会有影响文中也未讨论.采用传统相关算法对脉冲Chirp信号时延估计时,当采样率低于奈奎斯特采样率即欠采样,信号会在频域产生混叠,导致处理后相关峰在时域出现多个峰值,干扰存在的情况下会造成时延估计错误.尤其对于Chirp超宽带系统，若以满足奈奎斯采样定理的采样率即2倍的信号带宽采样,会因信号带宽较大造成采样芯片的负担,欠采样技术是解决这一问题的有效方法之一.文献[5]针对线性调频信号离散分数阶Fourier变换后的特性,提出了利用欠采样Chirp信号的最佳FRFT旋转角度估计原始信号的调频率,实现欠采样情况下的线性调频信号的快速检测.本文针对脉冲Chirp类信号的时延估计问题,分析了基于DFRFT的脉冲Chirp信号的特性,分析采样率与时延参量间的关系,当时延参量等效分数阶Fourier域的频率大于采样率时,脉冲Chirp信号的分数阶Fourier域谱会产生混叠,无法分辨出真实时延,产生时延模糊问题;针对该问题提出基于DFRFT双通道互谱法进行时延估计，理论分析双通道采样率与发射脉冲Chirp信号的脉宽和脉冲重复周期间的关系,给出两个通道采样率选取的原则;并从时域分辨力和时延估计的计算精度两方面,与基于FRFT的时延估计算法和传统相关处理算法进行了比较分析.最后通过仿真验证了基于DFRFT双通道互谱法脉冲Chirp信号的检测与时延的快速精确估计算法的有效性.2 基于DFRFT的Chirp信号时延估计信号连续分数阶Fourier变换基本定义[10]：Xp(u)=Fp[x(t)]=x(t)Kα(t,u)dt=Aαejπ(u2cotα-2utcscα+t2cotα)x(t)dt(1)其中,Aα=|sin α|-1/2ejπ sgn(sin α)/4+j α/2,式中 p 为分数阶Fourier变换阶次,α=pπ/2为p阶分数阶Fourier域相对于时域的逆时针旋转角度.在众多离散分数阶Fourier变换算法中,Pei S.C.等人于2000年提出采样型算法[11],计算结果与连续FRFT接近,计算复杂度与快速傅里叶变换相当,且在数据处理前无需对数据进行量纲归一化,因此得到广泛的认可与应用.算法是通过直接对输入输出变量实现采样,限定输入输出采样间隔实现变换可逆性,将连续FRFT表达式分解成两次Chirp乘积和一次尺度变化FFT运算.2.1 基于FRFT的chirp信号时延估计原理分数阶Fourier变换的时延特性表明,时延τ与分数阶Fourier域的谱峰位置有密切联系,即：=Fα[s(t-τ)](u)=ejπτ2sinαcosαe-j2πuτsinαSα(u-τcosα)(2)分数阶Fourier变换可以理解为信号在Chirp基上的分解,因此对Chirp信号具有非常好的能量聚焦性能,特别适合用于处理Chirp类信号.利用这一特点和分数阶Fourier变换的时延特性,文献[2]提出了分数阶Fourier域的脉冲Chirp信号的时延估计方法,将传统的时延估计转化为分数阶Fourier域的参数估计,根据含时延的信号在分数阶Fourier域最大谱相对于参考信号在分数阶Fourier域Sα(u)最大谱的位置得到时延τ.(3)2.2 基于DFRFT的时延估计原理及时延模糊设发射脉冲Chirp信号的时域表达为：s(t)=rect(t/Tr)e-jπKt2(4)其中,Tr为发射脉冲Chirp信号的脉宽,K为调频率,T为脉冲重复周期.接收到的目标反射回波信号表达式为：sr(t)=s(t-τ)+v(t)(5)其中,v(t)为接收机接收回波信号中所含的高斯白噪声,τ为目标回波信号产生的时延.设以Δt为采样时间间隔,采样离散后的回波信号表达式为：sr(n)=rect[(n-τ/Δt)/M]e-jπK(n-τ/Δt)2+v(n)(6)其中,M=Tr/Δt为脉内信号采样点数,n=0～L-1,L=T/Δt为脉冲重复周期内采样点数.根据基于FRFT的脉冲Chirp信号时延估计原理,发射脉冲Chirp信号初始频率为0,经匹配阶次(cotα=K)的离散分数阶Fourier变换后,Sα(u)最大谱峰在分数阶Fourier域的0点处..式(3)表示的时延估计可简化为：(7)离散化后,最大谱峰所在点数即为：(8)其中,m=0～L,L为一个脉冲重复周期内的信号采样总数.