2017届高三培优材料5

2017届高三培优材料5
1.四棱锥P­ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )
A．9πB．3π
C．22πD．12π
解析：选D 该几何体的直观图如图所示，
该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD对角线AC的长为22，可得a＝2，在△PAC中PC ＝22＋ 22 2＝23，球的半径R＝3，∴S表＝4πR2＝4π×(3)2＝12π.
2.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )
A.108cm3
B.100cm3
C.92cm3
D.84cm3
【解题指南】根据几何体的三视图,还原成几何体,再求体积.
【解析】选B.由三视图可知原几何体如图所示,
所以111111ABCD A B C D M A D N V V V --=-1166334410032
=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.
3.如图，在四棱锥A ­BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.
(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)求二面角B ­ AD ­ E 的大小．
解：(1)证明：在直角梯形BCDE 中，
由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，
由AC ＝2，AB ＝2，
得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC . …………2分
又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，
所以AC ⊥DE .又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD . …………4分
(2)方法一：
过B 作BF ⊥AD ，与AD 交于点F ，过点F 作FG ∥DE ，与AE 交于点G ，连接BG . 由(1)知DE ⊥AD ，则FG ⊥AD .所以∠BFG 是二面角B - AD - E 的平面角．…………6分
在直角梯形BCDE 中，由CD 2＝BC 2＋BD 2，得BD ⊥BC .
又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD ⊥AB .由AC ⊥平面BCDE ，得AC ⊥CD .
在Rt △ACD 中，由DC ＝2，AC ＝2，得AD ＝ 6.
在Rt △AED 中，由ED ＝1，AD ＝6，得AE ＝7.…………7分
在Rt △ABD 中，由BD ＝2，AB ＝2，AD ＝6，得BF ＝2 33，AF ＝23
AD . 从而GF ＝23ED ＝23
. …………9分 在△ABE ，△ABG 中，利用余弦定理分别可得cos ∠BAE ＝5 714，BG ＝23
. …………11分
在△BFG 中，cos ∠BFG ＝GF 2＋BF 2－BG 22BF ·GF
＝32. …………13分 所以，∠BFG ＝π6，即二面角B - AD - E 的大小是π6.…………14分
方法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，
建立空间直角坐标系D - xyz ，如图所示．
由题意知各点坐标如下：
D (0，0，0)，
E (1，0，0)，C (0，2，0)，A (0，2，2)，B (1，1，0)．
设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．
可算得AD ＝(0，－2，－2)，AE ＝(1，－2，－2)，DB →＝(1，1，0)．…………7分
由⎩⎨⎧m ·
AD ＝0，m ·
AE →＝0，即⎩⎨⎧－2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0，可取m ＝(0，1，－2)．…………9分 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·
DB →＝0，即⎩⎨⎧－2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0， 可取n ＝(1，－1，2)．…………11分 于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33×2＝32
. …………13分 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B - AD - E 的大小是π6
.。