四边形经典例题(配套习题)
四边形练习题(含答案)
四边形练习题（含答案）1、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”。
解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是。
（2）三角形的“二分线”可以是。
（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”.2、用配方法解方程时，原方程可变形为（）A． B．C． D．3、用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是【】A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形4、在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是（）5、下列命题中错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组对边平行的四边形是梯形6、如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是( )A． B．2 C． D．7、将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）8、如下图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是A．10 B．16 C．18 D．209、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，AB=3，BC=6，沿AE翻折梯形ABCD，使点B落在AD的延长线上，记为B′，连接B′E交CD于F，则的值为( )A． B． C． D．10、用任意两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形其中一定能够拼成的图形是_______（只填题号）．11、某陶瓷市场现出售的有边长相等的正三角形、正方形、正五边形的地板砖，某顾客想买其中的镶嵌着铺地板，则他可以选择的是．12、在一张三角形纸片中，剪去其中一个50°的角，得到如图所示的四边形，则图中∠1+∠2的度数为______________。
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图 第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图 第4题图 第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°， 在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图 第8题图 第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图 第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图 第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ， 又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ， 又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形， 又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图 第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ， 又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图 第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图 第31题图 第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求， 作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图 第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图 第6题图 第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图 第10题图 第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图 第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2， 又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ， 即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°， 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ， 又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ， 由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9， 解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系； 解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。
四边形专项训练题(培优)
四边形专项训练题（培优）一．选择题（共10小题）1．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）A．1B．C．D．2．如图，在▱ABCD中，一定正确的是（）A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC3．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（）A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形4．如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（）A．5B．4C．3D．25．如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F 的坐标为（2，3），则图象最低点E的坐标为（）A．（，2）B．（，）C．（，）D．（，2）6．如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E，若AD＝8，BC＝6，则的值为（）A．B．C．D．7．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF 的边长为（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm8．如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（）A．AE＝AF B．∠EAF＝∠CBF C．∠F＝∠EAF D．∠C＝∠E9．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）A．B．C．D．10．如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形二．填空题（共10小题）11．四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝．12．正十二边形的一个内角的度数为．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为．14．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN；②∠F AN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四边形AMDN是平行四边形的是（填上所有符合要求的条件的序号）．15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB 中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为．16．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是．17．七边形一共有条对角线．18．小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是．（填一种即可）19．如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD．请你添加一个条件，使AB＝CD．（填一种情况即可）20．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED 是菱形，这个条件可以是．（写出一个即可）三．解答题（共8小题）21．同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为（n﹣2）•180°”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和为540°．22．如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：AF＝CE．23．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥BD ，OB ＝OD ．求证：四边形ABCD 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：∵AC ⊥BD ，OB ＝OD ，∴AC 垂直平分BD ．∴AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形．小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．24．如图，已知五边形ABCDE 是正五边形，连接AC 、AD ．证明：∠ACD ＝∠ADC ．25．如图，四边形ABCD 为菱形，E 为对角线AC 上的一个动点（不与点A ，C 重合），连接DE 并延长交射线AB 于点F ，连接BE ．（1）求证：△DCE ≌△BCE ；（2）求证：∠AFD ＝∠EBC ．26．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．27．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．28．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．。
二年级的四边形的数学练习题(推荐6篇)
二年级的四边形的数学练习题〔推荐6篇〕篇1：二年级的四边形的数学练习题二年级的关于四边形的数学练习题一、你认为下面的说法正确吗?1、这是一个四边形。
2、长方形的对边相等。
3、一个正方形的周长是12厘米，它的边长一定是6厘米。
4、小冬冬家到学校最近的路是第③条。
5、下面两个图形的周长相等。
二、选一选，把你认为正确的答案圈起来。
1、边长1厘米的正方形的周长是厘米。
A、1厘米B、2厘米C、4厘米2、用1张长10厘米，宽6厘米的长方形纸，折一个最大的正方形，正方形的`边长是厘米。
A、4B、6C、103、用2个边长1厘米的正方形拼成的长方形的周长是厘米。
