讲义矩形和菱形知识讲解
矩形菱形正方形讲义
特殊平行四边形第一节 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。
矩形性质⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=为矩形长宽）、（面积公式轴对称图形；既是中心对称图形又是两条对角线相等；四个角为直角；有平行四边形性质；b a ab S矩形判定⎪⎩⎪⎨⎧形；对角线相等的平行四边；三个角为直角的四边形形；有一个直角的平行四边【重点内容】①具有的一切性质； ②内角都是直角； ③对角线相等； ④全等三角形的个数；⑤等腰三角形的个数； ⑥对称轴的条数； ⑦斜边中线定理； ⑧平方等式；⑨两种面积计算方法； ⑩有一个直角的→矩形；⑾有三个直角的四边形→矩形； ⑿对角线相等的→矩形.【典型例题】1、矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等2、（2015春•南京校级月考）下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，︒=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。
4、如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．5、（2015•南平）如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ． 求证：BE=CF ．6、（2015•湘西州）如图，在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）求证：四边形BFDE 为矩形．AOD巩固训练1、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ） A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等 2、矩形各内角平分线所围成的四边形是（ ）A 、矩形B 、平行四边形C 、正方形D 、菱形3、（2015•甘州区校级模拟）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A ．测量对角线是否相互平分 B ．测量两组对边是否分别相等 C ．测量对角线是否相等 D ．测量其中三个角是否都为直角4、顺次连结四边形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，可使四边形EFGH 为矩形的是（ ） A 、CD AB =B 、BD AC =C 、BD AC ⊥D 、AD//BC5、若矩形的对角线长为4cm ，一条边长为2cm ，则此矩形的面积为（ ）A ．83cm 2B ．43cm 2C ．23cm 2D ．8cm26、矩形ABCD 的周长为56，对角线AC ，BD 交于点O ，△ABO 与△BCO 的周长差为4，•则AB 的长是（ ）A ．12B ．22C ．16D ．267、（2015•宁化县模拟）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件 ．（只添一个即可），使平行四边形ABCD 是矩形．8、矩形的两条对角线的交角之一是︒60，矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm ，则对角线的长为 ，较短的边的长为 ，较长的边的长为 。
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
矩形、菱形、正方形】5大知识要点总结
1. 矩形、菱形和正方形的定义及特点- 矩形是指具有四个直角的四边形，对角线相等，且相对边长相等。
- 菱形是指具有四个边长相等的四边形，对角线垂直且平分。
- 正方形是一种特殊的矩形和菱形，具有四个直角和四个边长相等的特点。
2. 矩形、菱形和正方形的性质和公式- 矩形的周长和面积分别用公式2*(长+宽)和长*宽表示。
- 菱形的周长和面积分别用公式4*边长和(对角线1*对角线2)/2表示。
- 正方形的周长和面积分别用公式4*边长和边长^2表示。
3. 矩形、菱形和正方形在几何图形中的应用- 矩形常见于建筑物的平面设计、画框、电视屏幕等。
- 菱形在菱形格子、菱形图案、梁的截面等中常见应用。
- 正方形常见于棋盘、地砖、窗户等设计中。
4. 矩形、菱形和正方形与其他几何图形的联系和区别- 矩形是特殊的平行四边形，与平行四边形和正方形有联系。
- 菱形是特殊的平行四边形，与平行四边形和正方形有联系。
- 正方形是特殊的矩形和菱形，具有独特的特点和应用。
5. 实际生活中的矩形、菱形和正方形的应用案例- 通过实际案例，解释矩形、菱形和正方形在生活中的运用和意义，如建筑结构、家居设计、工程绘图等。
- 分析实际案例中矩形、菱形和正方形的优缺点，引导读者对几何图形的深入思考和应用。
个人观点和总结通过对矩形、菱形和正方形的深入研究和比较，我深刻地认识到这些几何图形在我们日常生活中的重要性和应用广泛性。
它们不仅是数学中的重要概念，也是实际工程和设计中不可或缺的元素。
在未来的学习和工作中，我将更加注重对这些几何图形的认识和运用，以提高自己的学术和职业能力。
PS: 本文仅代表个人观点，如有不同意见，请指正。
矩形、菱形和正方形是我们生活中常见的几何图形，它们在建筑、设计、工程、艺术等领域都有着广泛的应用。
下面将对它们在不同领域的具体应用进行更详细地介绍。
我们来看矩形在建筑和设计中的应用。
矩形具有四个直角和对角线相等的特点，这使得它成为建筑物中常见的平面结构。
专题16 矩形和菱形(知识点串讲)-解析版
专题16 矩形和菱形（知识点串讲）【知识点考点--思维导图】©知识点一：矩形的性质矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；2）矩形的四个角都是直角；几何描述：∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°3）对角线相等；几何描述：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD推论：1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
◎考点1：矩形性质的理解L 例1．（2020·贵阳市清镇养正学校九年级月考）如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，EF AD ⊥交AD 于点F ，若3EF =，5AE =，则AD 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】 利用勾股定理求出AF ，根据矩形的四个角是直角可得∠ADC =∠C =90°，然后求出四边形CDFE 是矩形，再根据角平分线的定义可得∠ADE =∠CDE ，再根据平行线的性质可得∠ADE =∠CED ，然后可得∠CDE =∠CED ，根据等角对等边的性质可得CD =CE ，根据邻边相等的矩形是正方形得到矩形CDFE 是正方形，根据正方形的四条边都相等求出DF ，根据AD =AF +DF 即可得解．【详解】解：∠EF AD ⊥，3EF =，5AE =，∠4AF ===，在矩形ABCD 中，∠ADC =∠C =90°，∠EF AD ⊥，∠∠DFE =90°，∠四边形CDFE 是矩形，∠DE 平分∠ADC ，∠∠ADE =∠CDE ，∠∠ADE=∠CED，∠∠CDE=∠CED，∠CD=CE，∠矩形CDFE是正方形，∠EF=3，∠DF=EF=3，∠AD=AF+DF=4+3=7．故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的定义，平行线的性质，正方形的判定与性质．熟记各性质是解题的关键．练习1．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学八年级月考）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的邻边一定相等C．对角线相等的四边形是矩形D．有三个角为直角的四边形为矩形【答案】D【分析】根据矩形的性质可知：A、B两个选项错误；根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形这个判定知，C选项错误；三个角为直角，则第四个也为直角，根据有四个角是直角的四边形是矩形判定得，故D选项正确．A：矩形的对角线的性质是：矩形的对角线互相平分且相等，故此说法错误；B：矩形的邻边不一定相等，但对边一定相等，故此说法错误；C：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，由此判定知，此说法错误；D：当有三个角是直角时，根据四边形内角和定理，第四个角也是直角，从而判定是矩形，此说法正确．故选：D【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，必须准确而熟练地掌握矩形的判定和性质．练习2．（2020·吴江经济开发区实验初级中学八年级月考）一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（）A．50或40或30B．50或40C．50D．50或30或20【答案】A【分析】本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积．【详解】解：如图四边形ABCD是矩形，AD＝18cm，AB＝16cm；本题可分三种情况：①如图（1）：∠AEF中，AE＝AF＝10cm；S ∠AEF ＝12•AE•AF ＝50cm 2；②如图（2）：∠AGH 中，AG ＝GH ＝10cm ；在Rt∠BGH 中，BG ＝AB−AG ＝16−10＝6cm ；根据勾股定理有：BH ＝8cm ；∠S ∠AGH ＝12AG•BH ＝12×8×10＝40cm 2； ③如图（3）：∠AMN 中，AM ＝MN ＝10cm ；在Rt∠DMN 中，MD ＝AD−AM ＝18−10＝8cm ；根据勾股定理有DN ＝6cm ；∠S ∠AMN ＝12AM•DN ＝12×10×6＝30cm 2． 故等腰三角形的面积为：50或40或30．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的分类讨论．练习3．（2021·四川绵阳市·八年级期末）如图，在长方形ABCD 中，AF BD ⊥，垂足为E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ，且DF 平分BDC ∠．下列结论中：①ABD CDB ≅；②ADE BDF S S =△△；③90ABD CDF ∠+∠=︒；④AD DF =．