八年级数学下册 2.6 菱形典型例题素材 (新版)湘教版
2024八年级数学下册第2章四边形2.6菱形2.6.1菱形的性质习题课件新版湘教版
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12．[中考·陕西]在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，连接 AC，
BD，则BADC的值为( D )
A.12
B.
Hale Waihona Puke 2 2C.3 2
D.
3 3
【点拨】设AC与BD交于点O.∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝ 12∠ABC＝30°.
设AO＝a，则AB＝2a，AC＝2a. 根据勾股定理，
得 BO＝ 3a，∴BD＝2
3a，∴BADC＝
3 3.
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13．[长沙模拟]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD 相交于点O，△BOC≌△CEB.
(1)求证：四边形OBEC是矩形； 证明：∵△BOC≌△CEB，∴OB＝EC， OC＝EB，∴四边形OBEC是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°， ∴四边形OBEC是矩形．
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9．[教材改编题]如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝
60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积． 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AO＝OC，BO＝OD, AC⊥BO.
∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝8.
∴菱形ABCD的周长＝4×8＝32.在Rt△AOB中， 由勾股定理，得 BO＝ 82－42＝4 3，∴BD＝2BO＝8 3，
∴矩形 OBEC 的周长＝(3 3＋3)×2＝6 3＋6.
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14. [几何直观]感知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD， 点E，F分别在边AB，AD上． 若AE＝DF，易知△ADE ≌△DBF. 探究：如图②， 在菱形ABCD中，AB＝BD，点E，F分别在BA，AD的延 长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果 全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
湘教版八年级数学下册 菱形同步练习题(Word版含答案)
湘教版八年级数学下册《2-6菱形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图,在菱形ABCD中,∠BAD＝60°,对角线BD＝6,则菱形的边AB的长为（）A．4B．6C．3D．82．如图,在菱形ABCD中,∠DAB＝45°,DE⊥BC于点E,交对角线AC于点P,过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（）A．16B．16C．32D．323．如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC＝6,DB＝8,AE⊥BC于点E,则AE＝（）A．6B．8C．D．4．如图,菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上,∠AOC＝60°,OA＝4,则点C的坐标为（）A．B．C．D．（2,2）5．如图,菱形ABCD的边长为3,过点A、C作对角线AC的垂线,分别交CB和AD的延长线于点E,F,AE＝4,则四边形AECF的周长为（）A．22B．20C．18D．166．如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,E是边AD的中点,过点E作EF⊥BD,EG ⊥AC,点F,G为垂足,若AC＝10,BD＝24,则FG的长为（）A．5B．6.5C．10D．127．如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为24,面积为24,则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．8．如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是AD,BC的中点,G,H分别是BD,AC的中点,AB,CD 满足什么条件时,四边形EGFH是菱形（）A．AB＝CD B．AB∥CD C．AC＝BD D．AD＝BC9．如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,BD＝2AD,E、F、G分别是OC、OD、AB的中点,下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤10．如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠C＝90°,AB＝AD,连接BD,∠BAD的角平分线交BD,BC 分别于点O、E,若EC＝3,CD＝4,则BO的长为（）A．4B．3C．D．211．如图,在菱形ABCD中,∠BAD＝60°,AC与BD交于点O,E为CD延长线上的一点,且CD ＝DE,连接BE分别交AC、AD于点F、G,连接OG,则下列结论中一定成立的是（）①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．A．①③④B．①④C．①②③D．②③④12．如图,在平行四边形ABCD中,AD＝2AB,CE⊥AB于点E,点F、G分别是AD、BC的中点,连接CF、EF、FG,下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF＝CF；④∠EFC ＝2∠CFD．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题13．菱形ABCD的面积为24,对角线AC的长为6,则对角线BD的长为．14．