A、6B、7C、8篇2：数学三角形与四边形练习题六道数学三角形与四边形练习题精选六道1.(安徽芜湖)一个角的`补角是36°35′，这个角是________.2.如图4-1-12，线段AB=10 cm，AD=2 cm，D为线段AC 的中点，那么线段CB=________cm.图4-1-123.(湖南株洲)如图4-1-13，直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，且∠1=120°，那么∠2=图4-1-13A.60°B.120°C.30°D.150°4.(20四川南充)如图4-1-14，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B=60°，以下结论成立的是图4-1-14A.∠C=60°B.∠DAB=60°C.∠EAC=60°D.∠BAC=60°5.以下命题中，正确的选项是A.假设a0，那么a0，b0B.假设a0，那么a0，b0C.假设ab=0，那么a=0且b=0D.假设ab=0，那么a=0或b=06.(20湖北孝感)∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠r互余，那么∠β-∠r的值等于A.45°B.60°C.90°D.180°篇3：二年级数学练习题二年级数学练习题一口算(8分)65 - 24 = 66 - 16 = 77 - 34 = 93 - 61 =85 - 25 = 5 5- 14 = 67 - 56 = 56 - 9 =42 + 9= 43 + 3 = 48 + 4 = 25 + 3 =35 + 4= 23 + 9 = 35 = 9 + 26 =25 + 5 = 24 + 7 = 24 + 6 = 38 + 7 =21= 53 - 20 = 45 - 20 = 43 - 21 =59 - 44 = 33 = 36 - 14 = 87 - 77 =36 + 43 = 25 + 55 = 24 + 16 = 52=34 + 82= 49 + 5 = 22 = 22 =46 - 8 = 34 - 5 = 83 - 6 = 45 - 23 =二填空。
四边形中的最值问题专项训练(30道)(解析版)
专题9.8 四边形中的最值问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！1．（2021春•德阳期末）如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内，使顶点A，B分别在x轴、y轴上滑动，矩形的形状保持不变，若AB＝2，BC＝1，则顶点C 到坐标原点O的最大距离为（）A．1+√2B．1+√3C．3D．√5【解题思路】取AD的中点E，连接OE，CE，OC，求得CE=√2，OE＝1，再根据OC ≤CE+OE＝1+√2，即可得到点C到原点O距离的最大值是1+√2．【解答过程】解：如图，取AB的中点E，连接OE，CE，OC，∵∠AOB＝90°，∴Rt△AOB中，OE=12AB＝1，又∵∠ABC＝90°，AE＝BE＝CB＝1，∴Rt△CBE中，CE=√12+12=√2，又∵OC≤CE+OE＝1+√2，∴OC的最大值为1+√2，即点C到原点O距离的最大值是1+√2，故选：A．2．（2021春•西岗区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（）A．2.4B．2C．1.5D．1.2【解题思路】AM=12EF=12AP，所以当AP最小时，AM最小，根据垂线段最短解答．【解答过程】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，此时AM=12AP，由勾股定理知BC=√32+42=5，∵S△ABC=12AB•AC=12BC•AP，∴AP=3×45=125，∴AM=12AP=65=1.2，故选：D．3．（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（）A．6√2B．3√2C．4D．3【解题思路】连接BP，根据PE⊥AB，PF⊥BC得到四边形PEBF为矩形，得EF＝BP，BP最短时即BP⊥AC，即可求解．【解答过程】解：连接BP，如图，，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴四边形PEBF为矩形，∴EF＝BP，当BP⊥AC，BP最短，在Rt△BPC中，BP＝PC，BC＝6，根据勾股定理可解得BP＝3√2，∴EF得最小值为3√2．故选：B．4．（2021春•重庆期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值是（）A．√2B．2C．√8D．4【解题思路】根据正方形的性质得到∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO，证得△AOE≌△DOF，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，求出OE的范围，借助勾股定理即可解决问题．【解答过程】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，在△AOE 与△DOF 中，{∠EAO =∠FDO AO =DO ∠AOE =∠DOF，∴△AOE ≌△DOF （ASA ），∴OE ＝OF （设为λ）；∴△EOF 是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF 2＝OE 2+OF 2＝2λ2；∴EF =√2OE =√2λ，∵正方形ABCD 的边长是4，∴OA ＝2√2，O 到AB 的距离等于2（O 到AB 的垂线段的长度）， 由题意可得：2≤λ≤2√2，∴2√2≤EF ≤4．所以线段EF 的最小值为2√2．故选：C ．5．（2021春•马鞍山期末）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，BC =2√3，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE 和EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为（ ）A ．√3B ．√62C ．√63D ．1 【解题思路】连接AF ，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF ，求出AF 的最小值即可解决问题．【解答过程】解：连接AF ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝2√3，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是△AEF 的中位线，∴GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，AF 最小，GH 得到最小值，∵∠B ＝45°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF =√22AB =√22×2√3=√6，∴GH =√62，即GH 的最小值为√62， 故选：B ．6．（2021春•潜山市期末）如图，点E 是边长为8的正方形ABCD 的对角线BD 上的动点，以AE 为边向左侧作正方形AEFG ，点P 为AD 的中点，连接PG ，在点E 运动过程中，线段PG 的最小值是（ ）A ．2B ．√2C ．2√2D ．4√2【解题思路】连接DG ，可证△AGD ≌△AEB ，得到G 点轨迹，利用点到直线的最短距离进行求解．【解答过程】解：连接DG ，如图，，∵四边形ABCD 、四边形AEFG 均为正方形，∴∠DAB ＝∠GAE ＝90°，AB ＝AD ，AG ＝AE ，∵∠GAD+∠DAE＝∠DAE+∠AE，∴∠GAD＝∠BAE，∵AB＝AD，AG＝AE，∴△AEB≌△AGD（SAS），∴∠PDG＝∠ABE＝45°，∴G点轨迹为线段DH，当PG⊥DH时，PG最短，在Rt△PDG中，∠PDG＝45°，P为AD中点，DP＝4，设PG＝x，则DG＝x，由勾股定理得，x2+x2＝42，解得x=2√2，故选：C．7．（2021春•蚌埠期末）如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F 为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB．若PB的最小值为5√2，则AD的值为（）A．5B．6C．7D．8【解题思路】F点在运动时，P点轨迹为平行EC的线段，BP最短为点到直线的最短距离．【解答过程】解：当F运动时，P点轨迹为GH，如图，，∵AB：AD＝2：1，∴AD＝AE＝EB＝BC，∴∠ADE＝∠DEA＝∠CEB＝∠ECB＝45°，∴∠DEC＝90°，BP的最距离为BP⊥GH时，此时P点与H点重合，F点与C点重合．∵H为CD中点，∴CH＝CB，∠GHB＝90°，在Rt△HCB中，BH＝5√2，∴CH＝CB＝5，故选：A．8．（2021春•南安市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q 在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）A．8B．10C．12D．20【解题思路】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE、CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．【解答过程】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，则BE＝2AB＝8，∵P A⊥BE，∴P A是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∴CE=√BE2+BC2=√82+62=10，∴PC+PB的最小值为10，即PC+QD的最小值为10，故选：B ．9．（2021春•连云港期末）如图，线段AB 的长为8，点D 在AB 上，△ACD 是边长为3的等边三角形，过点D 作与CD 垂直的射线DP ，过DP 上一动点G （不与D 重合）作矩形CDGH ，记矩形CDGH 的对角线交点为O ，连接OB ，则线段BO 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．4√3D ．5√3【解题思路】连接AO ，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC ＝OD ，再证明△ACO ≌△ADO ，则∠OAB ＝30°；点O 一定在∠CAB 的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB ⊥AO 时，OB 的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．【解答过程】解：连接AO ，∵四边形CDGH 是矩形，∴CG ＝DH ，OC =12CG ，OD =12DH ，∴OC ＝OD ，∵△ACD 是等边三角形，∴AC ＝AD ，∠CAD ＝60°，在△ACO 和△ADO 中，{AC =AD AO =AO CO =DO， ∴△ACO ≌△ADO （SSS ），∴∠OAB＝∠CAO＝30°，∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∴OB=12AB=12×8＝4，即OB的最小值为4．故选：B．10．（2021春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5B．9C．9√2D．92√2【解题思路】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM．∠ADM＝90°，得出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=√22AM，当AM的值最大时，AD的值最大，根据三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题．