圆专题讲义

与圆有关的证明及计算

1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙

O于D，过D作DE⊥MN于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点

CBF=∠CAB．ACF在的延长线上，且∠

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

CBF=，求BC和BF的长．（2）若AB=5，sin∠

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA

平分∠BDE．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．

是的中点，过点D作是⊙O的直径，DO4．如图，已知△ABC内接于⊙，AC．ECA

的延长线、F直线BC的垂线，分别交CB、

的切线；）求证：EF是⊙O（1

，求⊙O的半径．EF=8（2）若，EC=6

5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，

（1）求证：CB∥PD；

P=，求⊙Osin∠的直径．，（2）若BC=3

6．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．

（1）求证：AD平分∠CAE；

（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．

7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点

E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．

（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．

（1）求证：∠A=∠BCD；

（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？

并说明理由．

9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

（1）求证：AB=BE；

cosB=，求⊙O半径的长．，）若（2PA=2

10．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，

C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点

E．

（1）求证：∠EPD=∠EDO；

PDA=，求OE的长．PC=6，tan∠（2）若

圆的动态探究题

11．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）．

（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；

（2）填空：

①当t=s时，四边形PBQE为菱形；

②当t=s时，四边形PBQE为矩形．

12．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿

AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．

（1）若AC=5，则当t=时，四边形AMQN为菱形；当t=时，NQ与⊙O相切；

为正方形？请说明理AMQN的值，使四边形t的长为多少时，存在AC）当2（．由，并求出此时t的值．

13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；

是半圆上一动点，连接AE、AD、DE．，（2）若BC=2E

填空：

的长度是时，四边形ABDE①当是菱形；

的长度是时，△ADE②当是直角三角形．

14．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，P 是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：AP是⊙O的切线；

（2）若AC=3，填空：

①当的长为时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；②当的长为时，△ABC的面积最大，最大面积为．

15．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．

（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．

（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，

且直径AB=8．

的面积为．②ABD的长．①△

16．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．

（1）求证：△PAC∽△PCB；

（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：

①当AQ=时，四边形AQBC的面积最大；

②当AQ=时，△ABC与△ABQ全等．

17．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点交于点F，交过点C的切线于点，垂足为E，射线EPD．ABP作PE⊥

；1（）求证：DC=DP

，，∠CAB=30°AB=12cm（2）若直径

：DC=cmOA①当E是半径中点时，切线长

为顶点的四边形是菱形．A②当AE=cm时，以，O，C，F

18．如图，⊙O的直径AB=4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）填空：①当CE=时，四边形AOCE为正方形；

②当CE=时，△CDE为等边三角形．

19．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．

（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；

（2）填空：

①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；

②若AB=2，当∠CAB的度数为时，四边形DEFG是正方形．

20．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为边AB的中点，OD⊥BC于点D，AM⊥BC于点M，以点O为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N．

（1）求证：AN=BD；

（2）填空：点P是⊙O上的一个动点，

①若AB=4，连结OC，则PC的最大值是；

②当∠BOP=时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形．