2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟题03(学生版)
北京市东城区2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析
北京市东城区2021届新高考数学仿真第三次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若3SA ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．72【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC 之间的等量关系，再用,BE EC 表示出SED 的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设BE x =，EC y =，则BC AD x y ==+.因为SA ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，所以SA ED ⊥. 又AE ED ⊥，SA AE A ⋂=，所以ED ⊥平面SAE ，则ED SE ⊥.易知AE =ED =在Rt AED ∆中，222AE ED AD +=， 即22233()x y x y +++=+，化简得3xy =.在Rt SED ∆中，SE =，ED ==.所以12SED S SE ED ∆=⋅=因为22108336x x +≥=，当且仅当x =，y =92SED S ∆≥=. 故选：C. 【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.2．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数模的计算、复数的除法化简复数z ，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】()55(1)5513451222i i z iz i i -+=+=⇒===-+， ∴z 对应的点55(,)22-，∴z 对应的点位于复平面的第四象限.故选：D. 【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 3．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()()1,00,1-【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x=+-+， ()ln 1y x =+在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x 的取值范围为()(),11,-∞-+∞.故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.4．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．13【答案】C 【解析】 【分析】分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=，可求1x y +=，而222()(2)(2)AEAC xy，化简求解.【详解】解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则(,)AE x y =，(2,2)AC =，由2AE AC ⋅=，即222x y +=，得1x y +=.所以222()(2)(2)AEAC xy 224()8x y x y22213x x =21252()22x，所以当12x =时，2()AEAC 的最小值为252. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.5．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m|＝|x ﹣m|； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小． 6．已知单位向量a ，b 的夹角为34π，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =（ ） A ．2 B ．2C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据m n ⊥列方程，由此求得λ的值，进而求得n . 【详解】由于m n ⊥，所以0m n ⋅=，即()23248282cos804a ab a a b πλλλ⋅-=-⋅=-⋅==，解得λ==-所以442n a b =+ 所以()2223442163223248322cos483244a ba ab b n π+=+⋅+=-==+=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.7．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321-B ．322-C ．251-D ．252-【答案】C 【解析】 【分析】把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值． 【详解】如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈． 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴1DQ ==，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，11PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-==，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为1． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．8．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ） AB．C ．2D+1【答案】B 【解析】 【分析】以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点2,b A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭243b =，整理计算可得离心率. 【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得2x b y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b =， 整理得()()22229550c aca --=，则22519c a =<（舍去），225c a=，ce a∴==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题. 9．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（ ） A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤ B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x e x -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，00ln x e x -≤．故选D ． 【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.10．若1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84C ．57D ．56【答案】A 【解析】 【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和. 【详解】解：31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r r rr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A 【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题. 11．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．8B ．32C ．64D ．128【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解. 【详解】由题意，执行上述程序框图，可得第1次循环，满足判断条件，1,1S k ==； 第2次循环，满足判断条件，2,2Sk；第3次循环，满足判断条件，8,3S k ==； 第4次循环，满足判断条件，64,4S k ==； 不满足判断条件，输出64S =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ） A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x -==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，， 故不等式121(())xx f ef e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(解析版)
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则 ，
即 ，即x≥﹣2且x≠1，
即函数的定义域为[﹣2，1）∪（1，+∞），
故选C．
3. 的值等于( )
A. 0B. C. D.－
【答案】B
【解析】原式 ．
故选：B.
4.已知 ， ，向量 与 平行，则实数k的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，即 ，
C. D.
【答案】A
【解析】 与 轴夹角为 与 轴夹角为
又
故选：
12.已知直线l过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等பைடு நூலகம்直线方程不可以是下列（）选项.
A. 2x-y=0B.x+y=3C.x-2y=0D.x-y+1=0
【答案】C
【解析】解：由题意设所求直线的横截距为 ，
（1）当 时，由题意可设直线的方程为 ，将 代入可得 ，
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，得 ，所以 .
故选C
22.已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（）
A.若l∥m，则必有α∥βB.若l⊥m，则必有α⊥β
C.若l⊥β，则必有α⊥βD.若α⊥β，则必有m⊥α
【答案】C
【解析】解：对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；
圆方程为 .
故选： .
