人教版必修二数学圆与方程知专题讲义
人教版必修二数学圆与方程知专题讲义
人教版必修二圆与方程专题讲义一、标准方程 x a 2 2y b 2r 21.求标准方程的方法一一关键是求出圆心 a, b 和半径r2 D 2 E 2 4F 0常可用来求有关参数的范围条件 方程形式圆心在原点 2x 2 y2r r 0过原点 x 2 a y2b2a b a 2 b 2圆心在x 轴上 x 2a2y2r r圆心在y 轴上 2x y b 22r r圆心在x 轴上且过原点 x 2a2y2a a圆心在y 轴上且过原占2x y 2bb 2b 0与x 轴相切 x J2a y2 b b 2 b0 与y 轴相切 x 2ay 2b a 2a与两坐标轴都相切x 2ay b 2a 2<lb 0位置 的 圆的 标准方 程 设法（ 〔无 需记， 关 键能 理解）、 •般方程2 2x y Dx Ey F1. Ax 2By 2Cxy Dx Ey F 0表示圆方程，则 2.特殊三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系d r 点在圆内；d r 点在圆上；d r 点在圆外2.涉及最值：(1) 圆外一点B，圆上一动点P，讨论|PB|的最值(2) 圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值思考：过此A点作最短的弦？(此弦垂直AC)3.以A(x i, yj, B(X2, y2)两点为直径的圆方程为四、直线与圆的位置关系1.判断方法(d为圆心到直线的距离)(1) 相离没有公共点0 d r(2) 相切只有一个公共点0 d r(3) 相交有两个公共点0 d r2.直线与圆相切(1)知识要点①基本图形Bi )点在圆外 2如定点P X o , y o ，圆:y b r 2，[ x oay o b 2 r 2]② 主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 第一步：设切线I 方程y y 0 k x x 0第二步：通过dr k ，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上一一千万不要漏了 如：过点P 1,1作圆x 2 y 2 4x 6y 12 0的切线，求切线方程. 答案：3x 4y 10和x 1ii ）点在圆上若点XD , y 0在圆x a? y b 2 r 2上，则切线方程为 注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，③ 求切线长：利用基本图形，|AP 2|CP ；求切点坐标：利用两个关系列出两个方程3. 直线与圆相交（1） 求弦长及弦长的应用问题： 垂径定理及勾股定理（2） 判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合） ：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3） 关于点的个数问题例：若圆x 3 2 y 5 2 r 2上有且仅有两个点到直线4x 3y 2 0的距离为1,则半径r 的 取值范围是 . 答案：4,6问题：直线I 与圆C 相切意味圆心 C 到直线I 的距离恰好等于半径r (2) 常见题型一一求过定点的切线方程 ①切线条数点在圆外一一两条；点在圆上一一一条；点在圆内一一无②求切线方程的方法及注意点.然后运用上述结果r 2AP 』CP |2 r 2AC r k AC k AP14.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆x2y2m21 x 2my m 0，关于直线x y 1 0，则实数m的值为____________________ .答案：3 （注意：m 1时，D2 E2 4F 0，故舍去）变式：已知点A是圆C: x2 y2 ax 4y 5 0上任意一点，A点关于直线x 2y 1 0的对称点在圆C上，则实数a ________________________ .2.圆x 1 2y 321关于直线x y 0对称的曲线方程是_____________________________ .变式：已知圆C1: x 4 y 2 1与圆C2: x 2 y 4 1关于直线I对称，则直线I 的方程为.3.圆x 3 2y 1 21关于点2,3对称的曲线方程是 ____________________________ .4.已知直线I : y x b与圆C : x2 y2 1,问：是否存在实数b使自A 3,3发出的光线被直线I反射后与圆C相切于点B 24—?若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由.25’ 25六、最值问题方法主要有：（1）数形结合；（2）代换例：已知实数x，y满足方程x2 y2 4x 1 0 ,求：（1）—匚的最大值和最小值；——看作斜率x 5（2）y x的最小值；——截距（线性规划）（3）x2 y2的最大值和最小值. ------ 两点间的距离的平方七、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d为圆心距）（1） d ri $ 外离（2） d r i D外切（3）»r2 d r1r2相交（4） d r1r2内切（5） d * $ 内含2.两圆公共弦所在直线方程圆C1: x2y2D1x E1 y F10，圆C2: x2 y2 D2x E2y F20，则D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0为两相交圆公共弦方程.注：若G与C2相切，则表示其中一条公切线方程；若G与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.3.圆系问题（1）过两圆C1: x2 y2 D1X E』F1 0和C2: x2 y2 D?x E?y F? 0交点的圆系方程为x2y2D1x E1y F1X y2D2x E2y F20 （1）注：1）上述圆系不包括C2 ；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线Ax By C 0与圆x2 y2 Dx Ey F 0交点的圆系方程为 2 2x y Dx Ey F Ax By C 0（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线八、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程•2,0作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程（3）相关点法（平移转换法）:一点随另一点的变动而变分析: OP AP2OA动点主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动例：如图，已知定点 A 2,0，点Q是圆x2 y2当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式AQ 于M，例：过圆x2 y2 1外一点A。
