八年级数学菱形经典题
人教版八年级数学下册 18.2.2.1菱形的性质 同步练习(包含答案)
人教版八年级数学下册18.2.2.1 菱形的性质同步练习一、选择题（共10小题，3*10=30）1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．(2019·贵阳)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm3. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是()A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．BD＝DC D．AD＝BD4. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是()A．4 3 B．3 3 C．2 3 D. 35. 如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′. 当CA′的长度最小时，CQ的长为()A．5 B．7 C．8 D. 106.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则AE的长为()A．4B．4.8 C．2.4D．3.27. 已知菱形的周长为4 5 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( )A ．2 B. 5 C ．3 D ．48. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AC ＝4，BD ＝16，将△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C 重合时，点A 与点B′之间的距离为( )A ．6B ．8C ．10D ．129. 如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( )A ．245B ．125C ．5D ．410．如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE ＝1，AF ＝2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP ＋FP 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 菱形的两条对角线长分别是5和12，则此菱形的边长是_______，面积是_______．12．在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AB ＝7 cm ，则周长是________cm.13. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠ABC ＝110°，则∠BAD ＝________°， ∠ABD ＝________°，∠BCA ＝________°.14．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为_______．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为________．16．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为_______．17. 如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于________.18. 如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD 的周长为________.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，已知菱形的周长为40 cm，两邻角度数之比为1∶2.(1)求菱形的两条对角线的长；(2)求菱形的面积．20．(6分) 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：OE＝BC.21．(6分) 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE，若∠E＝50°，求∠BAO的大小．22．(6分) 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF.23．(6分) 如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.24．(8分) 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，∠DAC＝30°，BD＝12(1)求∠ABC的度数；(2)求菱形ABCD的面积．25．(8分) 在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．参考答案1-5DABBB 6-10 DDCAC11. 6.5，3012. 2813. 70，55，3514. 24 15. 2 316. 1217．4518．2419. 解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，两邻角度数之比为1∶2， ∴∠ABC=∠BAC=60°又∵菱形的周长为40 cm ，AC ＝AB=10 cm ，BD ＝2BO=2×AB 2-AO 2 =2×102-52 =10 3 cm(2)S 菱形＝12BD·AC ＝50 3 cm 2 20. 解：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠DOC ＝90°，∴四边形OCED 是矩形，∴OE ＝CD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝BC ，∴OE ＝BC21. 解：菱形ABCD 中，AB ＝BC ，∵BE ＝AB ，∴BC ＝BE ，∴∠BCE ＝∠E ＝50°，∴∠CBE ＝180°－50°×2＝80°，∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝∠CBE ＝80°，∴∠BAO ＝12×80°＝40°. 22. 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∵点E 、F 分别为边CD 、AD 的中点，∴AD ＝2DF ，CD ＝2DE ，∴DE ＝DF ，在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ，DE ＝DF ，∴△ADE ≌△CDF(SAS)．23. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC ， ∴∠BPA ＝∠DAE ，∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE ，∵∠ABF ＝∠BPF ，∠BPA ＝∠DAE ，∴∠ABF ＝∠DAE ， ∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA)(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF ，∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF24. 解：(1)∵菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠DAC ＝30°， ∴∠BAD ＝2∠DAC ＝60°，∵AD ∥BC ，∴∠ABC ＝180°－60°＝120°；(2)∵菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，BD ＝12，∴AC ⊥BD ，DO ＝12BD ＝6， 又∵∠DAC ＝30°，∴AD ＝2DO ＝12，∴Rt △AOD 中，AO ＝122－62＝63，∴AC ＝2AO ＝123，∴菱形ABCD 的面积＝12×AC×BD ＝12×12×123＝72 3. 25. 解：(1)连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∵∠AEF ＝60°，∴∠FEC ＝90°－60°＝30°，∵∠C ＝180°－∠B ＝120°，∠C ＋∠EFC ＋∠FEC ＝180°， ∴∠EFC ＝30°，∴∠FEC ＝∠EFC ，∴CE ＝CF ，∵BC ＝CD ，∴BC －CE ＝CD －CF ，即BE ＝DF(2)连接AC ，由(1)得△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ， ∵∠BAE ＋∠EAC ＝60°，∠EAF ＝∠CAF ＋∠EAC ＝60°，∴∠BAE ＝∠CAF ，∵四边形ABCD 是菱形，∠B ＝60°，∴∠ACF ＝12∠BCD ＝∠B ＝60°， ∴△ABE ≌△ACF(ASA)，∴AE ＝AF ， 又∵∠EAF ＝60°，∴△AEF 是等边三角形。
人教版八年级下册数学 18.2.2菱形 同步习题
