初二数学矩形菱形经典习题
平行四边形矩形菱形经典例题(8套)
经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【【答案】20、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二:连接3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC A DCBA DC BD C AB EF∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又A F C E D F ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)．AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A BDE F C A DCB（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=°1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴=AE EP =DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，°Rt Rt DAM ABE ∴△≌△14DM AE ∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥AE EP ⊥ A D C B E B C E DA F P FDM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。
初二菱形矩形正方形练习题
初二菱形矩形正方形练习题题目一：菱形练习题在一张正方形纸上，画一个边长为6厘米的正方形，然后连接相邻顶点，形成四个菱形。
请计算这四个菱形的周长和面积分别是多少？解答：菱形的周长可以通过计算菱形的边长乘以4得到。
已知正方形的边长为6厘米，那么菱形的边长就是正方形边长的一半，即3厘米。
四个菱形的周长分别为3厘米 * 4 = 12厘米。
菱形的面积可以通过计算菱形的对角线长度之积除以2得到。
由于正方形的对角线等于边长乘以√2，所以对角线长度等于6厘米* √2。
四个菱形的面积分别为（6厘米 * √2）^2 / 2 = 18厘米^2。
所以，四个菱形的周长和面积分别是12厘米和18平方厘米。
题目二：矩形练习题已知一个矩形的长为8厘米，宽为4厘米，请计算这个矩形的周长和面积分别是多少？解答：矩形的周长可以通过计算矩形的长和宽的两倍之和得到。
已知长为8厘米，宽为4厘米，那么矩形的周长为（8厘米 + 4厘米）* 2 = 24厘米。
矩形的面积可以通过计算矩形的长和宽的乘积得到。
已知长为8厘米，宽为4厘米，那么矩形的面积为8厘米 * 4厘米 = 32平方厘米。
所以，这个矩形的周长为24厘米，面积为32平方厘米。
题目三：正方形练习题已知一个正方形的边长为5厘米，请计算这个正方形的周长和面积分别是多少？解答：正方形的周长可以通过计算边长的四倍得到。
已知边长为5厘米，那么正方形的周长为5厘米 * 4 = 20厘米。
正方形的面积可以通过计算边长的平方得到。
已知边长为5厘米，那么正方形的面积为5厘米 * 5厘米 = 25平方厘米。
所以，这个正方形的周长为20厘米，面积为25平方厘米。
通过以上练习题，我们可以巩固初二学习过的菱形、矩形和正方形的周长和面积的计算方法。
希望大家能够掌握这些基础知识，为以后的数学学习打下坚实的基础。
(完整版)矩形、菱形与正方形-专题训练(含答案)
矩形、菱形与正方形专题训练(含答案)班级________姓名________成绩________一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( )A．12 B．24 C．12 3 D．16 3第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝____度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为___．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为____________-_，矩形的面积为_______________．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是____cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为____________．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件______________，使▱ABCD是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_______________________________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．20．(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．21．(8分)如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO 的度数．22．(10分)如图，已知菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．23．(12分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．24．(10分)在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与PQ互相垂直平分．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( D )A．12 B．24 C．12 D．16第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( B ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( A )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( B )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( C )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( C )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( D )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( B )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( B )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝__72__度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为__20__．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为__40_cm__，矩形的面积为__400_cm2__．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是__16__cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为__2__．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__AO＝BO(答案不唯一)__，使▱ABCD 是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝__5__．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__(8，4)，(3，4)或(2，4)__．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．解：∵∠AFE ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠CED ＝90°，∴∠AFE ＝∠DEC .又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝EC ，∴△AEF ≌△DCE ，∴AE ＝CD .设AE ＝x ，则CD ＝x ，∴AD ＋CD ＝21×32，即x ＋4＋x ＝16，∴x ＝6.