高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。
人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结教学内容
人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结第四章圆与方程4。
1圆的方程4。
1。
1 圆的标准方程1 。
以(3，— 1)为圆心，4为半径的圆的方程为()A. (x+ 3)2+(y-1)2=4B. (x-3)2+(y+1)2=4C. (x—3)2+(y+1)2= 16D. (x+ 3)2+(y-1)2= 162 。
一圆的标准方程为x2+(y+1)2=8，那么此圆的圆心与半径分别为(A. (1，0)， 4 B。
(-1，0)， 2 V2C。
(0，1) ， 4 D。
(0，— 1)， 2 V23 。
圆(x+ 2)2+(y—2)2= m2的向心为，半径为。
4，假设点P(—3，4)在圆x2+y2=a2上，那么a的值是。
5 。
以点(—2，1)为圆心且与直线x+ y=1相切的圆的方程是6 。
圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为()A 。
x2+ (y —2)2= 1B. x2+(y+2)2=1C. (x-1)2+(y-3)2= 1D. x2+ (y —3)2=17 。
一个圆经过点A(5，0)与B(—2，1)，圆心在直线x-3y-10=0±，求此圆的方程。
8 。
点P(5a+ 1，12a)在圆(x—1)2+y2= 1的内部，那么a的取值范围是()A。
|a|v1- 1B- a<n一，，1C. |a|<51D. |a|<139 。
圆(x— 1)2+y2=25上的点到点A(5，5)的最大距离是。
10 。
设直线ax—y + 3=0与圆(x—1)2+(y —2)2= 4相交于A， B两点，且弦AB的长为243，求a的值。
4。
1。
2 圆的一般方程1，圆x2+ y2—6x= 0的圆心坐标是。
2，假设方程x2+y2+Dx + Ey+F = 0表示以〔2，— 4〕为圆心，以4为半径的圆，那么 4 58。
过点A(11，2)作圆x2+y2+2x—4y—164= 0的弦，其中弦长为整数的共有() A。
高中数学必修二圆与方程
高中数学必修二圆与方程高中数学必修二：圆与方程圆和方程作为高中数学必修二中的重要知识点，是数学学习中的基础内容。
圆是平面上到给定点距离等于定值的点的集合，是几何中的重要图形之一；而方程则是描述数学关系的一种数学语言。
本文将详细讲解圆和方程的相关知识，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。
1. 圆的基本概念在几何中，圆是一个封闭曲线，由一个平面上所有到指定点距离相等的点组成。
圆的基本要素包括圆心、半径、直径、弦、弧等。
圆心是圆的中心点，通常用字母O表示；半径是从圆心到圆周上任意点的距离，通常用字母r表示；直径是通过圆心的两个端点的线段，通常用字母d表示。
弦是连接圆上两点的线段，弧是圆上的一段曲线。
圆的周长公式为C=2πr，面积公式为S=πr²。
2. 圆的相关定理在学习圆的过程中，我们需要掌握一些重要的定理，如圆的相交、切线、相切等相关定理。
其中，切线与圆的切点垂直、相切圆的切线垂径于切点等定理是解题中经常用到的重点内容。
此外，根据圆的位置关系，我们还可以推导出诸如同位角、同弦、相等弧等相关定理，这些定理在解题中能够帮助我们更快更准确地完成题目。
3. 圆的参数方程在高中数学中，我们还需要学习圆的参数方程。
当圆的中心不在坐标原点时，我们可以通过参数方程的方式来描述圆的位置。
圆的参数方程一般为x=rcosθ，y=rsinθ，其中θ为参数，r为半径。
通过参数方程，我们可以方便地描述圆的位置和形状，是解决复杂问题时的重要工具。
4. 一元二次方程另一个重要的数学概念是一元二次方程。
一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数且a≠0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。
掌握一元二次方程的解题方法对于高中数学的学习至关重要，同时也是解决实际问题的基础。
5. 二次函数一元二次方程的图像是抛物线，对应的函数为二次函数。
二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0。
人教版必修二：《圆的方程》人教版必修二：《圆的方程》复习讲义(知识点总结及巩固练习)
圆的方程知识梳理：1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 其中圆心为C (a ，b )，，半径为r (r >0).(2)圆的一般方程:x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（其中 D 2＋E 2－4F >0）.圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F . 2.点与圆的位置关系判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)几何法：利用点与圆心的距离d 与半径r 的大小关系：①d >r ，点在圆外； ②d ＝r ，点在圆上； ③d <r ，点在圆内．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2时，点在圆内；②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上；③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2时，点在圆外．3.求圆的标准方程时，一般有两种方法：(1)待定系数法：①根据题意，设出所求圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；②根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组；③解方程组，求出a ，b ，r 的值，从而得到圆的方程。
