特殊四边形经典例题
特殊四边形知识点与例题
特别四边形一、几种特别四边形的性质：二、几种特别四边形的常用判断方法：三、各种特别四边形之间的关系四、有关中点四边形的几个结论1、任意四边形的四边中点围成的四边形是平行四边形。
2、对角线相互垂直的四边形的四边中点围成的四边形是矩形。
3、对角线相等的四边形的四边中点围成的四边形是菱形。
4、对角线相等而且相互垂直的四边形的四边中点围成的四边形是正方形。
例 1、已知，矩形 ABCD 中， AB=4cm ，BC=8cm ，AC 的垂直均分线 EF 分别交 AD 、BC 于点 E、F，垂足为 O．（1）如图 1，连接 AF 、 CE．求证四边形 AFCE 为菱形，并求 AF 的长；（2）如图 2，动点 P、Q 分别从 A 、C 两点同时出发，沿△ AFB 和△ CDE 各边匀速运动一周．即点P 自 A → F→ B→A 停止，点 Q 自 C→ D→ E→C 停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm，点 Q 的速度为每秒4cm，运动时间为t 秒，当 A 、 C、P、Q 四点为极点的四边形是平行四边形时，求t 的值．②若点 P、Q 的运动行程分别为a、b（单位： cm，ab≠ 0），已知 A 、C、 P、Q 四点为极点的四边形是平行四边形，求 a 与 b 满足的数目关系式．例 2、在矩形 ABCD 中， AB=1 ，AD= 根号 3，AF 均分∠ DAB ，过点 C 作 CE⊥ BD 于 E，延伸 AF 、EC 交于点 H ，那么以下结论：① AF=FH ；② BO=BF ；③ CA=CH ；④ BE=3ED ．此中正确结论的序号是例 3、在正方形 ABCD 中 ,对角线 AC 与 BD 订交于点 O,AF均分∠ BAC, 交 BD 于点 E,交 BC 于点 F求证：（ 1） AO+EO=AB（2） FC=2EO五、梯形中常有的添辅助线的技巧1.延伸两腰交于一点2.平移一腰作用：使梯形问题转变成三角形问题。
专题02特殊平行四边形中的折叠问题教师版
专题02 特殊平行四边形中的折叠问题【典型例题】1．（2020·河北定州初三二模）如图，正方形ABCD 中，AB =6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【解析】连接AE ，∵AB =AD =AF ,∠D =∠AFE =90°，由折叠的性质得：Rt △ABG ≌Rt △AFG ，在△AFE 和△ADE 中，∵AE =AE ，AD =AF ，∠D =∠AFE ，∴Rt △AFE ≌Rt △ADE ，∴EF =DE ，设DE =FE =x ，则CG =3，EC =6−x .在直角△ECG 中，根据勾股定理，得：(6−x )2+9=(x +3)2，解得x =2.则DE =2. 2．（2019·全国初三单元测试）如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AEF ，若AB ＝2，∠B ＝45°，则△AEF 与菱形ABCD 重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）.A ．2B ．C ．D ．【解析】∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B =45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ，由折叠的性质可知，△ABF 为等腰直角三角形，∴S △ABF =12AB •AF =2，S △ABE =1，∴CF =BF -BC =-2，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =45°，又由折叠的性质知，∠F =∠B =45°，∴CG =GF =2∴S △CGF =12GC •GF =3-，∴重叠部分的面积为：2-1-（3-）=2，故选D ． 3．（2020·全国）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，使得点D 与点B 重合，点C 落在点C ′的位置上．（1）折叠后，DC 的对应线段是 ，CF 的对应线段是 ；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；（3）若AB =8，DE =10，求CF 的长度．【答案】（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC 的对应线段是BC ′，CF 的对应线段是C ′F ；故答案为：BC ′，C ′F ． （2）由折叠的性质可得：∠2=∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF =50°，∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°； 故答案为：50°，80°（3）∵AB =8，DE =10，∴BE =10，∴AE 6，∴AD =BC =6+10=16，∵∠1=∠BEF =50°，∴BF =BE =10， ∴CF =BC ﹣BF =16﹣10=6．故答案为：6【专题训练】一、选择题1．（2020·海南临高）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC =∠ECA ，则AC 的长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．5【解析】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∴AF=CF，∴AC=2AB=6，选B．2．（2020·全国）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( )A．6B．8C．10D．12【解析】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，∴∠1=∠2，而∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴ED=EB=5，∵矩形ABCD中，∠A=90°∴重叠部分△BDE的面积=12DE×AB=12×5×4=10．故选：C.．3．（2020·全国）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（）A．3B．4C．6D．8【解析】解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选C．4．