即AE ＝6 cm20．(8分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连结BM ，DN .(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝8，求MD 的长．解：(1)∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，∠BON ＝∠DOM ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BNO ＝∠DMO ，∴△BON ≌△DOM (AAS )，∴OM ＝ON .∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴▱BMDN 是菱形(2)设MD ＝x ，则MB ＝x ，MA ＝8－x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2＝AM 2＋AB 2，∴x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5.∴MD 的长为521．(8分)如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数．解：提示：由∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求出∠BAE ＝22.5°，而∠ABD ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°，∵∠BAO ＝∠ABD ＝67.5°，∴∠EAO ＝∠BAO －∠BAE ＝67.5°－22.5°＝45°22．(10分)如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连结AE ，CF .(1)证明：四边形AECF 是矩形；(2)若AB ＝8，求菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC (等边三角形三线合一)，∠AEC ＝90°.同理，CF ⊥AD .∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴AF ＝21AD ，EC ＝21BC .∵四边形ABCD 是菱形，∴AD 綊BC ，∴AF 綊EC ，∴四边形AECF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．又∵∠AEC ＝90°，∴四边形AECF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝＝4，∴S 菱形ABCD ＝8×4＝3223．(12分)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是点E ，F ，并且DE ＝DF ，求证：(1)△ADE ≌△CDF ；(2)四边形ABCD 是菱形．解：证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，又∵DE ＝DF ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠DEA ＝∠DFC ＝90°，∴△ADE ≌△CDF (AAS ) (2)由(1)知AD ＝DC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形24．(10分)在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点，求证：MN 与PQ 互相垂直平分．解：证明：连结MP ，NQ ，PN ，MQ ，∵PM 綊21AB ，同理NQ 綊21AB ，∴PM 綊NQ ，∴四边形MPNQ 为平行四边形，又∵PN 綊21CD ，而CD ＝AB ，∴PN ＝PM ，∴四边形MPNQ 为菱形，∴MN 与PQ 互相垂直平分。
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。
2021年中考数学 专题训练：矩形、菱形 (含答案)
2021中考数学专题训练：矩形、菱形一、选择题1. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A.2B.2C.4D.22. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是()A. 6B. 3C. 2.5D. 23. 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为()A. 2 2B. 4 2C. 6 2D. 8 24. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则四边形ABCD的面积为()A.40B.24C.20D.155. 关于▱ABCD的叙述，正确的是()A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C. 若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D. 若AB＝AD，则▱ABCD是正方形6. 如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为()A. 115°B. 120°C. 130°D. 140°7. 如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是()A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CDC．AD＝AED．AE＝CE8. 如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是()A. △AFD≌△DCEB. AF＝12ADC. AB＝AFD. BE＝AD－DF9. 如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的116时，则AEEB为()A. 53 B. 2 C.52 D. 410. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB＝45，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CP＋DP最短时，点P的坐标为()A. (0，0)B. (1，12) C. (65，35) D. (107，57)二、填空题11. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为.图K24-812. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E＝________度.13. 如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C'与CD交于点M，若∠B'MD=50°，则∠BEF的度数为.14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝________．15. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是.三、解答题16. 如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.(1)求证：四边形BCEF是菱形；(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.17. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝55，点P是射线BC上一点，连接AP交菱形对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：△ABE≌△CBE；(2)如图①，当点P在线段BC上时，且BP＝2，求△PEC的面积；(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CE⊥EP，求线段BP的长．18. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF ＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．2021中考数学 专题训练：矩形、菱形 -答案一、选择题 1. 【答案】C2. 【答案】C【解析】本题考查了四边形裁剪问题中的最值问题 .