【解答过程】解：如图，将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD=√22AM，∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤9，∴AM 的最大值为9， ∴AD 的最大值为9√22．故选：D ．11．（2021春•邗江区期末）如图，以边长为4的正方形ABCD 的中心O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E 、F 两点，则线段EF 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．√2D ．2√2【解题思路】如图，作辅助线；证明△AOE ≌△DOF ，进而得到OE ＝OF ，此为解决该题的关键性结论；求出OE 的范围，借助勾股定理即可解决问题．【解答过程】解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠EAO ＝∠FDO ＝45°，AO ＝DO ；∵∠EOF ＝90°，∠AOD ＝90°，∴∠AOE ＝∠DOF ；在△AOE 与△DOF 中，{∠EAO =∠FDO AO =DO ∠AOE =∠DOF，∴△AOE ≌△DOF （ASA ），∴OE ＝OF （设为λ）；∴△EOF 是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF 2＝OE 2+OF 2＝2λ2；∴EF =√2OE =√2λ，∵正方形ABCD 的边长是4，∴OA＝2√2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤2√2，∴2√2≤EF≤4．所以线段EF的最小值为2√2．故选：D．12．（2021•宁蒗县模拟）如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（）A．2√10B．4√2C．6D．8【解题思路】作AM⊥AC，连接CM交BD于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【解答过程】解：如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴BD⊥AC，∵AM⊥AC，∴AM∥BD，∴AM∥EF，∵AM＝EF，AM∥EF，∴四边形AEFM是平行四边形，∴AE＝FM，∴AE+CF＝FM+FC＝CM，根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°∴BC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，在Rt△CAM中，CM=√AM2+AC2=√22+62=2√10∴AE+CF的最小值为2√10．故选：A．13．（2021春•宜兴市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．√12B．√20C．√48D．√80【解题思路】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答过程】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH=√AH2+AD2=√82+42=√80，∴BF+DE最小值为√80．故选：D．14．（2021春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2√3，BC＝6，P为矩形内一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC的最小值是（）A．4√3+3B．2√21C．2√3+6D．4√5【解题思路】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【解答过程】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴P A+PB+PC＝P A+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，P A+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB=ABBC=√33，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4√3，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE=√(4√3)2+62=2√21，故选：B．15．（2021•江阴市模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值等于（）A．√5+3B．2√13−2C．2√10−65D．2√2+3【解题思路】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF＝∠MEG，所以再证明∠EPF＝90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI=12BE，由OD﹣OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值．【解答过程】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD，∴四边形ADME是矩形，∴EM＝AD＝AB，∵BF＝EG，∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，∵AB∥CD∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB∵∠ABF+∠AFB＝90°∴∠ABF+∠BEG＝90°∴∠EIF＝90°，∴BF⊥EG；∵△EIB是直角三角形，∴OI=12BE，∵AB＝6，AE＝2，∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，∵OD﹣OI≤DI，∴当O、D、I共线时，DI有最小值，∵IO=12BE＝2，∴OD=√AD2+AO2=2√13，∴ID＝2√13−2，即DI的最小值为2√13−2，故选：B．16．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 4.8．【解题思路】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．【解答过程】解：设AC与BD的交点为O，∵点P是BC边上的一动点，∴AP⊥BC时，AP有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO=12AC＝3，BO＝DO=12BD＝4，∴BC=√OB2+OC2=√42+32=5，∵S菱形ABCD=12×AC×BD＝BC×AP，∴AP=245=4.8，故答案为：4.8．17．（2021春•椒江区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接BD，E为BD上一动点，P为CE中点，连接P A，则P A的最小值是2√13．【解题思路】P点运动轨迹为△CDB的中位线，即求A点到这条中位线的最短距离．【解答过程】解：当点E运动时，P点轨迹为△CBD中位线GH，如图，，∵点A到直线GH的最短距离为AF，但是E点在运动中，P点轨迹为GH，∴点A到线段GH的最短距离为AG，∵G为CD中点，∴DG＝4，在Rt △ADG 中，AD ＝6，DG ＝4， ∴AG =√62+42=2√13．故答案为2√13．18．（2021春•宁德期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，点E 是CD 上一个动点，点F ，G 分别是AB ，AE 的中点，则线段FG 的最小值是 32 ．【解题思路】连接BE ，可得FG 是△ABE 的中位线，要使线段FG 最小，需BE 最小，当点E 与点C 重合时，BE 最小为3，进而可得线段FG 的最小值．【解答过程】解：如图，连接BE ，∵点F ，G 分别是AB ，AE 的中点，∴FG 是△ABE 的中位线，∴FG =12BE ，要使线段FG 最小，需BE 最小，当点E 与点C 重合时，BE 最小为3，则线段FG 的最小值是32． 故答案为：32． 19．（2021春•东海县期末）如图，在菱形ABCD 中，AC ＝24，BD ＝10，对角线交于点O ，点E 在AD 上，且DE =14AD ，点F 是OB 的中点，点G 为对角线AC 上的一动点，则GE ﹣GF 的最大值为 134 ．【解题思路】由菱形的性质可得AO ＝CO ＝12，BO ＝DO ＝5，AC ⊥BD ，在Rt △AOD 中，由勾股定理可求AD 的长，作点F 关于AC 的对称点F '，连接GF '，取AD 中点H ，连接OH ，可得GF ＝GF '，OF ＝OF '，则GE ﹣GF ＝GE ﹣GF '≤EF '，即当点G 在EF '的延长线时，GE ﹣GF 有最大值为EF '的长，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可求解．【解答过程】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ＝12，BO ＝DO ＝5，AC ⊥BD ， ∴AD =√AO 2+DO 2=√144+25=13，如图，作点F 关于AC 的对称点F '，连接GF '，取AD 中点H ，连接OH ，∵AC ⊥BD ，点H 是AD 中点，∴OH ＝HD =12AD =132，∵点F 与点F '关于AC 对称，∴GF ＝GF '，OF ＝OF '，∴GE ﹣GF ＝GE ﹣GF '≤EF '，∴当点G 在EF '的延长线时，GE ﹣GF 有最大值为EF '的长，∵DE =14AD ，HD =12AD ，∴DE ＝EH ，∵点F 是OB 的中点，∴OF =12OB ＝OF '=12DO ，∴EF '=12OH =134，故答案为：134．20．（2021•淄博）两张宽为3cm 的纸条交叉重叠成四边形ABCD ，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD 上的动点P 到A ，B ，C 三点距离之和的最小值是 6√2cm ．【解题思路】作DE⊥BC于E，解直角三角形求得AB＝BC＝6cm，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，由旋转的性质，A′B＝AB＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，A'BA＝60°，所以△P′BP是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当P A+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得点P 到A，B，C三点距离之和的最小值．【解答过程】解：如图，作DE⊥BC于E，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，∵∠α＝30°，DE＝3cm，∴CD＝2DE＝6cm，同理：BC＝AD＝6cm，由旋转的性质，A′B＝AB＝CD＝6m，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA ＝60°，∴△P′BP是等边三角形，∴BP＝PP'，∴P A+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，根据两点间线段距离最短，可知当P A+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，∴A′C=√A′B2+BC2=√62+62=6√2（cm），因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6√2cm，故答案为6√2cm．