18.2.2菱形同步习题一．选择题1．菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为（）A．10cm B．10cm C．5cm D．5cm2．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为菱形的是（）A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB 3．菱形不具备的性质是（）A．对角线一定相等B．对角线互相垂直C．是轴对称图形D．是中心对称图形4．如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为（）A．4B．8C．16D．165．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（）A．36°B．54°C．64°D．72°6．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，若∠BAD＝70°，则∠CFD等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°7．如图，菱形ABCD中，在边AD、BC上分别截取DM＝BN，连接MN交AC于点O，连接DO，若∠BAC＝20°，则∠ODC的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．70°8．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8，过BD的中点O作AD的垂线，交AD 于点E，交BC于点F，连接DF，则DF的长度为（）A．B．C．D．9．如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°10．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B 到AE的距离是（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD，BC上，且DE＝BF，则再添加一个条件：可判定四边形AFCE是菱形．（只添加一个条件）12．在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD 的面积是cm2．13．如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BAC＝25°，则∠OED的度数是．14．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6．过点D作BA的垂线，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为．15．如图，菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBC＝80°，则∠ACB＝°．三．解答题16．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB，点E、F分别是BC、DA的中点．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝2，求BD的长．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝5，BD＝6，求CE的长．18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且2DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接DE、OE．（1）求证：AF＝EF；（2）已知AB＝2，若AB＝2DE，求AE的长．参考答案一．选择题1．解：菱形ABCD如右图所示，∵菱形ABCD的周长为40cm，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10cm；∵对角线BD＝10cm，∴BO＝DO＝5cm；在Rt△ADO中，AO＝＝＝．∴AD＝2AO＝．故选：A．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选：B．3．解：根据菱形的性质可知：菱形的对角线互相垂直平分；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．进行的对角线相等，而菱形不具备对角线一定相等．故选：A．4．解：∵菱形ABCD中，∠D＝135°，∴∠BCD＝45°，∵BE⊥CD于E，FG⊥BC于G，∴△BFG与△BEC是等腰直角三角形，∵∠GCF＝∠ECF，∠CGF＝∠CEF＝90°，CF＝CF，∴△CGF≌△CEF（AAS），∴FG＝FE，CG＝CE，设BG＝FG＝EF＝x，∴BF＝x，∵△BFG的周长为4，∴x+x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BE＝2，∴BC＝BE＝4，∴菱形ABCD的面积＝4×2＝8，故选：B．5．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AO＝CO，又∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°，故选：B．6．解：连接BF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，BC＝DC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠DCF＝∠ABF＝∠BAC＝35°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝110°﹣35°＝75°，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF＝∠CBF＝75°，∴∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF＝180°﹣75°﹣35°＝70°，故选：C．7．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠OAM＝∠OCN，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴OA＝OC，∵四边形ABCD是菱形，∴点O为BD与AC的交点，∵∠ACD＝∠BAC＝20°，∴∠ODC＝90°﹣∠ACD＝70°．故选：D．8．解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，O是BD的中点，∴OD＝OB＝BD＝4，AD＝AB＝5，AC⊥BD，∴OA＝＝3，∵OE⊥AD，∴△AOD的面积＝AD×OE＝OA×OD，∴OE＝＝＝，同理：OF＝，∴EF＝OE+OF＝，∵DE＝＝＝，∵EF⊥AD，∴DF＝＝＝；故选：D．9．解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故选：A．10．解：过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，∵菱形ABCD中，AB＝2，∴BC＝2，∵BE＝2EC，∴BE＝，CE＝，∵∠D＝120°，∴∠ABE＝120°，∴∠EBF＝60°，∴BF＝BE＝，EF＝，∴AF＝AB+BF＝2+＝，∴AE＝＝＝，∵S△ABE＝AB•EF，∴BH＝＝＝．故选：A．二．填空题11．解：添加AE＝AF，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，又∵DE＝BF，∴AE＝FC．∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AE＝AF，∴四边形AFCE是菱形．故答案为：AE＝AF．12．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6cm，OB＝OD，∴OB＝＝＝8（cm），∴BD＝2OB＝16cm，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96（cm2）．故答案为：96．13．解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAC＝25°，∴∠ABC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝65°．∵DE⊥BC，在Rt△BDE中，OE＝BE＝OD，∴∠OEB＝∠OBE＝65°．∴∠OED＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．14．解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝6．∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，AC⊥BD，OA＝OC＝3，∴OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8，∵，∴＝5DE，解得，DE＝，故答案为：．15．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DAC＝∠BAC，∴∠AFB＝∠FBC＝80°，∠DAC＝∠ACB，∵EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠F AB＝∠FBA＝（180°﹣∠AFB）＝50°，∴∠DAC＝∠BAC＝25°，∴∠ACB＝25°，故答案为：25．