使剩余面积最小的剪法如解图所示，S △ABG ＝12AB ·BG ＝12×4×4＝8，∵AD ＝6，∴AE ＝ED ＝32，∴EF ＝DF ＝3，∴S △AED ＝12AE ·ED ＝12×32×32＝9，S △EDF ＝12EF ·DF ＝12×3×3＝4.5，∴S 剩余部分＝S 矩形ABCD －S △ABG －S △AED －S △EDF ＝4×6－8－9－4.5＝2.5.解图3. 【答案】A【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.4. 【答案】B [解析]∵∠ABD=∠CDB ，∴AB ∥CD ， ∵O 是BD 的中点，∴BO=DO ， 又∠AOB=∠COD ，∴△AOB ≌△COD ， ∴AB=CD ，又AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵AB=AD ，∴四边形ABCD 是菱形. ∴AC ⊥BD.在Rt △ABO 中，BO=BD=4，AO===3，∴AC=2AO=6，∴四边形ABCD 的面积为AC ·BD=×6×8=24.故选B .5. 【答案】C【解析】逐项分析如下表：选项 逐项分析正误A 有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形 ×B 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形× C 对角线相等的平行四边形是矩形√ D 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形×6. 【答案】A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.7. 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠ACD ＝∠BAC ，由折叠的性质可得∠BAC ＝∠EAC, ∴∠ACD ＝∠EAC ，∴AE ＝CE .B 【解析】逐项分析如下表： 选项 逐项分析 正误A ∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B 只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立× C 由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB＝DC ，∴AB ＝AF√D ∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √ 9. 【答案】A 【解析】如解图，由折叠的对称性可知，∠A ＝∠J ，∠C ＝∠M ，四边形MNJK 和四边形BENF 都是菱形，则BE ＝NE ，AE ＝JE ，∵菱形MNJK 与菱形ABCD 相似，且菱形MNJK 的面积是菱形ABCD 面积的116，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫JN AB 2＝116，∴JN AB ＝14，设JN ＝a ，EN ＝b ，则AB ＝4a ，∵AB ＝AE ＋EB ＝EJ ＋EN ＝JN ＋EN＋EN ＝JN ＋2EN ＝a ＋2b ，∴a ＋2b ＝4a ，∴a ＝23b ，AE BE ＝a ＋b b ＝53.10. 【答案】D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12xy ＝－15x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．解图二、填空题11. 【答案】12 [解析]设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a ，b (b>a )，则由图②，图③可列方程组解得所以菱形的面积S=×4×6=12.故答案为12.12. 【答案】15【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB ＝15°.解图13. 【答案】70°[解析]依题意∠B=∠B'=∠B'MD +∠B'EA=90°，所以∠B'EA=90°-50°=40°，所以∠B'EB=180°-∠B'EA=140°，又∠B'EF=∠BEF ，所以∠BEF=∠B'EB=70°，故应填:70°.14. 【答案】4.8【解析】∵S菱形＝12AC·BD＝2AB·DH，∴AC·BD＝2AB·DH.∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝12AC＝4，BO＝12BD＝3，∴在Rt△AOB中，AB＝42＋32＝5，∴DH＝8×62×5＝4.8.15. 【答案】菱[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，在Rt△ABG中，BG===，由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，∴PE+PF的最小值=.三、解答题16. 【答案】证明：(1)∵AD∥EF，∴∠FEB＝∠2.∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.∴BF＝EF.∵BF＝BC，∴BC＝EF.∴四边形BCEF是平行四边形．∵BF ＝BC.∴四边形BCEF 是菱形． (2)∵EF ＝BC ，AB ＝BC ＝CD ，AD ∥FE.∴四边形ABEF 、四边形CDEF 均为平行四边形， ∴AF ＝BE ，FC ＝ED.又∵AC ＝2BC ＝BD.∴△ACF ≌△BDE.17. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ， ∴△ABE ≌△CBE (SAS)；(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55， ∴AO ＝OC ＝5， ∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45， ∵12AC ·BD ＝BC ·AH ， 即12×25×45＝5AH ， ∴AH ＝4， ∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP ，∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ， 即AP PE ＝5＋22＝72，∴AP ＝72PE ， 又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ， ∴EF AH ＝PE AP ，∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127； (3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ， ∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°， ∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ， ∴AD BP ＝DE BE ， ∴5BP ＝535，∴BP ＝15.18. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ，∴14△△AEF ACB S S=， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ，∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5，∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ，∴∠CAB ＝∠CEM ，∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5，∴445-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝（209）2－（169）2＝43， ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ， 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CMAC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109， ∴EF ＝2OE ＝4109.。
矩形和菱形的性质与判定经典例题试