其中正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【分析】 由长方形的性质可得：,,90,AB CD AD BC BAD BCD ==∠=∠=︒从而可判断①；由面积公式可得,ADF BDC S S =再利用角平分线的性质证明,Rt DFE Rt DFC ≌再利用面积差可判断②；由90ABD DBC ∠+∠=︒，结合90ABD CDF ∠+∠=︒，证明,DBC CDF ∠=∠ 再证明30,DBC EDF CDF ∠=∠=∠=︒ 可得AF 是BD 的垂直平分线，可得,AB AD = 则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，可判断③；由,AF BD ⊥ 结合AD DF =，可证明BD 是AF 的垂直平分线，可得,BA BF = 从而可证明45ABE ADB ∠=∠=︒，可得,AB AD = 则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，可判断④．【详解】 解： 长方形ABCD ，,,90,AB CD AD BC BAD BCD ∴==∠=∠=︒(),ABD CDB SAS ∴≌ 故①符合题意； 11,,22ADF BDC SAD CD S BC CD == ,ADF BDC SS ∴=,,ADE ADF DEF BDF BCD DCF S S S S S S =-=-DF 平分BDC ∠，,90,AF BD BCD ⊥∠=︒,FE FC ∴=,DF DF =(),Rt DFE Rt DFC HL ∴≌,DEF DCF SS ∴= ,ADE BDFS S ∴= 故②符合题意； 长方形ABCD ，90ABD DBC ∴∠+∠=︒，若90ABD CDF ∠+∠=︒，,DBC CDF ∴∠=∠,Rt DFE Rt DFC ≌,EDF CDF ∴∠=∠ ,DE DC =30,DBC EDF CDF ∴∠=∠=∠=︒2,BD DC ∴=E ∴是BD 的中点，AF ∴是BD 的垂直平分线，,AB AD ∴=则四边形ABCD为正方形，与已知互相矛盾，故③不符合题意；AF BD⊥,=，若AD DFAE EF∴=,∴是AF的垂直平分线，BD∴=BA BF,∠=°，ABC90∴∠=∠=︒，45BAF BFAABE ADB∴∠=∠=︒，45∴=,AB AD则四边形ABCD为正方形，与已知互相矛盾，故④不符合题意；故选：.C【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定，角平分线的性质，垂直平分线的定义与判定，等腰三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．◎考点2：利用性质求角度例1．（2021·浙江）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AC于E，且⊥ADE：⊥EDC＝3：2，则⊥COD的度数为（）A．54°B．60°C．65°D．72°【答案】D【分析】设∠ADE＝3α，∠EDC＝2α，根据题意列出方程求出α的值，然后根据三角形的内角和定理即可求出答案．【详解】解：设∠ADE＝3α，∠EDC＝2α，∠3α+2α＝90°，∠α＝18°，∠∠CDE＝2α＝36°，∠DE∠AC，∠∠DCE＝90°﹣36°＝54°，∠OD＝OC，∠∠DCE＝∠ODC＝54°，∠∠COD＝180°﹣2×54°＝72°，故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质，属于基础题型．练习1．（2021·浙江九年级专题练习）如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设⊥ADE ＝α，⊥EDF＝β，⊥FDC＝γ，若⊥AED＝α+β，下列结论正确的是（）A．α＝βB．α＝γC．α+β+2γ＝90°D．2α+γ＝90°【答案】B【分析】由矩形的性质得出∠A＝∠ADC＝90°，则α+β+γ＝90°，由直角三角形的性质得出∠AED+α＝90°，证出2α+β＝90°，推出α+β+γ＝2α+β，即可得出结果．【详解】解：∠四边形ABCD是矩形，∠∠A＝∠ADC＝90°，∠∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，∠α+β+γ＝90°，∠∠AED+α＝90°，∠AED＝α+β，∠2α+β＝90°，∠α+β+γ＝2α+β，∠α＝γ，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．练习2．（2020·石家庄市第四十一中学八年级期中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果⊥ADB=40°，则⊥E的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】B【分析】如图连接AC．只要证明CE＝CA，推出∠E＝∠CAE，进而即可解决问题．【详解】解：连接AC，交BD于点O，∠四边形ABCD是矩形，∠AC＝BD，∠EC＝BD，∠AC＝CE，∠∠E＝∠CAE，∠OB=OC，∠∠ACB=∠DBC ，又∠AD∠BC ，∠∠DBC=∠ADB ，∠∠ACB ＝∠ADB ＝40°，∠∠ACB ＝∠E ＋∠CAE ，∠∠E ＝∠CAE ＝20°，故选B ．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．练习3．（2020·福建省泉州实验中学八年级月考）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若DF AC ⊥，:3:2ADF FDC ∠∠=，则BDF ∠=（ ）A ．18°B ．36°C ．27°D ．54°【答案】A【分析】 由矩形ABCD 的性质结合:3:2ADF FDC ∠∠=，求解ADF ∠，结合DF AC ⊥，求解DAC ∠，再利用矩形的性质可得：OA OD =，求解ADO ∠，再利用角的和差可得答案．【详解】 解：矩形ABCD ，90,ADC ADF CDF ∴∠=︒=∠+∠:3:2ADF FDC ∠∠=，390545ADF ∴∠=⨯︒=︒， ,DF AC ⊥9036DAC ADF ∴∠=︒-∠=︒，矩形ABCD ，,OA OD ∴=36OAD ODA ∴∠=∠=︒，543618.BDF ADF ADO ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒故选：A ．【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．◎考点3：利用性质与判定求线段长例1．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级开学考试）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥BD 交AD 于点E ，已知AB =2，54DOE S =，则AE 的长为（ ）A．1.5B．2C．2.5D 【答案】A【分析】首先连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE=DE，S∠BOE=S∠DOE=54，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案．【详解】解：连接BE，如图所示：由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，∠BE=DE，S∠BOE=S∠DOE=54，∠S∠BDE=2S∠BOE=52，∠12DE•AB=52，又∠AB=2，∠DE=52，∠BE=52，在Rt∠ABE中，由勾股定理得：AE，故选：A．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．练习1．（2021·浙江）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，则点A到BD的距离是（）A．4B．4.6C．4.8D．5【答案】C【分析】先根据矩形的性质和勾股定理求出BD＝10，再根据∠ABD的面积即可得出答案．【详解】解：设点A到BD的距离为h，在矩形ABCD中，∠AB＝6，BC＝AD＝8，∠由勾股定理可知：BD，S矩形ABCD= AD•AB=48，S∠ABD= 12S矩形ABCD=24，∠12h•BD＝24，∠h＝4.8，故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用勾股定理以及矩形的性质，本题属于基础题型．练习2．（2021·四川绵阳市·八年级期末）如图，四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，60C ∠=°，2CD AD =，4AB =，点P 是AB 上一动点，则PC PD +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】作D 点关于AB 的对称点D '，连接CD '交AB 于P ，根据两点之间线段最短可知此时PC +PD 最小；再作D 'E ∠BC 于E ，则EB =D 'A =AD ，先根据等边对等角得出∠DCD '=∠DD 'C ，然后根据平行线的性质得出∠D 'CE =∠DD 'C ，从而求得∠D 'CE =∠DCD '，得出∠D 'CE =30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D 'C =2D 'E =2AB ，即可求得PC +PD 的最小值．【详解】作D 点关于AB 的对称点D '，连接CD '交AB 于P ，P 即为所求，此时PC +PD =PC +PD '=CD '，根据两点之间线段最短可知此时PC +PD 最小．作D 'E ∠BC 于E ，则EB =D 'A =AD ．∠CD =2AD ，∠DD '=CD ，∠∠DCD '=∠DD 'C ．∠∠DAB =∠ABC =90°，∠四边形ABED '是矩形，∠DD '∠EC ，D 'E =AB =4，∠∠D 'CE =∠DD 'C ，∠∠D 'CE =∠DCD '．∠∠DCB =60°，∠∠D 'CE =30°，∠在Rt∠D 'CE 中，D 'C =2D 'E =2×4=8，∠PC +PD 的最小值为8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，确定出P 点是解答本题的关键．练习3．（2021·全国八年级专题练习）矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若4AB CF ==，2BC CE ==，则EH =（ ）AB ．2CD 【答案】A【分析】 延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN∠AG 于N ，先计算出RG=6，∠ARG=90︒，AR=2，根据勾股定理求出AG =，利用1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅，求出EN =，即可利用勾股定理求出NG 、EH ． 