如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,已知AB＝5cm,AO＝4cm,则BD的长为cm．15．菱形ABCD的周长为,对角线AC和BD相交于点O,AO：BO＝1：2,则菱形ABCD 的面积为．16．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB＝AD,下列条件①AC⊥BD；②OA＝OC；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC,能判定四边形ABCD是菱形的有．（填写序号）17．如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠C＝90°,AB＝AD,连接BD,作∠BAD角平分线AE交BD、BC于点F、E．若EC＝3,CD＝4,那么AE长为．18．如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E,交BD于G,过点D作DF⊥BC于F,过点G作GH∥BC,交AC于点H,则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是．三．解答题19．如图,四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,AC的垂线EF交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝AE；（2）连接CM,DF＝2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC＝2∠MCF,求ME的长．20．如图,已知菱形ABCD中,AB＝6,∠B＝60°,E是BC边上一动点,F是CD边上一动点,且BE＝CF,连接AE、AF．（1）∠EAF的度数是；（2）求证：AE＝AF；（3）延长AF交BC的延长线于点G,当∠BAE＝30°时,求点F到BG的距离21．如图,正方形ABCD边长为3,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上,连接CF．（1）求证：∠AEH＝∠CGF；（2）当AH＝DG＝1时,求证：菱形EFGH为正方形；（3）设AH＝1,DG＝x,△FCG的面积为S,求S与x之间的函数解析式,并直接写出S的最小值．22．已知：如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,对角线AC、BD交于点O,过点C作CE⊥CD 交AB的延长线于点E,联结OE,OC＝OE．（1）求证：OE＝AC；（2）如果DB平分∠ADC,求证：四边形ABCD是菱形．23．在▱ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是边BC延长线上的动点,过点E作EF⊥BD于F,且与CD、AD分别交于点G、H,连接OH．（1）如图,若AC⊥AB,OF＝OC,求证：FG＝CG；（2）若在点E运动的过程中,存在四边形OCGH是菱形的情形,试探究▱ABCD的边和角需要满足的条件．24．如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A＝60°,AD＝CD＝AE＝6．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝18,F为AB的中点,点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发,在直线AB 上向右运动,点N以每秒1个单位长度的速度从点C出发,在直线CD上向左运动,设运动时间为t秒．当M,N运动时,是否存在以点M,F,N,D为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出t的值和平行四边形的面积,若不存在,请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD为菱形,∴AB＝BC＝CD＝AD,∵∠BAD＝60°,∴△ABD为等边三角形,∴AB＝BD＝6,故选：B．2．解：∵四边形ABCD是菱形,∴BC＝CD,∠BCD＝∠BAD,∠ACB＝∠ACD,AD∥BC,∴∠BAD+∠B＝180°,∵∠DAB＝45°,∴∠BCD＝∠BAD＝45°,∵DE⊥BC,∴△CDE是等腰直角三角形,∴∠CDE＝45°,CD＝DE,∵PF⊥CD,∴△DPF是等腰直角三角形,∴PF＝DF,PD＝PF,设PF＝DF＝x,则PD＝x,∵△PDF的周长为8,∴x+x+x＝8,解得：x＝8﹣4,∵∠ACB＝∠ACD,DE⊥BC,PF⊥CD,∴PE＝PF＝x,∴DE＝x+x＝（1+）×（8﹣4）＝4,∴BC＝CD＝DE＝8,∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4＝32,故选：D．3．解：∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,OC＝OA,OB＝OD,∵AC＝6,DB＝8,∴OC＝3,OB＝4,∴BC＝,∵AC＝6,DB＝8,∴菱形ABCD的面积＝,∵BC＝5,∴AE＝＝,故选：C．4．解：过C作CD⊥OA于D,如图：则∠ODC＝90°,∵四边形OABC是菱形,∴OC＝OA＝4,∵∠AOC＝60°,∴∠CDO＝90°﹣∠AOC＝30°,∴DD＝OC＝2,∴CD＝＝＝2,∴点C的坐标为（2,2）,故选：A．5．解：在菱形ABCD中,∠BAC＝∠BCA,∵AE⊥AC,∴∠BAC+∠BAE＝∠BCA+∠E＝90°,∴∠BAE＝∠E,∴BE＝AB＝3,∴EC＝BE+BC＝3+3＝6,同理可得AF＝6,∵AD∥BC,∴四边形AECF是平行四边形,∴四边形AECF的周长＝2（AE+EC）＝2（4+6）＝20．故选：B．6．解：连接OE,∵四边形ABCD是菱形,∴OA＝OC＝5,OB＝OD＝12,AC⊥BD,在Rt△AOD中,AD＝,又∵E是边AD的中点,∴,∵EF⊥BD,EG⊥AC,AC⊥BD,∴∠EFO＝90°,∠EGO＝90°,∠GOF＝90°,∴四边形EFOG为矩形,∴FG＝OE＝6.5．故选：B．7．解：连接BP,如图,∵四边形ABCD为菱形,菱形ABCD的周长为24,面积为24,∴BA＝BC＝6,S△ABC＝S菱形ABCD＝12,∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC,∴×6×PE+×6×PF＝12,∴PE+PF＝4,故选：A．8．解：当AB＝CD时,四边形EGFH是菱形．理由如下：∵点E,G分别是AD,BD的中点,∴EG是△ABD的中位线,∴EG∥AB,EG＝AB,同理HF∥AB,HF＝AB,EH∥CD,EH＝CD,∴EG∥HF,EG＝HF,∴四边形EGFH是平行四边形,又∵AB＝CD,∴EG＝EH,∴平行四边形EGFH是菱形．