如果Kτ/Δf>N,即τ>fs/K 时(fs=Δf N),假设τ=l fs/K+τ0,l为整数,此时,时延τ与τ0在分数阶Fourier域中最大谱峰位置相同,无法估计出信号真实的时延.脉冲Chirp信号在分数阶Fourier 域的时频特性造成基于DFRFT时延估计算法出现时延无法分辨,产生了时延模糊问题.3 基于DFRFT互谱法的时延估计原理根据以上原理分析可知直接采用DFRFT实现脉冲Chirp信号时延估计时,如果时延导致的分数阶Fourier域的等效的频率大于信号采样率,就会造成分数阶Fourier域的频谱混叠,导致时延无法分辨,产生时延模糊的问题.本文通过分析Pei提出的采样型DFRFT离散算法每一步的脉冲Chirp信号的特性,提出利用两个独立采样通道,计算线性调频信号调制后两个通道输出采样信号的互谱函数,再做尺度傅里叶变换和乘以调频信号,实现基于DFRFT互谱法的时延无模糊估计.具体算法与理论分析如下：(1)将接收到的回波信号采样后再乘以匹配阶次(cot α=K)线性调频信号进行解调：=sr(n)ejπcotα·t2(9)双通道采样时,设采样时间分别Δt1和Δt2,则采样后且解线性调频后的信号为：(10)其中,M1=Tr/Δt1,M2=Tr/Δt2,L1=T/Δt1,L2=T/Δt2,为了保证信息不丢失,取L=max(L1,L2),n=0～L-1.设采样间隔Δt1>Δt2,则L=L2.将通道1大于L1后数据补零加至到L2的长度,双通道采样时刻对照表如表1所示.表1 双通道采样时刻对照表采样计数值p123……L1……L2通道1Δt12Δt13Δt1……L1Δt1(T)00通道2Δt22Δt23Δt2……L1Δt2……L2Δt2(T)计算两个通道信号采样后对应点的互谱：(11)由于Δt1>Δt2,则(τ-Tr/2)/Δt1<(τ-Tr/2)/Δt2,且(τ+Tr/2)/Δt1<(τ+Tr/2)/Δt2.为了保证双通道采样后的信号互谱不为零,则必须保证两个通道采样的脉内信号有重叠,即必须保证满足式(12)的n值存在.(12)实际应用中能够检测出的发射脉冲Chirp信号的目标回波信号时延大于脉宽且小于脉冲重复周期(Tr/2<τ<T-Tr/2),即0<τ/Tr-1/2<T/Tr-1.联合式(16),可得：Δt2/(Δt1-Δt2)≥T/Tr(13)本文提出的算法实际应用时只有保证双通道采样后的信号互谱值不为零,后续处理才有意义,因此在选择两个通道的采样率时,必须满足式(13).(2)离散后信号做尺度变化的FFT：通道2做尺度变化的FFT为：(14)计算双通道互谱后的信号做尺度变化的FFT为：(15)其中n=floor⎣(τ-Tr/2)/Δt2」～floor⎣⎣·」为取整运算.(3)再乘以线性调频信号和复系数：(16)则其信号分数阶Fourier域的谱幅值为：(17)其中,Bα=|Aα|D.只要Δt′足够小,即Δf ′足够大,就能够保证Kτ/(Δucscα)=Kτ/Δf ′<L,解决时延模糊问题.基于DFRFT脉冲Chirp时延估计的时延分辨率是指脉冲Chirp信号分数阶Fourier域压缩后的主辨宽度在时域的等效宽度.sinc(γx)函数-3dB宽度等于|1/γ|,由式(14)可得单通道信号经DFRFT算法处理后的分数阶Fourier变换域的分辨率为：|1/γ|=1/|Tr cscα|(18)由于分数阶傅里叶变换是在匹配阶次下进行,即cotα=K,再根据式(3)可知道时延在时域的分辨率为分数阶Fourier域的secα倍.将式(18)所得的分数阶Fourier域的时延分辨率等效到时域为：|1/γ|secα=|secα|/|Tr cotα secα|=1/|Tr K|=1/B(19)与文献[3,4]结论一致.根据式(17)可得基于DFRFT的双通道互谱算法处理后的分数阶Fourier域的分辨率为：|1/γ|=1/|DcscαΔt′|(20)由于是采样后对应点的互谱,矩形脉冲的宽度减小,即D·Δt′<Tr,则1/|DcscαΔt′|>1/|Tr cscα|,即双通道求互谱后的信号在分数阶傅里叶域的分辨率大于单通道的分辨率,等效到时域的分辨率大于1/B,所以双通道DFRFT互谱法时延估计会降低目标回波信号的分辨率.