三．解答题16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD．∵E，F分别是BC，AD的中点∴BE＝CE＝BC，AF＝AD，∴CE＝AF，CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形，∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝CE，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：作BG⊥AD于G，如图所示：则∠ABG＝90°﹣∠ABC＝30°，∴AG＝AB＝1，BG＝AG＝，∵AD＝BC＝2AB＝4，∴DG＝AG+AD＝5，∴BD＝＝＝2．17．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝BD＝3，∴OA＝＝＝4，∴AC＝2OA＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24，∵CE⊥AB，∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝5CE＝24，∴CE＝．18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，∵2DE＝AC，∴DE＝OA，又∵DE∥AC，∴四边形OADE是平行四边形，∴AF＝EF；（2）解：连接CE，∵DE∥OC，DE＝OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∴∠OCE＝90°，又∵AB＝2DE＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，AO＝AC＝1，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝，∴在Rt△ACE中，AE＝＝．。
数学人教版八年级下册期末复习专项练习05菱形答案及解析
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！数学人教版8年级下册期末复习真题汇编卷菱形一、单选题1．（2022春·河南鹤壁·八年级统考期末）如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边BC AD 、上，将边AB 沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠、点D 恰好落在AC 上的点N 处，若四边形AECF 是菱形，则BAE Ð的度数为（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°2．（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ^于H ，则DH 等于（）A ．125B ．65C ．5D ．2453．（2023春·江苏·八年级期末）如图，菱形ABCD 的对角线BD 长度为4，边长AB =M 为菱形外一个动点，满足BM DM ^，N 为MD 中点，连接CN ．则当M 运动的过程中，CN 长度的最大值为（）A．1B．12+C．1D．2 4．（2023秋·云南楚雄·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，E为AB边的中点，若菱形的周长为24，则OE的长是（）A．1B．20C．3D．4 5．（2023秋·重庆·九年级校考期末）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE BC^，交BC于点E，若4AC=，6BD=，则BE的长度是（）A B C．1310D．756．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）菱形和矩形都具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角7．（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）如图，在ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE AC∥，DF AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD BC^，则四边形AEDF是矩形B ．若BD CD =，则四边形AEDF 是菱形C ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形D ．若AD 平分BAC Ð，则四边形AEDF 是菱形8．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 的交点与原点重合，顶点,A C 在x 轴上，,B D 在y 轴上，且()3,0C ，()0,4D ，若一只瓢虫从点A 出发以5个单位长度/秒的速度沿着A B C D A ®®®®循环爬行，则第2023秒瓢虫的位置在（）A ．()0,4B ．()3,0-C ．()0,4-D ．()3,09．（2022春·广东河源·八年级校考期末）已知菱形的周长等于40cm ，两对角线的比为3:4，则对角线的长分别是（）A ．12cm ，16cmB ．6cm ，8cmC ．3cm ，4cmD ．24cm ，32cm10．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若添加一个条件，使得ABCD Y 一定为菱形，该条件是（）A ．90ABC Ð=°B ．AC BD =C ．AC BD ^D ．ABD CDBÐ=Ð11．（2023秋·甘肃白银·九年级校考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．若6AC =，8BD =，AE BC ^，垂足为E ，则AE 的长为（）A ．12B ．14C ．245D ．48512．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期末）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且68AC DB ==，，AE BC ^于点E ，则AE =（）A ．6B ．8C ．245D ．48513．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，在菱形ABCD中，120ABC Ð=°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB PE +则PE 的最小值为（）A ．2BC ．1D ．0.514．（2023秋·四川巴中·九年级统考期末）如图，已知菱形ABCD 的周长为两条对角线AC 、BD 的和为8，则菱形ABCD 的面积为（）A ．6B ．12C ．D ．15．（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，60ABC Ð=°，2BC AB =．下列结论：①·ABCD S AB AC =；②4AD OE =；③EF AC ^；④14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题16．（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF ．若2EF =，3BD =，则菱形ABCD 的面积为________.17．（2019春·山东德州·八年级校联考期末）菱形ABCD 中，对角线8AC =，6BD =，则菱形的边长为____________．18．（2021春·北京东城·八年级统考期末）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC Ð=°，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP AP +的最小值为___________．19．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD 中，60A Ð=°，6AB =．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB AD 、交于点E 、F ．当点M 在BC 上时，DF 长的最大值为__________．20．（2021春·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD BD 、的中点，若2EF =，则BC 长为________．21．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）已知，菱形ABCD 中，60BAD Ð=°，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在菱形ABCD 的边上，且与顶点不重合，若OE OB =，则EOA Ð的度数为__________．22．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）菱形ABCD 的周长为32cm ，一条对角线长为12cm ，则另一条对角线的长为________cm ．23．（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，2410AC BD ==，，则菱形ABCD 的周长为___________．