（2020·新疆昌吉初三一模）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解析】设CN=xcm，则DN=（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x）cm，而EC=12BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选：A．5．（2019·河北遵化初三一模）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°【解析】试题分析：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°．∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°．∴∠PDC=90°．∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°．在△DEC中，．故选B．6．（2020·全国）如图，已知四边形ABCD 是边长为6的菱形，且∠BAD =120°，点E ,F 分别在AB ,BC 边上，将菱形沿EF 折叠，点B 正好落在AD 边的点G 处．若EG ⊥AC ，则FG 的长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【解析】如图，设AC 与EG 交于点O ，FG 交AC 于点H ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°，∴60B D ∠=∠=︒， ∴ABC ACD 、是等边三角形．∴60CAD B ∠=∠=︒．∵EG AC ⊥，∴90GOH ∠=︒．∵60EGF B ∠=∠=︒，∴30OHG ∠=︒，∴18090AGH CAD OHG ∠=︒-∠-∠=︒，∴FG AD ⊥，∴FG 是菱形ABCD 的高，即为等边三角形ABC 的高，∴ =C ．7．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校）如图,把一个矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置,若∠EFB =65°,则∠AED ′为（ ）。
特殊平行四边形经典例题汇编(青岛版)
特殊平行四边形典型习题汇编一1、已知:如图,AC ,BD 是矩形ABCD 的两条对线,AC ,BD 相交于点O ,∠AOD =120°,AB =2.5cm.求矩形对角线的长.2、若已知∠CAB=40°，则∠OCB= _____, ∠OBA= _______,∠AOB=（ ） ∠AOD=（ ）； 若已知∠DOC=120°，AD ＝6㎝，则AC= ________㎝3、如图四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=900，E 是AC 中点，EF 平分∠BED 交BD 于点F ，（1）猜想EF 与BD 具有怎样的关系？ （2）试证明你的猜想。
4、已知：如图，在 ABCD 中，E 、F 分别为边 AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：DE ＝BF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．5、在下列性质中，平行四边形具有的是_______，矩形具有的是_________，菱形具有的____________，正方形具有的是_______________。
（1）四边都相等； （2）对角线互相平分； 6、如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落 在BC 边上的F 点处。
（1）若∠BAF ＝60°，求∠EAF 的度数；（2）若AB ＝6cm ，AD ＝10cm ，求线段CE 的长及△AEF 的面积.（3）对角线相等；（4）对角线互相垂直； （5）四个角都是直角；（6）每条对角线 平分一组对角；（7）对边相等且平行； （8）有两条对称轴。
D B C A O B B FAC DE7、如图，矩形纸片ABCD 中，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF 。
（1）连结CF ，四边形AECF 是什么特殊的四边形？为什么？ 8、在四边形ABCD 中O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）A 、AC = BD ，AB ∥CD ，AB = CDB 、AD ∥BC ，∠A =∠ C C 、AO=BO=CO=DO ，AC ⊥BD D 、AO=CO ，BO=DO ，AB=BC9、如图，边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB=60度，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足AE+CF=a 。
几种特殊的平行四边形(4)
12.2几种特殊的平行四边形(4)教学目标：1、掌握菱形的概念和特征，理解和掌握菱形的识别方法。
2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、逻辑思维能力。
3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
重点与难点：重点是菱形的识别方法；难点是菱形的识别方法的理解和掌握。
教学准备：教师准备：投影仪、投影片，平行四边形教具。
教学过程：一、复习引入：1、复习菱形的有关概念及边、角、对角线方面的特征。
2、复习平行四边形、矩形的识别方法。
二、讲授新课：1．菱形的识别方法：①菱形是有一组邻边相等的平行四边形，因此在识别一个四边形是不是菱形时，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两邻边是不是相等，这种用“定义”识别我们已经知道是最重要和最基本的识别方法。
今天我们研究菱形有几种识别方法。
总结出识别方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②大家都知道，菱形的特别之处在于它的邻边相等，能否从边的特点来识别菱形呢？学生猜想：会从平行四边形、矩形的识别方法和特征联想到。
给出：问题1：有四边相等的四边形是菱形吗？…(投影)分析问题1：因为四边形的四边都相等，因此一定有一组邻边相等，只要再证出它是平行四边形就可由定义证明此问题是肯定的。
(由学生自己证明书写过程)。
总结出识别方法2：四边相等的四边形是菱形。
③我们再考虑菱形的其他特殊的特征，如从对角线的角度来考虑，那么，是否可以从对角线上来识别菱形呢？给出：问题2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？…(投影)分析问题2：因为平行四边形是条件，所以只需证有一组邻边相等即可。