故选：A．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BO＝DO＝BD,AD＝BC,AB＝CD,AB∥BC,又∵BD＝2AD,∴OB＝BC＝OD＝DA,且点E是OC中点,∴BE⊥AC,故①正确,∵E、F分别是OC、OD的中点,∴EF∥CD,EF＝CD,∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点,∴GE＝AB＝AG＝BG∴EG＝EF＝AG＝BG,无法证明GE＝GF,故②错误,∵BG＝EF,AB∥CD∥EF∴四边形BGFE是平行四边形,∴GF＝BE,且BG＝EF,GE＝GE,∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正确∵EF∥CD∥AB,∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF,∵AG＝GE,∴∠GAE＝∠AEG,∴∠AEG＝∠AEF,∴AE平分∠GEF,故④正确,若四边形BEFG是菱形∴BE＝BG＝AB,∴∠BAC＝30°与题意不符合故⑤错误故选：B．10．解：连接DE．在直角三角形CDE中,EC＝3,CD＝4,根据勾股定理,得DE＝5．∵AB＝AD,BO＝OD,∴AE⊥BD,∴AE垂直平分BD,∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD∥BC,∴∠DAE＝∠AEB,∴∠BAE＝∠AEB,∴AB＝BE＝5,∴BC＝BE+EC＝8,由勾股定理得出BD＝,∴BO＝BD＝2,故选：D．11．解：∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝BC＝CD＝DA,AB∥CD,OA＝OC,OB＝OD,AC⊥BD,∴∠BAG＝∠EDG,△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD,∵CD＝DE,∴AB＝DE,在△ABG和△DEG中,,∴△ABG≌△DEG（AAS）,∴AG＝DG,∴OG是△ACD的中位线,∴OG＝CD＝AB,①正确；∵AB∥CE,AB＝DE,∴四边形ABDE是平行四边形,∵∠BCD＝∠BAD＝60°,∴△ABD、△BCD是等边三角形,∴AB＝BD＝AD,∠ODC＝60°,∴OD＝AG,四边形ABDE是菱形,④正确；∴AD⊥BE,由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG,在△ABG和△DCO中,,∴△ABG≌△DCO（SAS）,∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG,②不正确；∵OB＝OD,∴S△BOG＝S△DOG,∴S△ABG＝S△DGE,∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等,故③正确；故选：A．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC,∵点F、G分别是AD、BC的中点,∴AF＝AD,BG＝BC,∴AF＝BG,∵AF∥BG,∴四边形ABGF是平行四边形,∴AB∥FG,∵CE⊥AB,∴CE⊥FG；故①正确；∵AD＝2AB,AD＝2AF,∴AB＝AF,∴四边形ABGF是菱形,故②正确；延长EF,交CD延长线于M,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠A＝∠MDF,∵F为AD中点,∴AF＝FD,在△AEF和△DFM中,,∴△AEF≌△DMF（ASA）,∴FE＝MF,∠AEF＝∠M,∵CE⊥AB,∴∠AEC＝90°,∴∠AEC＝∠ECD＝90°,∵FM＝EF,∴FC＝EF＝FM,故③正确；∴∠FCD＝∠M,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD∥BC,∵AF＝DF,AD＝2AB,∴DF＝DC,∴∠DCF＝∠DFC,∴∠M＝∠FCD＝∠CFD,∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确,故选：D．二．填空题13．解：菱形ABCD的面积S＝AC•BD＝24,∵AC＝6,∴BD＝＝8,故答案为8．14．解：∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BO＝DO,∵BO＝＝＝3（cm）,∴DO＝BO＝3（cm）,∴BD＝6（cm）,故答案为：6．15．解：∵四边形ABCD是菱形,周长为,∴AC⊥BD,AB＝BC＝CD＝AD＝,AC＝2AO＝2CO,BD＝2BO＝2DO,∵AO：BO＝1：2,设AO＝x,则BO＝2x,在Rt△AOB中,由勾股定理得：x2+（2x）2＝（）2,解得：x＝1（负数舍去）,即AO＝1,BO＝2,∴AC＝2,BD＝4,∴菱形ABCD的面积是S＝×AC×BD＝×2×4＝4,故答案为：4．16．解：①∵AB＝AD,AC⊥BD,∴OB＝OD,∵AD∥BC,∴∠ADO＝∠CBO,又∵∠AOD＝∠COB,∴△AOD≌△COB（ASA）,∴AD＝CB,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB＝AD,∴平行四边形ABCD是菱形,故①能判定四边形ABCD是菱形；②∵AB＝AD,AC⊥BD,∴OB＝OD,∵OA＝OC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB＝AD,∴平行四边形ABCD是菱形,故②能判定四边形ABCD是菱形；③∵AD∥BC,∴∠DAC＝∠BCA,∵AC平分∠BCD,∴∠DCA＝∠BCA,∴∠DAC＝∠DCA,∴AD＝CD,∴AB＝AD＝CD,不能判定四边形ABCD是菱形；④∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC＝180°,∵∠ABC＝∠ADC,∴∠BAD+∠ADC＝180°,∴AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AB＝AD,∴平行四边形ABCD是菱形,故④能判定四边形ABCD是菱形；故答案为：①②④．17．解：连接DE．在直角三角形CDE中,EC＝3,CD＝4,根据勾股定理,得DE＝5．∵AB＝AD,AE⊥BD,∴AE垂直平分BD,∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD∥BC,∴∠DAE＝∠AEB,∴∠BAE＝∠AEB,∴AB＝BE＝5,∴BC＝BE+EC＝8,∴四边形ABED是菱形,由勾股定理得出BD＝,∴OE＝,∴AE＝2OE＝2,故答案为：2．