最新菱形讲义(经典)
第一章特殊的平行四边形一、菱形：【知识梳理】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．【例题精讲】板块一、菱形的性质例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm．（1）求菱形ABCD的边长；（2）求菱形ABCD的高DM．例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE 相交于点G，连接CG与BD相交于点H．求证：（1）求∠BGD的度数。
（2）求证：DG+BG=CG例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD .(1)求证：四边形ABCD 是菱形．(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD 的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．例4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA跟踪练习：1.如图,在菱形ABCD 中,AB=5,对角线AC=6.若过点A 作AE ⊥BC,垂足为E,则AE 的长为( ) A.4 B.2.4 C.4.8 D.52.如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A.23B.33C.43D.3.3.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断()A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误5. (1) 如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是________,对角线BD的长是________.(2) 如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值是_________．6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、 BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．7.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．8.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．9.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．10.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B 出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．【作业】一. 选择题：1..在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是____3.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）A、20B、14C、28D、244.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2 B．23 C．4 D．435.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A、163B、16C、83D、86. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A、M（5，0），N（8，4）B、M（4，0），N（8，4）C、M（5，0），N（7，4）D、M（4，0），N（7，4）二、填空题7.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2．8. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于 cm 2． 三、解答题12. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。
求证：△ACE ≌△ACF 。
13.如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （﹣3，0）．（1）求点D 的坐标；（2）求经过点AB 的一次函数解析式．14.如图所示，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝ 60°，DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ．求证：＝12BE ．15. 如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC 的长． （2）求∠AOB 的度数．（3）以OB 、OC 为邻边作菱形OBEC ，求菱形OBEC 的面积．第7题第8题A DFE BCEDC B AOCA板块二、菱形的判定例1.已知:如图1-3,在□ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AC ⊥BD. 求证: □ABCD 是菱形例2.已知:如图1-5,四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD 是菱形例3.已知:如图,在□ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线分别与AD 、AC 、BC 相较于点E 、O 、F. 求证: 四边形AECF 是菱形课堂练习：1.如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．2. 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F . 求证：四边形AFCE 是菱形.DCAB E A3.如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E4.如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．【作业】1．有一组邻边相等的 是菱形，对角线 的四边形是菱形。
2．菱形的面积为24cm 2，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线长为 cm ，边长为 cm ，高为 cm 。
3．菱形周长为20，相邻两角的比为1:2，则菱形的两对角线的长为 。
4．如图1所示，菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，BE=EC ，AE=2，BD= 。
5．如图2所示，菱形ABCD 中，AB=AE=EF=FA ，∠C= 。
ABDE图1 ABDEFC图2ABCDE F 图3PM F E D GCBA6．菱形对角线的平方和等于一边平方的（）A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍7．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．每条对角线平分一组对角8．如图3所示，菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，AE=EB，则∠EDF等于（）A．75° B．60° C．50° D．45°9．下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（）A．已知菱形的两条对角线 B．已知菱形的一边和一个内角C．已知菱形的四条边 D．已知菱形的周长和面积10．下列命题正确的是（）A．有两组邻角相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形11．菱形的周长为a，高为h，一条对角线长为h，则另一对角线的长可示为：。
12．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。
13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B的平分线交高CD于E，交AC于F，FG⊥AB，G为垂足，求证：四边形CEGF是菱形。
14.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）15.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．16.如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．17．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积．18.如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．（1）求证：CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．19.如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为．试解决下列问题：（1）填空：点D坐标为_________；（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；20.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．21．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．21.如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，若∠AED=2∠EAD，AC=6．求DE的长．22.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．23.如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．。
精品 八年级数学下册 平行四边形-菱形
讲义11 平行四边形03 菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质：1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质.2）菱形的四条边都相等.3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角.4）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的面积等于对角线乘积的一半）判定方法： 1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形3）四条边都相等的四边形是菱形.课堂练习：1.从菱形的钝角的顶点向对边引垂线，并且这条垂线平分对边，•则该菱形的钝角为（）． A．110° B．120° C．135° D．150°2.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形 C．矩形D．对角线相等的四边形错误！未找到引用源。
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD 的周长为（） A.16a B.12a C.8a D.4a4.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7 B．9 C．10 D．115.已知菱形的两条对角线长分别为4cm和10cm，则菱形的边长为（）A.116cmB.29cmC.cmD.cm6.菱形的周长等于高的8倍，则此菱形的较大内角是（）A、60°B、90°C、120°D、150°7.菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：3，则菱形的面积为（）A、25cm2B、16cm2C、cm2D、cm28.如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE 的长度为何？（）A、8B、9C、11D、129.如图，D是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△AD E=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（）A、5个B、4个C、3个D、2个10.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）A、35°B、45°C、50°D、55°11.如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=2错误！未找到引用源。
菱形的性质(共22张PPT)
理解菱形的定义，理解菱形与平行四边形的关系。
探究并理解菱形的性质，会运用菱形的性质解决问题。
经历菱形性质的探索过程，体会观察、类比、猜想、证明等数学方法。
探究菱形的性质与运用。
重点
菱形性质的综合运用。
难点
请在这里输入文字信息请在这里输入文字信息请在这里输入文字信息请在这里输入文字信息
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD; ∴AB = BC = CD =AD.
