安徽大学2014第二学期量子力学期末试题(几乎全原题)

ψ (0) n1n2
= 2 sin n1π x sin n2π y ,
aa
a
( 阱内 ,下同 )
基态是非简并的，能级
E (0) 11
，本征函数为
ψ (0) 11
=
2 sin π x sin π y aa a
。
第一激发态是二重简并的，能级
E (0) 12
,本征函数为
ψ (0) 12
=
2 sin πx sin aa
E
=
3 4
E1
+
1 4
E3
=
3 4
π 2h2 2ma 2
+
1 4
9π 2h2 2ma 2
=
3π 2h2 2ma 2
6.
粒子自旋处于 sz = − h 2 的本征态
β = ⎜⎜⎝⎛ 10⎟⎟⎠⎞
，试证明 sx 和 s y 的不确定关系
（Δ
s
）2
x
⋅（Δ
s
）2
y
=
h2
/4。
解： 但
（Δ
s
）2
x
⋅（Δ
s
）2
( ) ( ) lˆx , lˆy , lˆz 可用 3 × 3 矩阵表示。若选 lˆ2, lˆz 作为力学量完全集，即取 lˆ2, lˆz 表象，那 lˆz 在自身表象中的表示自然为对
角矩阵，而对角元就是它的本征值
⎜⎛1 0 0 ⎟⎞
(lz ) = h⎜0 0 0 ⎟
(1)
⎜⎝0 0 − 1⎟⎠
b. lˆz 本征矢
1 2
h
,
其平均值为
Sz
= ⎜⎜⎝⎛
3 2
⎟⎟⎠⎞2
×
h 2
+
⎜⎛ ⎝
1 2
⎟⎞2 ⎠
×
⎜⎛ ⎝
−
h 2
⎟⎞ ⎠
。
=
1 4
h
d.
总磁矩
v M
=− e 2μ
v L
−
e μ
sv
的 z 分量 M z 的平均值为
Mz
=
−
e 2μ
Lz
−
e μ
Sz
=
⎜⎜⎝⎛
−
e 2μ
⎟⎟⎠⎞
×
h 2
+
⎜⎜⎝⎛
−
e μ
⎟⎟⎠⎞
×
= l(l + 1)h2 − lz2h2 − lzh2
= (l − lz )(l + lz + 1)h2
∴
A = h (l − lz )(l + lz + 1)
即 lˆ+ l, lz = h (l − lz )(l + lz + 1) l, lz + 1
同理可得
lˆ− l, lz = h (l + lz )(l − lz + 1) l, lz − 1
c. 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？
解：a.
Q
Hˆ ψ
(x)
=
−
h2 2m
∂2 ∂x 2
2 a
⎜⎜⎝⎛
3 2
sin
πx a
+
1 2
sin
3π x a
⎟⎟⎠⎞
= − h2 2m
2 a
⎜⎜⎝⎛
3 2
⎜⎛ ⎝
π a
⎟⎞2 ⎠
sin
πx a
+
1 2
⎜⎛ ⎝
3π a
⎟⎞2 ⎠
sin
3π x a
⎟⎟⎠⎞
Hα′ α
=
H β′β
=
λ 2
a,
Hα′β
=
H β′ α
=
256 81π 4
λa2
。
{ } 在 ψ α , ψ β 子空间中， H ′ 的矩阵表示为
H
′
=
λ 4
a2
⎜⎜⎝⎛1024
1 81π
4
1024
81π 1
4
⎟⎟⎠⎞
。
由 det H μ′ν − E1(21)δ μν = 0 ，可解得 ( μ , ν = α , β )
得系数矩阵为
h
⎜⎛ 0 ⎜1
1 0
0⎟⎞ 1⎟,
2 ⎜⎝0 1 0⎟⎠
转置得 (lˆx ) =
h 2
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
0 1 0
1 0 1
0⎟⎞ 1⎟ 0⎟⎠
(2)
由于对易式不随表象而变，故利用对易式 [lˆz , lˆx ] = ihlˆy 以及(1),(2),即得
( ) (lˆy)
=
1 ih
lˆzlˆx
−∞
−∞
⎝2⎠
取
C
=
⎜⎛ ⎝
2 λπ
⎟⎞1/ 4 ⎠
则有
ψ
=
⎜⎛ ⎝
2 πλ
⎟⎞1/ ⎠
4
e−
x2
/
λ
H
(x)
=
−
h2 2μ
d2 d x2
+
1 2
μω 2 x2
证：
r [L
,
pr 2
]
=
[ Lx
,
pr 2
]erx
+
[Ly
,
pr 2
]ery
+
[Lz
,
pr 2
]erz
Q[Lx
,
pv 2 ] =
[ Lx
,
px2
+
p
2 y
+
pz2 ]
=
[ Lx
,
p
2 y
]
+
[
Lx
,
pz2 ]
= py[Lx , py ] + [Lx , py ] py + pz[Lx , pz ] + [Lx , pz ] pz
c.