8.下列关于棱柱的说法中，错误的是（）
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
D.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
【答案】D
【解析】三棱柱的底面为三角形，所以A正确；
2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(原卷版)
第二部分解答题（共19分）
28.（本小题满分5分）
设常数 ，函数 ．
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）若 ，求方程 在区间 上的解．
29.（本小题满分5分）
在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为 的中点，且 ，平面 平面 .
（1）证明： 平面ABC；
（2）证明： .
30.（本小题满分5分）
17.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足 ，当 时， ，则 的值为（）
A. 2B.－1C. D. 1
18.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
19.在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若 ， ，则△ABC的外接圆面积为（）
A. πB. 2πC. 4πD. 8π
20.已知△ABC中，满足 的三角形有两解，则边长a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
25.如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是 、 ，则下列判断正确的是（）
A. ，甲比乙成绩稳定
B. ，乙比甲成绩稳定
C. ，甲比乙成绩稳定
D. ，乙比甲成绩稳定
26.在△ABC中， ， ， ，则k的值是（）
A. B.
C. D.
27.在一组样本数据中，1，4，m，n出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值为2.5，则 （）
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
D.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
9.圆心为(1,－1)且过原点的圆的一般方程是
A. B.
C. D.
2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷05(原卷版)
1 2021年北京市普通高中学业水平合格性考
试数学仿真模拟卷（五）
第一部分 选择题（每小题3分，共81分）
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1. 设集合{|28}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则A ∪B =（ ）
A.[1,3)
B. (1,3]
C.(1,+∞)
D. [3,+∞) 2. 若函数f （2x ）=x -3，则f （4）=（ ）
A. －1
B. 1
C. －5
D. 5 3. 已知函数()f x 的图象关于直线0x =对称，当210x x >≥时，
()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭
的x 的取值范围是（ ） A. 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 2,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
4. 下列关于棱柱的说法中，错误的是( )
A. 三棱柱的底面为三角形
B. 一个棱柱至少有五个面
C. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
5. 已知m ∈R ，过定点A 的动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=交于点P
，则PA 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D. 6. 若a 、b 、c 为实数，则下列命题错误的是( )
A. 若22ac bc >，则a b >。
2021年北京十一学校高三三模数学(图片版含答案)
18．（本小题共 14 分） 随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称 App）获取新闻资讯．为了解用户对某款新
闻类 App 的满意度，随机调查了 300 名用户，调研结果如表：（单位：人）
14．若命题 p : x R ， x2 2ax a 0 是假命题，则实数 a 的一个值为____________.
15．向量集合 S a | a (x, y), x, y R，对于任意 ， S ，以及任意 (0,1) ，都有 (1 ) S ，则称 S 为
“ C 类集”，现有四个命题：
北京十一学校 2020-2021 学年度高三综合练习第 6 页（共 21 页）
A． 8
B． 8 2
C．12 2
D．12
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由长为 3，宽为 2，高为 2 的长方体，在长方体的
两头挖去两个半圆柱组成的不规则的几何体；
故V 2 3 2 12 2 12 2 ． 故选： C ．
①若 S 为“ C 类集”，则集合 M 3a | a S 也是“ C 类集”；
②若 S ， T 都是“ C 类集”，则集合 M a b | a S,b T 也是“ C 类集”；
③若 A1 ， A2 都是“ C 类集”，则 A1 A2 也是“ C 类集”；
④若 A1 ， A2 都是“ C 类集”，且交集非空，则 A1 A2 也是“ C 类集”．
④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．
正确的说法是③④．
故选： A ．
2021-2022学年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(解析版)
2022年6月北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03 第一部分 （选择题 共60分）一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分） 1．已知集合{|22}A x x =-<，{|13}B x x =<，则(A B = )A ．[2-，2)B ．[2-，3)C ．[1，2)D ．[1，2]【答案】C 【详解 】{|22}A x x =-<，{|13}B x x =<，[1AB ∴=，2)，故选：C ．2．已知复数z 满足2iz i =+，则z 的虚部为( ) A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】B【详解 】复数z 满足2iz i =+， 则212iz i i+==-， 即z 的虚部为2-， 故选：B ．3．函数()(2)f x ln x -的定义域为( ) A ．[0，2) B ．(,2)-∞ C ．[0，)+∞ D ．(0,2)【答案】A【详解 】()(2)f x ln x =-，∴020x x ⎧⎨->⎩，解得02x <，∴函数的定义域是[0，2)，故选：A ．4．在ABC ∆中，已知1cos 3A =，a =3b =，则(c = )A ．1BC ．2D ．