矩形和菱形的性质与判定经典例题试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一课时——矩形的性质 矩形的性质：边角对角线对称性练一练： 1、矩形的两条对角线把矩形分成 个等腰三角形．2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．两组对边分别相等C ．相邻两角互补D ．对角线相等3.已知E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，那么S △AED =________S 矩形ABCD （ ）A.21B.41C.51D.61 4.在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且CE =DE ，若AB =2AD ，则∠ADE 等于（ ）A.45°B.30°C.60°D.75°【探究三】直角三角形斜边上的中线性质1、根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：2、归纳我们已学过的直角三角形的性质：角：边：斜边上的中线：边与角：练一练：1、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°，那么这个直角三角形的较小的内角是 度．精讲精练例1、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。
变式：已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC =________.例2、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，求PE+PF 的值。
例3、如图,延长矩形的边CB 至E ，使CE=CA,F 是AE 的中点，求证：BF FD ⊥三、用中学习：1.如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A.98B.196C.280D.2842.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A.16B.22C.26D.22或263.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.4.矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC 的周长少4 cm，则AB=_______，BC=_______.V的两条高，M、N分别是BC、DE的中点，MN与DE有5、如图，已知BD、CE是ABC怎样的位置关系。
初二数学矩形菱形经典习题
第1页共4页A 、对角线互相垂直且相等的四边形B 、一条对角线平分一组对角的矩形矩形，菱形例1、如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是CD 的中点，△ ABE 是等边三角形，求 证：四边形ABCD 是矩形。
角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等, 且有一个直角的四边形是矩形； （7） —组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形； （8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中，正确的个数有（） A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个3、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）B 、对角线互相平分D 、每一条对角线所在直线都是它的对称轴4、 下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（ ）A 、对角线互相平分的四边形B 、对角线互相垂直且平分的四边形C 、对角线相等的四边形D 、对角线相等且互相垂直的四边形5、 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）7、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A 、对角线相等 B 、对角线互相垂直平分C 、四条边相等D 、一条对角线平分一组对角8、下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（）例3、如图①，四边形 ABCDI 正方形，点G 是BC 上任意一点，DEL AG 于点E BF 丄AG 于点F . 求证：DE-BF = EF .当点G 为BC 边中点时，试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由. 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变•请你在图②中画出图形，写出此时 （不需要证明）.DE BF EF 之间的数量关系D图① （一）选择题1、 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）. A 、对角线相等 B 、对边相等 C 、对角相等 D 、对角线互相平分2、 下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形; B图②（3）有一个A 、对边平行且相等 C 、内角和等于外角和A 、AB=CDB 、AC=BDC 、当AC 丄BD 时，它是菱形 6、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A.四个角都是直角B •对角线互相平分C •对角线相等D 、当/ ABC=90 °时，它是矩形D •对角线互相垂直9、下列命题中，假命题是（C 对角线相等的棱形第2页共4页 对角线互相垂直的矩形A 、四个内角都相等的四边形是矩形 、四条边都相等的平行四边形是正方形 C 既是菱形又是矩形的四边形是正方形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形10、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点, 能判定四边形是正方形的条件是（AC=BD AB//CDB 、AD//BC £A = £C C AO = BO =CO = DO ， AC _ BDD 、AO = CO ， BO = DO ，AB 二 BC120°，若一条对角线的长为 2,那么矩形的周长为（ （1+ 3 ）D 5.2ABCD 勺周长为8,两邻角的比为2 ： 1,则对角线的长分别为 （12 ~513 TD 、224、已知：如图，在 □ ABCD 中, O 为边AB 的中点，且/ AOD M BOC 求证：□ ABCD 是矩形.25、已知菱形ABCD 中, AC 与BD 相交O 点，若/ BDC=0° 菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.矩形的两条对角线所成的钝角是 11、C 、2 A B 、5.812、A 13、C 、矩形D 正方形 ） 、6 如图，菱形 、4和2 如图，矩形 的形状最准确的判断是（ ）A 、2015、如图，在矩形 B 、 24C 、 25D 、 26ABCD 中 ,AB=3,AD=4,P 是 AD 上一动点,PF 丄 AC 于 F,PE 丄 BD 于 E,则 PE+PF 的B 、1 和 2 3C 、2 和 2 3D 、2 和 3 ABCD 勺对角线AC 的中垂线与 AD BC 分别交于F 、E,则四边形 14、如图，设F则 S A CBE =（ AD 上一点,CEC23、如图，E 是正方形 ABCD 内一点,如果△ ABE 为等边三角形,那么/ DCE=22、点M 为矩形ABCD 勺边AD 的中点,P 为BC 上一点,且PE! MC,P 吐MB,当AB AD 满足 条件_______________ 时,四边形PEMF 是矩形。
初二数学菱形、矩形复习题(含答案)汇编