【详解】如图，延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN∠AG 于N ， ∠矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，∠RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG=90︒，AR=AR -CE=4-2=2，∠AG ===，∠H 是AG 中点，，∠1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅，∠24⨯=，∠EN =，在Rt∠ENG 中，NG ==，∠5NH NG HG =-=，∠EH =，故选：A ．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键．◎考点4：利用性质与判定求面积例1．（2021·全国八年级专题练习）如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于,E F ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】A【分析】先根据矩形的性质证得DFP PBE S S =，然后求解即可．【详解】解：作PM∠AD 于M ，交BC 于N ，∠四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形，∠ADC ABC S S =△△，AMP AEP SS =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ∠S 矩形DFPM =S 矩形BEPN ，∠PM=AE=1，PF=NC=3， ∠131322DFP PBE S S ==⨯⨯=△△， ∠S 阴=33+=322， 故选：A ．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得DFP PBE S S =是解答本题的关键． 练习1．（2020·河南洛阳市·七年级期中）如图，周长为34的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．280B．140C．70D．196【答案】C【解析】解：设小长方形的长、宽分别为x、y，依题意得：，解得：，则矩形ABCD的面积为7×2×5=70．故选C．【点评】考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，首先会根据图示找到所需要的数量关系，然后利用这些关系列出方程组解决问题．练习2．（2020·石阡县教育局教研室八年级期末）矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．56B．192C．20D．以上答案都不对【答案】B【分析】首先设矩形的两邻边长分别为：3x ，4x ，可得（3x ）2+（4x ）2=202，继而求得矩形的两邻边长，则可求得答案．【详解】解：∠矩形的两邻边之比为3：4，∠设矩形的两邻边长分别为：3x ，4x ，∠对角线长为20，∠（3x ）2+（4x ）2=202，解得：x=4，∠矩形的两邻边长分别为：12，16；∠矩形的面积为：12×16=192．故选B ．练习3．（2019·浙江丽水市·九年级学业考试）在矩形ABCD 中，，BC=2，以A 为圆心，AD 为半径画弧交线段BC 于E ，连接DE ，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．22π- C ．πD ．2π- 【答案】A【详解】解：连接AE ，根据矩形的性质，可AE=AD=BC=2．在Rt∠ABE 中，根据勾股定理可得=然后由∠ABE 是等腰直角三角形，求得∠DAE=45°，因此可求得S 阴影=S 扇形DAE ﹣S ∠DAE =2452360π⨯﹣12=2π． 故选A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．◎考点5：利用矩形性质证明例1．（2021·广东佛山市·平洲二中九年级月考）如图，BD 是矩形ABCD 的一条对角线．（1）作BD 的垂直平分线EF ，分别交AD ，BC 于点E 、F ．垂足为点O （要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）求证：BE BF =．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）分别以B 、D 为圆心，以大于BD 一半的长为半径上下画弧，上下各有一个交点，这两点的连线即为所求；（2）先通过矩形的性质得到有关条件证明DEO BFO ∆∆≌，得到 OE =OF ，再利用垂直平分线的判定得到BD 是EF 的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质即可求解．【详解】（1）解：如图所示：EF 即为所求；（2）证明：连接BE ，四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，ADB CBD ∴∠=∠． EF 垂直平分线段BD ，BO DO ∴=，90DOE BOF ==︒∠∠．在DEO ∆和BFO ∆中，ADB CBD DO BO DOE BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)DEO BFO ∴△≌△，OE OF ∴=，又BD EF ⊥，∴BD 垂直平分EF ，BE BF ∴=．【点睛】本题综合考查了如何作线段的垂直平分线、矩形的性质、线段的垂直平分线的性质和判定、三角形全等的性质和判定等内容，要求学生熟记作图步骤，灵活运用线段垂直平分线的性质和判定进行线段关系的转化，考查了学生分析推理的能力．练习1．（2020·海南鑫源高级中学八年级期末）如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过点O 的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：BOE DOF ∆≅∆；（2）以A 、E 、C 、F 为顶点的四边形是平行四边形？试证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由矩形的性质：OB =OD ，AE ∠CF 证得BEO DFO ∠=∠，根据AAS 可证明∠BOE ∠∠DOF ； （2）根据BOE DOF ∆≅∆得BE =DF ，根据四边形ABCD 是矩形得AB =CD ，AE //CF ，从而进一步可证明四边形AECF 是平行四边形．【详解】解：（1）证明：∠四边形ABCD 是矩形∠OB OD =，//AE CF∠BEO DFO ∠=∠又BOE DOF ∠=∠∠BOE DOF ∆≅∆；（2）证明 ：∠BOE DOF ∆≅∆，∠BE =DF∠四边形ABCD 是矩形，∠AB CD =，//AE CF∠AE AB BE =+，CF CD DF =+∠AE CF =∠四边形AECF 是平行四边形【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和平行四边形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、全等三角形的判定与性质定理和平行四边形判定．练习2．（2020·赣州市赣县区第四中学八年级期中）如图，矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 边上，连接CE 、AF ，⊥DCE =⊥BAF ．试判断四边形AECF 的形状并加以证明．【答案】四边形AECF 是平行四边形，证明见解析．【分析】根据矩形的性质得出//DC AB ，可得出∠DFA =∠BAF ，进而得出∠DCE =∠DFA ，证得//FA CE ，再根据平行四边形的判定得出即可．【详解】解：四边形AECF 是平行四边形．∠四边形ABCD 是矩形，∠//DC AB ，∠∠DFA =∠BAF ，又∠∠DCE =∠BAF ，∠∠DCE =∠DFA∠//FA CE ，∠四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的判定以及平行四边形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．练习3．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，且连结BM 、DN ．（1）若M ，N 分别为AD ，BC 的中点，求证：ABM ⊥CDN ；（2）当四边形BMDN 是菱形，AD =2AB ，AM =3时，求菱形的边长．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据矩形的性质和M ，N 分别为AD ，BC 的中点，可以得到∠ABM 和∠CDN 全等的条件，从而可以证明结论成立；（2）根据菱形的性质和勾股定理，可以求得菱形的边长．【详解】证明：（1）∠四边形ABCD 是矩形∠AD=BC ，AB=CD ，∠A=∠C=90°∠M ，N 分别为AD ，BC 的中点∠AM=CN在∠ABM 和∠CDN 中，AB CD A C AM CN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠∠ABM ∠∠CDN （SAS ）（2）设AB =x ，则AD =2x∠四边形ABCD 是矩形∠∠A=90°∠四边形BMDN 是菱形，AM =3∠BM =DM =2x -3∠AM 2+AB 2=BM 2∠32+x 2=（2x -3）2解得：x 1=0（舍去），x 2=4即AB =4∠BM 5=即菱形的边长是5．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．◎考点6：求矩形在平面直角坐标系中的坐标例1．（2021·全国八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点O 是坐标原点，点A 、C 的坐标分别是()6,0，()0,3，点B 在第一象限，则点B 的坐标是（ ）A ．()3,6B ．()6,3C ．()6,6D ．()3,3【答案】B【分析】 根据矩形的性质得出点B 的坐标即可．【详解】解：∠四边形OABC 是矩形，∠OC=AB ，CB=OA ，∠点A ，C 的坐标分别是（6，0），（0，3），∠AB=3，OA=6，∠点B 坐标为（6，3），故选：B ．【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B 的坐标．练习1．（2020·山西晋中市·八年级期中）一个长方形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为(1,1)--，(1,2)-，(3,1)-，那么第四个顶点的坐标为（ ）A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(3,3)D ．