(完整版)直线与圆专题讲义教师版

一、 知识梳理 1．点到直线距离公式：

点),(00yxP到直线:0laxbyc的距离为：0022axbycdab

2.已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为 1l：01CByAx，2l：02CByAx，

则1l与2l的距离为2221BACCd 3．两条直线的位置关系： 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

222111::bxkylbxkyl



21,21bbkk 121kk 21,ll有斜率

4. 已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1 ⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。 5．圆的方程：

⑴标准方程：①222)()(rbyax ；②222ryx 。

⑵一般方程：022FEyDxyx （)0422FED 注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0； 6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离） ①Rd点在圆上；②Rd点在圆内；③Rd点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离） ①Rd相切；②Rd相交；③Rd相离。

⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，rR,表示两圆半径，且rR） ①rRd相离；②rRd外切；③rRdrR相交； ④rRd内切；⑤rRd0内含。

8、直线与圆相交所得弦长22||2ABrd

9. 过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2; 10. 以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0;

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二、课堂训练 1.（最值问题）已知实数x、y满足方程01422xyx， （1）求xy的最大值和最小值； （2）求yx的最大值和最小值； （3）求22yx的最大值和最小值。

【小结】：方程求最值首推几何法，几何法应用的前提是要熟练的掌握所求表达式的几何含义。 2.（位置关系）设Rnm,，若直线02)1()1(ynxm与圆1)1()1(22yx相切，则nm的取值范围是（）

【小结】：直线与圆锥曲线相切条件一般情况下需要联立方程令，而对于圆可特殊的表示为点到直线的距离。

3.（对称问题）圆4)1()3(:221yxC关于直线0yx对称的圆2C的方程为:( ) A. 4)1()3(22yx B. 4)3()1(22yx C. 4)3()1(22yx D. 4)1()3(22yx 【思考】：圆关于直线的对称问题实际上是求圆心关于直线的对称点，那直线关于直线的对称问题？

4.（图像法）若曲线21xy与直线bxy始终有两个交点，则b的取值范围是__________. 5.（定点问题）圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R)． (1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点； (2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值． [解析] (1)将方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0. 直线l恒过两直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点，

由 2x＋y－7＝0x＋y－4＝0得交点M(3,1)． 又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M(3,1)在圆C内，∴直线l与圆C恒有两个交点． (2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短． 又|CM|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5， ∴弦长为l＝2r2－|CM|2＝225－5＝45. 第 3 页 共 6 页

【小结】：求直线与圆锥曲线相交弦长一般情况下需要联立方程计算 ，而对于圆可特殊的利用进行计算。

6.已知过点3,3M的直线l与圆224210xyy相交于,AB两点， （1）若弦AB的长为215，求直线l的方程； （2）设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程． 解：（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为3x，此时有24120yy，弦||||268ABAByy，所以不合题意．

故设直线l的方程为33ykx，即330kxyk． 将圆的方程写成标准式得22225xy，所以圆心0,2，半径5r． 圆心0,2到直线l的距离2|31|1kdk，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以22

2

3115251kk

，即230k，所以3k．

所求直线l的方程为3120xy． （2）设,Pxy，圆心10,2O，连接1OP，则1OPAB．当0x且3x时，11OPABkk，

又(3)(3)ABMPykkx， 则有23103yyxx，化简得22355222xy．．．．．．（1） 当0x或3x时，P点的坐标为0,2,0,3,3,2,3,3都是方程（1）的解，所以弦AB中点P的轨迹方程为22355222xy． 【切点弦方程： 过圆222)()(:rbyaxC外一点),(00yxP作圆C的两条切线方程，切点分别为BA,,则切点弦AB所在直线方程为：200))(())((rbybyaxax】

7．过点C(6，－8)作圆x2＋y2＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为( ) A．15 B．1 C.152 D．5

【切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项， 第 4 页 共 6 页

即 PDPCPT2 】 8. 自动点P引圆1022yx的两条切线PBPA,，直线PBPA,的斜率分别为21,kk。 （1）若12121kkkk，求动点P的轨迹方程； （2）若点P在直线myx上，且PBPA，求实数m的取值范围。 〖解析〗

（1）由题意设),(00yxP在园外，切线101),(:20000kykxxxkyyl，

0102)10(2000220ykyxkx 由12121kkkk得点P的轨迹方程为052yx。 （2）),(00yxP在直线myx上，myx00

又PBPA，11010,1202021xykk，即202020yx，将myx代入化简得 020222020mmxx 又0，102102-m 又102020yx恒成立，522mm或 102,5252,102的取值范围是m

【小结】：求动点的轨迹方程是圆锥曲线部分的重要题型，解题思路为先假设动点坐标再找相关关系式。 第 5 页 共 6 页

三、综合强化 1.已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称， （1）求k、b的值； （2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数.

2.若动圆C与圆(x-2)2+y2=1外切，且和直线x+1=0相切.求动圆圆心C的轨迹E的方程. 3.已知圆C：x2+y2－2x+4y－4=0,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点.若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由.

4.设圆满足(1)y轴截圆所得弦长为2.(2)被x轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x－2y=0的距离最小的圆的方程． 第 6 页 共 6 页

第 1 次课后作业 学生姓名： 一、填空题 （1）曲线y=|x-2|-3与x轴转成的面积是 . （2）已知M={(x,y)|x2+y2=1,0是 . （3）圆(x－3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y－3=0对称的圆的方程是_____. （4）直线x－2y－2k=0与2x－3y－k=0的交点在圆x2+y2=25上，则k的值是_____.

二、选择题 （1）由曲线y=|x|与x2+y2=4所围成的图形的最小面积是( )

A.4 B.π C.43 D.23 （2） 圆122yx与直线01sinyx的位置关系为 （ ） A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交

（3）已知二元二次方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，则04,022FEDCA是方程表示圆的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 （4）圆x2+y2－2x+4y－20=0截直线5x－12y+c=0所得的弦长为8，则c的值是( ) A．10 B．10或－68 C．5或－34 D．－68 （5）过点(2，1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是( ) A.(x－1)2+(y－1)2=1 B.(x－1)2+(y－1)2=1或(x－5)2+(y－5)2=5 C.(x－1)2+(y－1)2=1或(x－5)2+(y－5)2=25 D.(x－5)2+(y－5)2=5