21．（2021春•龙岩期末）如图，正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，动点P沿着CA由C向A运动．连接EP，若AC＝10，CF＝8．则EP的最小值是4√3+4．【解题思路】过点E作EP⊥AC，交FC于点G，当EP⊥AC时，EP取得最小值，然后根据含30度角的直角三角形列式计算即可求出EP的最小值．【解答过程】解：如图，过点E作EP⊥AC，交FC于点G，当EP⊥AC时，EP取得最小值，∵正三角形ABC与正方形CDEF的顶点B，C，D三点共线，∴∠ACB＝60°，∠FCD＝90°，∴∠ACF＝30°，∴∠CGP＝∠EGF＝60°，∵∠F＝90°，∴∠FEG＝30°，设PG＝x，则CG＝2x，∴FG＝CF﹣CG＝8﹣2x，∴EG＝2FG＝2（8﹣2x），∵FG=√33EF，∴8﹣2x ＝8×√33， ∴x ＝4−4√33，∴EP ＝EG +PG ＝2（8﹣2x ）+x ＝16﹣3x ＝4√3+4．故答案为：4√3+4．22．（2021春•茅箭区校级期末）如图，已知线段AB ＝12，点C 在线段AB 上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD 为边在CD 的右侧作矩形CDEF ，连接DF ，点M 是DF 的中点，连接MB ，则线段MB 的最小值为 6 ．【解题思路】连接AM 、CM 、EM ，根据四边形CDEF 是矩形，和△ACD 是等边三角形，证明△ADM ≌△ACM ，从而求出∠CAM ＝30°，当BM ⊥AM 时，MB 有最小值，然后用含有30°角的直角三角形的性质求出MB ．【解答过程】解：连接AM 、CM 、EM ，如图：∵矩形CDEF ，M 是DF 的中点，∴C 、M 、E 共线，∴DM =12DF =12CE ＝CM ，∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC ＝60°，AD ＝AC ，在△ADM 和△ACM 中，{AD =AC DM =CM AM =AM，∴△ADM ≌△ACM （SSS ），∴∠DAM ＝∠CAM ，∵∠DAC ＝60°，∴∠CAM ＝30°，∴当BM ⊥AM 时，MB 有最小值，此时，BM =12AB =12×12＝6， 故答案为：6．23．（2021•北仑区二模）如图，△ABC 的边AB ＝3，AB 边上的中线CM ＝1，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACGH 与正方形BCDE ，连接GD ，取GD 中点N ．则点N 到线段AB 的距离最大值为 52 ．【解题思路】当GD ∥AB 时，N 点到AB 的距离最大，则AC ＝BC ，∴N 、C 、M 三点共线且MN ⊥AB ，通过证明△AMC ≌△GOC ，可以求出AM ，然后再证明出OCNG 是矩形，从而求出MN ．【解答过程】解：∵点N 到AB 的距离介于G 、D 到AB 的距离之间，∴当GD ∥AB 时，N 点到AB 的距离最大，则AC ＝BC ，∴N 、C 、M 三点共线且MN ⊥AB ，过点C 作CP ∥AB ，作GO ⊥CP ，O 为垂足，∵PC ∥AB ，∴∠PCA ＝∠CAM ，∠PCA +∠OCG ＝90°，∠OGC +∠OCG ＝90°，∴∠OGC ＝∠PCA ＝∠CAM ，在△AMC 和△GOC 中，{∠AMC =∠GOC ∠CAM =CGO AC =CG，∴△AMC ≌△GOC （AAS ），∴GO ＝AM =12AB =32，∵GO ⊥PC ，MN ⊥AB ，PC ∥AB ，∴PC ⊥MN ，MN ⊥GD ，∴四边形GDCN 是矩形，∴GO ＝NC ，MN ＝CM +CN ，∵CM ＝1，GO ＝NC =32，∴MN ＝1+32=52．故答案为：52． 24．（2021•眉山）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ＝10，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且AM ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP +12PB 的最小值是 7√32 ．【解题思路】过点P 作PE ⊥BC 于E ，由菱形的性质可得AB ＝BC ＝AC ＝10，∠ABD ＝∠CBD ，可证△ABC 是等边三角形，可求∠CBD ＝30°，由直角三角形的性质可得PE =12PB ，则MP +12PB ＝PM +PE ，即当点M ，点P ，点E 共线且ME ⊥BC 时，PM +PE 有最小值为ME ，由锐角三角函数可求解．【解答过程】解：如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝AC ＝10，∴AB ＝BC ＝AC ＝10，∠ABD ＝∠CBD ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠CBD ＝30°，∵PE ⊥BC ，∴PE =12PB ，∴MP +12PB ＝PM +PE ，∴当点M ，点P ，点E 共线且ME ⊥BC 时，PM +PE 有最小值为ME ，∵AM ＝3，∴MC ＝7，∵sin ∠ACB =ME MC =√32， ∴ME =7√32，∴MP +12PB 的最小值为7√32， 故答案为7√32． 25．（2021•海安市二模）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，E 在边BC 上运动，M 、N 在对角线BD 上运动，且MN =√5，连接CM 、EN ，则CM +EN 的最小值为 115 ．【解题思路】先作C 点关于BD 的对称点F ，然后再把F 左移2个单位，下移1个单位，得到Q ，再过Q 作QE ⊥BC 于E ，交BD 于N ，连接BF ，过F 作FP ⊥BC 于P ，以B 为原点建立平面直角坐标系，求出F 的坐标，再求出Q 的坐标，即可得出答案．【解答过程】解：先作C 点关于BD 的对称点F ，然后再把F 左移2个单位，下移1个单位，得到Q ，再过Q 作QE ⊥BC 于E ，交BD 于N ，连接BF ，过F 作FP ⊥BC 于P ，以B 为原点建立平面直角坐标系，如图所示，∵AB ＝2＝CD ，BC ＝4，∴C （4，0），BF ＝BC ＝4， 由勾股定理得：BD =√BC 2+CD 2=√42+22=2√5，由三角形面积公式得：12×CR ×BD =12×BC ×CD ， 即CR =BC×CD BD =2√5=4√55， 即CF ＝2CR =8√55，由勾股定理得：BF 2﹣BP 2＝CF 2﹣CP 2，∴42﹣BP 2＝（8√55）2﹣（4﹣BP ）2， 解得：BP =125，∴FP =√42−(125)2=165， ∴F 的坐标是（125，165）， ∴Q 的坐标是（25，115），即CM +EN 的最小值为115， 故答案为：115．26．（2021•浙江自主招生）如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 2 ，最小值为 √2 ．【解题思路】连接AC 、DP ，根据三角形的面积公式得出S △DPC ＝S △APC =12AP ×CC ′，根据S 正方形ABCD ＝S △ABP +S △ADP +S △DPC ，推出BB ′+DD ′+CC ′=2AP ，根据已知得出1≤AP ≤√2，代入求出即可．【解答过程】解：连接AC、DP，S正方形ABCD＝1×1＝1，由勾股定理得：AC=√12+12=√2，∵AB＝1，∴1≤AP≤√2，∵△DPC和△APC的边CP上的高DC＝AB，∴S△DPC＝S△APC=12AP×CC′，1＝S正方形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC=12AP（BB′+DD′+CC′），BB′+DD′+CC′=2 AP，∵1≤AP≤√2，√2≤BB′+CC′+DD′≤2，故答案为：2，√2．27．（2021•乾县一模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为边AB的中点，点P在对角线BD上且PE+P A＝6，则AB长的最大值为4√3．【解题思路】连接PC，CE，AC；由已知条件可以得出PE+PC＝PE+P A＝6≥CE（当P是AE与DB的交点时取等号），再利用等边三角形的性质得出CE=√32AB，进而求出AB长的最大值．【解答过程】解：连接PC，CE，AC，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AP＝PC，∴PE+PC＝PE+P A＝6≥CE，∵∠DAB＝120°，∴∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 为线段AB 的中点，∴AE ＝BE ，∴∠AEC ＝90°，∠BCE ＝30°，∴CE =√32BC =√32AB ≤6，所以AB ≤4√3，即AB 长的最大值是4√3，故答案为：4√3．28．（2021•寿光市二模）如图所示，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于点O ，AO ＝CO ＝4，BO＝DO ＝3，点P 为线段AC 上的一个动点．过点P 分别作PM ⊥AD 于点M ，作PN ⊥DC 于点N ．连接PB ，在点P 运动过程中，PM +PN +PB 的最小值等于 7.8 ．【解题思路】证四边形ABCD 是菱形，得CD ＝AD ＝5，连接PD ，由三角形面积关系求出PM +PN ＝4.8，得当PB 最短时，PM +PN +PB 有最小值，则当BP ⊥AC 时，PB 最短，即可得出答案．【解答过程】解：∵AO ＝CO ＝4，BO ＝DO ＝3，∴AC ＝8，四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD 于点O ，∴平行四边形ABCD 是菱形，AD =√AO 2+DO 2=√42+32=5，∴CD ＝AD ＝5，连接PD ，如图所示：∵S △ADP +S △CDP ＝S △ADC ，∴12AD •PM +12DC •PN =12AC •OD ，即12×5×PM +12×5×PN =12×8×3， ∴5×（PM +PN ）＝8×3，∴PM +PN ＝4.8，∴当PB 最短时，PM +PN +PB 有最小值，由垂线段最短可知：当BP ⊥AC 时，PB 最短，∴当点P 与点O 重合时，PM +PN +PB 有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，故答案为：7.8．29．（2021•河西区二模）已知正方形ABCD 的边长为2，EF 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且满足BE ＝CF ，连接AE ，AF ，则AE +AF 的最小值为 2√5 ．【解题思路】连接DE ，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接BA ′、EA ′，易得AE +AF ＝AE +DE ＝A 'E +DE ，当D 、E 、A ′在同一直线时，AE +AF 最小，利用勾股定理求解即可．【解答过程】解：连接DE ，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接BA ′、EA ′，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝CD ＝BC ，∠ADC ＝∠BCD ＝90°，∵BE ＝CF ，∴DF ＝CE ，在△DCE 与△ADF 中，{DC =AD ∠BCD =∠ADC CE =DF，∴△DCE ≌△ADF （SAS ），∴DE ＝AF ，∴AE +AF ＝AE +DE ，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接BA ′、EA ′，则AE ＝A ′E ，即AE +AF ＝AE +DE ＝A 'E +DE ，当D 、E 、A ′在同一直线时，AE +AF 最小，AA ′＝2AB ＝4，此时，在Rt △ADA ′中，DA ′=√22+42=2√5， 故AE +AF 的最小值为2√5．故答案为：2√5．30．（2021春•鹿城区校级期中）学习新知：如图1、图2，P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP 2+CP 2＝BP 2+DP 2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图3，在△ABC 中，CA ＝4，CB ＝6，D 是△ABC 内一点，且CD ＝2，∠ADB ＝90°，则AB 的最小值为 4√3−2 ．【解题思路】以AD 、BD 为边作矩形ADBE ，连接CE 、DE ，由矩形的性质得出AB ＝DE ，由题意得CD 2+CE 2＝CA 2+CB 2，求出CE ＝4√3，当C 、D 、E 三点共线时，DE 最小，得出AB 的最小值＝DE 的最小值＝CE ﹣CD ＝4√3−2．【解答过程】解：以AD 、BD 为边作矩形ADBE ，连接CE 、DE ，如图所示：则AB ＝DE ，由题意得：CD 2+CE 2＝CA 2+CB 2，即22+CE 2＝42+62，解得：CE＝4√3，当C、D、E三点共线时，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝4√3−2；故答案为：4√3−2．。
