矩形、菱形经典题型总结
2019中考复习：《平行四边形、矩形菱形、正方形》计算类典型题汇总
最全《平行四边形、矩形菱形、正方形》计算类典型题汇总一、平行四边形中，边(周长)的计算例1：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝10，BD＝8，则AD 的取值范围是_________．解析：利用平行四边形的性质，对角线互相平分，得AO＝5，DO＝4．借助三角形三边关系，AO－DO＜AD＜AO＋DO，则1＜AD＜9变式：1.已知平行四边形ABCD的周长是12，AC，BD交于点O，△ABO的周长比△BOC 的周长大1，求AB，BC的长．解析：对照上图，我们知道AO＝CO，BO为公共边，则△ABO的周长与△BOC的周长之差就是AB与BC之差，设AB＝x，BC＝x－1，根据周长＝12，可得2(x＋x－1)＝12，x＝3.5，AB＝3.5，BC＝2.5例2：如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC，BD相交于点O，OE⊥AC于O，则△BCE的周长为_________．解析：由OE⊥BD，BO＝DO，可知OE垂直平分BD，则BE＝DE，C△BCE＝BC＋CE ＋BE＝ BC＋CE＋DE＝BC＋CD＝8变式：如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AD于E，交BC于点F，若OE＝5，四边形CDEF的周长为25，则平行四边形ABCD的周长为________．解析：首先，可证△AEO≌△CFO，则OE＝OF．(事实上，经过平行四边形对称中心的线段，既平分平行四边形的周长，也平分面积．)EF＝2OE＝10，AE＝CF，C四边形CDEF＝CD＋DE＋CF＋EF＝CD＋DE＋AE＋EF＝CD ＋DA＋EF＝25CD＋DA＝15，C平行四边形ABCD＝30例3：在平行四边形ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分线分别交BC于E、F，EF＝3，则AB＝__________．解析：本题是典型的易错题，极易漏解，我们应该想到，AE，DF必然相交，且夹角为90°，但交点可以在平行四边形内，也可在形外．故而要分类讨论．同时，这里面隐藏着一个常见的基本模型，平行＋角平分，构造等腰，△ABE和△FCD是等腰三角形，且腰相同，AB＝BE＝DC＝CF．如图，当AE，DF交于形内，BE＋CF－EF＝11，2BE－3＝11，BE＝7，AB＝7如图，当AE，DF交于形外，BE＋CF＋EF＝11，2BE＋3＝11，BE＝4，AB＝4综上，AB＝7或4变式：1.平行四边形ABCD的周长为32，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB＝______．解析：看到“所在直线” 这样的字眼，第一时间应该想到两解了吧．如图，AD＜AB，则E在AD延长线上，AE＝AB，∵AE：ED＝3：2，∴AE：AD＝3：1，AB：AD＝3：1，设AD＝x，AB＝3x，3x＋x＝16，x＝4，AB＝3x＝12．如图，AD＞AB，则E在AD上，AE＝AB，∵AE：ED＝3：2，∴AE：AD＝3：5，AB：AD＝3：5，设AB＝3x，AD＝5x，3x＋5x＝16，x＝2，AB＝3x＝6．综上，AB＝6或12.二、平行四边形面积类问题例1：平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，若DE＝2，DF＝3，四边形ABCD 的周长是30，求其面积．解析：本题其实早在小学阶段，可能就有同学做过，知道平行四边形周长，则知道了邻边之和为其一半，有了2条高，自然想到面积，用等积法解决．如图，设AB＝x，BC＝15－x，2x＝3(15－x)，x＝9，S＝2x＝18例2：如图，M、N是平行四边形ABCD的边AB、AD的中点，连接MN、MC，若阴影四边形的面积为10，则图中空白部分的面积是____________．解析：面对一般四边形的面积问题，我们通常转化为熟悉的平行四边形求面积，或者将四边形分割成2个小三角形，分别求面积，再求和．本题显然不能转化，尝试分割，若连接NC，则△NMC的面积不好求，所以连接MD．例3：解析：初次拿到这样的题目，很难下手，没有具体的底边和高长，我们求不出各图形的面积，但既然平行四边形对边平行，我们不妨过点P再作一次平行．如图，过点P作EF∥AD，则EF∥BC，四边形AEFD，四边形EBCF均为平行四边形．本题重要结论：S1＋S3＝S2＋S4三、矩形正方形线段和的计算、菱形中面积，最值类问题例1：在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4，对角线AC，BD交于点O，点P是BC边上的一点，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．解析：拿到题目，有些同学立刻反应，说是“将军饮马”问题，但这里是求值，是定值，而将军饮马属于求最值问题．PE，PF分别是高，则想到面积，这才应该是第一反应．如图，连接OP变式：1.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，对角线长为10，P是BC边上的一点，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．解析：本题同样也能用上题思路，PE＋PF＝BO＝5，也能证明四边形EPFO是矩形，PF＝EO，∠EBP＝∠EPB＝45°，则BE＝PE，PE＋PF＝BE＋EO＝BO＝5例2：已知菱形ABCD的周长为20，面积为20，求对角线AC，BD的长．解析：由周长为20，我们可以知道，边长是5，由面积是20，我们可以知道对角线乘积的一半是20，因此，不妨设AC＝2x，BD＝2y，x＞y，例3：如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM＋PN的最小值是________．解析：这才是标准的将军饮马问题，作点M关于AC的对称点M’，则PM＋PN＝P M’＋PN≥M’N(当M’，P，N三点共线时可取等号)，则最小值即为M’N＝5变式：1.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P、N是AC，BC上的一个动点，点M是边AB的中点，则PM＋PN的最小值是________．解析：变成了一定(点M)一动问题(点N)，方法与之前一致，确定AD边上的点M’，则当M’N⊥BC时，M’N最短，过点M’作M’Q⊥BC，利用面积法，S菱形ABCD ＝24，BC＝5，M’Q＝4.8，PM＋PN的最小值是4.8特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形【知识要点】一. 教学内容：几种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形［目标］1. 理解矩形、菱形的定义与性质。
初三中考一轮复习(18)矩形菱形正方形 题型分类 含答案(全面 非常好)
∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO，又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴四边形AECF是矩形．考点二：菱形的性质及判定的应用。
例2 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．【解答】解：（1）四边形OCED是菱形．∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，又在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形OCED是菱形．（2）连接OE．由菱形OCED得：CD⊥OE，∴OE∥BC又CE∥BD∴四边形BCEO是平行四边形；∴OE=BC=8（7分）∴S四边形OCED=错误!未找到引用源。
OE•CD=错误!未找到引用源。
×8×6=24．考点三：正方形的性质及判定的应用。
例3如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB ＝ 140︒，求∠AFE的度数．【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴CD＝CB，∵AC是正方形的对角线∴∠DCA＝∠BCA又CE ＝CE∴△BEC≌△DEC(2）∵∠DEB ＝ 140︒由△BEC≌△DEC可得∠DEC ＝∠BEC＝140︒÷2＝70︒，∴∠AEF ＝∠BEC＝70︒，又∵AC是正方形的对角线，∠DAB＝90︒∴∠DAC ＝∠BAC＝90︒÷2＝45︒，ABCDEF在△AEF 中，∠AFE ＝180︒— 70︒— 45︒＝65︒ 考点四 ：中点四边形顺次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
例4 在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH 是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）【解答】（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．证明：连接AC 、BD ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ∥AC ，EF =错误!未找到引用源。
平行四边形矩形菱形经典例题(8套)
经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【【答案】20、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二:连接3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC A DCBA DC BD C AB EF∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又A F C E D F ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)．AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A BDE F C A DCB（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=°1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴=AE EP =DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，°Rt Rt DAM ABE ∴△≌△14DM AE ∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥AE EP ⊥ A D C B E B C E DA F P FDM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。
中考数学经典总复习专题矩形、菱形、正方形完美共54页
45、自己的饭量自知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
中考数学经典总复习专题矩形、菱形、 正方形完美
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
初中数学矩形、菱形、正方形5大考点及题型知识点总结
初中数学矩形、菱形、正方形5大考点及题型知识点总结姓名：__________指导：__________日期：__________三、矩形、菱形、正方形与函数综合题1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题；2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题；例1.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离。
例2.如图，点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为______．例3 已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式。
四、矩形、正方形的翻折1.从翻折中找出对称轴，利用对称性找相等关系。
2.利用相等关系建立方程解决问题。
例1如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若CF=1，FD=2，则BC的长是( )A．3√6 B．2√6C．2√5 D．2√3例2 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（）A.1或2B. 2或3C.3或4D. 4或5例3 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处。
初中数学矩形菱形正方形的5个考点知识点和题型
性质正方形的一：矩形、菱形、考点1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。
3.正方形的性质正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90 C．270 D．180：，BEBD相交于点O⊥BD于点E，对角线AC与2 例如图，矩形ABCD中，AE，求AC的长。
：3，AB＝6cmED＝1，AOD=120°∠∠BAD，对角线的交点，例3 如图，O是矩形ABCD AE平分AEO 的度数。
求∠。
，两邻角的比为菱形的周长为40cm1:2，则较短对角线的长例4DEBF∥于，AGDE⊥AGE，连接BCGABCD如图，例5 在正方形中，是上任意一点，、、，探究线段于交AGFAFBFEF三者之间的数量关系，并说明理由．考点二：矩形、菱形、正方形的判定1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