3【答案】D【详解 】因为在ABC ∆中，已知1cos 3A =，a =3b =，所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得21129233c c =+-⨯⨯⨯，整理可得2230c c --=，则解得3c =或1-（舍去）． 故选：D ．5．角θ的终边过点(2,4)P ，则tan()(4πθ+= )A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】B【详解 】因为角θ的终边过点(2,4)P ， 所以4tan 22θ==， 则tan 121tan()341tan 12πθθθ+++===---．故选：B ．6．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图．该样本数据的55%分位数大约是( )A ．220B ．224C ．228D ．230【答案】C【详解】由直方图的性质可得：(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=， 解得0.0075x =，由已知，设该样本数据的55%分位数大约是a ，由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.55a ++⨯+⨯-=，解得228a =， 故选：C ．7．已知平面向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且a 与b 的夹角为23π，则||(a b += )A B C D ．3【答案】A【详解 】21||||cos21()132a b a b π⋅=⋅=⨯⨯-=-， 所以222||||2||42(1)13a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=， 所以||3a b +=． 故选：A ．8．某中学高一年级有200名学生，高二年级有260名学生，高三年级有340名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为( ) A ．10 B ．13 C ．17 D ．26【答案】B【详解 】根据题意，抽取样本的比例是40120026034020=++， ∴从高二学生中应抽取的人数为12601320⨯=． 故选：B ．9．若函数()f x 是奇函数，当0x >时，4()log f x x =，则1()(2f -= )A ．2B ．2-C ．12 D ．12-【答案】C【详解 】函数()f x 是奇函数，当0x >时，4()log f x x =， 则41111()()log 2222f f -=-=-=，故选：C ．10．下列函数中，定义域与值域均为R 的是( ) A ．y lnx = B ．x y e =C ．3y x =D ．1y x=【答案】C【详解 】:A y lnx =的定义域为(0,)+∞，值域为R ，A ∴错误，:x B y e =的定义域为R ，值域为(0,)+∞，B ∴错误，3:C y x =的定义域与值域均为R ，C ∴正确，1:D y x=的定义域与值域均为(-∞，0)(0⋃，)+∞，D ∴错误． 故选：C ．11．已知(0,)a ∈+∞，则“1a >”是“12a a+>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解 】由(0,)a ∈+∞，且1a >，可得a 和1a是正数，且不相等，故有12a a +>=，即有12a a+>，故充分性成立． 由有12a a +>，可得a 和1a是正数，且不相等，即0a >且1a ≠，不能推出1a >，故必要性不成立， “1a >”是“12a a+>”的充分而不必要条件， 故选：A ．12．函数()f x 的图像与函数2log y x =的图像关于y 轴对称，则(2)(f -= ) A ．2 B ．12C ．4D ．1【答案】D【详解 】由函数()f x 的图像与函数2log y x =的图像关于y 轴对称， 可得2()log ()f x x =-， 则2(2)log 21f -==， 故选：D ．13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为BC 上一点，则三棱锥11B AC E -的体积为( ) A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】D 【详解 】如图，1111111111326B AC E A B C E V V --==⨯⨯⨯⨯=．故选：D ．14．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为( ) A ．322B ．18C ．223D ．112【答案】B【详解 】墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，基本事件总数3242024n C ==， 这3个节气中含有“立春”包含的基本事件个数12123253m C C ==， 则这3个节气中含有“立春”的概率为253120248m P n ===． 故选：B ．15．已知函数23,0,()2,0.x x f x x x ⎧-=⎨-<⎩若()1f m =-，则实数m 的值为( )A ．2-B ．12C ．1D ．2【答案】C【详解 】根据题意，函数23,0,()2,0.x x f x x x ⎧-=⎨-<⎩若()1f m =-，则有0231m m ⎧⎨-=-⎩或021m m <⎧⎨-=-⎩，解可得1m =； 故选：C ．16．若0ab >，且a b <，则下列不等式一定成立的是( )A ．22a b <B ．11a b< C ．2b aa b+> D ．2a b+>【答案】见解析【详解 】对于A ：当2a =-，1b =-时，选项A 错误； 对于11:0b aB a b ab--=>，故11a b >，故B 错误；对于C ：由于0ab >，所以2222()20b a b a ab a b a b ab ab+--+-==>，故C 正确；对于D ：当a 和b 都为负值时，选项D 错误． 故选：C ．17．某公司一年需要购买某种货物4800吨，每次购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是( ) A ．20 B ．30 C ．45 D ．60【答案】D【详解 】由题可得共需购买4800x次， 则一年的总运费与总存储费用之和为480014400144003442480x x x x x⋅+=+， 当且仅当144004x x=即60x =时取“=”， 即每次购买60吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小， 故选：D ．18．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若//m n ，//n α，则//m α； ③若//m n ，n β⊥，//m α，则αβ⊥； ④若mn A =，//m α，//m β，//n α，//n β，则//αβ．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解 】对于①，假设n β⊂，l αβ=，因为//n α，所以//n l ，又m α⊥，所以m l ⊥，而//n l ，所以m n ⊥，正确；对于②，若//m n ，//n α，则//m α或m α⊂，故错误；对于③，若//m n ，n β⊥，则m β⊥，又//m α，所以在平面α内一定存在一条直线l ，使//m l ，而m β⊥，所以l β⊥，l α⊂，则αβ⊥，正确；对于④，由面面平行的判定定理，可以判断出是正确的． 故真命题有3个． 故选：C ．19．在ABC ∆中，1AB AC ==，D 是AC 的中点，则BD CD ⋅的取值范围是( ) A ．31(,)44-B ．1(,)4-∞C ．3(,)4-+∞D ．13(,)44【答案】A【详解 】()BD DA AB =-+，设(0,)CAB απ∠=∈，所以21111()[()]cos()2242BD CD DA AB DA CA CA AB πα⋅=-+⋅=-+⋅=---1131(cos )(,)4244α=--∈-．