为了不降低时延估计精度,可以通过单通道的信号的分数阶Fourier变换进行校正,实现分辨率不会降低的基于DFRFT的双通道互谱法脉冲Chirp的联合时延估计.校正后时延估计可以用式(21)表示(21)由以上分析得到双通道抽样条件下脉冲Chirp信号无模糊时延估计实现结构见图1.4 算法估计性能分析4.1 含噪Chirp信号时延估计的峰值信噪比式(17)表明两个通道采样时间差值会影响脉冲Chirp信号在匹配阶次的分数阶Fourier域的最大谱峰值的大小,进而影响含噪信号检测概率与估计的准确性,因此有必要讨论基于DFRFT互谱法时延估计的两个通道的采样率对脉冲Chirp信号的输出信噪比的影响.依据文献[2]基于FRFT的脉冲Chirp信号检测以匹配滤波的优化准则,定义基于DFRFT双通道互谱法时延估计的输出信噪比为：(22)根据式(17),可得：(23)令噪声是与发射信号不相关的高斯白噪声,其均值为0,设噪声方差为σ,则：(24)SNRout(25)由于Δt1>Δt2,所以M1<M2,τ/Δt1-τ/Δt2>0.本文算法中设回波信号幅值为1的信号,所以通道2中的脉内输入SNRin=M2/Lσ2,由式(25),可得：SNRout< M2 SNRin,依据文献[2],通道2基于DFRFT算法的脉冲Chirp信号时延估计的输出信噪比为：SNRout=M2SNRin,显然,对于给定的含噪脉冲Chirp信号,双通道的采样率的选择将直接影响其在匹配阶次的分数阶Fourier域的输出信噪比,进而影响脉冲Chirp信号的检测效果.4.2 时域目标分辨率邓兵等[3]人验证了基于分数阶Fourier变换的时延估计与脉冲压缩估计的分辨率相同,本文提出的双通道DFRFT互谱的时延估计算法,通过单通道采样得到的信号进行的时延估计分辨校正,实现了与理论分析以及传统脉冲压缩所具有相同的时域分辨率,且本算法解决了时延模糊问题.4.3 时延计算精度DFRFT在分数阶Fourier域进行,其时域计算精度为：Δt=Δu|secα|=Δf|sinα|·|secα|=1/|Tcotα|=1/|λTrK|=1/|λB|,其中,λ=T/Tr>>1,基于DFRFT的时延估计通过增加脉冲重复宽度T来减少时域步长,提高时域估计精度.传统经典的Chirp类信号时延估计处理算法脉冲压缩,它的时域估计精度为Δt=1/fs,为了保证Chirp信号非欠采样要求fs>2B,脉冲压缩算法通过提升采样频率来减少时域步长,提高时域估计精度.因此前者的精度往往更高,所需的数据率会更低.本文提出的算法采用DFRFT时延估计时的计算精度可以通过增加脉冲重复周期提高计算精度,同时利用互谱消除了时延模糊问题.4.4 计算复杂度单通道采用Pei提出的采样型DFRFT运算,运算复杂度为O[L log(L)2].互谱通道在Pei提出的采样DFRFT运算的基础上仅增加了一步L点的点乘运算.本文所提出的基于DFRFT双通道互谱法脉冲Chirp信号的时延估计运算复杂度近似为O[2L log(L)2].5 仿真结果仿真数据如下：Chirp信号脉宽Tr=10μs,脉冲重复周期为T=100μs,调频带宽B=10MHz,假定在时延τ0=5μs,τ1= 61μs处各有一个目标,回波信号SNR=10dB 时,采样率为8MHz.图2为采用基于DFRFT的脉冲Chirp信号时延估计和传统相关算法欠采样时的时延估计结果.从图2(a)可以看出以fs=8MHz采样率对信号采样时,采用传统相关处理方法时,由于欠采样信号在频域发生频谱混叠,造成相关峰在时域出现多个峰值,无法准确估计时延.采用分数阶傅里叶域时延估计算法时,由于τ1=τ0+7 fs/K,此时在分数阶Fourier域最大谱混叠,无法分辨出两个目标信号真实时延.采用双通道采样,通道1以采样率fs1=8MHz采样,通道2以采样率fs2=8.4MHz 采样,两个通道的采样率满足双通道DFRFT互谱分析所需式(13)的采样条件.以采样率fs2=8.4MHz做DFRFT分析结果如图2(b)所示.由于τ0<fs2/K,图2(b)中右边谱峰所在的位置为5.02μs.