初二数学菱形、矩形复习题矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：判定：1．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为____________2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF 等于________3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是_______________4．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为________________5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为________________6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为_________________7．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有________________8．如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60°，则对角线长是．9．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．10．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G 分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为．11．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．12．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．13．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为．14．如图，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= ．16．下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为（注：把你认为正确的命题序号都填上）17．如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足（关系）时，四边形EFGH为矩形．18．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于．20．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= 时，四边形APQD也为矩形．21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形CDGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．22．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．24．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC 的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF．（1）求证：AF=DC；（2）请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．25．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．26．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF 是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ 是菱形．27．矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G，求证：FH+FG=AD．28．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB 于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．29．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P （点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？30．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC 于F，连接EF．（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．31．阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？32．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．33．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．34．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．35．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．36．如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC 的延长线上．（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN 是平行四边形．37．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．参考答案矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：1．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为__________【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，BC=AD，OA=OC=OB=OD，AD∥BC，∴∠EDO=∠FBO，．∵矩形ABCD的周长为20cm，∴BC+DC=10cm，∵EF⊥AC，∴CE=CF，在△ODE和△OBF中，，∴△ODE≌△OBF（ASA），∴DE=BF，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=BF+CF+DC=BC+DC=10cm．2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF 等于______【解答】解：方法一：设AP=x，PB=3﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；∴△AEP∽△ABC，故=①；同理可得△BFP∽△DAB，故=②．①+②得=，∴PE+PF=．方法二：（面积法）如图，作BM⊥AC于M，则BM==，∵S△AOB=S△AOP+S△POB，∴•AO•BM=•AO•PE+•OB•PF，∵OA=OB，∴PE+PF=BM=．3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是______________【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD=8，OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=4，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠EDC=67.5°，∴∠ODC=∠OCD=67.5°，∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，∴∠COD=45°，∴OE=DE，∵OE2+DE2=OD2，∴2DE2=OD2=16，∴DE=2．4．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为_____________【解答】解：连接EF，∵S△ABF=S△EBF∴S△EFG=S△ABG=15；同理：S△EFH=S△DCH=20∴S阴影=S△EFG+S△DCH=15+20=35．5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为________________ 【解答】解：菱形的面积为：×6×8=24．6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为___________ 【解答】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，∴∠ABC=60°，∠BAD=120°，∵周长为16，∴边长AB=4，∴菱形的对角线AC=4，BD=2×4sin60°=4，∴面积=AC•BD=×4×4=8．7．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有___________【解答】解：①正确∵E、F分别是OA、OC的中点．∴AE=OE．∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．∴EF⊥OD，OE=OF．∵OD=OD．∴DE=DF．同理：BE=BF∴四边形BFDE是菱形．