菱形的判定方法2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形；①对角线互相垂直的平行四边形是菱形；②四条边都相等四边形是菱形；③对角线垂直平分的四边形是菱形。
④3.正方形的判定矩形的一条特征；+①菱形矩形的一条特征；②菱形+一组邻边相等。
中考数学复习《矩形、菱形与正方形》考点及重点题型
中考数学复习《矩形、菱形与正方形》考点及重点题型知识点一：特殊平行四边形的性质与判定1.矩形1）性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形另说法：（1）四个角都是直角（2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.（3）面积=长×宽=2S△ABD =4S△AOB.2)判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形变式练习：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝__22.5__度．,2.菱形1）性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形另说法（1）四边相等（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角（3）面积=底×高=对角线_乘积的一半2）判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形变式练习1：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为__24__．第1题图) ,第2题图)变式练习2：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件_AC⊥BD或∠AOB＝90°或AB＝BC_使其成为菱形(只填一个即可)．变式练习3：如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是______．第3题图【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝BC＝6.变式练习4：如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABD的周长等于( ) A. 18 B. 16 C. 15 D. 14【解析】B∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD＝12BD＝3，AO＝OC＝12AC＝4，∴AB＝5，∴△ABD的周长为：5＋5＋6＝16.3正方形1）性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
中考菱形矩形知识点总结
中考菱形矩形知识点总结菱形和矩形是初中数学中的常见几何图形，也是中考考试中经常出现的题型。
理解菱形和矩形的性质和计算方法对学生来说是非常重要的。
接下来我将对菱形和矩形的性质、计算方法和解题技巧进行总结，希望能够对中考复习有所帮助。
一、菱形的性质1. 菱形的定义：对角线相等的四边形是菱形。
2. 菱形的性质：（1）对角线相等：菱形的对角线互相垂直且相等。
（2）四条边相等：菱形的四条边相等。
（3）内角性质：菱形的内角是直角，每个角是90°。
（4）对边平行：菱形的对边是平行的。
二、矩形的性质1. 矩形的定义：对角线相等且四个角都是直角的四边形是矩形。
2. 矩形的性质：（1）对角线相等：矩形的对角线互相垂直且相等。
（2）四个角都是直角：矩形的每一个角都是90°。
（3）对边相等：矩形的对边相等且平行。
三、菱形和矩形的计算方法1. 菱形的周长：菱形的周长等于4倍菱形的一条边的长度。
2. 菱形的面积：菱形的面积等于对角线之积的一半。
3. 矩形的周长：矩形的周长等于矩形的长加矩形的宽的两倍。
4. 矩形的面积：矩形的面积等于矩形的长乘以矩形的宽。
四、菱形和矩形的解题技巧1. 判断题型：在解题时要先判断题目是有关菱形还是矩形的，确定图形的种类是解题的第一步。
2. 利用性质：要善于利用菱形和矩形的性质来解题，如对角线相等、边相等、角度性质等。
3. 关注周长和面积：在解题时要注意计算周长和面积的方法，遵循周长等于边长之和、面积等于底宽乘以高的原则。
通过以上总结，希望同学们能够理解菱形和矩形的性质，掌握计算方法和解题技巧，从而在中考中更好地应用这些知识，取得好成绩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课 题 矩形、菱形
授课日期及时段
教学目的
1、掌握矩形的性质及其判定；
2、掌握菱形的性质及其判定。
教学内容
【知识梳理】
1．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 2．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．
③有三个角是直角的四边形是矩形．
【典例讲解】
例1、如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长 （2）△BED 的面积
巩固练习：
1．如图，矩形ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为EF 求DE 和EF 的长。
2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8求折痕EF 的长
C ’
D
A
B
C
E
F
D
A
B
C
E
C ’
E
F
A
B C
D
例2：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE=AD，又DF⊥AE，F为垂足。
求证：EC=EF
巩固练习
1．矩形的相邻两边的长分别是12㎝和5㎝，则矩形的对角线的长是。
2．若矩形的面积是36 3 cm2，两条对角线相交成60º锐角，则此矩形的两邻边长分别是㎝和㎝。
3．将两个同样的长为3厘米，宽为2厘米的长方形重新拼一个长方形，则此长方形的对角线长为______厘米。
4. 如图，矩形ABCD中，AD=2AB，点E在AD上， AE=AB。
求∠CEB的度数。
5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，BE⊥AC且AE、BE交于点E。
求证：AE=BE
E
D C
OOOOO
A B
例3．已知：在矩形ABCD中，AE BD于E，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC的度数。
【随
堂练习】
1.矩形的性质：（1）矩形的四个角都是_____角.(2)矩形的对角线互
相平分并且_______.