24．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 为AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），PE OA ^于点E ，PF OB^于点F ，若2,60AB BAD =Ð=°，则EF 的最小值为_______．25．（2023秋·甘肃酒泉·九年级统考期末）面积为224cm ，一条对角线长为6cm ，则这个菱形的周长是_________cm ．26．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）点E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若要使四边形EFGH 是菱形，则添加的条件可以是__________．现有条件：①90A Ð=°，②AB BC ^，③AC BD =，④AC BD ^．（请填写正确的序号）27．（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧交AD 于点E ，分别以点C 、E 为圆心，大于12CE 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AD 的延长线于点F ，60CBE Ð=°，4BC =，则BF 的长为______．28．（2022秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图，AOB 与COD △关于公共顶点O 成中心对称，连接AD ，BC ，添加一个条件____，使四边形ABCD 为菱形．29．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，菱形的边长ABCD 为10cm ，其中对角线AC 的长为16cm ，则菱形ABCD 的面积为_________2cm ．30．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，^于点E，则AE的长为___________．BD的长分别为6，8，过点A作AE CD三、解答题31．（2022春·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD ，．上一点，连接AE CE(1)求证：AE CE=；(2)若AE DE AE AB，，求ABD=^Ð的度数．32．（2023秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、∥交BE的延长线于H，连接CH与BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH BCDH．(1)求证：BCE HOE△≌△；(2)当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．33．（2018·浙江金华·八年级校联考期末）我们定义：我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形．(1)请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子．(2)如图1，B，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，已知四边形EFGH是菱形，求证：四边形ABCD是和美四边形；(3)如图2，四边形ABCD是和美四边形，对角线AC，BD相交于O，60Ð=°，AOBE、F分别是AD、BC的中点，求EF与AC之间的数量关系．34．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，在Rt ABCÐ=°，过△中，90ACB点C的直线∥MN AB，D为AB边上一点、过点D作DE BC^，交直线MN于E，垂足为F，连接CD BE、．(1)求证：CE AD=；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；S的面积．(3)在（2）的条件下，已知304ECB AC，，求三角形BECÐ=°=35．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE AB^于点F．^于点E，交AC于点P，BF DC(1)四边形DEBF 是；(2)若2,4BE BF ==，求DP 的长．36．（2022秋·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB Ð=°，点D 是边AB 的中点，连接CD ，过点C 作CE ∥AB ，过点B 作BE ∥CD ，CE ，BE 交于点E ．(1)判断四边形CDBE 是什么特殊的四边形，并证明；(2)直接写出当ABC 再满足什么条件时，四边形CDBE 是正方形．37．（2022秋·陕西榆林·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE CD ^于点E ，点F 在边AB 上，AF CE =，求证：四边形BFDE 是矩形．38．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，平行四边形ABCD 中，AO 平分BAC Ð，OB OC =，延长DC 与AO 交于点P ，连接BP ．(1)求证：CD CP =；(2)判断四边形ABPC的形状，并证明你的结论．39．（2023春·山东济南·八年级统考期末）已知：如图，在ABCDY中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE BF=，连接AE，AF，CF，CE．(1)求证：四边形AFCE为平行四边形；(2)若AC平分EAFOA=，求四边形AFCE的周长．Ð，60AECÐ=°，4参考答案1．A2．D3．A4．C5．B6．A7．D8．A9．A10．C11．C12．C13．D14．A15．A16．617．518．19．6-/-620．421．30°或150°22．23．522425．2026．①②③27．28．AD AB =（答案不唯一）29．9630．24531．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC ABD CBD =Ð=Ð，，在ABE 和CBE △中，AB BCABD CBD BE BE=ìïÐ=Ðíï=î，∴()@△△SAS ABE CBE ，∴AE CE =．（2）解：∵AB AD =，∴ABD ADB Ð=Ð，∵AE DE =，∴EAD ADB ABD Ð=Ð=Ð，∵AE AB ^，∴90BAE Ð=°，∵180ABD ADB DAE BAE Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴390ABD Ð=°，∴30ABD Ð=°．32．（1）证明：∵OH BC ∥，∴BCE HOE Ð=Ð，∵E 是OC 的中点，∴CE OE =，在BCE 和HOE 中，BCE HOECE OE BEC HEOÐ=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA BCE HOE △≌△；（2）解：当四边形ABCD 是矩形时，四边形OCHD 为菱形，理由如下：由（1）可知，BCE HOE △≌△，∴BE HE =，∵CE OE =，∴四边形BCHO 是平行四边形，∴CH OB =，CH OB ∥，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OC =，OB OD =，AC BD =，∴CH OD =，OC OD =，∴四边形OCHD 是平行四边形，又∵OC OD =，∴平行四边形OCHD 是菱形．33．（1）解： 矩形的对角线相等，\矩形是和美四边形；（2）如图1，连接AC 、BD ，E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，12EH BD FG \==，12EF AC HG ==， 四边形EFGH 是菱形，EH EF FG GH \===，AC BD \=，\四边形ABCD 是和美四边形；（3）12EF AC =，证明：如图2，连接BE 并延长至M ，使BE EM =，连接DM 、AM 、CM ，AE ED = ，\四边形MABD 是平行四边形，BD AM \=，BD AM ∥，60MAC AOB \Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是和美四边形，∴AC BD =，∴AM AC =，AMC \是等边三角形，CM AC \=，BMC △中，BE EM = ，BF FC =，1122EF CM AC \==．34．（1）证明：由题意知90DFB ACB Ð=Ð=°，∴∥DE AC ，∵AD CE ，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE AD =；（2）解：四边形BECD 是菱形；理由如下：∵在Rt ABC △中，D 在AB 中点，∴CD AD DB ==，∴BCD △是等腰三角形，∵DF BC ^，∴BF CF =，∴F 为BC 中点，∴DF 是ABC 的中位线，∴12DF AC =，∵四边形ADEC 是平行四边形，∴AC DE =，∴12DF DE =，∴DF EF =，∵BF CF =，DF EF =，DE BC ^，∴四边形BECD 是菱形；（3）解：∵30ECB Ð=°，∴30CBA Ð=°，∵4AC =，∴8AB =，4BD =，2EF DF ==，在Rt BDF △中，由勾股定理得BF ==，∴2BC BF ==，∴12BEC SBC EF =´´=∴BEC S 为35．