18．解：①∵∠BAC＝90°,∴∠BAE+∠CAE＝90°,∵AE⊥BC,∴∠C+∠CAE＝90°,∴∠BAE＝∠C,①正确；②作AM∥BD交CB的延长线于M,如图所示：则∠M＝∠CBD,∠BAM＝∠ABD,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD＝∠ABD,∴∠M＝∠BAM,∴AB＝BM,∵AM∥BD,∴AG：GE＝BM：BE,∴AG：GE＝AB：BE,∵S△ABG：S△EBG＝AG：GE,∴S△ABG：S△EBG＝AB：BE；②正确；④∵∠AGD＝∠ABD+∠BAE,∠ADG＝∠CBD+∠C,∠BAE＝∠C,∠CBD＝∠ABD,∴∠AGD＝∠ADG,∴AG＝AD,∵∠BAC＝90°,BD平分∠ABC．DF⊥BC,∴AD＝DF,∴AG＝DF,∵AE⊥BC,∴AG∥DF,∴四边形AGFD是平行四边形,又∵AG＝AD,∴四边形AGFD是菱形；④正确；⑤∵四边形AGFD是菱形；∴∠AGD＝∠FGD,GF＝DF,∠ADB＝∠FDB,∴∠AGB＝∠FGB,在△ABG和△FBG中,,∴△ABG≌△FBG（AAS）,∴∠BAE＝∠BFG,∵∠BAE＝∠C,∴∠BFG＝∠C,∴GF∥CH,∵GH∥BC,∴四边形GFCH是平行四边形,∴GF＝CH,∴CH＝DF,⑤正确；③∵∠ADF＝2∠ADB,当∠C＝30°,∠CDF＝60°,则∠ADF＝120°,∴∠ADF＝2∠CDF；③不正确；故答案为：①②④⑤．三．解答题19．（1）证明：如图,连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥DB,AD＝AB,∵EM⊥AC,∴ME∥BD,∵点E是AB的中点,∴点M是AD的中点,AE＝AB,∴AM＝AD,∴AM＝AE．（2）解：①由（1）得,点M是AD的中点,∴AM＝MD,∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴∠F＝∠AEM,∠EAM＝∠FDM,∴△MDF≌△MAE（AAS）,∴AE＝DF,∵AB＝2AE,DF＝2,∴AB＝4,∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．②如图,连接CM,记EF与AC交点为点G,∵AM＝AE,△MAE≌△MDF,∴DF＝DM,MF＝ME,∴∠DMF＝∠DFM,∴∠ADC＝2∠DFM,∵∠ADC＝2∠MCD,∴∠MCD＝∠DFM,∴MF＝MC＝ME,∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC,∵ME⊥AC,AM＝AE,∴∠MGC＝90°,ME＝2MG,∴MC＝2MG,∴∠GMC＝60°,∴∠ADC＝60°,∴∠MCD＝30°,∴∠DMC＝90°,∴△DMC为直角三角形,∵DF＝2,∴DM＝2,CD＝4,∴CM＝＝2,∴ME＝2．20．解：（1）连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝BC,∵∠B＝60°,∴△ABC是正三角形,∴AB＝AC,∠ACB＝60°,∴∠ACF＝∠ACB＝60°,在△ABE和△ACF中,,∴△ABE≌△ACF（SAS）,∴∠BAE＝∠CAF,∴∠EAF＝∠EAC+∠CAF＝∠EAC+∠BAE＝60°,故答案为60°；（2）由（1）可知,△ABE≌△ACF,∴AE＝AF,（3）当∠BAE＝30°时,∵∠B＝60°,∴∠AEB＝90°,∵∴△ABC是正三角形,∴E为BC中点,∴F为CD中点,在Rt△ABE中,AB＝6,BE＝3,∴AE＝＝3,过点F作FH⊥CG于点H,∵F为CD中点,FH∥AE,∴FH为△AEG中位线,∴FH＝＝,∴点F到BG的距离．21．证明：（1）连接EG,∵AB∥CD,∴∠AEG＝∠CGE,∵EH∥FG,∴∠HEG＝∠FGE,∴∠AEG﹣∠HEG＝∠CGE﹣∠FGE,即∠AEH＝∠CGF,（2）∵四边形ABCD是正方形,∴∠A＝∠D＝90°,∵四边形EFGH是菱形,∴EH＝GH,在Rt△HAE和Rt△GDH中,,∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL）,∴∠AHE＝∠DGH,∵∠DHG+∠DGH＝90°,∴∠DHG+∠AHE＝90°,∴∠GHE＝90°,∴菱形EFGH是正方形；（3）过点F作FM⊥CD,交CD的延长线于点M,则∠A＝∠M＝90°,在△AHE和△GFM中,,∴△AHE≌△GFM（AAS）,∴AH＝MF＝1,∵CD＝3,DG＝x,∴CG＝3﹣x,∵12+AE2＝22+DG2,当AE最大为AB＝3时,DG最大为,∴S＝＝（3﹣x）×1＝,∴S＝,∴x＝时,S最小为．22．证明：（1）过O作OF⊥CE于F,如图所示：∵OC＝OE,∴CF＝EF,∵OF⊥CE,CE⊥CD,∴OF∥CD,∵AB∥DC,∴OF∥AB,∴OF是△ACE的中位线,∴OA＝OC,∴OE＝AC；（2）∵AB∥DC,∴∠OAB＝∠OCD,在△AOB和△OCD中,,∴△AOB≌△OCD（ASA）,∴OB＝OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADB＝∠CBD,∵DB平分∠ADC,∴∠ADB＝∠CDB,∴∠CBD＝∠CDB,∴BC＝DC,∴平行四边形ABCD是菱形．23．（1）证明：连接OG,如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∵AC⊥AB,∴AC⊥CD,∴∠OCG＝90°,∵EF⊥BD,∴∠OFG＝90°,在Rt△OFG和Rt△OCG中,,∴Rt△OFG≌Rt△OCG（HL）,∴FG＝CG；（2）解：如图2所示：若四边形OCGH是菱形,则OH＝OC,OH∥CG,OC∥GH,∵EF⊥BD,∴AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形,∴CD＝AD,OA＝OC,∴OA＝OH,∴∠OAH＝∠OHA,∵OH∥CG,∴∠OHA＝∠ADC,∵CD＝AD,∴∠CAD＝∠DCA,∴∠CAD＝∠ADC＝∠DCA,∴△ACD是等边三角形,∴∠ADC＝60°,即要使四边形OCGH是菱形,▱ABCD的边和角需要满足的条件是：CD＝AD,∠ADC＝60°．24．（1）证明：∵AB∥CD,∴AE∥CD,∵CD＝AE,∴四边形AECD是平行四边形,∵AD＝CD,∴平行四边形AECD是菱形,（2）存在,由题意知AF＝AB＝9,过点D作AB的垂线,垂足为H,∵AB∥CD,∠A＝60°,∴在Rt△AHD中,∠ADH＝30°,∴AH＝AD＝3,∴DH＝＝＝3,∵运动时间为t秒,①如图,AM＝3t,CN＝t,MF＝AF﹣AM＝9﹣3t,ND＝CD﹣CN＝6﹣t,若MF＝ND,则四边形MFND为平行四边形,即9﹣3t＝6﹣t,解得t＝,此时S▱MFND＝MF×DH＝（9﹣3×）×3＝；②如图,AM＝3t,CN＝t,MF＝AM﹣AF＝3t﹣9,ND＝CD﹣CN＝6﹣t,若MF＝ND,则四边形FMND为平行四边形,即3t﹣9＝6﹣t,解得t＝,此时S▱FMND＝MF×DH＝（3×﹣9）×3＝；综上：当t＝时,四边形MFND为平行四边形,面积为；当t＝时,四边形FMND 为平行四边形,面积为．。