③正确∵菱形ABCD的面积=AC×BD．∵E、F分别是OA、OC的中点．∴EF=AC．∴菱形ABCD的面积=EF×BD．④不正确由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．∴△DEO≌△DFO．∴△DEF是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤8．如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60°，则对角线长是10 ．【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AO=BO，∵AC、BD的夹角是60°，∴△ABO是等边三角形，∴AO=AB=5，∴对角线AC=2AO=2×5=10．故答案为：10．9．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，此时AM=AP，由勾股定理知BC==5，∵S△ABC=AB•AC=BC•AP，∴AP==，∴AM=AP=．10．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G 分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为1：1 ．【解答】解：连接HF，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠D=90°∵H、F分别为AD、BC边的中点，∴DH=CF，DH∥CF，∵∠D=90°，∴四边形HFCD是矩形，∴△HFG的面积是CD×DH=S矩形HFCD，即S△HFG=S△DHG+S△CFG，同理S△HEF=S△BEF+S△AEH，∴图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比是1：1，故答案为：1：1．11．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．【解答】解：连接FH、EG；∵AF=CG=2，AE=CH=4﹣1=3，∠A=∠C=90°，∴△AEF≌△CHG，S△AEF=S△CHG=3；同理可证：△FHD≌△GEB，S△FHD=S△GEB=1.5；∴FH=EG，EF=GH，即四边形EFHG是平行四边形；且S平行四边形=S矩形﹣2S△AEF﹣2S△FHD=11；过P作EF、GH的垂线，交EF于M，GH于N；则S△EFP+S△GHP=EF（PM+PN）=EF•MN=S▱EFHG=．故答案为：．12．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，∴AG=DG，∴∠ADG=∠DAG，∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，∵∠AED=2∠CED，∴∠AED=∠AGE，∴AE=AG=4，在Rt△ABE中，AB===．故答案为：．13．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是1+；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为1+．【解答】解：取AB的中点M，连OM，PM，在Rt△ABO中，OM==1，在等边三角形ABP中，PM=，无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，∵O到AB的最大值是AB=1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理得：PM==，∴OP=1+，将△AOP的PA边长改为，另两边长度不变，∵22+22=，∴∠PBA=90°，由勾股定理得：PM==，∴此时OP=OM+PM=1+．故答案为：1+，1+．14．如图，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为4．【解答】解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是菱形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵ABC=120°，∴∠BCD=60°，∴△BCD是等边三角形，∵E是BC的中点，∴DE⊥BC，CE=BC=×8=4，∴DE===4．故答案为：4．15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= 5 ．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD=DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，即BG=5．故答案是：5．16．下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为①③④（注：把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确．故答案为：①③④．17．如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足AB=AD （关系）时，四边形EFGH为矩形．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．∵AE=AF，∴∠AFE=∠AEF=45°．又∵EH⊥EF，FG⊥EF∴∠GFB=∠HED=45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．如果四边形EFGH是矩形，则EH=FG，∴ED=FB又∵AE=AF，∴AD=AB．故答案是：AD=AB．18．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是18．【解答】解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，∴DF为三角形ABC的中位线，∴DE∥BC，DF=BC，又∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF=90°，又BE⊥DE，DE⊥AC，∴∠CDE=∠E=90°，∴四边形BCDE为矩形，∵BC=6，∴DF=BC=3，在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=3，∴tan30°=，即AD=3，∴CD=AD=3，则矩形BCDE的面积S=CD•BC=18．故答案为：18．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于 2.4 ．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，连接CD，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形EDFC是矩形，∴EF=CD，∠EDF=90°，∵点Q是EF的中点，∴DQ=EF=CD，当CD最小时，则DQ最小，根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD最小，∴DQ=EF=CD=×=2.4，故答案为：2.4．20．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= 4 时，四边形APQD也为矩形．【解答】解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20﹣t，解得t=4（s）．故答案是：4．21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是①④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形CDGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD=DE，∴AB=DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG=DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG=CD=AB，①正确；∵AB∥CE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD=∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB=OD，AG=DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG=AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，∴S四边形ODGF=S△ABF；不正确；正确的是①④．