2.如图1: 四边形ABCD 是矩形.(已知)
∴BO=OD=
21BD,CO=OA=2
1
CA,BD=CA.( ) ∴BO=_____=_____=______,图中共有______个等腰三角形, _____个直角三角形,图中与∠1相等的角有_______个(∠1除外). 3.如图1,矩形ABCD 中,∠AOD=1200
,AB=3cm,则∠2=____度, AC=______cm,BC=______cm,S 矩形ABCD =_____cm 2
.
4.如图2,矩形ABCD 中,∠AOB=600
,AC==10cm,则∠2=____度, AB=______cm,BC=______cm,S 矩形ABCD =_____cm 2
.
5.如图3,在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于E,∠ADE ∶∠EDC=2∶1, 则∠ADE=________度,∠1=_____度,∠2=______度,∠3=_____度.
6.证明一个四边形是矩形的方法有:(1)先证明它有____个角是直角. (2)先证明它是平行四边形,再证明它有_____个角是直角. (3)先证明它是平行四边形,再证明对角线________. 7．在直角三角形中,斜边上的中线等于__________的一半.
【知识梳理】
1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．
③具有平行四边形所有性质．
2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．
③四条边都相等的四边形是菱形．
_ O
_ A
_ B
_ D
_ C
_ E
【典例讲解】
1．菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____ 2．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于________
3．如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，将三角板中60°的顶点与点A 重合，并绕点A 旋转，三角板的两边与BC ，CD 分别相交于E 、F ，求证AE=AF
4.如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F ，FG ⊥AC 于G ，EH ⊥AB 于H ，FG 交EH 于点K 。
求证：四边形DEKF 是菱形。
巩固练习：
1．已知菱形的两条对角线的长分别为6和8，那么这个菱形的周长是 。
2．菱形的周长是52㎝，一条对角线长是10㎝，则这个菱形的面积是 cm 2。
3．菱形的面积为6cm 2，一条对角线长6cm ，则另一条对角线长＿＿＿cm 。
4．已知菱形的两条对角线长之比为3：2，面积等于12cm 2，则该菱形的周长为＿＿＿cm 。
5. 如图，Rt △中，CH 是斜边AB 上的高，AD 是∠A 的平分线，AD 与CH 相交于点F ，DE ⊥AB ，E 为垂足。
求证：四边形CDEF 是菱形。
E B
A
F
C
D
6．如图，已知在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，且AE=OD，AE⊥CD，求∠CAE的度数
【随堂练习】
1.菱形的性质:(1)菱形的四条边_______.(2)菱形的两条对角线互相_________平分,并且每条对角线平分一组
______角.(3)菱形的面积等于两对角线的积的___.
2.菱形的两条对角线将菱形分成___个_________直角三角形.
3. 如图8,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC,∠2=150.(1)求证:ΔDOC是等边三角形.(2)求∠5的度数.
4.如图10,菱形ABCD中,∠ABC∶∠BAD=1∶2,AB=2,则∠ABC=______度,∠1=_______度,AO=________,BO=_______, 菱形ABCD的面积为__________.
5.如图11,菱形ABCD的面积为50cm2,∠B=300,AE是BC边的高, 则BC=______cm.[提示:S菱形=底×高.设AE=x,则BA=?x,-BC=?x]
6.已知菱形的周长为52cm,一条对角线是24cm,则另一对角线为_____cm,它的面积为_______cm2.
7.证明一个四边形是菱形的方法有:
(1)先证明它的四条边______.
(2)先证明它是平行四边形,再证明一组邻边________.
(3)先证明它是平行四边形,再证明对角线______________.
8.如图12,在四边形ABCD中,AD∥BC,EF垂直平分BD.求证:四边形BEDF是菱形.
9.如图13,矩形ABCD的对角线相交于O,DE∥CO,CE∥DO. 求证:DC⊥EO.
10.如图14,ΔABC中,∠ACB=900,AE平分∠BAC,CD⊥AB,EF⊥⊥AB.求证:(1)ΔAGC≌ΔAGF. (2)四边形CEFG是菱形.
11.求证:一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.
12．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试求AF 的长和重叠部分△AEF的面积．
13.如图，已知四边形ABCD 中，AC=BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是菱形．
14.如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F . 求证：BE =CF .
15.已知：如图ABC 中，点O 是AC 上边的一个动点，过点O 作直线MN//BC
A
B C
D
E
F
O
16.如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE=ED 。
P 是对角线BD 上任意一点，BE PF ⊥，AD PG ⊥，垂足分别为F 、G 。
求证：AB PG PF =+
17.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，O 是斜边AB 上的中点，BF ∥AC. (1)求证：△AOE ≌△BOF ；(2)求证：当E 为AC 中点时，四边形BCEF 是矩形.。