故选：A ．20．太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，ϕ为当地纬度值，那么这三个量满足90||θϕδ=︒--．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值(ϕ取正值），选择春分当日(0)δ=︒测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：组别 甲组 乙组 丙组 丁组 木杆影长度（米)0.820.800.830.85A ．甲组B ．乙组C ．丙组D ．丁组【答案】D【详解 】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，ϕ为当地纬度值，那么这三个量满足90||θϕδ=︒--．当0δ=︒且ϕ为正值，可得90θϕ=︒-，即90ϕθ=︒-， 设木杆的影长为m ，得到1tan mθ=， 因为为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为0.82，0.80，0.83，0.85，所以当0.85m=时，θ取得最小值，此时ϕ取得最大值，所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组．故选：D．第二部分（非选择题共40分）二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）21．函数(1)()2lg xf xx+=+的定义域是．【答案】(1,)-+∞【详解】根据题意，由1020xx+>⎧⎨+≠⎩，得1x>-，所以函数(1)()2lg xf xx+=+的定义域为(1,)-+∞，故答案为：(1,)-+∞，22．下表记录了某地区一年之内的月降水量．月份123456789101112月降水量/mm58485346565651715653646656；．【答案】56；64【详解】把表中数据按照从小到大顺序排列为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71；计算中位数是1(5656)562⨯+=；因为1280%9.6⨯=，所以80%分位数是第10个数据，是64．故答案为：56；64．23．已知向量AB，CD在正方形网格中的位置如图所示．若网格上小正方形的边长为1，则AB CD ⋅= ．【答案】5【详解 】建立如图所示的坐标系， 所以(2,1)AB =，(1,3)CD =， 则235AB CD ⋅=+=． 故答案为：5．24．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1//A P 平面GEF ，则下面的4个判断①点P 的轨迹是一段长度为2的线段； ②线段1A P 的最小值为52； ③11A P AC ⊥；④1A P 与1B C 一定异面． 其中正确判断的序号为 ．【答案】①③【详解 】分别连接BD ，1A B ，1A D ，11//BD B D ∴， 11//B D EG ，//BD EG ∴，同理1//A D EF ，1BD A D D =，EG EF E =，∴平面1//A BD 平面GEF ，1//A P 平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，∴点P 在BD 上，∴点P 的轨迹是一段长度为2BD =的线段，故①正确；当P 为BD 中点时，1A P BD ⊥，线段1A P 最小，最小值为2221126()2()222A P BD -=-=，故②错误；在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ， 又1A P ⊂平面1A BD ，11A P AC ∴⊥，故③正确； 当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，故④错误． 故答案为：①③．三．解答题（共4小题，每小题7分，共28分） 25．已知函数()cos()3f x x π=-．（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求不等式1()2f x 的解集． 【答案】见解析【详解 】（1）()f x 的最小正周期为2π． 令223k x k ππππ-+-，k Z ∈，解得22233k x k ππππ-++，k Z ∈． 故()f x 的单调递增区间为2[2,2]()33k k k Z ππππ-++∈． （2）因为1()2f x ， 所以1cos()32x π-，则22333k x k πππππ-+-+，k Z ∈，解得2223k xk πππ+，k Z ∈． 故不等1()2f x 的解集为2[2,2]()3k k k Z πππ+∈． 26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，//AD BC ，2AD BC =，点E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求证：AD ⊥平面PAB ．【答案】见解析【详解 】（1）证明：取PA 中点F ，连接EF ，BF ，因为E 为PD 中点，F 为PA 中点， 所以//EF AD ，且12EF AD =． 又因为//BC AD ，且12BC AD =， 所以//EF BC ，且EF BC =．所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，因为CE ⊂/平面PAB ，BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．（2）因为PB ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PB AD ⊥，又因为AB BC ⊥，//AD BC ，所以AD AB ⊥，又AB PB B =，AB 、PB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ．27．在ABC ∆中，5a =，2225b bc c -+=．（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC ∆存在且唯一确定，求ABC ∆的面积．条件①：7b =；条件②：3sin B =； 条件③：AC 边上的高92BE =． 【答案】见解析【详解 】（Ⅰ）因为5a =，2225b bc c -+=，所以222b c bc a +-=，所以222b c a bc +-=， 由余弦定理知2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为(0,)A π∈，所以3A π=．（Ⅱ）若选①，7b =，则227725c c -+=，即27240c c -+=，因为△2(7)424470=--⨯=-<，所以方程无解，不符合题意；若选②，3sin B =，由正弦定理可知sin sin a b A B =33=，解得103b =， 所以221010()2533c c -+=，即29301250c c --=，解得10106c +=，10106-， 所以1110106103253752sin 223ABC S bc A ∆++===； 若选③，AC 边上的高92BH =， 在Rt ABH ∆中sin BH A AB =，所以9233sin 3BH AB A ===33c =所以2332725b b -+=，即23320b b -+=，解得33192b +=，或33192-， 所以ABC ∆存在两解，不符合题意．28．已知函数2()4()f x x ax a R =++∈．