(2,2)【答案】A根据长方形对边平行且相等，利用横坐标与纵坐标和已知点的横坐标或纵坐标相同即可求出第四点坐标．【详解】在平面直角坐标系中的坐标分别为（-1，-1），（-1，2），两点的横坐标相同，这两点连线平行y轴，第四点与（3，-1）连线也平行y轴，则第四点的横坐标为3，由于在平面直角坐标系中的坐标分别为（-1，-1），（3，-1）纵坐标相同，此两点连线平行x轴，为此（-1，2），与第四点两线平行x轴，则第四点的纵坐标为2，所以第四点的坐标为（3，2），故选择：A．【点睛】本题考查长方形的第四点坐标问题，掌握长方形的性质，会利用平行x轴或y轴，两点的横坐标或纵坐标相等来解决问题是关键．练习2．（2021·全国）如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（）A．（﹣1B．1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）【答案】A【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出OB'的长，得到点C'的坐标．解：∠四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（1，2），∠OA ＝1，AB ＝2，由题意得：AB '＝AB ＝2，四边形OAB 'C '是平行四边形，∠OB '==1B C OA ''==，∠点C 的对应点C '的坐标为(-．故选：A ．【点睛】本题考查点坐标的求解和矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质求出线段长从而得到点坐标．练习3．（2021·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(4,4)，点E F 、分别在x y 、轴的正半轴上，PE PF ⊥，则四边形OEPF 的面积为（ ）A ．20B ．16C ．12D ．8【答案】B【分析】 过点P 作PM OE ⊥，PN OF ⊥，证明△△OME PNF ≅，再根据面积计算即可；【详解】如图所示，过点P 作PM OE ⊥，PN OF ⊥，∠点P 的坐标为(4,4)，∠PM=PN ，∠PE PF ⊥，∠MPE EPN FPN EPN ∠+∠=∠+∠，∠∠=∠MPE NPF ，又∠PME PNF ∠=∠，∠()△△OME PNF ASA ≅，∠四边形四边形△正方形4416OEPF ONPE PME ONPM S S S S =+==⨯=．故答案选B ．【点睛】 本题主要考查了四边形与坐标系结合，全等三角形的应用，准确判断计算是解题的关键．◎考点7：矩形与折叠问题例1．（2020·海南鑫源高级中学八年级期末）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，恰好使的D 落在边BC 上的点F 处，如果⊥BAF =60°，则⊥DAE 的大小为（ ）A ．10°B ．15 °C ．20 °D ．25°【答案】B【分析】 由题意可知90BAD ∠=︒，12FAE DAE DAF ∠=∠=∠．再由DAF BAD BAF ∠=∠-∠，即可求出DAE ∠的大小．【详解】∠四边形ABCD 为矩形，∠90BAD ∠=︒， ∠FAE 是由DAE △沿AE 折叠而来，且F 点恰好落在BC 上， ∠12FAE DAE DAF ∠=∠=∠， ∠906030DAF BAD BAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∠130152DAE ∠=⨯︒=︒． 故选：B ．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，根据折叠的性质推出12FAE DAE DAF ∠=∠=∠是解答本题的关键．练习1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）在矩形纸片ABCD 中，6,10AB AD ==．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A '处，折痕为PQ ，当点A '在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A '在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】 根据翻折的性质，①当P 与B 重合时，可得BA′与AP 的关系，根据线段的和差，可得A′C ，②当Q 与D 重合时，根据勾股定理，可得A′C ，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：①当P 与B 重合时，BA′＝BA ＝6，CA′＝BC−BA′＝10−6＝4，②当Q 与D 重合时，由勾股定理，得CA′8，CA′最大是8，CA′最小是4，点A′在BC 边上可移动的最大距离为8−4＝4，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．练习2．（2021·广东汕尾市·九年级期末）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ．若8AB =，4BC =，那么线段EF 的长为（ ）A ．4B ．6C ．D ．【答案】C【分析】 连接EC ，设AC 与EF 交于点O ．根据题意易得线段EF 和线段AC 互相垂直平分，即得出结论AE EC =，12OE OF EF ==，12OA OC AC ==．利用勾股定理可求出AC 的长，即得出OA 的长．设AE EC x ==，则8BE x =-，在Rt BEC △中利用勾股定理即可列出关于x 的方程，求出x ，即求出AE 长．再在Rt AOE 中，利用勾股定理即可求出OE 长，最后即得出 EF 长．【详解】连接EC ，设AC 与EF 交于点O ．根据题意可知线段EF 和线段AC 互相垂直平分．∠AE EC =，12OE OF EF ==，12OA OC AC ==．在Rt ABC 中，AC =∠12OA AC == 设AE EC x ==，则8BE x =-，在Rt BEC △中，222BE BC EC +=，即2224)8(x x -+=，解得：5x =，∠5AE =，在Rt AOE 中，222OA OE AE +=，即2225OE +=，∠OE =．∠2EF OE ==故选：C ．【点睛】本题考查图形的翻折变换．利用线段垂直平分线的性质，矩形的性质以及勾股定理找出边的等量关系是解答本题的关键．练习3．（2020·贵州毕节市·九年级期末）如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E ，若7AB =，3AD =，则图中阴影部分的周长为（ ）A ．10B ．13C ．17D ．20【答案】D【分析】首先由四边形ABCD 为矩形及折叠的特性，得到B ′C =BC =AD ，∠B ′=∠B =∠D =90°，∠B ′EC =∠DEA ，得到∠AED ∠∠CEB ′，得出EA =EC ，再由阴影部分的周长为AD +DE +EA +EB ′+B ′C +EC ，即矩形的周长解答即可．【详解】解：∠四边形ABCD 为矩形，∠B ′C =BC =AD ，∠B ′=∠B =∠D =90°，∠∠B ′EC =∠DEA ，在∠AED 和∠CEB ′中，DEA BE C D B AD B C ∠=∠'⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩， ∠∠AED ∠∠CEB ′（AAS ）；∠EA =EC ，∠阴影部分的周长为AD +DE +EA +EB ′+B ′C +EC=AD +DE +EC +EA +EB ′+B ′C=AD +DC +AB ′+B ′C=3+7+7+3=20，故选：D ．【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的关键．◎考点8：直角三角形斜边上的中线问题例1．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，公路,AC BC 互相垂直，公路AB 的中点M与点C 被湖隔开，若测得 1.2km AC =， 1.6km BC =，则M ，C 两点间的距离为（ ）A ．2.0kmB ．1.2kmC ．1.0kmD ．0.5km【答案】C【分析】 首先根据勾股定理求得AB 的长度，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解．【详解】解：如图，在直角∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1.2km ，BC ＝1.6km ，由勾股定理得到：AB （km ）． ∠点M 是AB 的中点，∠MC ＝12AB ＝1km ． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．练习1．（2020·鞍山市第五十一中学九年级月考）如图，在Rt⊥ABC中，⊥ACB＝90°，将⊥ABC 绕顶点C逆时针旋转得到⊥A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，⊥ABC＝60°，则线段MN的最大值为（）A．4B．8C．D．6【答案】D【分析】连接CN，根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝12A′B′＝4，利用三角形的三边关系即可得出结果．【详解】连接CN，如图所示：在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，∠∠A＝30°，∠AB＝A′B′＝2BC＝8，∠NB ′＝NA ′，∠CN ＝12A ′B ′＝4， ∠CM ＝BM ＝2，∠MN ≤CN +CM ＝6，∠MN 的最大值为6，故选：D ．【点睛】本题考查旋转的性质、含30°角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的三边关系等知识；解题的关键是灵活运用三角形的三边关系．练习2．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学九年级二模）已知Rt ACB △中，点D 为斜边AB 的中点，连接CD ，将DCB 沿直线DC 翻折，使点B 落在点E 的位置，连接DE 、CE 、AE ，DE 交AC 于点F ， 若12BC =，16AC =，则AE 的值为（ ）．A ．2825B ．285C ．145D ．11225【答案】B【分析】过点D 作DM∠BC ，DN∠AE ，垂足为M 、N ，连接BE 交CD 于点G ，由折叠得CD 是BE 的中垂线，借助三角形的面积公式，可以求出BG ，进而求出BE ，由等腰三角形的性质，可得DN是三角形的中位线，得到DN等于BE的一半，求出DN，在根据勾股定理，求出AN，进而求出AE．