这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法，如本题法一、法二．(2)几何法：由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写出方程．这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算相对较容易．4.直线与圆的位置关系的判定方法(1)代数法：直线与圆的方程联立消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，此方程的判别式为Δ，则①直线与圆相交⇔Δ>0； ②直线与圆相切⇔Δ＝0； ③直线与圆相离⇔Δ<0.(2)几何法：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则①直线与圆相交⇔d<r；②直线与圆相切⇔d＝r；③直线与圆相离⇔d>r.5.圆与圆位置关系的判断设两圆的半径分别为r、r，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：6．两圆公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.7．公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．巩固练习：1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是__________.2．以(-2,3)为圆心，2为半径的圆的标准方程是__________________.3．已知点A(3，－2)，B(－5,4)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝1004．已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是()5．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是________．6．点P(1，－1)在圆x2＋y2＝r的外部，则实数r的取值范围是________．7．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝08.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．9．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为_______.10．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是__________.11．直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于_________.12．以(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝913．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是________．14．直线y＝x与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A，B，则|AB|＝________.15.求过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．16．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为_________,最小距离为________．17．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．18．已知圆x2＋y2＝2和直线y＝x＋b，当b为何值时，直线与圆(1)相交；(2)相切；(3)相离？19．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是___________.20．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是________.21．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为_______________.22.已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．。
高中数学人教版必修2第四章圆的方程全章公开课课件
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
例1. 已知线段AB的端点B的坐标为（4,3），端点A在圆 (x+1)2+y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
相关点法：又叫代入法. 在直角坐标系中,一个点
的运动变化引起另外一些点的运动变化（这些点具有 相关性）,把它们的坐标用一个表示另外一个,再代入 已知轨迹方程,就可求出未知的轨迹方程.
（2）没有xy这样的项。
探究：当D=0，E=0或F=0时，
圆 x2y2D xE yF0 的位置分别 有什么特点？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
练习1:下列方程各表示什么图形?