（Ⅰ）若f （1）0=，求不等式()0f x 的解集； （Ⅱ）若f （1）2=，求()f x 在区间[2-，2]上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x 值；（Ⅲ）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【详解 】（Ⅰ）因为2()4f x x ax =++且f （1）0=，所以50a +=，解得5a =-， 所以2()54f x x x =-+，由()0f x ，得2()540f x x x =-+，即(4)(1)0x x --，解得14x ， 即原不等式的解集为[1，4]； （Ⅱ）因为f （1）2=，所以52a +=，所以3a =-，所以2237()34()24f x x x x =-+=-+， 因为[2x ∈-，2]，所以函数在[2-，3]2上单调递减，在3(2，2]上单调递增， 所以当32x =时函数取得最小值37()()24min f x f ==；当2x =-时函数取得最大值()(2)14max f x f =-=； （Ⅲ）因为对任意(0,)x ∈+∞，不等式()0f x >恒成立， 即对任意(0,)x ∈+∞，不等式240x ax ++>恒成立， 即4a x x -<+对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 因为4424x x x x +⋅=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号；所以4a>-，-<，即4a所以(4,)a∈-+∞．。
北京市门头沟区2021届新高考数学三月模拟试卷含解析
北京市门头沟区2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面向量,,a b c r r r ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+r r r r r r 且21λμ+=，若对每一个确定的向量a r，记||c r 的最小值为m ，则当a r变化时，m 的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==u u u r r u u u r r OC c =u u u r r.E 为OB 中点.由1a b +=r r 即可求得P 点的轨迹方程.将c a b λμ=+r r r变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质可知||c r的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】根据题意,||2,b =r设()(),,2,0OP a x y OB b ====u u u r r u u u r r ,(),1,0OC c E =u u u r r则2b OE =r u u u r由1a b +=r r代入可得()2221x y ++=即P 点的轨迹方程为()2221x y ++=又因为c a b λμ=+r r r ,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭rr r ,即2OC OP OE λμ=+uuur uuu r uuu r ,且21λμ+=所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:所以||c r的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=由切线性质及点M1=,化简可得281k =即4k =±所以切线方程为044x y --=或044x y +-= 所以当a r变化时, O 到直线PE 的最大值为13m ==即m 的最大值为13故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.2．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D 【解析】 【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=，∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 3．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==. 对于①，因为12min 1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-，因为π(0)sin06f=>，所以()f x在[]0,2π上第1个零点1>0x，且1ππ212xωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x Tωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x，则8ππ7ππ7π47π2122212212x Tωωωωωω=-+=-+=，所以782πx x≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确；对于④，因为π(0)sin6f=，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥-⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以23ω<≤，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.4．在ABC∆中，点D是线段BC上任意一点，2AM AD=u u u u r u u u r，BM AB ACλμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（）A．12-B．-2 C．12D．2【答案】A【解析】【分析】设BD k BC=u u u r u u u r，用,AB ACu u u r u u u r表示出BMu u u u r，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD=u u u u r u u u r()112222k kBM BA BD AB AC AB∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1222k kAB AC⎛⎫=--+⎪⎝⎭u u u r u u u r，1,222k kλμ∴=--=，12λμ∴+=-.故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.5．已知直线l 20y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB V 与OMN V 的面积相等，给出下列直线1l 0y +-=20y +-=，③20x -+=0y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①② B ．①④C ．②③D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==，得出120AOB ∠=︒，根据条件得出O 到直线1l 的距离1d '=或.【详解】解：由已知可得：圆O ：224x y +=的圆心为（0,0），半径为2， 则圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==， ∴120AOB ∠=︒，而1//l l ，OAB V 与OMN V 的面积相等， ∴120MON ∠=︒或60︒，即O 到直线1l 的距离1d '=或 根据点到直线距离可知，①②④满足条件. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.6．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．7．