【详解】解：过点D作DM∠BC，DN∠AE，垂足为M、N，连接BE交CD于点G，∠Rt∠ACB中，20==，∠点D为斜边AB的中点，∠CD=AD=BD=12AB=10，在∠DBC中，DC=DB，DM∠BC，∠MB=MC=12BC=6，8==，由折叠得，CD垂直平分BE，∠BDC=∠EDC，在∠ADE中，DA=DE，DN∠AE，∠AN=NE=12 AE，∠DN是∠ABE的中位线，∠DN∠BE，DN=12 BE，在∠DBC中，由三角形的面积公式得：12BC•DM=12DC•BG，即：12×8=10×BG，∠BG=485=DN，在Rt∠ADN中，145==，∠AE=2AN=285，故选：B．【点睛】考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线以及勾股定理等知识，综合应用知识较强，理解和掌握这些知识是解决问题的前提和关键．练习3．（2021·四川省内江市第六中学九年级开学考试）如图，M是⊥ABC的边BC的中点，AN是⊥ABC的外角平分线，BN⊥AN于点N，且AB＝4，MN＝2.8，则AC的长是（）A．1.2B．1.4C．1.6D．1.8【答案】C【分析】延长CA得射线CD，取AB的中点E，连接NE、ME，可证N、E、M三点共线，即MN与AB 的交点即为AB的中点E，从而易得ME，由AC=2ME即可求解．【详解】解：延长CA得射线CD，取AB的中点E，连接NE、ME，如图，∠M为BC的中点，∠ME//AC，ME12=AC∠BN∠AN，∠ANB∆是直角三角形，∠AE=NE12=AB=2又∠AN是∠ABC的外角平分线，∠EAN ENA NAD∠=∠=∠∠NEB ENA EAN EAN NAD DAE∠=∠+∠=∠+∠=∠∠NE//AC∠N、E、M三点共线，即MN与AB的交点即为AB的中点E，∠NE＝2，MN＝2.8∠ME=0.8∠AC=2 ME=20.8⨯=1.6故选：C．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质，解题的关键是准确作出辅助线，得出M、N、AB的中点三点共线．©知识点二：矩形的判定矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；2）对角线相等的平行四边形是矩形；3）有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形、菱形和正方形讲义
龙文教育学科教师辅导讲义性质：1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质.2）矩形的四个角都是直角.3）矩形的对角线相等.判定方法：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.2）有三个角是直角的四边形是矩形.3）对角线相等的平行四边形是矩形.注意：其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2.菱形的性质以及判定性质：1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质.2）菱形的四条边都相等.3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角.4）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的面积等于对角线乘积的一半）判定方法：1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2）四条边都相等的四边形是菱形.注意：其他还有一些判定菱形的方法，但都不能作为定理使用.3.正方形的性质以及判定性质：1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质.判定方法；1）定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.2）矩形+有一组邻边相等3）菱形+有一个角是直角注意：其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用.【典型例题】例1、如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O点，AE平分∠BAD，交BC于E点，若∠CAE=15°，求∠BOE．例2、如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处．求EF 的长．例3、如图，在90O 的扇形AOB 中有矩形PMON ，P 为弧AB 上的动点，点M 、N 分别在半径BO 、AO 上，当P 点运动到P '时，M 、N 也随之移动到M '、N '，若保持四边形P 'M 'ON '是矩形，试判断MN 与M 'N '的大小关系，并说明理 由。
例4、（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFC GB图1ADFCGB 图2ADFC GB图3AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°． （1）求BE 、QF 的长．（2）求四边形PEFH 的面积．针对练习：1.（2009 黑龙江大兴安岭）在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②BF BO =；③ CH CA =；④ED BE 3=，正确的 （ ） A ．②③ B ．③④ C ．①②④ D ．②③④2. 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确的个数为（ ）①DE =3cm ； ②EB =1cm ； ③2A BCD 15S cm=菱形．A ．3个B ．2个 C ．1个 D ．0个 3．如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放 在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿 图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到A 止，同时点R 从B 点 出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ）．A ．2B ．4π-C ．πD ．π1-4．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ） A ． 23cmB ． 24cm C ．2 D ． 25.如图，在菱形ABCD中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP⊥CD 于点P ，则∠FPC =（） A ．35°B ．45°C ．50°D ．55°6.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC OC ∠==°，B 的坐标为（）A ．B ．C ．11)，D ．1)A DE P CBF第6题图C7. （2011浙江省舟山，10，3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ） （A ）48cm（B ）36cm （C ）24cm（D ）18cm8.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为 （ ）A ．1B ．2C ．2D ．39.如图，E F G H ，，，分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且13AE BF CG DH AB ====，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为（ ） Ａ．25Ｂ．49Ｃ．12Ｄ．3510．（2012•黔东南州）如图，矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB=6，△ABF 的面积是24，则FC 等于（ ）11．（2012黄石）如图（3）所示，矩形纸片中，，，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为（ ）A. 258cm B . 254cm C. 252cm D. 8cm12．（2012攀枝花）如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 ．D(C) AB CE FD图（3）（第7题）FABCDH EG①②③④ ⑤A DFCEG B13、如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形； （2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？14、已知正方形ABCD ， ME ⊥ BD ，MF ⊥ AC ，垂足分别为E 、F （1） M 是AD 上的点，若对角线AC=12cm ，求ME+MF 的长。
第14讲--菱形-矩形-长方形
第14讲菱形矩形正方形第一部分考点搜索（一）菱形1．定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2．菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3．菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形（二）矩形：1．定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2．矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3．矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形(三)正方形1．定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2．性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3．判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证第二部分典例精析考点一：和菱形的相关计算问题例1 （2012•衡阳）如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=34，则菱形ABCD的面积为 cm2．【答案】 24【分析】连接AC交BD于点O，则可设BO=3x，AO=4x，继而在RT△ABO中利用勾股定理求出AB，结合菱形的周长为20cm可得出x的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．