性质1：菱形的四条边都相等。
证明菱形的性质
D
B
C
A
O
性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
课后作业
完成练习册本课时的习题。
谢谢观看
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
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授课老师：
时间：2024年9月1日
问题1：我们已经学习了特殊的平行四边形--矩形，它是从平行四边形哪个方面特殊化进行研究的？
问题2：平行四边形和矩形的性质有哪些?
研究内容
平行四边形
矩形
边
角
对角线
问题3：平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形--矩形，平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊平行四边形是什么呢？
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（2）证明：∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB = OD . （菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
菱形讲义经典
第一章特殊的平行四边形一、菱形：【知识梳理】 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质：边的性质：对边平行且四边相等．①②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．【例题精讲】板块一、菱形的性质例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm．（1）求菱形ABCD的边长；（2）求菱形ABCD的高DM．例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．求证：（1）求∠BGD的度数。
（2）求证：DG+BG=CG.ABCD例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形(1)求证：四边形ABCD是菱形．的周长是否存在最大值或最小(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．，求的度数．上的点，若中，4.已知，菱形、分别是、例AB?AF?EFAE?FECBC?CDABCDABDFEC跟踪练习：) 的长为(BC,AE⊥垂足为E,则AE,AB=5,1.如图,在菱形ABCD中对角线AC=6.若过点A作D.5 C.4.8 A.4 B.2.4CD和BCE、分别是FAB=22.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，，）AEF、的中点，连接AE、EFAF，则△的周长为（342333D.3.C. B. A.剪口的菱形,,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°3.如图所示) 与第二次折痕所成角的度数应为(30° B.30°或45°A.15°或C.45°或60°D.30°或60°4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断()A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误5. (1) 如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是________,对角线BD的长是________.(2) 如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、 BC、CD、DA 为怎样的四边形，并证明你的结论．PQMN，试判断四边形N、M、Q、P的中点分别为7.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．DE=BE．求证：E．⊥AB，垂足为的中点，过，O为对角线BDO点作OE中，∠8.如图，在菱形ABCDA=60°，AB=4 的长．2）求线段BE （1）求∠ABD的度数；（F．⊥CD，垂足分别为E、、9.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥ADBF BE=BF；（1）求证：的长．，BD=6时，求BE（2）当菱形ABCD的对角线AC=8连EAC于、B重合），连接DP交对角线AP10.如图，在菱形ABCD中，是AB上的一个动点（不与 BE．接；APD=∠CBE）证明：∠（1为什么？，面积的ABCD的面积等于菱形ADP△点运动到什么位置时，P试问°，DAB=60若∠）2（．BQA运动，同时点从点11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P 从点D出发向点的速度都是1cm/s．出发向点C运动，点P、Q是AQCP（1）在运动过程中，四边形可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．【作业】一. 选择题：）中，1.在菱形ABCDAB=5cm，则此菱形的周长为（.A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm____ 的周长是BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD如图，在菱形2.ABCD中，∠）和已知菱形3.ABCD的对角线AC、BD的长度是68，则这个菱形的周长是（24A 、20 B、14 CD、、284.的长度为（BD ），∠如图，菱形ABCD的周长是16A=60°，则对角线4332． CA．2 B．D．45.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）33 D8、816 A 、16 B、C、6. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标）分别是（．8，4）B N（8，4）、M（4，0），N（），A 、M（5，0 ），4D ），C、M（5，0N （7，4）、M（4，0）， N（7二、填空题2丄是AB的中点，且DEAB，则菱形ABCD cm．的面积为2cm7. 如图，菱形ABCD的边长是，E9题第第8题题第7丄AB，垂足为作OHH，＝8，BD＝6，过点O如图，8.菱形ABCD的对角线AC、相交于点BDO，且AC则点O到边AB的距离9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠2． cm°，则四边形ABCD的面积等于ABC=60三、解答题12.如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。
菱形讲义(经典)
第一章特殊的平行四边形一、菱形：【知识梳理】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．【例题精讲】板块一、菱形的性质例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm．（1）求菱形ABCD的边长；（2）求菱形ABCD的高DM．例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．求证：（1）求∠BGD的度数。