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x 的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a 的范围即可． 【详解】解：令10x -<<，则011x <+<， 则1(1)2x f x ++=， 故21,101(),012x x f x x x ⎧--<<⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩…，如图示：由()21f x ax a -=-， 得()(21)1f x a x =+-，函数(21)1y a x =+-恒过1(2A -，1)-，由1(1,)2B ，(0,1)C ，可得1121112ABk +==+，2OA k =，11412AC k +==，若方程()21f x ax a -=-有唯一解， 则122a <…或24a >，即1a 12<…或2a >； 当22111ax a x +-=-+即图象相切时， 根据0∆=，298(2)0a a a --=， 解得16(0a =-舍去）， 则a 的范围是{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦， 故选：B ．【点睛】本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题． 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积. 【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4， 故()16444433V =⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题. 9．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C ，当0x +→时，可分析函数值为正，即可判断选项. 【详解】sin ln ||cos ln ||2y x x x x π⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭Q ,cos()ln ||cos ln ||x x x x ∴---=-,即函数为偶函数， 故排除选项A,C ，当正数x 越来越小，趋近于0时，cos 0,ln ||0x x -<<， 所以函数sin ln ||02y x x π⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，故排除选项B, 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.10．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，方程()22211k x y k -+=-．即222111y x k k -=-+，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型． 【详解】解：∵k ＞1，∴1+k>0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，故选C ． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为222111y x k k -=-+是关键．11．函数()f x =）A ．{2x x ≤或}3x ≥ B ．{3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤ D ．{}32x x -≤≤-【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域. 【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥. 因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．22【答案】D 【解析】 【分析】先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度. 【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD ==所以2SC DC ==， 所以222222,22SA SDADSB SCBC=+==+=所以该几何体的最长棱的长为22 故选：D 【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市房山区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
北京市房山区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( ) A ．322- B．233-C ．23-D ．22-【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，211(1)4mmx x-=+++， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【详解】解：由题意可得，焦点F （1，0），准线方程为x ＝−1， 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x ＋1， 记∠KPF 的平分线与x 轴交于(m,0),(1m 1)H -<<根据角平分线定理可得||||||=||||||PF PM FH PK PK KH =， 211(1)4mmx x-=+++， 当0x =时，0m =，当0x ≠21242(1)4112x xx x⎫=⎪⎪++⎣⎭+++，110321m m m-≤<⇒<≤-+综上：03m ≤≤- 故选：A ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．2．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194 B ．1695 C ．311 D ．1095【答案】D 【解析】 【分析】确定{}n c 中前35项里两个数列中的项数，数列{2}n 中第35项为70，这时可通过比较确定{3}n中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和． 【详解】35n =时，23570,370,3n n ⨯=<≤，所以数列{}n c 的前35项和中，{}3n有三项3，9，27，{}2n 有32项，所以123353231 (3927322210952)c c c c ⨯++++=+++⨯+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n 项和公式是解题基础．解题关键是确定数列{}n c 的前35项中有多少项是{2}n 中的，又有多少项是{3}n中的．3．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.4．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题5．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ） A 3B ．3 C ．12D ．12-【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质和已知可得623a π=，即可得到9343a a π+=，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623a π=， 963324a a a π+==∴， ()3943sin sin s si in 333n a a ππππ∴⎛⎫=+=-= =⎪⎝+⎭故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题． 