平行四边形培优讲义新打印版
平行四边形培优讲义新
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-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
平边四边形知识点
一．知识框架
二．知识概念
平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
平行四边形的判别方法：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴）
正方形常用的判定：
有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线互相垂直的矩形；对角线相等的菱形；
梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形
等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
梯形常用辅助线：
平行四边形的判定及性质巩固练习题
1、如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE．求证：四边形ABCD?是平行四边形．
2、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗说明理由.
3、有一个四边形的四边长分别是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd）.求证：此四边形
是平行四边形．
4、□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，求证：BE=DF
5、(变式练习2)□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，BM=DN求证：四边形MFNE是平行四边形
6、 (变式练习3)如图，平行四边形ABCD中，E、F是AC上两点，且AE=CF，又点M、N分别在AB、CD上，且MF∥EN，MN交AC 于O。求证：EF与MN互相平分。
F
E
O
D
A
C
B
N
M
F
E
O
A
7、(变式练习4)如图所示，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.
8、(变式练习)□ABCD中，DE平分∠ADC交BC的延长线于
E，BF平分∠ABC交AB的延长线于F，求证：四边形 DEBF
是平行四边形
9、(变式练习1)如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗为什么
10、(变式练习2)如图，E、F分别为口ABCD的边AD、BC的中点。求证：（1）BE=DF；
（2）O为GH的中点。
F
E
C
D
B
A
B C
F
D
G H
E
O
11、□ABCD 中，E 在AB 上，F 在CD 上，且AE=CF,M 为DE 中点，N 为FB 中点,求证：FM=NE ME=NF
12、已知如图：在ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE =DF ， 则线段AC 与EF 是否互相平分说明理由.
13、.如图所示，已知点D 是△ABC 的边AB 上的中点，点E 是AC 上的一点，DF ∥BE,EF ∥AB,证明：AE 、DF 互相平分
14、如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的中线，△BME 是△AMD 绕点M 按顺时针方向旋转
180°得到的，连结AE ，求证：DE=AC ．
15、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ．
求证：四边形AFCE 是平行四边形．
N M
E F C
D B A F
D B C A E
A
D F
C B
E
16、如图所示，某城市部分街道示意图，AF ∥BC ，EC ⊥BC ，BA ∥DE ，BD ∥AE ，EF=FC ，甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲乘1路车，路线是B →A →E →F ，乙乘2路，路线是B →D →C →F ，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 站，请说明理由.
17、在平行四边形ABCD 中，BN ＝DM ，BE ＝DF ，求证：四边形MENF 是平行四边形.
18、如图，在ABCD 中，AB=2AD ，延长AD 到F,使DF=AD,再延长DA 到E,使AE=AD,求证:BF ⊥CE.
19、如图19－1－30，分别以△ABC 的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD ，等边三角形BCE ，等边三角形ACF ，连接DE ，EF 。求证：四边形ADEF 是平行四边形。
20、如图3，在ABC △中，D 是BC 边的中点，F E ，分别是AD 及其延长线上的点，
CF BE ∥，连结BF CE ，，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由。
21、如图2，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH，试说明：EF与GH相互平分．
矩形拓展题
1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是
（）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
2、如图①，矩形ABCD，AB=12cm，AD=16cm，现将其按下列步骤折叠：（1）将△BAD对折，使AB落在AD上，得到折痕AF，如图②（2）将△AFB沿BF折叠，AF与DC交点G，如图③则所得梯形BDGF的周长等于（）
+22 +22 +42 +42
①②③
3、如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一
个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )
A．2m+3B．2m+6 C．m+3 D．m+6
A
B
O
C
第1题
(第3题)
m+3m
3
4、如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于
点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )
A．a B．a
5
4 C．a
2
2 D．
a
2
3
5、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，?
>
∠60
BEG，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与BEG
∠相等的角的个数为( )
B. 3
C.2
6、矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B’处，折痕为
AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为
________．
7．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD 边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．
8、如右上图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D’重合，若BC=8，
CD=6，则CF=________。
9、如图2，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF（点
A、B、E在同一直线上），连结CF，则
CF = .