（2）求证：DG+BG=CG例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD .(1)求证：四边形ABCD 是菱形．(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD 的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．例4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA跟踪练习：1.如图,在菱形ABCD 中,AB=5,对角线AC=6.若过点A 作AE ⊥BC,垂足为E,则AE 的长为( )A.4B.2.4C.4.8D.52.如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A.23B.33C.43D.3.3.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断()A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误5. (1) 如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD 的面积是________,对角线BD的长是________.(2) 如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、 BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．7.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．8.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．9.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．10.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．【作业】一. 选择题：1..在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是____3.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）A、20B、14C、28D、244.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2 B．23 C．4 D．435.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ） A 、16错误!未找到引用源。
最新菱形的性质PPT课件教学讲义ppt课件
如果患者有一个较轻的症状随后逐渐加重，起病时 间应从症状首发开始算；
如果患者有一次TIA发作但完全缓解，随后又有第二
次发作则起病时间应从新症状出来时开始算。
首 先 要 明、病因、注意颅压增 高症、脑干受压症、脑疝 形成症。
评估是否需要紧急溶栓治疗； 进行一些诊断学研究以明确是否存在急性的
内科或神经科方面的卒中并发症； 对病史和其他一些资料进行分析以推断本次
卒中的血管分布区和可能的病因和病理生理。
二：诊断
遇到病人，首先询问病史、 查体、再进行必要的辅助检查。
病史：向周围人群了解发病 先兆、原因、急缓、发病的过程 中的意识变化（如头外伤后昏迷 后的再次昏迷可能是硬膜外血 肿）、伴随的症状。
既往史、服药史环境与现场的情况。
查体：生命征T、P、R、BP、气味、 皮肤粘膜、瞳孔、胸、腹、四肢、 神经系统、脑膜刺激征（颈强直、 克氏、布氏征）。
辅助检查：常规检查、CT、MRI、 脑脊液检查。
搬运：拍病人看神志、平放取出口 腔异物、解领扣领带、头侧向一侧、 三人平运。
病史和体检
突发的或逐渐进展的局灶神经科症状； 大部分患者意识是清醒的（大面积半球
C1
有简单的监护设备进行溶栓C1
如果病人到医院后不能溶栓，应该有书 面通知病人或病人家属，转到有条件的 医院进行溶栓C1，在时间窗之内通知病 人转院。
3：急性缺血性卒中的急诊评价
1、神经科记录
所有的怀疑脑血管病人都要有一份完整病 史和体格检查记录。C1
2、最初的影像检查 所有的怀疑脑血管病人都要有CT、MRI。
与脑出血的鉴别
菱形及其性质PPT课件(北师大版)
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
特别提醒: 菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一 组邻边相等。二者必须同时具备，缺一不可。 菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本 判定方法.
感悟新知
例例11：如图1-1-1，在△ ABC中，CD平分∠ ACB交 知1－练
感悟新知
知3－练
例例33：如图1-1-3，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，BD=12 cm，AC=6 cm。求菱形的周长。
解题秘方：紧扣菱形边的性质、对角线的性质进行解答。
解法提醒: 菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的
直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线 段的长转化为求直角三角形中相关线段的长， 再利用勾股定理来计算.
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形及其性质
学习目标
1 课时讲授 2 课时流程
菱形的定义 菱形的判定 菱形对角线的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形.视察这些平 行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
复习提问 引出问题
感悟新知
解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD，AO= 12AC，BO= 12BD. ∵ AC=6 cm，BD=12 cm， ∴ AO=3 cm，BO=6 cm. 在Rt △ ABO 中，由勾股定理 得AB= AO2+BO2 = 32+62 =35 （cm）， ∴菱形的周长=4AB=4×35 =125 （cm）.
AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC 交AC 于点
《菱形》PPT教学课件(第1课时)
知3－练
2 在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6. 求菱形的周长.
解：由题意易知菱形的边长为 42 32＝5， 所以周长为4×5＝20.
（来自教材）
知3－练
3 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 且AC=6 cm，BD=8 cm，AE⊥BC，垂足为E. 求AE的长.
（来自教材）
知3－练
3 【中考·益阳】下列性质中菱形不一定具有的性 质是( C ) A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形
（来自《典中点》）
知3－练
4 【中考·南充】已知菱形的周长为4 5 ，两条对
角线的和为6，则菱形的面积为( D )
A．2
B. 5
知3－讲
例3 如图，菱形ABCD的周长为16 cm，∠ABC=
120°.求对角线BD和AC的长.
解：∵AB+BC+CD+AD= 16 cm，
∴AB=BC=CD=AD=
1 16 4
=4(cm).