由于τ1>fs2/K,左边谱峰位置所对应时延值并不是61μs,而且τ1和τ0之间的时延差并不是fs2的整数倍,因此谱峰没有产生混叠,但因为τ1>fs2/K,此时直接采用DFRFT估计的结果对于时延为τ1的信号仍出现了时延模糊.通过双道DFRFT互谱法估计的时延如图3所示.从图3中可看出信号主瓣变宽,这正是由于互谱计算相当于提高了信号采样率,导致了时域分辨率的降低.时延为τ的信号也因为互谱法造成输出信噪比的下降.为了保证时延在时域的分辨率不变，采用式(21)进行时延估计，可得正确时延分别为：5μs，61.1μs.采用信噪比分别由10dB至-10dB,间隔2dB,分别做100次蒙特卡洛仿真估计时延均方误差如图4所示.与传统相关处理算法和文献[2]提出的时延估计的克拉美罗下界(CRLB)对比.随着信噪比增加,估计误差逐渐靠近CRLB.6 结束语本文通过研究基于DFRFT的脉冲Chirp信号检测原理,提出了基于DFRFT双通道互谱法的时延估计,解决基于DFRFT的时延估计算法，因时延参量等效的分数阶Fourier域的频率参量大于采样率而导致的时延模糊问题；并从理论上证明算法不会降低时延估计时域分辨率和计算精度,且可以通过降低采样率来减少计算量,算法可以实现欠采样条件下的脉冲Chirp信号的快速精确检测与时延估计.本文算法适用于Chirp超宽带定位系统,可以解决Chirp超宽带系统低成本工程实现时,采样芯片的采样率难以满足系统需求的问题.参考文献【相关文献】[1]Sharma K K,Joshi S D.Time delay estimation using fractional Fourier transform[J].Signal Processing,2007,87(5):853-865.[2]Ran Tao,Xue-mei Li,Yan-lei Li,et al.Time-delay estimation of chirp signals in the fractional Fourier domain[J].IEEE Trans Signal 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Chirp信号的傅里叶变换的特征比较
Chirp信号即线性调频信号是瞬时频率在某个范围内随时间变化的正弦波，因其良好的频带利用率，具有较强的抗干扰、抗多途效应和抗多普勒衰减以及良好的频带利用率等优点，因此在通信、声呐、雷达等领域具有广泛的应用。
本文就瞬时频率范围（信号的调频宽度）和信号的持续时间（信号的周期）对傅里叶变换后的chirp函数的频谱函数的影响做出讨论，运用MATLAB仿真分析比较。
一．信号的调频宽度上下限对频谱函数的影响
1）高频宽度300情况下的频谱函数。
信号的采样频率为43000，扫描时间为0.05，初始频率设为19700，结束频率位置为20000。
2）低频宽度300情况下的频谱函数。
信号的采样频率为2000，信号的持续时间为0.05，初始频率设为40，结束频率设置为340。
由上面两幅图可以看出，当它们满足，幅度谱的大小基本都在
0.01和0.015之间，这是因为它们的调频上下限之差相同都是300，且时间周
期都为0.05。
由公式可知，幅度与信号的调频宽度（表示傅里叶变换后的频带宽度）和时间周期有关。
二．信号的调频宽度对频谱函数的影响
1）高频宽度10000情况下的频谱函数。
信号的采样频率为48000，扫描时间为0.05，初始频率设为10000，结束频率位置为20000。
2）低频宽度80情况下的频谱函数。
信号的采样频率为1000，信号的持续时间为0.05，初始频率设为40，结束频率设置为120。
上面两图在频带宽度内的幅度谱差异很明显，这是因为只有当时，近似程度才更高。
三．信号的持续时间对频谱函数的影响
1）低频宽度80情况下的频谱函数。
信号的采样频率为1000，chirp 脉冲为0.05，信号的持续时间为2，初始频率设为40，结束频率设置为120。
上图的信号周期是2，发射脉冲长度为0.05与之前其它参数相同的图4比较可知，频带宽度基本相同，在频带宽度内的幅度谱没有太大变化，只是频点上的曲线多了些波动。