初中数学专题《四边形中的最值问题》专项训练30道含答案解析
专题18.8 四边形中的最值问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！一．选择题（共10小题）1．（2022春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）A．43+3B．221C．23+6D．45【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE 的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC=AB2+BC2=43，∴AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝43，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE=(43)2+62=221，故选：B．2．（2022•灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（ ）2 A．5B．7C．72D．72【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝AM，CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=22推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题；【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，AM，∴AD=22∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤7，∴AM的最大值为7，，∴AD的最大值为722故选：D ．3．（2022春•中山市期末）如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，点P 是CE 上一动点，则点P 到边BD ，BC 的距离之和PM +PN 的值（ ）A ．有最大值aB ．有最小值22a C ．是定值a D ．是定值22a 【分析】连接BP ，作EF ⊥BC 于点F ，由正方形的性质可知△BEF 为等腰直角三角形，BE ＝a ，可求EF ，利用面积法得S △BPE +S △BPC ＝S △BEC ，将面积公式代入即可．【解答】解：如图，连接BP ，作EF ⊥BC 于点F ，则∠EFB ＝90°，∵正方形的性质可知∠EBF ＝45°，∴△BEF 为等腰直角三角形，∵正方形的边长为a ，∴BE ＝BC ＝a ，∴BF ＝EF =22BE =22a ，∵PM ⊥BD ，PN ⊥BC ，∴S △BPE +S △BPC ＝S △BEC ，∴12BE ×PM +12BC ×PN =12BC ×EF ，∵BE ＝BC ，∴PM +PN ＝EF =22a ．则点P 到边BD ，BC 的距离之和PM +PN 的值是定值22a ．故选：D ．4．（2022春•三门峡期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（ ）A．2B．4C．2D．22【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP 的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，CE．∴P1P2∥CE且P1P2=12当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．CF．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1=2．∴PB的最小值是2．故选：C．5．（2022春•滨湖区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（ ）A．45B．89C．10D．72【分析】过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，根据菱形的性质和勾股定理可得BM＝3，以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，可得B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A′（3，﹣4），然后证明△ABP≌△ADQ（SAS），可得AP＝AQ＝A′P，连接A′D，AP，A′P，由A′P+PD＞A′D，可得A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，所以PD+AQ 的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝5，∠ABC＝∠ADC，∵菱形ABCD的面积为20，边长为5，∴AM＝4，在Rt△ABM中，根据勾股定理得：BM=AB2−AM2=3，以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，∴B（0，0），A（3，4），C（5，0），D（8，4），A′（3，﹣4），∵PC＝CQ，BC＝CD，∴BP＝DQ，在△ABP和△ADQ中，AB=AD∠ABC=∠ADC，BP=DQ∴△ABP≌△ADQ（SAS），∴AP＝AQ＝A′P，连接A′D，AP，A′P，∵A′P+PD＞A′D，∴A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，∴PD+AQ的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D=(8−3)2+(4+4)2=89．故选：B．6．（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（ ）A．2B．1C．5−1D．5−2【分析】根据正方形的性质可得AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AFD＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角AD＝1，利用勾股定理列式求出OC，然三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=12后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，AD=BCAM=BN，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠1＝∠2，在△DCE和△BCE中，BC=CD∠DCE=∠BCE，CE=CE∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，∴∠1+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，AD＝1，则OF＝DO=12在Rt△ODC中，OC=DO2+DC2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF=5−1．故选：C．7．（2022•龙华区二模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为13−2．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF＝EG，故①正确；根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到PE＝PC；故②正确；连接EF，推出点E、P、F、C四点共圆，根据圆周角定理得到∠FEC＝∠FPC＝45°，于是得到BF＝DE＝1，同理当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且EPCF四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．因此BF＝1或7，故③错误；取AE的中点O，连接PO，CO，根据直角三角形的性质得到AO＝PO =1AE，推出点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当OC最小时，CP的值最小，根2据三角形的三边关系得到PC≥OC﹣OP，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，∵AB＝BC，∴EH＝AB，∵EG⊥AF，∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠EGH＝∠AFB，∵∠B＝∠EHG＝90°，∴△HEG≌△ABF（AAS），∴AF＝EG，故①正确；∵AB∥CD，∴∠AGE＝∠CEG，∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，∵∠BAF＝∠PCF，∴∠AGE＝∠PCE，∴∠PEC＝∠PCE，∴PE＝PC；故②正确；连接EF，∵∠EPF＝∠FCE＝90°，∴点E、P、F、C四点共圆，∴∠FEC＝∠FPC＝45°，∴EC＝FC，∴BF＝DE＝1，同理当F运动到C点右侧时，此时∠FPC＝45°，且E、P、C、F四点共圆，EC＝FC＝3，故此时BF＝BC+CF＝4+3＝7．因此BF＝1或7，故③错误；取AE的中点O，连接PO，CO，AE，∴AO＝PO=12∵∠APE＝90°，∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，∴当OC最小时，CP的值最小，∵PC ≥OC ﹣OP ，∴PC 的最小值＝OC ﹣OP ＝OC −12AE ，∵OC =22+(72)2=652，在Rt △ADE 中，AE =42+12=17，∴PC 的最小值为652−172，故④错误，故选：B ．8．（2022•南平校级自主招生）如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点（且点P 不与点B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ．则EF 的最小值为（ ）A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PEAF 是矩形；连接PA ，则PA ＝EF ，所以要使EF ，即PA 最短，只需PA ⊥CB 即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA 的值．