B C
D A D
E
F
①②
A
B C
E
G
M
N
③
A B C F E 'A 第11题图 （'B ）
D 10、如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点
E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点
P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是________cm. 11、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，
折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．
12、如图所示，已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，P 是平行四边形ABCD 外一点，且∠APC ＝∠BPD ＝90°．求证：平行四边形ABCD 是矩形．
13、如图自矩形ABCD 的顶点C 作CE ⊥BD,E 为垂足,延长CE 至F,使CF=BD,连接AF,求∠BAF 的大小
菱形的性质及判定巩固练习题
1、下列四边形中不一定为菱形的是（ ）
A ．对角线相等的平行四边形
B ．每条对角线平分一组对角的四边形
C ．对角线互相垂直的平行四边形
D ．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2 下列命题中错误．．
的是 （ ） Ａ．平行四边形的对边相等 Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形 3 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．①
②③
4 菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ） A ．8cm 和3．4cm 和3．8cm 和3．4cm 和3
A
B C
D
5 如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）
A．
3
2 B．3
3 C．3
4 D．3
6 如右图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平
行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立
．．．的是（）
A. DE
DA= B. CE
BD= C. 90
=
∠EAC° D.E
ABC∠
=
∠2
7 如右图，在菱形ABCD中，对角线AC BD
，相交于点O E
，为AB的中点，且
OE a
=，则菱形ABCD的周长为（）
A．16a B．12a C．8a D．4a
8、如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，4cm
AB=．那
么，菱形ABCD的面积是，对角线BD的长是．
9、已知菱形ABCD的面积是2
12cm，对角线4
AC=cm，则菱形的边长是
cm
10、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交
AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长________.
11、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序
沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在
点．
12、如图，菱形ABCD中，O是对角线AC BD
，的交点，5cm
AB=，
4cm
AO=，则BD= cm．
13、如图所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添
加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）
13题图 14题图
12题图
14、如图所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使
四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）
F
A
D
E
B
C
A
B C
D
E
O
D C
B
O
A
A
D
E
B
F
A D
O
E
B C
15、菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：?∠ABC=?1：?2，?则BD=?__ ___，?菱形的面积是____ __．
16、在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．
17、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系并证明你的猜想
18、已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于
F．求证：四边形AEDF是菱形．
19、如图，四边形ABCD中，AB CD
∥，AC平分BAD
∠，CE AD
∥交AB于
E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断ABC
△的形状，并说明理由．
20、如图8，在平行四边形ABCD中，E F
，分别为边AB CD
，的中点，连接DE BF BD
，，．（1）求证：ADE CBF
△≌△．
（2）若AD BD
⊥，则四边形BFDE是什么特殊四边形请证明你的结论．
A B C
D
E F
3
2
1
A
B C
E F
21、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F ，四边形AEFG 是菱形吗
22、如图，三角形ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是AC 上一点，AE=AB,EF ∥BC 交AD 于F ，BE 与AD 交与G ，求证：四边形BDEF 是菱形。
23、如图、在三角形ABC 中，∠A=90 o，∠B 的平分线交AC 于D ，交高AH 于E,，DF ⊥BC,F 为垂足，求证：四边形AEFD 为菱形。
G C
A
D E
F A B
C
E
F D
A
D
C
F
A
B
D
C
M
F
E
24、如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过点A 作AH ⊥BC ，交BD 于E ，垂足为H ，已知CH=4，AH=8（1）求菱形的周长；（2）求OE 的长度．
25、如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC 3，∠C =30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）.过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF . （1）求证：AE =DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由. （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形请说明理由.