【解答】连接AC交BD于点O，则AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，设BO=3x，AO=4x，则AB=5x，又∵菱形ABCD的周长为20cm，∴4×5x=20cm，解得：x=1，故可得AO=4，BO=3，AC=2AO=8cm，BD=2BO=6cm，故可得12AC×BD=24cm2．故答案为：24．同步拓展1．（2012•山西）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ）A ．cm B ．．485cm D ．245cm【解答】∵四边形ABCD 是菱形，∴CO=12 AC=3cm ，BO=12BD=4cm ，AO ⊥BO ，∴，∴S 菱形ABCD =BD •AC 2 =12×6×8=24cm 2， ∵S 菱形ABCD =BC ×AD ，∴BC ×AE=24，∴AE=245cm ，故选D ．考点二：菱形的相关证明例2（2012•聊城）如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ．求证：四边形OCED 是菱形．【分析】：首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED 是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD ，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．【解答】证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC=OD ，∴四边形OCED 是菱形．同步拓展1.（2012•威海）如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A．AE=AF B．EF⊥AC C．∠B=60°D．AC是∠EAF的平分线【答案】 C【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，∵AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCF=12∠DCB，∠BAE=12∠BAD，∴∠BAE=∠DCF，∵在△ABE和△CDF中∠D=∠B AB=CD ∠DCF=∠BAE ∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，BE=DF，∵AD=BC，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，A．∵四边形AECF是平行四边形，AE=AF，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；B．∵EF⊥AC，四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；C．根据∠B=60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形，故本选项错误；D．∵四边形AECF是平行四边形，∴AF∥BC，∴∠FAC=∠ACE，∵AC平分∠EAF，∴∠FAC=∠EAC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，故本选项正确；故选C2. （2012•温州）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．【证明】由平移变换的性质得：CF=AD=10cm，DF=AC，∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，∴AC= ，∴AC=DF=AD=CF=10，∴四边形ACFD是菱形．考点二：矩形的相关问题例3（2012•肇庆）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证；（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后利用勾股定理求出BC的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE，∴BD=BE；（2）∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8，∵∠DBC=30°，∴CD=12BD=12×8=4，∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8，在Rt△BCD中，BC=，∴四边形ABED的面积=12（4+8）×同步拓展1．（2012•哈尔滨）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．1【答案】【解答】∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，∴AG=DG，∴∠ADG=∠DAG，∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，∵∠AED=2∠CED，∴∠AGE=∠AED，∴AE=AG=4，在Rt△ABE中，==2.（2012•十堰）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF= ．【解答】过D作DK平行EF交CF于K，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC=∠DCB=90°，AD=BC=4，AB=CD=2，∵AD∥BC，EF∥DK，∴DEFK为平行四边形，∴EF=DK，∵EF⊥AC，∴DK⊥AC，∴∠DPC=90°，∵∠DCB=90°，∴∠CDK+∠DCP=90°，∠DCP+∠ACB=90°，∴∠CDK=∠ACB，∵∠DCK=∠ABC=90°，∴△CDK∽△BCA，∴CD BCCK AB=，即242CK=，CK=1，根据勾股定理得：3．（2012•山西）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是．【答案】【解答】过点B作DE⊥OE于E，∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，∴∠CAO=30°，∴AC=4，∴OB=AC=4，∴OE=2，∴B的坐标是考点三：正方形相关的证明题例4 （2012•黄冈）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．【分析】根据DE=CF，可得出OE=OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论．解答：证明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC，又∵DE=CF，∴OD-DE=OC-CF，即OF=OE，在RT△AOE和RT△DOF中，AO=DOAOD= DOF OE=OF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE=∠ODF，∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°，即可得AM⊥DF．同步拓展1．（2012•贵阳）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD AE=AF ∴Rt△ABE≌Rt△ADF ∴CE=CF，（2）解：连接AC，交EF于G点，∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，∴AC⊥EF，在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=12×2=1，∴，设BE=x，则，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（2+x2=4，解得x=2，∴AB=，∴正方形ABCD的周长为4AB=考点四：四边形综合性题目例5 （2012•江西）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．【答案】15°或165°【分析】利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时，∠BAE的大小，应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．【解答】①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，∴AB=AD BE=DF AE=AF⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAE=30°，∴∠BAE=∠FAD=15°，②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，∴AB=AD BE=DF AE=AF，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=（360°-90°-60°）×12+60°=165°，∴∠BAE=∠FAD=165°故答案为：15°或165°．同步拓展1．（2012•铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A 、B 两点，则线段AB 的最小值是 ．【解答】∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD ，∵AO ⊥OB ，∴∠AOB=90°，∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，∴∠COA=∠DOB ， ∵在△COA 和△DOB 中OCA= ODB OC=OD AOC= DOB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，∴△COA ≌△DOB ，∴OA=OB ，∵∠AOB=90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB= ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小，∵正方形CDEF ，∴FC ⊥CD ，OD=OF ，∴CA=DA ，∴OA=12CF=1，即，．第三部分每课质检一．选择题1．（2012•南通）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）A．3cm B．2cm C．2 3 D．4cm2.（2012•黄冈）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形3.