【解答】解：如图，连接PA ．∵在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，∴BC 2＝AB 2+AC 2，∴∠A ＝90°．又∵PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ．∴∠AEP ＝∠AFP ＝90°，∴四边形PEAF 是矩形．∴AP ＝EF ．∴当PA 最小时，EF 也最小，即当AP ⊥CB 时，PA 最小，∵12AB •AC =12BC •AP ，即AP =AB ⋅AC BC =6×810=4.8，∴线段EF 长的最小值为4.8；故选：B ．9．（2022春•崇川区期末）如图，正方形ABCD 边长为1，点E ，F 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BE ＝CF ，连接BF ，DE ，则BF +DE 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【分析】连接AE ，利用△ABE ≌△BCF 转化线段BF 得到BF +DE ＝AE +DE ，则通过作A 点关于BC 对称点H ，连接DH 交BC 于E 点，利用勾股定理求出DH 长即可．【解答】解：连接AE ，如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°．又BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ）．∴AE ＝BF ．所以BF +DE 最小值等于AE +DE 最小值．作点A 关于BC 的对称点H 点，如图2，连接BH ，则A 、B 、H 三点共线，连接DH ，DH 与BC 的交点即为所求的E 点．根据对称性可知AE ＝HE ，所以AE +DE ＝DH ．在Rt △ADH 中，AD ＝1，AH ＝2，∴DH =AH 2+AD 2=5，∴BF +DE 最小值为5．故选：C ．10．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（ ）A．2B．2C．22D．4【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC=2AB＝22，∴d1+d2+d3最小＝AC＝22，故选：C．二．填空题（共10小题）11．（2022春•江城区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 3+13 ．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于的一半可得OE=12第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，∴AE＝BE＝3＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，∴DE=AE2+AD2=13，∵OD≤OE+DE，∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+13，故答案为：3+13．12．（2022•东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为 13 ．【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．【解答】解：如图，连接BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，∴PC+QD＝PC+PB，∴PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，如图，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，∴PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE=BE2+BC2=13．∴PC+DQ的最小值为13．故答案为：13．13．（2022•钱塘区一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为 62 ．【分析】方法一：延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG，可得四边形AA′EH是平行四边形，所以A′E＝AH，则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值，根据勾股定理即可解决问题．方法二：过点G作GA′∥AH交AF于点A′，可得四边形AHGA′是平行四边形，进而可以解决问题．【解答】解：方法一：如图，延长DA至A′，使A′A＝EH＝EF＝4，连接A′E，EG，∵HE⊥AB，AA′⊥AB，∴AA′∥EH，∵A′A＝EH，∴四边形AA′EH是平行四边形，∴A′E＝AH，则AH+CG的最小值即为A′E+CG的最小值，∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝FG＝4，∴EG＝42，∵A′D＝AD+AA′＝6+4＝10，在Rt△A′DC中，DC＝AB＝10，∴A′C=A′D2+DC2=102，∴A′E+CG＝A′C﹣EG＝62．方法二：如图，过点G作GA′∥AH交AF于点A′，∴四边形AHGA′是平行四边形，∴AA′＝HG＝4，A′G＝AH，∴A′B＝AB﹣AA′＝6，∵BC＝6，∴A′C＝62，∴AH+CG＝A′G+CG≥A′C，则AH+CG的最小值为62．故答案为：62．14．（2022春•东城区期中）在正方形ABCD中，AB＝5，点E、F分别为AD、AB上一点，且AE＝AF，连接BE、CF，则BE+CF的最小值是 55 ．【分析】连接DF，根据正方形的性质证明△ADF≌△ABE（SAS），可得DF＝BE，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点F′，连接D′F，则DF＝D′F，可得BE+CF＝DF+CF＝D′F+CF≥CD′，所以当点F与点F′重合时，D′F+CF最小，最小值为CD′的长，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAE＝∠DAF＝90°，在△ADF 和△ABE 中，AD =AB ∠FAD =∠EAB AF =AE，∴△ADF ≌△ABE （SAS ），∴DF ＝BE ，作点D 关于AB 的对称点D ′，连接CD ′交AB 于点F ′，连接D ′F ，则DF ＝D ′F ，∴BE +CF ＝DF +CF ＝D ′F +CF ≥CD ′，∴当点F 与点F ′重合时，D ′F +CF 最小，最小值为CD ′的长，在Rt △CDD ′中，根据勾股定理得：CD ′=CD 2+DD′2=52+102=55，∴BE +CF 的最小值是55．故答案为：55．15．（2022春•虎林市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，且BA ＝12，AC ＝16，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，点G 为四边形DEAF 对角线交点，则线段GF 的最小值为 245 ．【分析】由勾股定理求出BC 的长，再证明四边形DEAF 是矩形，可得EF ＝AD ，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【解答】解：连接AD 、EF ，∵∠BAC ＝90°，且BA ＝9，AC ＝12，∴BC =AB 2+AC 2=122+162=20，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DFA ＝∠BAC ＝90°，∴四边形DEAF 是矩形，∴EF ＝AD ，∴当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，此时，△ABC 的面积=12AB ×AC =12BC ×AD ，∴12×16＝20AD ，∴AD =485∴EF 的最小值为485，∵点G 为四边形DEAF 对角线交点，∴GF =12EF =245；故答案为：245．。
平行四边形10道经典例题
平行四边形经典例题一、已知平行四边形的性质求角度例题：在平行四边形ABCD 中，∠A 的度数比∠B 的度数小40°，求∠A 和∠B 的度数。
解析：因为平行四边形的邻角互补，即∠A + ∠B = 180°。
又已知∠A 比∠B 小40°，即∠B - ∠A = 40°。
联立这两个方程可得：∠A = 70°，∠B = 110°。
二、利用平行四边形的性质求边长例题：平行四边形ABCD 的周长为40，AB = 6，求BC 的长。
解析：平行四边形的对边相等，所以AB = CD = 6，BC = AD。
周长为40，则2(AB + BC) = 40，即2×(6 + BC) = 40，解得BC = 14。
三、判断四边形是否为平行四边形例题：已知四边形ABCD 中，AB∠CD，AB = CD，判断四边形ABCD 是否为平行四边形。
解析：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD 是平行四边形。
四、根据平行四边形的性质求线段长度例题：在平行四边形ABCD 中，AC、BD 是对角线，AC = 10，BD = 8，且AC 与BD 的夹角为60°，求AB 的长度。
解析：过 A 作AE∠BD 于E。
设O 为AC 与BD 的交点，则AO = 5，BO = 4。
在直角三角形AOE 中，因为∠AOE = 60°，所以OE = AO×cos60° = 5×1/2 = 2.5，AE = AO×sin60° = 5×√3/2。
在直角三角形ABE 中，根据勾股定理可得AB = √(AE² + BE²) = √[(5×√3/2)²+(4 + 2.5)²]。
五、利用平行四边形的性质证明线段相等例题：在平行四边形ABCD 中，E、F 分别是AB、CD 的中点，连接DE、BF。
平行四边形经典练习题（3套）附详细解答过程
平行四边形经典练习题（3套）附详细解答过程练习1一、选择题（3′×10=30′）1．下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（）．A．内角和为360° B．外角和为360° C．不确定性 D．对角相等2． ABCD中，∠A=55°，则∠B、∠C的度数分别是（）．A．135°，55° B．55°，135° C．125°，55° D．55°，125°3．下列正确结论的个数是（）．①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．A．1 B．2 C．3 D．44．平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（）．A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm5．在 ABCD中，AB+BC=11cm，∠B=30°，S ABCD=15cm2，则AB与BC的值可能是（）．A．5cm和6cm B．4cm和7cm C．3cm和8cm D．2cm和9cm6．在下列定理中，没有逆定理的是（）．A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;B．直角三角形两个锐角互余;C．全等三角形对应角相等;D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等.7．下列说法中正确的是（）．A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题8．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）．A．1：2：1 B．1 1 C．1：4：1 D．12：1：29．一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（）个．