6．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C< C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A >D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >【答案】D 【解析】 【分析】 根据()()2'f x f x x >的结构形式，设()()2f x g x x =，求导()()()32xf x f x g x x'-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=，得到04π<∠<B ，04π<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解. 【详解】 设()()2f x g x x=， 所以 ()()()32xf x f x g xx'-'=，因为当0x >时，()()2'f x f x x>， 即()()20xf x f x x'->，所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数， 在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04π<∠<C ， 因为cos sin 4π⎛⎫∠=+∠⎪⎝⎭C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ，所以sin sin 4π⎛⎫∠<+∠ ⎪⎝⎭B B ，即cos sin ∠>∠C B ， 所以()()22cos sin s sin f C f B co CB>，即()()22cosC sin sin cos f B f B C > 故选：D 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．已知非零向量a ，b 满足()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得a 与b 的夹角.【详解】根据平面向量数量积的垂直关系可得()2220a b a a a b -⋅=-⋅=，()2220b a b b a b -⋅=-⋅=，所以222ab a b ==⋅，即a b=，由平面向量数量积定义可得22cos ,a a b a b=⋅，所以2cos ,2a b =，而[],0,a b π∈， 即a 与b 的夹角为4π. 故选：B 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.8．若(1＋2ai)i ＝1－bi，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B ．CD ．5【答案】C 【解析】试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－12，b ＝－1 所以|a ＋bi|=，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模9．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ）A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x > D ．{2x x <或}4x >【答案】C 【解析】 【分析】简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x =-的单调性，并计算210x xx ⎧-=⎪⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果. 【详解】由()()11f x f x -=+， 可知函数()f x 关于1x =对称 当1x ≥时，()2f x x x=-， 可知()2f x x x=-在[)1,+∞单调递增 则2120x x xx ⎧-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f = 且()f x 在(),1-∞单调递减，所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x > 所以()}{21x f x +>={2x x <-或}0x > 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.10．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C 3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为2，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半，，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．11．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-= C ．4230x y +-= D ．2430x y -+=【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解； 【详解】 解：设z x yi =+∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+ B．6+C ．8D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1ce a=，2c e a ='，设2PF m =由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=-则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+=当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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1
B. 一个棱柱至少有五个面
C. 五棱柱有 5 条侧棱、5 个侧面，侧面为平行四边形
D. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
9. 圆心为(1,－1)且过原点的圆的一般方程是
A. x2 y2 2x 2y 1 0
B. x2 y2 2x 2y 1 0
C. x2 y2 2x 2y 0
B. 0
C. 1
D. 2
22. 已知直线 l，m 与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 l∥m，则必有α∥β
B. 若 l⊥m，则必有α⊥β
C. 若 l⊥β，则必有α⊥β
D. 若α⊥β，则必有 m⊥α
23. 设 m, n 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
C. x-2y=0
D. x-y+1=0
1 cos 2
13.
已知倾斜角为
的直线 l 过定点 (0, 2) ，且与圆 x2
( y 1)2
1
相切，则
cos
2
的值为（ ）
A. 4 2 3
B. 4 2 3
C. 2 3
D. 4 2 或 4 2
3
3
14. 函数 f（x）=（x2+2x）e2x 的图象大致是( )
A. y ln x 1
B. y ln x
C. y x2 x
D. y x3
17. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f (x 2) f (x) ，当 x 0,1 时，f (x) 4x 1，
则 f (5.5) 的值为（ ）
A. 2
B. －1
C. 1
D. 1
2
18.