∵BD平分∠ABC，∠ABC= 120°，
∴∠ABD=60°.∴△ABD是等边三角形.
∴BD=AB=4 cm.
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菱形性质与判定课件ppt
面积计算
菱形面积的计算公式为
面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2。由于菱形的对角线互相垂直且平分，因此可以使用此公式来计算面积。
另一种计算菱形面积的方法是
面积 = 底 × 高。在这里，底是菱形的一条边，高是从这条边到对角顶点的垂直距离。
周长计算
01
菱形的周长计算公式为：周长 = 4 × 边长。由于菱形的四条边都相等， 因此可以使用此公式来计算周长。
建筑学中的应用
建筑设计
菱形结构在建筑设计中常被用作装饰元素，如菱形窗格、菱形图案的墙面等，增加建筑物的美感和独特性。
空间划分
菱形地砖、菱形玻璃等可以用于室内空间划分，创造出独特视觉效果，同时起到引导人流、划分功能区域的作用。
工程学中的应用
结构工程
菱形结构具有较好的稳定性和承重能力，在桥梁、道路、隧道等工程建设中，菱形结构 常被用于增强结构的稳定性和承载能力。
邻边互相垂直且相等判定
邻边互相垂直
菱形的任意一组邻边互相垂直，因此 可以通过测量任意一组邻边的夹角是 否为90度来判断一个四边形是否为菱 形。
邻边长度相等
除了互相垂直外，菱形的任意一组邻 边的长度还相等。这也是菱形的一个 基本性质。
03
菱形与其他四边形的比较
与矩形的关系
01
02
03
边的性质
菱形的对边相等，与矩形 相同；但菱形的邻边也相 等，这是矩形不具备的性 质。
角度关系
两组对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补，即∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°。
对角线性质
对角线互相垂直： AC⊥BD。
对角线长度关系：对 角线长度不一定相等 ，但满足 AC²+BD²=4AB²。
菱形、正方形讲义
判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．
四边形小结
图形 性质
平行四边形
对边平行且相等
√
四条边都相等
对角相等
√
四个角都是直角
对角线互相平分
√
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分一
(1) 【习题4】 如图 1，在菱形 ABCD 中，∠ADC=120°，则 BD：AC 等于（ ）．
（A） 3 ：2 （B） 3 ：3 （C）1：2 （D） 3 ：1
8/9
【习题5】 已知：如图，在正方形 ABCD 中，AE⊥BF，垂足为 P，AE 与 CD 交于点 E，•BF•与 AD 交于点 F，求证：AE=BF．
【习题2】 已知一个四边形的对角线互相垂直，•那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形 是（ ）．
（A）矩形 （B）菱形 （C）等腰梯形 （D）正方形
【习题3】 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等 腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（ ）．
（A）①②③ （B）①④⑤ （C）①②⑤ （D）②⑤⑥
新知学习
1.菱形 在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形
平行四边行
临边相等
菱形
（1）菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
（2）菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．
菱形的性质(第一课时)经典课件
关于中垂线对称
菱形的两条中垂线分别垂直平分两条对角线，并且相交于 中心。
菱形中的任意一点关于其中一条中垂线对称，意味着该点 到中垂线的距离相等且与相对的边的中点连线与中垂线垂 直。
05
菱形在实际生活中的应用
建筑设计中的应用
窗户设计
菱形图案的窗户在建筑设计中经常被使用，它能够 增加建筑物的艺术感和视觉效果。
菱形的性质(第一课时)经典课 件
目
CONTENCT
录
• 菱形的定义与性质 • 菱形的边长性质 • 菱形的角度性质 • 菱形的对称性 • 菱形在实际生活中的应用
01
菱形的定义与性质
菱形的定义
。
菱形的性质
对角线互相垂直
四边相等
对角相等
邻边互相垂直
科学实验
在某些科学实验中，菱形形状 的装置或实验器材可以提高实 验的准确性和可靠性。
THANK YOU
感谢聆听
菱形的两条对角线互相 垂直，并且平分对方。
菱形的四条边长度相等。
菱形的对角相等，即相 对的两个角大小相等。
菱形相邻的两边互相垂 直。
菱形与平行四边形的关系
01
菱形是平行四边形的一种特殊情 况，当平行四边形的所有边都相 等时，它就变成了菱形。
02
平行四边形不一定是菱形，但菱 形一定是平行四边形。
02
菱形的对角线互相垂直平分，这 一性质在几何证明中经常被使用 。
80%
角度和边的关系
通过菱形的性质，可以推导出角 度和边的关系，进而证明其他几 何命题。
其他领域中的应用
时尚界
菱形图案在时尚界中广泛流行 ，如服装、饰品和鞋履的设计 中经常出现菱形元素。
艺术创作