A．2 B．3 C．4 D．510．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为（）．A．2 B．2.5 C．3 D．3.5二、填空题（3′×10=30′）11．用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的比为3：4，短边的比为________，长边的比为________．12．已知平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成两个三角形，?周长都是18cm，则这条对角线长是_________cm．13．在ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，?若 ABCD?的周长为38cm，△ABD的周长比 ABCD的周长少10cm，则 ABCD的一组邻边长分别为______．14．在 ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠F=65°，则 ABCD的各内角度数分别为_________．15．平行四边形两邻边的长分别为20cm，16cm，两条长边的距离是8cm，?则两条短边的距离是_____cm．16．如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______，?那么这两个命题是互为逆命题．17．命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是_________．18．在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是________．19．直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为________，斜边被高分成两部分的长分别是__________．20．△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，且a+b+?c?是3?的倍数，?则c?应为________，此三角形为________三角形．三、解答题（6′×10=60′）21．如右图所示，在 ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，求 ABCD的周长．22．如图所示，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF．F C DAE B23．如图所示， ABCD的周长是AB的长是DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB?的延长线于点F，DE的长是3，求（1）∠C的大小；（2）DF的长．24．如图所示，ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、?∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：?推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．25．已知△ABC的三边分别为a，b，c，a=n2-16，b=8n，c=n2+16（n>4）.求证：∠C=90°．26．如图所示，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE⊥AB于D，DE=12，S△A BE=60，?求∠C 的度数．27．已知三角形三条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，?求三条中位线的长．28．如图所示，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：∠1=∠2．29．如图所示，△ABC的顶点A在直线MN上，△ABC绕点A旋转，BE⊥MN于E，?CD?⊥MN于D，F为BC中点，当MN经过△ABC的内部时，求证：（1）FE=FD；（2）当△ABC继续旋转，?使MN 不经过△ABC内部时，其他条件不变，上述结论是否成立呢？30．如图所示，E是ABCD的边AB延长线上一点，DE交BC于F，求证：S△ABF =S△EFC．练习2一、填空题(每空2分,共28分) 1.已知在中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平行四边形的周长为cm .2.要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是形,再说明(只需填写一种方法)3.如图,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .那么图中共有个等腰直角三角形.4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.(1)正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成; (第3题) (2)菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成; (3)矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成.5.矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为cm .6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形,那么这个梯形中除两个直角外,其余两个内角的度数分别为和 .7.平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为cm . 8.根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为m .第10题) 9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm 和6cm ,那么这个平行四边形的面积为2cm .10.如图,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: (1)AB ∥CD ;(2)AB=CD ;(3)AB ⊥BC ;(4)AO=OC .其中正确的结论是 . (把你认为正确的结论的序号都填上) 二、选择题(每题3分,共24分)11. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（）A 、三角形B 、四边形C 、五边形D 、六边形12.下列说法中,错误的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 平行四边形的对角相等 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形13.给出四个特征(1)两条对角线相等;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4)是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个14. 四边形ABCD 中，AD//BC ，那么的值可能是（）A 、3：5：6：4B 、3：4：5：6C 、4：5：6：3D 、6：5：3：415.如图,直线a ∥b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ?的面积 ( )A.变大B.变小C.不变D.无法确定(第15题) (第16题) (第17题) A B C D EFA B C a b ABCD AB CDO ABCDOl16.如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于 ( )A. 15B. 30C. 45D. 6017.如图,在ABC ?中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F , 那么四边形AFDE 的周长是 ( ) A.5 B.10C.15D.2018.已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四形 ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:(1)如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;(2)如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; (3)如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;(4)如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形其中正确的说法是( )A.(1)(2)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)D.(2)(3)(4) 三、解答题(第19题8分,第20~23题每题10分,共48分) 19.如图,中,DB=CD , 70=∠C ,AE ⊥BD于E .试求DAE ∠的度数.(第19题)20.如图中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG , 100=∠DGE . (1)试说明DF=BG ; (2)试求AFD ∠的度数.(第20题)21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH ;(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是: ;(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是:AB CD EABCD FEG.(图①) (图②) (图③) (图④) (第21题)22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.(第22题)练习一答案:A BC D一、1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C二、11．3cm 4cm 12．8 13．9cm和10cm 14．50°，130°，50°，130° ? ? 15．10 16．结论题设 17．同旁内角互补，两直线平行18．5．13 直角三、21． ABCD的周长为20cm 22．略23．（1）∠C=45°（2）DF=224．略25．?略 26．∠C=90° 27．三条中位线的长为：12cm；20cm；24cm 28．提示：连结BD，取BD?的中点G，连结MG，NG 29．（1）略（2）结论仍成立．提示：过F作FG⊥MN于G 30．略练习二答案1.60.2.平行四边形;有一组邻边相等.3.8. 提示:它们是.,,,,,,,ACDBCDABCABDAODCODBOCAOB?4.(1)等腰直角三角形; (2)等腰三角形; (3)直角三角形.7.3.8.4. 提示:如图所示,将“十”字标志的某些边进行平移后可得到一个边长为1m的正方形,所以它的周长为4m.8题)9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半.10. (1)(2)(4). 提示:四边形ABCD是菱形.11.B. 12.D.13.C. 14.C.15.C. 提示:因为ABC的底边BC的长不变,BC边上的高等于直线ba,之间的距离也不变,所以ABC的面积不变.16.A. 提示:由于()BAFDAEFAEDAEFAE∠-=∠=∠∠∠9021,所以通过折叠后得到的是由.17.B. 提示:先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC.18.C.19.因为BD=CD,所以,CDBC∠=∠又因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,所以,DBCD∠=∠因为20709090,,=-=∠-=∠⊥DDAEAEDBDAE中所以在直角.20.(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,又AF=CG,所以AB－AF=DC－CG,即GD=BF,又DG∥BF,所以四边形DFBG是平行四边形,所以DF=BG;(2)因为四边形DFBG是平行四边形,所以DF∥GB,所以AFDGBF∠=∠,同理可得DGEGBF∠=∠,所以100=∠=∠DGEAFD.21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(2)矩,有一个是直角的平行四边形是矩形.22.如图所示,连结对角线AC、BD,过A、B、C、D分别作BD、AC、BD、AC的平行线,且这些平行线两两相交于E、F、G、H,四边形EFGH即为符合条件的平行四边形.ABCDEFGH。