（1）∵,DE AB BF DC ^^，∴90DEB BFD Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ，∴180DEB EDF Ð+Ð=°，∴90EDF DEB BFD Ð=Ð=Ð=°，∴四边形DEBF 是矩形，故答案为：矩形；（2）如图，连接PB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 垂直平分BD ，∴PB PD =，由（1）知，四边形DEBF 是矩形，∴4DE FB ==，设PD BP x ==，则4PE x =-，在Rt PEB △中，由勾股定理得：222(4)2x x -+=，解得：52x =，∴52DP =．36．（1）解：四边形CDBE 是菱形，证明：BE ∥CD ，CE ∥AB ，\四边形BDCE 是平行四边形．90ACB Ð=° ，CD 是AB 边上的中线，CD BD \=，\平行四边形BDCE 是菱形；（2）当ABC 是等腰直角三角形时，四边形CDBE 是正方形；理由如下：90ACB Ð=° ，当ABC 是等腰直角三角形，D 为AB 的中点，CD AB \^，90CDB \Ð=°，\四边形BECD 是正方形．37．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CD ∥，AB CD =．∵AF CE =，∴AB AF CD CE -=-，∴FB ED =．∴四边形BFDE 是平行四边形．∵BE CD ^，∴90BED Ð=°．∴四边形BFDE 是矩形．38．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AB DC ，∴BAO CPO Ð=Ð，在ABO 和PCO △中，BAO CPO BOA COP OB OC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AAS ABO PCO ≌△△，∴AB CP =，又∵AB CD =，∴CD CP =；（2）由（1）知()AAS ABO PCO ≌△△∴BAO CPO Ð=Ð，∴AB CP ∥，∵AO 平分BAC Ð，∴BAO CAO Ð=Ð，∴CAO CPO Ð=Ð，∴CA CP =，∵AB CP ∥，AB CP =，∴四边形ABPC 是平行四边形，∵AC CP =，∴四边形ABPC 是菱形．39．（1）证明： 四边形ABCD 为平行四边形，OA OC \=，OB OD =，又DE BF = ，OB BF OD DE \+=+，即：OF OE =，\四边形AFCE 为平行四边形；（2）解： 四边形AFCE 是平行四边形，AF CE \∥，AF CE =，AE CF =，FAC ACE \Ð=Ð，AC 平分EAF Ð，FAC CAE \Ð=Ð，ACE CAE \Ð=Ð，AE CE \=，\四边形AFCE 是菱形，AC EF \^，AF CF EC AE ===，又60AEC Ð=° ，30AEO \Ð=°，28AF CF EC AE OA \=====，\四边形AFCE 的周长为：4832´=．。
八年级数学《菱形》练习题含答案
八年级数学《菱形》练习题随堂演练一、填空题1．菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为 ，周长为 .2．菱形的一边与两条对角线构成的二角之比为5：4，则菱形的各内角为 ， ， ， .3．菱形的两条对角线分别为3和7，则菱形的面积为 .4．已知在菱形ABCD 中，E ，F 是BC ，CD 上的点，且AE ＝EF ＝AF ＝AB ，则∠B= .5．已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm ，则较短对角线的长是 .6．已知菱形的面积等于80cm 2，高等于8cm ，则菱形的周长为 .7．已知菱形ABCD 中AE ⊥BC ，垂足E ，F 分别为BC ，CD 的中点，那么∠EAF 的度数为 .8．顺次连结菱形各边的中点，所得的四边形为 形．二、选择题1．能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）A ．对角线相等且互相平分B ．对角线相等且对角相等C ．对角线互相垂直D ．两组对角分别相等且一条对角线平分一组对角2．菱形ABCD ，若∠A:∠B ＝2：1，∠CAD 的平分线AE 和边CD 之间的关系是（ ）A ．相等B ．互相垂直且不平分C ．互相平分且不垂直D ．垂直且平分3．已知菱形ABCD 的周长为40cm ，BD=34AC ，则菱形的面积为（ ） A ．96cm 2 B ．94cm 2 C ．92cm 2 D ．90cm 24．菱形的周长等于高的8倍，则这个菱形较大内角是（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°5．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．对边平行且相等6．下列说法正确的是（ ）A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．邻边相等的四边形为菱形7．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．对角相等且互补B ．对角线互相平分C ．一组对边平行，另一组对边相等D ．对角线互相垂直8．菱形的对角线把它分成全等的直角三角形的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个三、解答题1．如图，在菱形ABCD中，延长AD到E，连结BE交CD于H，交AC于F，且BF＝DE，求证：DH＝HF.2．如图，在菱形ABCD中,E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长于F，交AC于M，求证：AB与EF互相平分．3．已知菱形的面积为24cm2，边长为5cm，求该菱形中一组对边之间的距离．4．已知：如图，在菱形ABCD中，BD是对角线，过D作DE⊥BA交BA延长线于点E，若BD＝2DE，AB＝4，求菱形的面积。
人教版八年级下册数学 18.2.2菱形 同步练习(含解析)
∴AC⊥BD，OA=OC= AC= ×4=2，∠BAC= ∠BAD= ×120°=60°，
∴AC=4，∠AOB=90°， ∴∠ABO=30°， ∴AB=2OA=4，OB=2 ， ∴BD=2OB=4 ，
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴该菱形的面积是： AC•BD= ×4×4
点睛：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注 意先先连接 BD，BF，这是解答本题的突破口． 6．B 【解析】根据菱形四条边相等的性质可得 AB=AD，OB=OD，根据等腰三角形三线合一的性质 可得 AO⊥BD，即可得 AC⊥BD，所以正确的顺序为③→④→①→②，故选 B. 7．A 【解析】∵四边形 ABCD 是菱形，
点，将△AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则线段 A′C 长度的最小值是
______．
12．如图，正△AEF 的边长与菱形 ABCD 的边长相等，点 E、F 分别在 BC、CD 上，则∠B 的度 数是_____．
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A. 24
B. 26
C. 30
D. 48
8．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，DH⊥AB 于 H，连接 OH，∠DHO=20°，
则∠CAD 的度数是（ ）
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A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到 第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为 1，则第 n 个矩形的面积为 ()
八年级数学下册19.2菱形1.菱形的性质练习(含答案)