（2012•大连）如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20 B．24 C．28 D．404.（2012•丹东）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm5.（2012•恩施州）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（）A B．2 C．3 D．2二．填空题1.（2012•龙岩）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG ⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是．2.（2012•毕节地区）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是．3.（2012•肇庆）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为．4.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P 在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（-5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标．5.（2012•沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为cm2．三．解答题1.（2012•温州）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．第14讲--菱形-矩形-长方形2.（2012•青海）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．①求证：CD=AN；②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．11 / 11。
第21讲矩形菱形正方形
第二十一讲矩形菱形正方形【根底知识回忆】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的断定：⑴用定义断定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的断定：⑴用定义断定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、断定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和断定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联络】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例1 〔泸州〕如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，折痕AE=105cm，且tan∠EFC=3，那么该矩形的周长为〔〕4A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm对应训练1．〔湖州〕如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．假设DE：AC=3：5，那么ADAB的值为〔〕A．12B．33C．23D．22考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 〔泉州〕如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，那么AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．对应训练2．〔凉山州〕如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，那么以AC为边长的正方形ACEF的周长为〔〕A．14B．15C．1 D．17考点三：和正方形有关的证明题例3 〔湘潭〕在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．〔1〕他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；〔2〕他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．对应训练3．〔三明〕如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．〔1〕求证：△BCP≌△DCP；〔2〕求证：∠DPE=∠ABC；〔3〕把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变〔如图②〕，假设∠ABC=58°，那么∠DPE= 度．考点四：四边形综合性题目例4 〔资阳〕在一个边长为a〔单位：cm〕的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．〔1〕如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；〔2〕如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点对应训练4．〔营口〕如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点〔点F与A、C不重合〕，以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．〔1〕①猜测图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针〔或逆时针〕方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．〔2〕将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．【聚焦山东中考】1．〔威海〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是〔〕A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF2．〔枣庄〕如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，那么DG的长为〔〕A．3-1B．3-5C．5+1D．5-13．〔临沂〕如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，那么△AEF的面积是．4．〔烟台〕如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画AC，连结AF，CF，那么图中阴影局部面积为．5．〔济南〕如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC 和CD上，以下结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3．其中正确的序号是〔把你认为正确的都填上〕．6．〔济宁〕如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．〔1〕求证：AF=BE；〔2〕如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．7．〔青岛〕：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．〔1〕求证：△ABM≌△DCM；〔2〕判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；〔3〕当AD：AB= 时，四边形MENF是正方形〔只写结论，不需证明〕8．〔淄博〕矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4．〔1〕如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；〔2〕请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图〔使正方形的顶点都在网格的格点上〕．9．〔济南〕〔1〕如图1，△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；〔尺规作图，不写做法，保存作图痕迹〕；〔2〕如图2，△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；〔3〕运用〔1〕、〔2〕解答中所积累的经历和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的间隔，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．【备考真题过关】一、选择题1．〔铜仁地区〕以下命题中，真命题是〔〕A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．〔宜宾〕矩形具有而菱形不具有的性质是〔〕A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．〔2021•随州〕如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．△ABC的周长是15，那么菱形ABCD的周长是〔〕A．25B．20C．15D．104．〔重庆〕如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B 落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，那么CE的长为〔〕A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm5．〔南充〕如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，假设AE=2，DE=6，∠EFB=60°，那么矩形ABCD的面积是〔〕A．12B．24C．123D．1636．〔巴中〕如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，假设AC=6，BD=4，那么菱形ABCD 的周长是〔〕A．24B．16C．43D．237〔茂名〕如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，那么AC的长是〔〕A．2B．4C．2 3D．438．