湘教版八年级数学下册2.6菱形同步练习(含答案)
A.AB // DCB.AC=BD6.如图，在菱形ABCD 中 ,AB=5,对角线AC=6.若过点A 作AE 丄BC,垂足为E,则AE 的长为（）A.4B.2.4C.4.8D.57.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）湘教版2019年八年级数学下册 菱形同步练习一、选择题 1.下列命题中错误的是（ ） A.平行四边形的对角线互相平分 C.同旁内角互补 D.2.如图，将等边厶ABC 沿射线BC 向右平移到△ B. 菱形的对角线互相垂直 矩形的对角线相等 DCE 的位置,连接AD BD,则下列结论： ） ①AD=BC ②BD AC 互相平分；③四边形ACED 是菱形.其中正确的个数是（ D.33.如图,在菱形 ABCD 中 ,AB=5, / B: / BCD=1:2,则对角线 AC 的长等于（ ） D.204.如图，在厶ABC 中,AD 平分/ BAC,按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心,以大于AD 的 一半长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点M N;第二步，连接MN 分别交AB AC 于点E 、F;第 三步，连接DE DF,则可以得到四边形 AEDF 的形状（ ） A.仅仅只是平行四边形5.如图,在菱形ABCD 中 ,对角线 B.是矩形 AC,BD 交于点 C.是菱形 D.无法判断O,下列说法错误的是（）C.AC 丄 BDD.OA=OC示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部 分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）A.20mB.25mC.30mD.35m9.如图，菱形 ABCD 中, AB=5, BD=6则菱形的高为（）10.如图，在菱形 ABCD 中，/ ABC=60 , AB=1, E 为BC 的中点，则对角线 BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为（）二、填空题11.在图中所示的方格纸中有一个菱形 A BCD （A B 、C D 四点均为格点）,若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则该菱形的面积为 __________ .A.当AB=BC 时,它是菱形B.C.当/ ABC=90时,它是矩形D.8.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形当AC 丄BD 时,它是菱形当C.12D.2412. ______ 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O,AC=4 cm,BD=8 cm,则这个菱形的面积是cm2.13._________________________________ 如图,在菱形ABCD中,AC=6,BD=8,则这个菱形的边长为______________________________14._______________ 如图,已知矩形ABCD勺对角线长为8 cm,E、F、G H分别是AB BC CDDA的中点,则四边形EFGH勺周长等于cm.15.如图，四边形ABCD是菱形，0是两条对角线的交点，过0点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分•当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为16.如图，分别以直角△ ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ ABC外作等边△ ABD和等边△ ACE,F 为AB的中点，DE与AB交于点G,EF与AC交于点H, / ACB=9C° , / BAC=30 .给出下列结论：1①EF丄AC;②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG④FH= BD.4).三、解答题17.如图，已知在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD AD的中点，连接AE、CF。
湘教版数学八年级下册_《2。6_菱形》基础训练
《菱形》基础训练一、选择题1．在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是（）A．12B．16C．24D．322．已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，则这个菱形的周长为（）A．13cm B．26cm C．48cm D．52cm3．在菱形ABCD中，∠B=120°，对角线AC=6cm，则AB长为（）A．2B．cm C．3cm D．2cm4．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定▱ABCD 为菱形的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BDC．AC⊥BD D．OA=OC，OB=OD5．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形二、填空题6．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是厘米．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD 是菱形，所添条件为（写出一个即可）8．如图，在菱形ABCD中，AC=8，AD=6，则菱形的面积等于．9．如图所示，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠AEF的大小是．10．已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=．