(1)x2 y2 0__原__点_(_0_,0_) (2)x2 y2 2x4y60____ (3)x2 y2 2axb2 0________
(2) x2y22axya0 是圆的方程的充要条件是( D )
(A)a 1 2
(B)a 1 (C )a 1
2
2
(D)a 1 2
x (3)圆 x2y28x10yF0与 轴相切,则这个圆截 y
轴所得的弦长是 ( A )
( A)6 (B )5 (C )4
(D )3
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
圆心 (1, 1) ，半径3
⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2
圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
《圆的标准方程教学》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.411课时)
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程？
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程？
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
若圆心在X轴上，则方程为：( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上，则方程为： 2 + ( − )2 = 2
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件，求圆的方程：
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
⑵圆心在点C(1,3)，并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点（0,1）和点（2,1），半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
解：（1）∵点（2，-2）在圆上，∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为：( − 2)2 +( + 3)2 = 25
高中数学必修二第四章圆与方程课件
第46讲 │ 知识梳理
4．圆的一般方程 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当 D2＋E2－4F>0 时，表 示 此以 时－_方_D2_程_，_x_－2_＋_E2为y2＋圆D心x，＋Ey＋DF2＋＝2E0 2称－为4F圆的一般方为程半．径的圆， 5．点与圆的位置关系 可知平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C 之间存在着下列关系： (1)d>r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M 在_圆_外____； (2)d＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在 _圆_上____； (3)d<r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M 在_圆_内____．
第二十页，共40页。
│ 要点探究
► 探究点2 及圆有关的最值问题
例 2 在△OAB 中，已知 O(0,0)，A(8,0)，B(0,6)，△OAB 的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P 是圆上一点．
(1)求点 P 到直线 l：4x＋3y＋11＝0 的距离的最大值和最 小值；
(2)若 S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求 S 的最大值和最小值． [思路] (1)转化为圆心到该直线的距离和圆的半径之间的关 系；(2)把 S 表示为圆上点的坐标的函数，通过这个函数的最值解 决．或者根据圆的方程的特点，进行三角换元，转化为三角函数 的最值．
第二十二页，共40页。
│ 要点探究
方法 2：(1)由于 x，y 满足(x－2)2＋(y－2)2＝4，根据同角三
角函数关系，可以设点 P 的坐标为(2＋2cosθ，2＋2sinθ)(θ 为参
数，且 0≤θ<2π)，则由点到直线的距离公式可得
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人教版必修二圆与方程专题讲义
一、标准方程 ()()2
2
2x a y b r -+-=
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）
二、一般方程 ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程，则
2222
0004040A B A B C C D E AF D E F A A A ⎧⎪
=≠=≠⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪+->⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎩ 2.求圆的一般方程方法
①待定系数：往往已知圆上三点坐标
②利用平面几何性质
涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心
涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理
3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系
d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外
2.涉及最值：
（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值
min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+
（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值
min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+
思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3.以1122(,),(,)A x y B x y 两点为直径的圆方程为
1212()()()()0x x x x y y y y --+--=
四、直线与圆的位置关系
1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔> （2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔= （3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<
2.直线与圆相切 （1）知识要点
①基本图形
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
问题：直线l 与圆C 相切意味圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数
点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．．
i ）点在圆外
如定点()00,P x y ，圆：()()2
2
2
x a y b r -+-=，[()()2
2
2
00x a y b r -+->]
第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了. 如：过点()1,1P 作圆2
2
46120x y x y +--+=的切线，求切线方程.
答案：3410x y -+=和1x =
ii ）点在圆上
若点()00x y ，在圆()()2
2
2
x a y b r -+-=上，则切线方程为
()()()()200x a x a y b y b r --+--=
注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
③求切线长：利用基本图形，2
2
2
AP CP r AP =-⇒=
求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC AP
AC r k k ⎧=⎨⋅=-⎩
3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理．．．．
及勾股定理 （2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题
例：若圆()()2
2
2
35x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则
半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,6
4.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题
1.若圆()
222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____. 答案：3（注意：1m =-时，22
40D E F +-<，故舍去）
变式：已知点A 是圆C :2
2
450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.
2.圆()()22
131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22
241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.
3.圆()()22
311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.
4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：2
2
1x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光
线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫
⎪⎝⎭
？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由. 六、最值问题
方法主要有：（1）数形结合；（2）代换
例：已知实数x ，y 满足方程2
2
410x y x +-+=，求：
（1）
5
y
x -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）
（3）2
2
x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方 七、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（d 为圆心距）
（1）12d r r >+⇔外离 （2）12d r r =+⇔外切 （3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含
2.两圆公共弦所在直线方程
圆1C ：22
1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，
则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 注：若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；
若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3．圆系问题
（1）过两圆1C ：22
1110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的
圆系方程为()
22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-） 注：1）上述圆系不包括2C ；
2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（2）过直线0Ax By C ++=与圆2
2
0x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为
()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=
（3）有关圆系的简单应用 （4）两圆公切线的条数问题
①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线； ③相交时，有两条公切线； ④相离时，有四条公切线 八、轨迹方程
（1）定义法（圆的定义）
（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.
例：过圆2
2
1x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.
分析：222
OP AP OA +=
（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动
↓ ↓
动点 主动点
特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.
例：如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆2
2
1x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，
当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程. 分析：角平分线定理和定比分点公式.。