19.2 菱形1.菱形的性质1.如图,已知菱形ABCD的边长等于2,∠DAB=60°,则对角线BD的长为( C )(A)1 (B)(C)2 (D)22.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6,过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( C )(A)4 (B)(C)(D)53.菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的周长是( B )(A)24 (B)20 (C)10 (D)54.如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PE⊥AB于点E,PE=4 cm,则点P到BC的距离是 4 cm.5.如图,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16 c m,若墙上钉子间的距离AB=BC=16 cm,则∠1= 120°.6.如图,在菱形ACBD中,对角线AB,CD相交于点O,CE⊥AD于点E,若AB=16,CD=12,则菱形的面积是96 ,CE= 9.6 .第6题图7.(2018广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是(-5,4) .第7题图8.已知:如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证:∠AFD=∠CBE.证明:因为四边形ABCD是菱形,所以CB=CD,CA平分∠BCD.所以∠BCE=∠DCE.又CE为公共边,所以△BCE≌△DCE.所以∠CBE=∠CDE.因为在菱形A BCD中,AB∥CD,所以∠AFD=∠FDC,所以∠AFD=∠CBE.9.(2018广东)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°.(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,连结BF,求∠DBF的度数.解:(1)如图所示,直线EF即为所求.(2)因为四边形A BCD是菱形,∠CBD=75°,所以∠ABD=∠DBC=75°,DC∥AB,∠A=∠C.所以∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°.所以∠C=∠A=30°.因为EF是线段AB的垂直平分线,所以AF=FB.所以∠A=∠FBA=30°.所以∠DBF=75°-30°=45°.10.如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,连结EF.求证:(1)△ADE≌△CDF;(2)∠BEF=∠BFE.证明:(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AD=CD,∠A=∠C.因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以∠AED=∠CFD=90°.所以△ADE≌△CDF.(2)因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CB.因为△ADE≌△CDF,所以AE=CF.所以AB-AE=C B-CF.所以BE=BF.所以∠BEF=∠BFE.11.(规律探索题)如图,两个连在一起的全等菱形的边长为1米,一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,当微型机器人行走了2 019米时停下,求这个微型机器人停在哪个点?并说明理由.解:这个微型机器人停在D点.理由如下:因为两个全等菱形的边长为1米,所以微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA顺序走一圈所走的距离为8×1=8米.因为2 019÷8=252……3,所以当微型机器人走到第252圈后再走3米正好到达D点.12.(拓展探究题)如图1,有一张菱形纸片ABCD,AC=8,BD=6.(1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一个平行四边形,在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开,请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)解:(1)因为菱形的两条对角线长分别为6,8,所以对角线的一半分别为3,4,所以菱形的边长为5,所以图1平行四边形的周长为2×(5+8)=26; 图2平行四边形的周长为2×(5+6)=22.(2)如图3所示.。
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×）正解：（2）（×） （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。
人教版2019年 八年级数学下册 菱形 精选练习(含答案)
2019年 八年级数学下册 菱形 精选练习一、选择题1.如图，菱形ABCD 中，AB=5，BD=6，则菱形的高为（ ）A.2.4B.4.8C.12D.242.如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，连接DF ，若∠CDF=24°，则∠DAB 等于（ ）A ．100°B ．104°C ．105°D ．110°3.如图,在周长为12的菱形ABCD 中,AE=1,AF=2,若P 为对角线BD 上一动点,则EP+FP 的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.44.如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠B=45°,AE 为BC 边上的高,将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB ′E ，AB ′与CD 边交于点F,则B ′F 的长度为（ ）A.1B.C.2-D.2﹣25.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=1，E 为BC 的中点，则对角线BD 上的动点P 到E 、C两点的距离之和的最小值为（ ）A.43B.33C.23 D.216.如图，在菱形ABCD 中，AB=4cm ，∠ADC=120°，点E ，F 同时由A ，C 两点出发，分别沿AB ，CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为( )A.1B.C.D.7.如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE为菱形，下列选项中错误的是（）A.BD=AEB.CB=BFC.BE⊥CFD.BA平分∠CBF8.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（）A.12mB.20mC.22mD.24m9.如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是( )A.8B.16C.8D.1610.如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线AC=10，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )A.8B.C.D.二、填空题11.如图，正方形ABCD的面积为18，菱形AECF的面积为6，则菱形的边长为．12.把两张宽为2 cm的矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分(图中的阴影部分)的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm2.13.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为．14.如图，四边形ABCD和CEFG都是菱形，连接AG，GE,AE，若∠F=60°，EF=4，则△AEG面积为________.15.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为．16.如图,分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,F为三、解答题17.准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．18.如图,已知在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于M,过M作ME⊥CD于E,∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．19.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且AC=2DE,连接AE交OD于点F,连接CE、OE．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．20.如图所示,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;(2)①当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?②当AM为何值时,四边形AMDN是菱形?21.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．22. (1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平▱ABCD移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1 图2答案1.B2.B.3.C4.C5.C.6.D7.A8.C9.A.10.C.11.答案为：；12.答案为：菱形，413.答案为：2.5；14.答案为：15.答案为：15．17.18.（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．19.【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=0.5AC，AD=CD，∵DE∥AC且DE=0.5AC，∴DE=OA=OC，∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，∴OE=AD，∴OE=CD；（2）解：∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2，∴在矩形OCED中，CE=OD=．∴在Rt△ACE中，AE==．解:（1）略；（2）PC2=PE PF20. (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴ND∥AM,21.解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=8﹣t，解得t=4．答：当t=4时，四边形ABQP是矩形；（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形当AQ=CQ，即=8﹣t时，四边形AQCP为菱形．解得：t=3．答：当t=3时，四边形AQCP是菱形；（3）当t=3时，CQ=5，则周长为：4CQ=20cm，面积为：4×8﹣2××3×4=20（cm2）．。