求总磁矩
v M
=−
e
v L
−
e
sv
2μ μ
的 z 分量 M z 的平均值。
解：a. 轨道角动量的 z 分量 Lz 的测量值为
1h,−1h ,
其平均值为
Lz = ⎜⎜⎝⎛
3 2
⎟⎟⎠⎞2
×
h
+
⎜⎛ ⎝
1 2
⎟⎞2 ⎠
×
(−
h
)
。
=
1 2
h
b. 自旋角动量的 z 分量 sz 的测量值为
1 2
h,−
由
[lˆz , lˆx ] = ihlˆy ,[lˆz , lˆy ] = −ihlˆx , [lˆz , lˆ+ ] = hlˆ+
因此 lˆzlˆ+ l, lz = lˆ+ (lˆz + h) l, lz
= (lz + 1)hlˆ+ l, lz
∴ lˆ+ l, lz = A l, lz + 1
由 l, lz lˆ−lˆ+ l, lz = A2 = l, lz lˆ2−lˆz2 − hlˆz l, lz
( ) 4．求轨道角动量 l = 1 的情况下，相应 lˆx , lˆy , lˆz 在 lˆ2, lˆz 表象中：
a. lˆz 的矩阵表示；
b. lˆz 的本征矢；
c. lˆx , lˆy 矩阵表示。
解：a. 由于轨道角动量 l = 1 的情况下任意方向上的分量测量可取三个数值, 0，± h ，即本征值有 0，± h 三个，所以
− lˆxlˆz
=
h 2
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
0 i 0
−i 0 i
0 ⎟⎞ − i⎟ 0 ⎟⎠
(3)
5．一质量为 m 的粒子在一维势箱 0 < x < a 中运动，其量子态为
ψ (x) =
2 a
⎜⎜⎝⎛
3 2
sin
πx a
+
1 2
sin
3π a
x
⎟⎟⎠⎞
a. 该量子态是否为能量算符 H 的本征态？
b. 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？
2π cos 2πpx ha ha
− 2px
ha
发现粒子在 ha − ha + dpx 区间中的几率为
ϕ (ha) 2 dpx
=
1 ha
dpx
∫ d. ψ (x, t) =
ϕ(px )
1 (2πh)1 2
ei px
h−i
p
2 x
2m
t
h
dpx
3．a.粒子在二维无限深方势阱中运动，V
=
⎧0 ,
⎨ ⎩
∞
= −ih( px pz + pz px ) + ih( pz px + px pz ) = 0
同理， [ Lz
,
pv 2 ]
=
[ Lz
,
px2
+
p
2 y
+
pz2 ]
=
[ Lz
,
p
2 x
]
+
[ Lz
,
p
2 y
]
证毕
= px[Lz , px ] + [Lz , px ] px + py[Lz , py ] + [Lz , py ]py
+
1
e−i(a+ px h) x
]
4πi h i(a − px h)
−2π a i(a + px h)