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四边形经典例题 （配套习题）【例题精选】：例1：如图1，已知：□ABCD 中，AE BD CF BD ⊥⊥，，垂足为E 、F ，G 、H 分别为AD 、BC 的中点，连结GE 、EH 、HF 、FG 。
求证：EF 和GH 互相平分。
证明一：AE BD G AD ⊥，为中点∴==GE GD AD 12（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴∠=∠GED GDE （等边对等角）同理可证：HF HB BC HFB HBF ==∠=∠12，□ABCD∴∠=∠∴=∠=∠∴AD BC GDE HBFGE HF GED HFB GE HF////，，且 ∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴EF 和GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分） 证明二： 连结BG 、DH ，如图2□ABCD ，G 、H 分别为AD 、BC 中点∴DG BH //∴四边形BHDG 是平行四边形 ∴BD 和GH 互相平分，设BD 、GH 交于O 即OG=OH ，OB=OD 又 AB=CD∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFD=90︒∴≅∴=∴-=-==∆∆ABE CDF AAS BE DFOB BE OD DFOE OF OG OH （）即，又∴EF 和GH 互相平分。
小结：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的。
往往更多的是求证线段相等、角相等、直线平行、线段互相平分等等。
要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等。
先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明。
当然，特殊的平行四边形也不例外。
例2：如图3，已知：菱形ABCD ，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，∠=∠=︒∠=︒B EAF BAE 6018，求：∠CEF 的度数分析：由菱形ABCD ，∠=︒B ABC 60，可得∆是等边三角形，所以∠=∠=︒BAC ACD 60，∠=︒EAF 60，得出∠BAE=∠CAF ，从而可证∆∆ABE ACF ≅，进而推出∆AEF是等边三角形，求出∠CEF 的度数。
解：连结AC ∵菱形ABCD ∴BA=BC ，∠ACB=∠ACD ∵∠=︒B 60 ∴∆ABC 是等边三角形∴∠=∠=︒=∴∠=∠=︒∠=∠=︒∴∠=∠∴≅BAC ACB AB AC ACF B EAF BAC BAE CAFABE ACF AAS 606060，（） ∆∆∴=∴∴∠=︒AE AFAEF AEF ∆是等边三角形60 ∠+∠=∠+∠∠=︒∴∠=︒AEF CEF B BAE BAE CEF 1818例3：如图4，已知：正方形ABCD ，E 、F 为AB 、BC 上两点，且EF=AE+FC 求证：∠=︒EDF 45 证明：延长BC 至G ，使CG=AE ，连结DG正方形，（）又，公用（）ABCDAD CD A DCG DAE DCG SAS ADE CDG DE DG ADC EDG EF AE FCEF CG FC FG DF EDF GDF SSS EDF GDF ∴=∠=∠=︒∴≅∴∠=∠=∠=︒∴∠=︒=+∴=+=∴≅∴∠=∠=︒90909045∆∆∆∆,小结：本题通过作辅助线使∆∆DAE DCG ≅，实际上是作一个新图形全等于原来的图形。
辅助线的作法也可以这样叙述：“把∆DAE 绕D 点按逆时针方向旋转90︒到∆DCG 的位置”可见用旋转的几何语言来叙述两个图形全等比较简洁。
把一个图形绕某一点（或某一直线）旋转多少度，是根据解题需要而变化的。
本题的目的是使线段AE 移至CG ，使AE 、FC 在同一条直线上，并且∠=︒EDG 90，从而考虑DF 平分∠EDG ，从而使问题得到解决。
故此种方法应在理解的基础上合理运用。
例4：如图5，已知：正方形ABCD ，BE ∥AC ，且AE=AC 交BC 于F 求证CF=CE分析：CF 、CE 在同一三角形中，故考虑用“等角对等边”易知∠=AEC 1802︒-∠EAC，∠CFE=∠EAC ＋∠ACF=∠EAC +︒45，从上述两个式子无法直接判断∠AEC 是否与∠CFE 相等，若能分别求出∠AEC 和∠CFE 就可以判断了，故本题关键是如何求出∠EAC 的度数。
这就要充分运用已知条件（包括题目中的隐含条件，如正方形具有的性质，对角线？）。
因此AE=AC 这个条件很重要。
因为AC 是正方形ABCD 的对角线。
证明：如图6，作EG AC ⊥于G ，连结BD 交AC 于O 。
∴⊥=BO AC BO AC ，12（正方形对角线相等，且互相垂直平分） ∴BO ∥EG （垂直于同一直线的两直线平行） 又∵BE ∥AC∴BO=EG （夹在两条平行线间的平行线段相等）∴==∴=EG AC AC AE EG AE Rt AEG 1212又，在中∆∴∠=︒EAC 30（在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30︒） ∆ACE 是等腰三角形∴∠=︒-∠=︒AEC EAC180275∵AC 是正方形ABCD 的对角线。
∴∠=︒ACB AFC 45，在中，∆ ∠=∠+∠=︒CFE EAC ACB 75（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）即（等角对等边）∠=∠∴=AEC CFE CF CE例5：已知：如图7，∆ABC AB AC 中，=，延长AB 到D ，使BD=AB ，又CE 是AB 边上的中线。
求证：CE CD =12证明一： 如图8，过点B 作BF ∥AC 交CD 于F ∵AB=BD ，AB=AC∴CF CD =12（过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边）∴BF AC AB ==1212（三角形中位线等于第三边的一半） ∵AE=EB ∴BF=BE∵∠1=∠ACB ，∠2=∠ACB ∴∠1=∠2 又BC 公用∴∆∆BEC BFC SAS ≅() ∴CE=CF即：CE CD =12证明二：如图9过点B 作BF ∥CD 交AC 于F ∵AB=BD ∴AF=FC∴BF CD =12∵AC=AB ∴AE=AF 又∠A 公用∴∆∆ACE ABF SAS ≅() ∴CE=BF即：CE CD =12证明三：如图10延长CE 至F ，使CE=EF ，连结BF 、AF 得□AFBC （对角线互相平分的四边形是平行四边形）∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠+∠∴∠=∠==∴=∴≅∴===CAB ABF AC ABACB ABCCBD A ACB CBD CBF AC BF AB BD BF BD BC CBF CBD SAS CF CDCE CFCE CD，又公用（）又即：∆∆1212小结：此题有两个中点，故可考虑用有关中点的定理。
而在应用平行线等分线段定理及推论，以及三角形，梯形中位线定理时，关键是如何找中点，构造平行线，使之符合定理使用的条件。
【专项训练】：一、填空：1、一个多边形的内角都相等，并且等于它相邻外角的2倍，这个多边形是边形。
2、平行四边形的一条对角线与一边垂直，一个内角是60︒，周长是24cm，那么它的一对邻边长分别是。
3、如图11所示为四边形、平行四边形，矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形集合示意图，则字母所代表的图形为：A为，B为，C为，D为，E为，F为，G为，H为。
4、若矩形的对称中心到两边的距离差为4cm，周长为56cm，则这个矩形的两边分别为和。
5、梯形的下底长为6cm，中位线长5cm，则上底长是。
二、选择题：1、多边形的内角和是外角和的K倍，那么这个多边形的边数是：A．K B．2K＋1 C．2K＋2 D．2K＋32、下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是：A．平行四边形 B．菱形C．等腰梯形D．直角梯形3、下列四边形各边中点连线为菱形的是：A．平行四边形 B．菱形C．矩形D．直角梯形4、下列命题中，不正确的是：A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形5、直角梯形的一腰为10cm，该腰与下底的夹角为45︒，且下底为上底长的2倍，则直角梯形的面积是：A ．75cm 2B ．100cm 2C ．1021()+cm 2D ．10221()+cm 2三、证明：1、已知：如图12，E 、F 为∆ABC 的边AB 、BC 的中点，在AC 上取G 、H 两点，使AG=GH=HC ，连结EG 、FH ，并延长交于D 点。
求证：四边形ABCD 是平行四边形。
2、已知：如图13，正方形ABCD ，P 是BD 上任意一点，DQ AP ⊥，垂足是Q ，交AC 于R 。
求证：DP=CR3、已知：如图14，矩形ABCD ，P 为矩形外一点，PA PC ⊥ 求证：PB CD ⊥4、已知：如图15，正方形ABCD 中，F 为DC 中点，AE=EC ＋AD 求证：AF 平分∠EAD5、已知：如图16，梯形ABCD ，AB ∥CD ，以AD 、AC 为邻边作□ACED ，DC 的延长线交BE 于F 求证：F 是BE 的中点6、已知，如图17，在四边形ABCD 中，AB>CD ，E 、F 分别为对角线BD 、AC 的中点求证：EF AB CD >-12()【答案】：一、填空题： 1、六 2、4cm ；8cm 3、四边形；平行四边形；矩形、正方形；菱形；梯形；等腰梯形；直角梯形 4、10cm ；18cm5、4cm二、选择题： 1、C 2、C3、C4、D5、A三、证明： 1、提示：连结BG 、BH 、BD ，证明四边形BHDG 是平行四边形 2、提示：证明∆∆APD DRC ≅ 3、提示：连结AC 、BD 、PO ，O 是AC 、BD 的交点，则PO 是Rt ∆APC 斜边上 中线有OP AC =12，又矩形对角线相等，故OP BD =12，得出∆BPD是直角三 角形（在三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角 三角形） 4、提示：①延长AF 、EC 交于G （把∆AFD 绕F 点旋转180︒）得∆GFC ②连结EF 并延长EF 交AD 延长线于G （把∆ECF 绕F 点旋转180︒）得∆GDF ③过F 点作FG ∥BC 交AE 于G ，则G 为AE 中点。
5、提示：连结AE 交CD 于O ，所以O 为AE 中点，又DF ∥AB ，所以F 为EB 中 点。
6、提示：取BC 边中点G ，连结EG 、FG ，有EF FG EG AB DC >-=-1212。