为加深学生对问题2条件的理解，可举反例：如：两条对角线相等的四边形，是不是菱形？两条对角线相等且互相平分的四边形是不是菱形？两条对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？(学生可自行画图观察，进行证明过程的书写训练)可知，由对角线垂直推不出四边形是平行四边形，巩固学生对识别方法3的印象和理解。
特殊平行四边形(习题及答案)
12. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是菱形吗？为什么？ 【思路分析】 ①读题标注： ②梳理思路： 要证四边形 ABCD 是菱形，根据题目中已有的条件选择判定 定理：_____________________________________________． 【过程书写】
7. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O， 则下列结论不正确的是（ ） A．当 AB=BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B．当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当 OA=OB 时，四边形 ABCD 是矩形 D．当∠ABD=∠CBD 时，四边形 ABCD 是矩形
如图在正方形abcd中对角线acbd相交于点o则图中的等腰三角形共有a4个b6个c8个d10个aadbdbcc第5题图第7题图6
特殊平行四边形（习题）
例题示范
例 1：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE． 求证：四边形 BECF 是正方形．
【思路分析】 ①读题标注：
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
5. 符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是（ ） A．四条边都相等 B．两组邻边分别相等 C．对角线互相垂直平分 D．两条对角线分别平分一组对角
6. 下列命题错误的是（ ） A．矩形的对角线相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．平行四边形的对边相等 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
13. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，对角线 BD 平分∠ABC． P 是 BD 上一点，过点 P 作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为 点 M，N． （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形 MPND 是正方形．
初中数学经典四边形习题50道(附答案)
_D _C_B_C_A_B_A_B_E_A_B_C_B_F_B_C_F_C_D _B_F_B_A_E四边形经典例题50道1．已知:在矩形ABCD中,AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC的度数。
2．已知:直角梯形ABCD中，BC=CD=a且∠BCD=60︒,E、F分别为梯形的腰AB、DC的中点,求：EF的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥DCAD=BC，E、F分别为AD、BCBD平分∠ABC交EF于G，EG=18，GF=10求：等腰梯形ABCD的周长.4、已知:梯形ABCD中，AB∥CDAC为邻边作平行四边形ACED，线交BE于F,求证：F是BE5、已知：梯形ABCDAB∥CD,AC⊥CB,AC平分∠A，∠B=60︒，梯形的周长是20cm，AB的长.6、从平行四边形四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH,垂足分别是E、F、G、H,求证：EF∥GH.7、已知：梯形ABCD的角线的交点为E若在平边的一边BC的延长线上取一点F，使SABC∆=SEBF∆，求证：DF∥AC。
8、在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC,边AB、BC的交点为E、F延长线上取一点G，使若EG与DF的交点为H,正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC为边，在三角形ABC的外部作ABDE，AF是BC边的高，延长使AG=BC，求证：BG=CD。
10、正方形ABCD，E、F分别是线上的一点,且AE=AF=AC，EF交BC，交AC于K，交CD于H,求证:EG=GC=CH=HF。
11、在正方形ABCD的对角线BD上,取BE=AB,若过E作BD的垂线EF交CD于F，求证：CF=ED.12、平行四边形ABCD中，∠A、∠D的平分线相交于E，AE、DE与DC、AB延长线交于G、F，求证:AD=DG=GF=FA。
13、在正方形ABCD的边CD上任取一点E，延长BC到F,使CF=CE，求证：BE⊥DF14、在四边形ABCD中，AB=CD，P、Q 分别是AD、BC中点，M、N分别是对角线AC、BD的中点，求证：PQ⊥MN。
矩形、菱形和正方形 专题复习——特殊四边形中的最值问题 2021--2022学年八年级数学
专题特殊四边形中的最值问题1、如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），PE⊥AB与E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A. 4B. 4.8C. 5.2D. 62、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2. 若P为对角线BD上一动点，则 EP+FP的最小值为（）A.1B. 2C. 3D. 43、如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝60︒，点E为AB的中点，点P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为（）A．3 B．6 C．33D．634、如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，+的最小值为（）E是CD的中点，则PE PDA．