《菱形》基础训练参考答案与试题解析一、选择题1．在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是（）A．12B．16C．24D．32【分析】根据菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度），可求菱形ABCD的面积．【解答】解：∵菱形ABCD的面积=AC×BD∴菱形ABCD的面积=×4×8=16故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．2．已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，则这个菱形的周长为（）A．13cm B．26cm C．48cm D．52cm【分析】由题意可得菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理可求菱形边长，即可求菱形的周长．【解答】解：设对角线AC，BD相交于O∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO=CO=5，BO=DO=12∴AB==13∴菱形ABCD的周长=13×4=52故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．3．在菱形ABCD中，∠B=120°，对角线AC=6cm，则AB长为（）A．2B．cm C．3cm D．2cm【分析】根据菱形的性质，可求∠ABD=60°，AC⊥BD，则可求AB的长．【解答】解：如图：连接BD，交AC于O∵ABCD为菱形∴AC⊥BD，AO=CO=AC=3cm，∠ABD=∠ABC=60°∴∠BAO=30°∴AB=2BO，AO=BO∴BO=cm，AB=2cm故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练利用菱形的性质解决问题是本题的关键．4．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定▱ABCD 为菱形的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BDC．AC⊥BD D．OA=OC，OB=OD【分析】根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．5．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形【分析】根据菱形的性质即可判断；【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题．二、填空题6．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是5厘米．【分析】根据菱形的面积公式可得菱形的另一对角线长，再根据菱形的对角线互相垂直平分利用勾股定理可求出边长．【解答】解：设菱形的另一对角线长为xcm，由题意：×6×x=24，解得：x=8，菱形的边长为：=5（cm），故答案为5．【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形的对角线互相垂直、平分．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD 是菱形，所添条件为AB=AD（写出一个即可）【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得解．【解答】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AB=AD （AD=CD，BC=CD，AB=BC）也可添加∠1=∠2，根据平行四边形的性质，可求AD=CD．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AC⊥BD．故答案为：AB=AD（答案不唯一）【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定是本题的关键．8．如图，在菱形ABCD中，AC=8，AD=6，则菱形的面积等于16．【分析】根据菱形的面积=对角线积的一半，可求菱形的面积．【解答】解：如图：设AC与BD的交点为O∵四边形ABCD是菱形∴AO=CO=4，BO=DO，AC⊥BD∴DO==2∴BD=4=×AC×BD∵S菱形ABCD=×4×8=16∴S菱形ABCD故答案为：16【点评】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质解决问题是本题的关键．9．如图所示，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠AEF的大小是60°．【分析】由菱形的性质可证△ABC，△ACD都是等边三角形，可得∠B=∠ACF=∠BAC=60°，则可证△ABE≌△ACF，可得AE=AF，即可证△AEF是等边三角形，即可求∠AEF的大小．【解答】解：连接AC∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°∴△ABC，△ACD都是等边三角形∴AC=AB，∠B=∠ACD=60°=∠BAC∵∠BAC=60°=∠EAF∴∠BAE=∠CAF又∵AC=AB，∠B=∠ACD=60°∴△ABE≌△ACF′∴AE=AF且∠EAF=60°∴△AEF是等边三角形∴∠AEF=60°故答案为60°【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，等边三角形的性质，证明△ABE≌△ACF是本题的关键．10．已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=96．【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得其面积．【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，∴其面积为：×12×16=96．故答案为：96．【点评】此题考查了菱形的性质．注意熟记①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）．。
_2.6.1菱形的性质习题课件 2023—2024学年湘教版数学八年级下册
菱形的性质
名师点金
1.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质.菱形的
性质还有：(1)菱形的每一条对角线平分一组对角；(2)
菱形的四条边相等；(3)菱形是轴对称图形；(4)菱形的
对角线互相垂直.