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八年级数学菱形测试题及答案一．选择题（共10小题）1．（2012?长沙）已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（）A． 6 cm B．4cm C．3cm D．2cm2．（2010?襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A． 3 ：1 B．4：1 C．5：1 D．6：13．（2010?宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）．7.5．D C．A． 1 5B4．（2010?陕西）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）A． 1 6 B．8 C． 4 D．1sinA=，，则下列结论正确的个数有⊥AB，垂足为E兰州）如图所示，菱形（2010?ABCD的周长为20cm，DE5．（）2BD=2cm．；④②BE=1cm；③菱形的面积为15cm ①DE=3cm；B．24个个3 个C．个D．A．1，、、EFAF的中点，连接分别是，B=60菏泽）如图，菱形．6（2010?ABCD中，∠°，AB=2cmE、FBC、CDAE ）△则AEF的周长为（cm3 C B ．A ．．．Dcm4cm3cm2．7．（2010?北京）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（）A． 2 4 B．20 C．10 D． 52，则菱形的边长为（）2倍，且它的面积是16cm 8．菱形的一条对角线是另一条对角线的DC．．B．．Acm 22cm 4cm 4cm9．下列性质中，菱形具有而矩形不具有的是（）A．轴对称图形B．邻角互补C．对角线平分对角D．对角相等10．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（）．D C．A．1 B．2二．解答题（共6小题）11．如图，已知△ABC的面积为4，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA的长度，得到△EFA．（1）判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（2）若∠BEC=15°，求AC的长．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．13．如图，在△ABC中，AB=BC，若将△ABC沿AB方向平移线段AB的长得到△BDE．（1）试判断四边形BDEC的形状，并说明理由；（2）试说明AC与CD垂直．的中点．AC为E，°ABC=90∠中，ABC△．如图，14．操作：过点C作BE的垂线，过点A作BE的平行线，两直线相交于点D，在AD的延长线上截取DF=BE．连接EF、BD．（1）试判断EF与BD之间具有怎样的关系？并证明你所得的结论．（2）如果AF=13，CD=6，求AC的长．DB=AC，连接AD、ED，∥DBAC，且E是AC的中点．，过点中，．如图，15Rt△ABC∠B=90°B作（1）求证：DE∥BC；（2）请问四边形ADBE是特殊四边形吗？试做出判断，并说明理由．16．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC 的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2012?长沙）已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（）A． 6 cm B．4cm C．3cm D．2cm考点：菱形的性质；三角形中位线定理．△BCD的中位线，从而求得OE的长．分析：根据题意可得：OE是是菱形，∵四边形ABCD解答：解：，OB=OD，CD=AD=6cm∴，OE∥DC∵，∴BE=CE．OE=∴CD=3cm ．故选C此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分，菱形的四条边都相等．还考查了三角形中位线的性质：点评：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．），高为?襄阳）菱形的周长为8cm1cm，则该菱形两邻角度数比为（2．（20101 D．6：5．：1 B 4：1 C．：1 A．3度角的直角三角形．菱形的性质；含30考点：根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻分析：角度数比．，则该150°解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为解答：2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为．菱形两邻角度数比为5：1 C故选．点评：此题主要考查的知识点：（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；（2）菱形的两个邻角互补．）两点之间的距离为（D、B，则°ADC=120∠，AB=15中，ABCD宜昌）如图，菱形?2010（．3．D．．71 5B．.5C A．考点：菱形的性质．分析：先求出∠A等于60°，连接BD得到△ABD是等边三角形，所以BD等于菱形边长．解答：解：连接BD，∵∠ADC=120°，∴∠A=180°﹣120°=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=15．故选A．点评：本题考查有一个角是60°的菱形，有一条对角线等于菱形的边长．4．（2010?陕西）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）A． 1 6 B．8 C． 4 D．1考点：菱形的性质．分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，即菱形被对角线平分成四个全等的直角三角形，根据勾股定理，即可求解．解答：解：设两对角线长分别是：a，b．22222=16．）b+b=2 则（a）．则+a（故选A．点评：本题主要考查了菱形的性质：菱形被两个对角线平分成四个全等的直角三角形．sinA=，，则下列结论正确的个数有⊥AB，垂足为EDE（5．2010?兰州）如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm，（）2BD=2cm．；③菱形的面积为15cm；④；①DE=3cm②BE=1cm个4 ．D 个3 ．C个1．A 个2 ．B菱形的性质；锐角三角函数的定义．：考点．分析：根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案．解答：解：∵菱形ABCD的周长为20cm∴AD=5cm= sinA=∵∴DE=3cm（①正确）∴AE=4cm∵AB=5cm∴BE=5﹣4=1cm（②正确）23=15cmDE=5×∴菱形的面积=AB×（③正确）∵DE=3cm，BE=1cmBD=cm（∴④不正确）所以正确的有三个，故选C．点评：此题主要考查学生对菱形的性质的运用能力．6．（2010?菏泽）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）D．3 cm C．A．B．cm 32cm 4cm考点：菱形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．分析：首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴BE=DF，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．连接AC，∵∠B=∠D=60°，∴△ABC与△ACD是等边三角形，∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），∴∠BAE=∠DAF=30°，∴∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．AE=cm，∴3cm．∴周长是．B故选．点评：此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理．7．（2010?