35B．32C．6D．55、如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．66、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以AP，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为 .7、如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB=6，BC=10．当折痕GH最长时，线段BH的长为_________．【例题讲解】3.如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N 分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是（）A．95B．125C．165D．2455．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E、F分别是AB、CD的中点，连接CE、AF．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由．（3）在（2）的条件下，若AE＝4，点M为EC中点，当点P在线段AC上运动时，求PE+PM的最小值．【巩固练习】1、如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数为（）A.60°B. 90°C. 45°D. 75°2、如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，AB=6 ，AD=8 ，则PA+PC的最小值为.3、如图，菱形ABCD中，2AB=，120∠=︒，N是AB的中点，M是对角线B+的最小值是（）AC上的一个动点，则MN MBA．2B3C5D．44、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP+PQ的最小值为.5、如图所示，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，点E，F分别是AB，AD上的动点，且满足BE=AF，连结EF，EC，CF.（1）求证△EFC是等边三角形.试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．。
第1章特殊平行四边形《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型-北师大版九年级数学上册
《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】 总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确； （3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。
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特殊四边形经典例题
①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；
于点M，N．给出下列结论：
①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S平行四边形ABCD．
其中正确的结论有（）
MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则
m1，m2的大小关系为（）
6．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：
①EF是△ABC的中位线；
②△DEF的周长等于△ABC周长的一半；
③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC；
④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形，
其中正确的是（）
7．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n，
过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=_________．8．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形
A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是_________．
9．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=_________，S△AEG=_________．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长
度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
11．邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．
探究：（1）两边分别是2和3的矩形是_________阶矩形；
（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．
（3）操作、计算：
①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；
②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．
12．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD 于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
13．如图，梯形ABCD中AD∥BC，AB⊥CB，AB=6cm，BC=14cm，AD=8cm，点E为AB上一点，且AE=2cm；点F为AD上一动点，以EF为边作菱形EFGH，且点H落在边BC上，点G在梯形ABCD的内部或边CD上，设AF=x
（1）直接写出腰CD的长与∠DCB的度数；
（2）在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形EFGH为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）若菱形EFGH的顶点G恰好在边CD上，则求出点G在CD上的位置和此时x的值．。