2.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
知识点1
菱形的定义及其对称性
1.[2023·福建]如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，
DF＝DE＝2，易证明∠BCF＝∠BFC，得到BF＝
BC＝4，则BD＝6，所以OB＝OD＝3，接着利用
勾股定理计算出OC＝ ，从而得到AC＝2 ，
然后根据菱形的面积公式计算它的面积.
易错点
不会利用对角线所在直线为对称轴这一性质而致错
10. [新考法 最值探究法]如图，点P是边长为1的菱形ABCD的
则AC的长为
10
.
(第1题)
【点拨】
由题意得到AB＝BC，又∠B＝60°，∴△ABC是等边三
角形，∴AC＝AB＝10.
2.[2023·大庆]将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若
∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝( D )
A.45°＋ α
C.90°－ α
B.45°＋ α
D.90°－ α
＝( B )
(第7题)
A.2
B.
C.3
D.4
【点拨】
由菱形的性质得到OC＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，
AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线
的性质，即可求出OE的长.
(第7题)
八年级数学下册 第2章 四边形2.6 菱形 2.6.1菱形的性质习题课件 (新版)湘教版
一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于
点F,则阴影部分的面积是
.
【解析】由条件知PE∥BC，PF∥CD，可得PE∥AF，PF∥AE，
∴四边形AEPF为平行四边形，这样容易得到S△POF＝S△AOE，
∴S阴影＝S△ABC＝
1 2
S菱形ABCD
1 1 AC 22
OA=OC;菱形的对角线不一定相等.
2.(2013·本溪中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=
2∠B,E,F分别为BC,CD的中点,连接AE,AC,AF,则
图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.先由菱形的性质得出AD∥BC,由平行线的性质得
【解析】选A.过P作PE⊥OM,∵顶点P的坐标 是(3,4),∴OE=3,PE=4,∴OP=5,∵四边形 MNPO是菱形,∴OM=OP=5,∴点M的坐标为 (5,0),过点N作NF⊥OM于点F,则△POE≌△NMF, ∴MF=OE=3,∴OF=5+3=8,∴点N的坐标为(8,4).
4.如图,菱形ABCD的对角线的长分别是2和5,P是对角线AC上任
【思路点拨】连接AC→菱形的性质→∠BAC=∠DAC→ △ACE≌△ACF→AE=AF
【自主解答】连接AC. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC. 在△ACE和△ACF中, ∠AEC=∠AFC=90°,∠BAC=∠DAC,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF. ∴AE=AF.
知识点 2 菱形的有关计算 【例2】如图所示,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AB=a. (1)求∠ABC的度数. (2)求对角线AC的长. (3)求菱形ABCD的面积.
八年级数学下册第2章四边形2.6菱形2.6.2菱形的判定练习湘教版
2。
6。
2菱形的判定一、选择题(本大题共8小题）1。
如图，要使▱ABCD成为菱形,则需添加的一个条件是（）A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90°D．AC=BD2。
如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°3。
如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周长为(）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm4。
如图，点A，B，C，D在同一条直线上,点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D,AB=D C．若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE为（)时,四边形BFCE是菱形．A．5 B．4 C．3 D．65。
如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点,以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD的值为（）时，平行四边形CDEB为菱形．A．14 B．16 C．18 D．106. 如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是（）cm．A．14 B．16 C．18 D．107。
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（)A．4 B．6 C．8 D．108. 过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为（）A． 2 B． 3 C．D．二、填空题（本大题共6小题)9. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形（只填一个即可）．10。
八年级数学下册26菱形典型例题素材湘教版!