已知
cos
得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代
五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这 5 人分成两组（一组 2
人，一组 3 人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（
1
A.
5
2
B.
5
3
C.
5
）
1
D.
10
25. 如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均
A. 3 或
B. 0
3
1
C.
D. 3
3
7. 设 A2，1，B 4，1，则以线段 AB 为直径的圆的方程是（ ）
A. (x 3)2 y2 2
B. (x 3)2 y2 8
C. (x 3)2 y2 2
D. (x 3)2 y2 8
8. 下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ） A. 三棱柱的底面为三角形
20. 已知△ABC 中，满足 b 2, B 600 的三角形有两解，则边长 a 的取值范围是（ ）
A 3 a2 2
B. 1 a 2 2
3
C. 2 a 4 3 3
D. 2 a 2 3
21.
已知向量 a
(m,3) ， b
(3,
n)
，若
a
2b
(7,1) ，则 mn （
）
A. －1
中， AB
2 ，C
6
，则
AC
3BC 的最大值为（
）
A. 7
B. 2 7
C. 3 7
1
D. －
2
）
1
D.
3
D. 4 7
6. 已知点 A(2,1) 和点 B 关于直线 l : x y 1 0 对称，斜率为 k 的直线 m 过点 A 交 l 于点
C，若△ABC 的面积为 2，则 k 的值为( )
1
D. x2 y2 2x 2 y 0
10. 与直线 3x 4 y 5 0 关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A. 3x 4 y 5 0
B. 3x 4 y 5 0
C. 3x 4 y 5 0
D. 3x 4 y 5 0
11.Leabharlann 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， OA
6
1 3
，则
sin
2 3
（
）
4
1
5
A.
B.
C.
D.
9
3
9
5 9
19. 在△ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，若 sin2 A sin2 B sin2 C sin B sin C ，
a 3 ，则△ABC 的外接圆面积为（ ）
A. π
B. 2π
C. 4π
D. 8π
成绩分别是 x1 、 x2 ，则下列判断正确的是（ ）
A. x1 x2 ，甲比乙成绩稳定 B. x1 x2 ，乙比甲成绩稳定
4
C. x1 x2 ，甲比乙成绩稳定
D. x1 x2 ，乙比甲成绩稳定
26.在△ABC
中，
A
90
，
AB
2
k,
2
，
AC
2, 3
，则
k
的值是（
）
A. 5
B. 5
3
C.
2
）
A. ,1 1, B. 2,
C. 2,1 1, D. 1，
3. cos 24cos 36 sin 24cos 54 的值等于( )
A. 0
1
B.
C. 3
2
2
4.
已知
a
1,
0
，
b
2,1
，向量
k
a
b
与
a
3b
平行，则实数
k 的值为（
11
A.
7
B. 11 7
C. 1 3
5.
在△ABC
3 2
,
1 2
，若
OA
绕点
O
逆时针旋转
60°
得到向量 OB ，则 OB （ ）
A. (0,1)
C.
3 2
,
1 2
B. (1,0)
D.
1 2
,
3 2
12. 已知直线 l 过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程不可以 是下列（ ）选项.
A. 2x-y=0
B. x+y=3
2021 年北京市普通高中学业水平合格性考 试数学仿真模拟卷（三）
第一部分 选择题（每小题 3 分，共 81 分） 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1. 集合 A x Z 2 x 2 的子集个数为（ ）
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
2. 函数 f x
x
2
1 x 1
的定义域是（
2
A.
B.
C.
D.
15. 在平面直角坐标系 xOy 中，将点 A(2,1) 绕原点 O 逆时针旋转 90°到点 B，设直线 OB 与 x 轴正半轴所成的最小正角为 ，则 sin 等于（ ）
A. 2 5 5
B. 5 5
C. 5 5
D. 2 5 5
16. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数的是（ ）
A. 若 m / / , n 且 ，则 m n
B. 若 m , n 且 m n ，则
C. 若 , m / /n 且 n ，则 m / /
D. 若 m , n 且 m // n ，则 / /
24. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎
D. 3 2
27. 在一组样本数据中，1，4，m，n 出现的频率分别为 0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值