人教版必修二数学圆与方程知专题讲义

人教版必修二圆与方程专题讲义

一、标准方程 ()()2

2

2x a y b r -+-=

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r

2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）

二、一般方程 ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程，则

2222

0004040A B A B C C D E AF D E F A A A ⎧⎪

=≠=≠⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪+->⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

⎩ 2.求圆的一般方程方法

①待定系数：往往已知圆上三点坐标

②利用平面几何性质

涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心

涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理

3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系

1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系

d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外

2.涉及最值：

（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值

min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+

（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值

min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+

思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3.以1122(,),(,)A x y B x y 两点为直径的圆方程为

1212()()()()0x x x x y y y y --+--=

四、直线与圆的位置关系

1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔> （2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔= （3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<

2.直线与圆相切 （1）知识要点

①基本图形

②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等

问题：直线l 与圆C 相切意味圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数

点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．．

i ）点在圆外

如定点()00,P x y ，圆：()()2

2

2

x a y b r -+-=，[()()2

2

2

00x a y b r -+->]

第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程

特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了. 如：过点()1,1P 作圆2

2

46120x y x y +--+=的切线，求切线方程.

答案：3410x y -+=和1x =

ii ）点在圆上

若点()00x y ，在圆()()2

2

2

x a y b r -+-=上，则切线方程为

()()()()200x a x a y b y b r --+--=

注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.

③求切线长：利用基本图形，2

2

2

AP CP r AP =-⇒=

求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC AP

AC r k k ⎧=⎨⋅=-⎩

3.直线与圆相交

（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理．．．．

及勾股定理 （2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题

例：若圆()()2

2

2

35x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则

半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,6

4.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题

1.若圆()

222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____. 答案：3（注意：1m =-时，22

40D E F +-<，故舍去）

变式：已知点A 是圆C :2

2

450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.

2.圆()()22

131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22

241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.

3.圆()()22

311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.

4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：2

2

1x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光

线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫

⎪⎝⎭

？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由. 六、最值问题

方法主要有：（1）数形结合；（2）代换

例：已知实数x ，y 满足方程2

2

410x y x +-+=，求：

（1）

5

y

x -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）

（3）2

2

x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方 七、圆与圆的位置关系

1.判断方法：几何法（d 为圆心距）

（1）12d r r >+⇔外离 （2）12d r r =+⇔外切 （3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含