《菱形》典型例题例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：（1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积.例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F .求证：.AF AE =例3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的一点，︒=∠=∠60EAF D ，︒=∠18BAE ，求CEF ∠的度数.例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =. 求证：GH 垂直平分CF .例5 如图，ABCD 中，AB AD 2=，E 、F 在直线CD 上，且CF CD DE ==. 求证：AF BE ⊥.例6 如图，在Rt △ABC 中，90=∠ACB ，E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四边形.求证：AC 与DE 互相垂直平分.参考答案例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC .（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.21BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形.∴.120260︒=⨯︒=∠ABC（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.212121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 23)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.23321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅=说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点.例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论.证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =，AD AB = ，∴DF AD BE AB -=-，∴.AF AE =例3 解答：连结AC .∵四边形ABCD 为菱形，∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.∴ABC ∆与CDA ∆为等边三角形.∴︒=∠=∠=∠=60,BAC ACD B AC AB∵︒=∠60EAF ，∴CAF BAE ∠=∠∴ACF ABE ∆≅∆∴AF AE =∵︒=∠60EAF ，∴EAF ∆为等边三角形.∴︒=∠60AEF∵CEF AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠，∴CEF ∠+︒=︒+︒601860∴︒=∠18CEF说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC ，证ACF ABE ∆≅∆例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF .证明：∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形∴BF DE //，CD AB //， 90=∠=∠BCD DFH ，BC AD =∴四边形BGDH 是平行四边形∵DF AD =，∴BC DF =在△DFH 和△BCH 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC DF BHC DHF BCH DFH∴△DFH ≌△BCH ∴BH DH =，HC HF =∵四边形BGDH 是平行四边形∴四边形BGDH 是菱形∴GH 平分BHD ∠ ∴GH 平分FHC ∠ ∵HC HF =∴GH 垂直平分FC .例5 分析 要证AF BE ⊥，关键是要证明四边形ABHG 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论.证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形∴CD AB //，CD AB =，BH AG //，∴E ∠=∠1∵ED CD =，∴ED AB =在△ABG 和△EDG 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠ED AB E 321∴△ABG ≌△DEG ∴GD AG =∵AB AD 2= ∴AB AG =同理：BH AB = ∴BH AG =∵BH AG //∴四边形ABHG 是平行四边形∵BH AB = ∴四边形ABHG 是菱形∴BE AF ⊥.例6 分析 要证明AC 与DE 互相垂直平分，只要证明四边形ADCE 是菱形.所以要连结AD证明 ∵在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点∴BE CE AE ==∵四边形BCDE 是平行四边形∴AB CD //，BE CD = ∴AE CD //，∴四边形ABCE 是平行四边形∵EC AE = ∴ADCE 是菱形 ∴AC 与DE 互相垂直平分.。
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《菱形》典型例题
例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：
（1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积.
例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F .
求证：.AF AE =
例3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的一点，︒=∠=∠60EAF D ，︒=∠18BAE ，求CEF ∠的度数.
例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =. 求证：GH 垂直平分CF .
例5 如图，ABCD 中，AB AD 2=，E 、F 在直线CD 上，且CF CD DE ==. 求证：AF BE ⊥.
例6 如图，在Rt △ABC 中，ο
90=∠ACB ，E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四边形.
求证：AC 与DE 互相垂直平分.
参考答案
例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC .（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2
1BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =
E Θ是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =
∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形.
∴.120260︒=⨯︒=∠ABC
（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.2
12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 23)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.2
3321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点.
例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论.
证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =，
AD AB =Θ，
∴DF AD BE AB -=-，
∴.AF AE =
例3 解答：连结AC .
∵四边形ABCD 为菱形，
∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.
∴ABC ∆与CDA ∆为等边三角形.
∴︒=∠=∠=∠=60,BAC ACD B AC AB
∵︒=∠60EAF ，
∴CAF BAE ∠=∠
∴ACF ABE ∆≅∆
∴AF AE =
∵︒=∠60EAF ，
∴EAF ∆为等边三角形.
∴︒=∠60AEF
∵CEF AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠，
∴CEF ∠+︒=︒+︒601860
∴︒=∠18CEF
说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC ，证ACF ABE ∆≅∆
例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF .
证明：∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形
∴BF DE //，CD AB //，ο
90=∠=∠BCD DFH ，BC AD =
∴四边形BGDH 是平行四边形
∵DF AD =，∴BC DF =
在△DFH 和△BCH 中 ⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC DF BHC DHF BCH DFH
∴△DFH ≌△BCH ∴BH DH =，HC HF =
∵四边形BGDH 是平行四边形
∴四边形BGDH 是菱形
∴GH 平分BHD ∠ ∴GH 平分FHC ∠ ∵HC HF =
∴GH 垂直平分FC .
例5 分析 要证AF BE ⊥，关键是要证明四边形ABHG 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论.
证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形
∴CD AB //，CD AB =，BH AG //，∴E ∠=∠1
∵ED CD =，∴ED AB =
在△ABG 和△EDG 中 ⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠ED AB E 321
∴△ABG ≌△DEG ∴GD AG =
∵AB AD 2= ∴AB AG =
同理：BH AB = ∴BH AG =
∵BH AG //
∴四边形ABHG 是平行四边形
∵BH AB = ∴四边形ABHG 是菱形
∴BE AF ⊥.
例6 分析 要证明AC 与DE 互相垂直平分，只要证明四边形ADCE 是菱形.所以要连结AD
证明 ∵在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点
∴BE CE AE ==
∵四边形BCDE 是平行四边形
∴AB CD //，BE CD = ∴AE CD //，
∴四边形ABCE 是平行四边形
∵EC AE = ∴ADCE 是菱形 ∴AC 与DE 互相垂直平分.。