故答案为：①④．22．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∠A=∠D，∴∠A=∠D=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；（2）解：延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE=BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，若CE=4，CF=5，设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，即DF=．24．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC 的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF．（1）求证：AF=DC；（2）请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，又∵E为AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=DC；（2）解：当AD=CF时，四边形AFDC是矩形；理由如下：由（1）得：AF=DC且AF∥DC，∴四边形AFDC是平行四边形，又∵AD=CF，∴四边形AFDC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．25．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BCE，F分别为AB，CD的中点，∴BE=AB，DF=CD，∴BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形在△ABD中，E是AB的中点，∴AE=BE=AB=AD，而∠DAB=60°∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，故DE=BE∴平行四边形DEBF是菱形．（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：∵AD∥BC且AG∥DB∴四边形AGBD是平行四边形由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，∠EDB=∠DBE=30°故∠ADB=90°∴平行四边形AGBD是矩形．26．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF 是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ 是菱形．【解答】证明：∵AC=AD，AF是CD边上的中线，∴∠AFC=90°，∴∠ACF+∠CAF=90°，∵∠ACF+∠PCA=90°，∴∠PCA=∠CAF，∴PC∥AQ，同理：AP∥QC，∴四边形APCQ是平行四边形．∵AF∥CP，AE∥CQ，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴CE=BE=CB（等腰三角三线合一），∵AF是CD边上的中线，∴CF=CD，∵CB=DC，∴CE=CF，∵PC⊥CD，QC⊥BC，∴∠ECP+∠PCQ=∠QCF+∠PCQ=90°，∴∠PCE=∠QCF，∴△PEC≌△QFC（AAS），∴PC=QC，∴四边形APCQ是菱形．27．矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G，求证：FH+FG=AD．【解答】证明：连接EF，如图所示：∵FH⊥AE于H，FG⊥CD于G，∴△ACE的面积=△AEF的面积+△CEF的面积=AE•FH+CE•FG，∵AE=CE，∴△ACE的面积=CE（FH+FG），又∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴△ACE的面积=CE•AD，∴FH+FG=AD．28．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB 于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明∵AC=9 AB=12 BC=15，∴AC2=81，AB2=144，BC2=225，∴AC2+AB2=BC2，∴∠A=90°．∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP=∠AHP=90°，∴四边形AGPH是矩形；（2）存在．理由如下：连结AP．∴GH=AP．∵当AP⊥BC时AP最短．∴9×12=15•AP．∴AP=．29．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P （点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，∴四边形AEPQ为平行四边形，∴∠BAD=∠EPA，∵AB=AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠EPA，∴EA=EP，∴四边形AEPQ为菱形．（2）解：P为EF中点，即AP=AD时，S菱形AEPQ=S四边形EFBQ∵四边形AEPQ为菱形，∴AD⊥EQ，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴EQ∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形EFBQ为平行四边形．作EN⊥AB于N，如图所示：则S菱形AEPQ=EP•EN=EF•EN=S四边形EFBQ．30．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC 于F，连接EF．（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，GF⊥BC，∴∠ADF=∠GFC=90°，∴AE∥GF，在△ABG和△FBG中，，∴△ABG≌△FBG，∴AG=FG，∵∠FBG+∠BED=90°，∵∠BED=∠AEG，∴∠FBG+∠AEG=90°，∵∠ABG+∠AGE=90°，∵∠ABG=∠FBG，∴∠AEG=∠AGE，∴AE=AG，∴AE=FG，∴四边形AEFG是平行四边形，∵AE=AG∴四边形AEFG是菱形．（2）解：∵四边形AEFG是菱形，∴AE=AG，∵BE=EG，∠BAG=90°，∴AE=BE=EG，∴△AEG是等边三角形，∴∠AGE=60°，在RT△ABG中，∵∠ABG=30°，∴AB=AG，∵∠C=30°，∴BC=2AB，∴BE=GE，EF∥AC，EM∥BC，∴BF=FC，CM=GM，在RT△AEM中，∵∠AME=∠C=30°，∠GEM+∠GME=60°，∴∠GEM=∠GME=30°，∴EG=AG=GM=CM，∵EM∥FC，EF∥CM，∴四边形EFCM是平行四边形，∴AB=BF=CF=EM=CM，∴是CM长倍的所有线段有AB、BF、CF、EM．31．阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1= S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 1 个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 3 个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？【解答】解：（1）=（2）1（3）3（4）以AB为边长的矩形周长最小，设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个矩形的面积相等，设为S，∴L1=+2a；L2=+2b；L3=+2c．。
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矩形，菱形
例1、如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。
例3、如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.
(1) 求证：DE－BF = EF．
(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．
(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关
系（不需要证明）．
（一）选择题
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）.