北京）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（）A． 2 4 B．20 C．10 D． 5考点：菱形的性质；勾股定理．分析：菱形的边长和对角线的一半组成直角三角形，根据勾股定理求得其边长，从而求出菱形的周长即可．解答：解：如图，∵AC=8，BD=6，∴OA=4，BO=3，∴AB=5，∴这个菱形的周长是20．故选B．点评：此题主要考查菱形的基本性质及勾股定理的运用．2，则菱形的边长为（）8．菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，且它的面积是16cm．DC．A．B．cm 2cm 4cm 24cm考点：菱形的性质．分析：设较短对角线长x，则较长的为2x，根据已知列方程求得两条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长即可．解答：解：设较短对角线长x，则较长的为2x，2=16，依题意得，x可得x=4，2x=8，=2cm则菱形的边长为，故选B．点评：主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．9．下列性质中，菱形具有而矩形不具有的是（）A．轴对称图形B．邻角互补C．对角线平分对角D．对角相等考点：菱形的性质；矩形的性质．分析：根据矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角的性质进行比较从而得到最后的答案．解答：解：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；矩形的对角线互相平分且相等．故选C点评：此题主要考查矩形、菱形的性质的区别与联系．10．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的）最小值为（．．DC．．1 B．2 A考点：菱形的性质．专题：动点型．分析：找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是PE+PB的最小值，求出即可．解答：解：连接DE、BD，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∵AE=BE∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）DE=．ADE中，在Rt△故选B．点评：此题是有关最短路线问题，熟悉菱形的基本性质是解决本题的关键．二．解答题（共6小题）11．如图，已知△ABC的面积为4，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA的长度，得到△EFA．（1）判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（2）若∠BEC=15°，求AC的长．考点：菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形；平移的性质．分析：（1）首先连接BF，由△AEF是由△ABC沿CA的方向平移CA长度得到，即可得BF=AC，AB=EF，CA=AE，又由AB=AC，证得AB=BF=EF=AE，根据由四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四边形ABFE是菱形，则可得AF⊥BE；AB=AC，，然后利BM=，求得AB=AC=AE，∠BEC=15°∠BAC=30°于点）首先作（2BM⊥ACM，由用△ABC的面积求解方法，即可求得AC的长．解答：解：（1）AF⊥BE．理由如下：连接BF，∵△AEF是由△ABC沿CA的方向平移CA长度得到，∴BF=AC，AB=EF，CA=AE．，AB=AC∵．∴AB=BF=EF=AE．∴四边形ABFE是菱形．∴AF⊥BE．（2）作BM⊥AC于点M．∵AB=AC=AE，∠BEC=15°，∴∠BAC=30°．AB=AC．BM= ∴∵S=4，ABC△AC=4，?AC ∴∴AC=4．点评：此题考查了菱形的判定与性质，三角形面积的求解方法等知识．此题难度不大，注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．解答：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，2，4，高为∴菱形的边长为=8．2 ×菱形的面积为∴4点评：本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．13．如图，在△ABC中，AB=BC，若将△ABC沿AB方向平移线段AB的长得到△BDE．（1）试判断四边形BDEC的形状，并说明理由；（2）试说明AC与CD垂直．考点：菱形的判定与性质；平行公理及推论；等腰三角形的性质；平移的性质．专题：证明题．分析：（1）根据平移的性质和已知得到AB=CE=BD，BC=DE，推出BD=DE=CE=BC即可；（2）根据菱形的性质推出BE⊥CD，根据平行公理及推论推出即可．解答：（1）解：四边形BDEC的形状是菱形．理由是：∵△ABC沿AB方向平移AB长得到△BDE，∴AB=CE=BD，BC=DE，∵AB=BC，∴BD=DE=CE=BC，（2）证明：∵四边形BDEC为菱形，∴BE⊥CD，∵△ABC沿AB方向平移AB长得到△BDE，∴AC∥BE，∴AC⊥CD．点评：本题主要考查对菱形的判定和性质，平移的性质，平行公理及推论，等腰三角形的性质等知识点的连接和掌握，能推出四边形BDEC为菱形是解此题的关键．14．如图，△ABC中，∠ABC=90°，E为AC的中点．操作：过点C作BE的垂线，过点A作BE的平行线，两直线相交于点D，在AD的延长线上截取DF=BE．连接EF、BD．（1）试判断EF与BD之间具有怎样的关系？并证明你所得的结论．（2）如果AF=13，CD=6，求AC的长．考点：菱形的判定与性质；一元二次方程的应用；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；平行四边形的判定．专题：计算题．分析：（1）证平行四边形BEDF，根据直角三角形斜边上的中线证BE=DF，推出菱形BEDF 即可；（2）设DF=BE=x，则AC=2x，AD=AF﹣DF=13﹣x，在Rt△ACD中根据勾股定理求出x，即可得到答案．解答：解：如图：（1）EF与BD互相垂直平分．证明如下：连接DE、BF，∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BEDF是平行四边形．，BE⊥CD∵．∴CD⊥AD，∵∠ABC=90°，E为AC的中点，BE=DE=，∴∴四边形BEDF是菱形，∴EF与BD互相垂直平分．（2）解：设DF=BE=x，则AC=2x，AD=AF﹣DF=13﹣x，222，+CD =ACRt△ACD中，∵AD在222）﹣x∴（13，（2x+6）=2+26x﹣205=0，3x﹣（舍去），x=5x=，21∴AC=10，答：AC的长是10．点评：本题主要考查对平行四边形的判定，勾股定理，解一元二次方程，直角三角形斜边上的中线，菱形的判定和性质等知识点的理解和掌握，能求出BE=DE和得到关于x的方程是解此题的关键．DB=AC，连接AD、ED，AC，且E是AC的中点．°15．如图，Rt△ABC中，∠B=90，过点B作DB∥（1）求证：DE∥BC；（2）请问四边形ADBE是特殊四边形吗？试做出判断，并说明理由．考点：菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）推出CE=BD，CE∥BD，得出平行四边形BDEC，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出BDF=AE，BD∥AE，得出平行四边形ADBE，根据DE∥BC，∠ABC=90°推出DE⊥AB，根据菱形的判定推出即可、解答：（1）证明：∵E是AC的中点，CE=AE=AC，∴DB=AC∵，∵BD=CE，∵BD∥AC，，CE∥BD∴．∴四边形BDEC是平行四边形，∴DE∥BC．（2）解：四边形ADBE是菱形，理由是：∵DE∥BC，∠ABC=90°，∴DE⊥AB，DB=AC，BD∥ACAE=AC，，∵∴BD=AE，BD∥AE，∴四边形ADBE是平行四边形，∴平行四边形ADBE是菱形．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定等知识点，注意：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．16．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC 的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：连接EG，GF，FH，EH，利用三角形中位线定理求证EG平行且等于EH，从而判定出四边形EGFH是菱形，再利用菱形的性质即可得出结论．解答：EF⊥GH．证明：连接EG，GF，FH，EH，∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点EH=CD，EG=AB，∴又∵AB=DC，∴EG=EH，∵EG∥AB，HF∥AB，∴EG∥HF，同理GF∥EH，∴四边形EGFH是菱形，EF，GH分别为对角线，∴EF⊥GH．点评：此题主要考查学生对菱形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，此题的突破点是利用三角形中位线定理求证四边形EGFH是菱形，然后根据菱形的性质即可得出结论．此题稍有难度，属于中档题．。