正方形练习题
1、正方形ABCD 的边长为1，它的两条对角线相交于点O ，则△ABO 的周长为_____ ，面积为_______
2、如图，E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点，EC=AC ，AE 交CD 于F ，则∠AFC=____
F
A
B
D
N
2题图 3
题图 6题图
3、如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AE=2, EF= 点E 在AB 上，点F 在AD 上，则CF=_____
4、在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 把正方形分成两部分，且:1:5ABE AECD S S ?=梯形，AB=6, 则AE=________
5、若正方形面积缩小为原来的1
3
，则它的边长是原来边长的______
6、如图，ABCD 是正方形，M 是BC 中点，将正方形折起，使点A 与点M 重合，设折痕为EF, 若正方形面积为64，那么△AEM 的面积是_________
7、如图，以正方形ABCD 的对角线BD 为边作正三角形BDE,过E 作EF
⊥AD,交DA 的延长线于F,则∠AEF=_____；若正三角形BDE 的周长是_______
7题图 8题图 10题图
8 、如图，在正方形ABCD 中，P 是AD 上任一点，PE ⊥AC,PF ⊥BD,点E 、F 分别是垂足，BD+AC=14，则PE+PF=______
9、正方形ABCD 边长为8，M 在DC 上，且DM=2,N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值为_________
10、如图，已知边长为1的正方形ABCD ，E 为AD 中点，P 为CE 的中点，则BPD S ?=_____ 11、在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 中点，DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E,F,只添加一个条件____________________,使四边形AEDF 为正方形（写出一个条件即可） 12、如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转60°，至正方形'''AB C D ,则旋转后两个正方形重叠部分的面积是_______
13、如图，在正方形ABCD 中，M 为BC 上任一点，N 是CD AM=DC+CM
求证：AN 平分∠DAM
B
C A
D G
E
F A
B D
C P
Q D C F
14、已知正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N. 求证：MD=MN. 若M 是AB 上任意一点，MD=MN 还成立吗若成立，请证明之；若不成立，请说明理由。
15、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，过点E 作AE 的垂线分别交CD 、AB 的延长线于点F 、G. 求证：BE=BG+CF
16、如图，在正方形ABCD 中，△PAQ 是正三角形，设AB=10,求PB 的长
17、如图，在正方形ABCD 中，F 是对角线AC 上任一点，BF ⊥EF,求证：BF=EF
18、如图，正方形ABCD边长为1，E是CD的中点，点F在BC边上移动.试判断当点F移到什么位置时，AE是∠DAF的平分线
B C
A D
19、如图，在正方形ABCD中，E是DB延长线上的一点，且∠ECB=15°.求证：EC=BD
G A
B D C
E
四边形综合培优题
1、以△ABC的边AB、AC、BC为边作等边△ABD、等边△ACE和等边△BCF。
M F
E
O D
C
B
A
M
F
E
O D
C
B A （1）求证四边形ADFE 是平行四边形．
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADFE 是矩形； （3）当△ABC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 不存在；
（4）当△ABC 分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形．
2、如图：正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，连接EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足M ，AM 交BD 于点F ． ①求证OE=OF
②如图2所示，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥EB 的延长线于点M ，交DB 的延长线于点F ，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
3、如图，在梯形ABCD 中，∠A+∠B=90°，AB 1
()2
AB CD
4、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，
（1）求证：四边形ADCE 为矩形；
A
M N
E
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形并给出证明．
5、在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ． （1）在图1中证明CE ＝CF ；
（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），求∠BDG 的度数
（3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．
6、已知正方形ABCD ，点P 是对角线AC 所在直线上的动点，点E 在DC 边所在直线上，且始终保持PE ＝PD ．
图3
A
D
B
C E F
G 图2
A B
C F
D
E G 图1
A B
C
F D E
（1）如图1，当点P 在对角线AC 上时，观察、猜想PE 与PB 有怎样的关并证明你的结论。
（2）如图2，当点P 运动到CA 的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点P 运动到CA 的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形， 并判断此时PE 与PB 有怎样的关系并证明你的结论。
7、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB ＝45°，CD ＝2，BD ⊥CD ．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，点G 为BC 中点，连结EG 、AF ．
（1）求EG 的长； （2）求证：CF ＝AB ＋AF ．（用两种方法证明）
B
图1
B
图2
A B C
D
G E
F
A B C
D
G E
F