A、对角线相等
B、对边相等
C、对角相等
D、对角线互相平分
2、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有（）
A、3 个
B、4个
C、5个
D、6个
3、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A、对边平行且相等
B、对角线互相平分
C、内角和等于外角和
D、每一条对角线所在直线都是它的对称轴
4、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )
A、对角线互相平分的四边形
B、对角线互相垂直且平分的四边形
C、对角线相等的四边形
D、对角线相等且互相垂直的四边形
5、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是( )
A、AB=CD
B、AC=BD
C、当AC⊥BD时，它是菱形
D、当∠ABC=90°时，它是矩形
6、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）。
A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直
7、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）。
A、对角线相等
B、对角线互相垂直平分
C、四条边相等
D、一条对角线平分一组对角
B E
D
C
F
A 8、下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。
A 、对角线互相垂直且相等的四边形
B 、一条对角线平分一组对角的矩形
C 、对角线相等的棱形
D 、对角线互相垂直的矩形 9、下列命题中，假命题是（ ）。
A 、四个内角都相等的四边形是矩形
B 、四条边都相等的平行四边形是正方形
C 、既是菱形又是矩形的四边形是正方形
D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 10、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。
A 、BD AC =，CD A
B // B 、B
C A
D //，C A ∠=∠
C 、
DO CO BO AO ===，BD AC ⊥ D 、CO AO =，DO BO =，BC AB =
11、矩形的两条对角线所成的钝角是120°，若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为（ ） A 、6 B 、5.8
C 、2（1+ 3 ）
D 、5.2
12、如图，菱形ABCD 的周长为8,两邻角的比为2∶1，则对角线的长分别为（ ）
A 、4和2
B 、1和2 3
C 、2和2 3
D 、2和 3
13、如图，矩形ABCD 的对角线AC 的中垂线与AD 、BC 分别交于F 、E,则四边形AFCE 的形状最准确的判断是（ ） A 、平行四边形
B 、菱形
C 、矩形
D 、正方形
14、如图，设F 为正方形ABCD 的边AD 上一点,CE ⊥CF 交AB 的延长线于E,若S 正方形ABCD =64，S △CEF =50，
则S △CBE =（ ） A 、20
B 、24
C 、25
D 、26
15、如图，在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上一动点,PF ⊥AC 于F,PE ⊥BD 于E,则PE+PF 的值为（ ）
A 、12
5
B 、13
5
C 、52
D 、2
24、已知：如图，在□ABCD 中，O 为边AB 的中点，且∠AOD=
∠BOC ．求证：□ABCD 是矩形．
A
B C
D
O 第13题
第14题 第15题 第
B
A
C
D
O
P
H
D C
B
A
F
E
D
C
B A
F
E
D C
B
A
25、已知菱形ABCD 中，AC 与BD 相交O 点，若∠BDC=030,菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.
23、如图,E 是正方形ABCD 内一点,如果△ABE 为等边三角形,那么∠DCE= _______________
22、点M 为矩形ABCD 的边AD 的中点,P 为BC 上一点,且PE ⊥MC,PF ⊥MB,当AB 、AD 满足条件__________时,四边形PEMF 是矩形。
1. 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.
2. 如图, 矩形ABCD 的周长为16cm, DE=2cm, 若△CEF 是等腰直角三角形, 那么这个三角形的面积为______________.
3. 如图, 在矩形ABCD 中, AD=12, AB=7, DF 平分∠ADC, AF ⊥EF, (1)求EF 长; (2)在平面上是
否存在点Q, 使得QA=QD=QE=QF? 若存在, 求出QA 的长; 若不存在, 说明理由.
11.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD 重叠，求图中阴影部分的面积.
A
B C
D
O A
B
C
D E
第23题图
C D
A
B
E
12.如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．
13. 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ， 求证：四边形PQMN 是矩形．
★14. 如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点． 求证：BF DF ⊥．
★15. 如图，矩形ABCD 中，CE BD ⊥于E ，AF 平分BAD ∠交EC 于F ， 求证：CF BD =．
H
G O
F
E
D
C
B A
N
M
Q
P
D
C
B
A
A
B
C
E F
D
D
A
B
C
E
10.如图，四边形ABDC中，∠ABC=∠ADC=90°，M、E分别是AC，BD的中点，
求证：(1)MD=MB；(2)ME⊥BD
E
M
C D
B A。