〔成都〕如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，假设AB=2，那么C′D的长为〔〕A．1B．2C．3D．49．〔包头〕如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B 在EF 边上，假设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是〔〕A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S210．〔扬州〕如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，那么∠CDF等于〔〕A．50°B．60°C．70°D．80°11．〔绵阳〕如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，那么GH=〔〕A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm12．〔雅安〕如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，以下结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有〔〕个．A．2B．3C．4D．5二、填空题13．〔宿迁〕如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．假设改变框架的形状，那么∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为------度时，两条对角线长度相等．14．〔淮安〕假设菱形的两条对角线分别为2和3，那么此菱形的面积是．15．〔2021•无锡〕如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，那么OE的长等于．16．〔黔西南州〕如下图，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，那么菱形的面积为．17．〔攀枝花〕如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，那么tan∠DBE 的值是．18．〔南充〕如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，那么tanE= ．19．〔苏州〕如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．假设1CGGB k=，那么ADAB=用含k的代数式表示〕．20．〔哈尔滨〕如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，假设BC=4，△AOE的面积为5，那么sin∠BOE的值为．21．〔北京〕如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．假设AB=5，AD=12，那么四边形ABOM的周长为．22．〔南京〕如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，假设菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，那么EF= cm．23．〔舟山〕如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．24．〔桂林〕如图，线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动途径的长是．25．〔荆州〕如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．假设∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠局部的面积为s，那么以下结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x=2时，△BDD1为等边三角形；④s=38〔x-2〕2〔0＜x＜2〕；其中正确的选项是〔填序号〕．三、解答题26．〔南通〕如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．27．〔广州〕如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．28．〔2021•厦门〕如下图，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F．在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH．求证：∠ABH=∠CDE．29．〔2021•黔东南州〕如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．30．〔铁岭〕如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．〔1〕求证：四边形AEBD是矩形；〔2〕当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．31．〔南宁〕如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．〔1〕求证：△ABE≌△CDF；〔2〕假设∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．32．〔贵阳〕：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．〔1〕求证：AE=EC；〔2〕当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．33．〔曲靖〕如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G．〔1〕求证：△DCF≌△ADG．〔2〕假设点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．35．〔绥化〕，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点〔点D不与点B，C重合〕．以AD为边做正方形ADEF，连接CF〔1〕如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；〔2〕如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；〔3〕如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②假设正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．36．〔盘锦〕如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E 在BC同侧，连接EF，CF．〔1〕如图 ，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；〔2〕如图 ，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？假设有，恳求出面积的最大值及此时BP长；假设没有，请说明理由．。
中考菱形矩形知识点总结
中考菱形矩形知识点总结菱形和矩形是初中数学中的常见几何图形，也是中考考试中经常出现的题型。
理解菱形和矩形的性质和计算方法对学生来说是非常重要的。
接下来我将对菱形和矩形的性质、计算方法和解题技巧进行总结，希望能够对中考复习有所帮助。
一、菱形的性质1. 菱形的定义：对角线相等的四边形是菱形。
2. 菱形的性质：（1）对角线相等：菱形的对角线互相垂直且相等。
（2）四条边相等：菱形的四条边相等。
（3）内角性质：菱形的内角是直角，每个角是90°。
（4）对边平行：菱形的对边是平行的。
二、矩形的性质1. 矩形的定义：对角线相等且四个角都是直角的四边形是矩形。
2. 矩形的性质：（1）对角线相等：矩形的对角线互相垂直且相等。
（2）四个角都是直角：矩形的每一个角都是90°。
（3）对边相等：矩形的对边相等且平行。
三、菱形和矩形的计算方法1. 菱形的周长：菱形的周长等于4倍菱形的一条边的长度。
2. 菱形的面积：菱形的面积等于对角线之积的一半。
3. 矩形的周长：矩形的周长等于矩形的长加矩形的宽的两倍。
4. 矩形的面积：矩形的面积等于矩形的长乘以矩形的宽。
四、菱形和矩形的解题技巧1. 判断题型：在解题时要先判断题目是有关菱形还是矩形的，确定图形的种类是解题的第一步。
2. 利用性质：要善于利用菱形和矩形的性质来解题，如对角线相等、边相等、角度性质等。
3. 关注周长和面积：在解题时要注意计算周长和面积的方法，遵循周长等于边长之和、面积等于底宽乘以高的原则。
通过以上总结，希望同学们能够理解菱形和矩形的性质，掌握计算方法和解题技巧，从而在中考中更好地应用这些知识，取得好成绩。
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讲义矩形和菱形
龙文教育学科教师辅导讲义
线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 .
【答案】3:2
例1. 如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥CD于G，OH⊥AD于H，试说明四边形EFGH为矩形。
分析：四边形EFGH与已知条件有关的主要是对角线，如果能够证明对角
线EG和HF相等且互相平分，那么就能够判定四边形EFGH是矩形，根据
菱形的对角线平分每一组对角，知AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，DE
是∠ADC和∠ABC的角平分线，因为OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH
⊥AD，根据角平分线的性质很容易得出OE＝OF＝OG＝OH
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC、BD平分对角
∴O点在∠DAB、∠BCD、∠CDA、∠ABC的角平分线上
又∵OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD
∴OE＝OF＝OG＝OH
又∵AB//CD
∴OE⊥CD
又∵OG⊥OD
∴直线OE与OG重合
即E、O、G三点共线
同理可证H、O、F共线∴EFGH是平行四边形
又∵HF=EG ∴四边形EFGH是矩形
点拨：（1）用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形。
（2）用对角线判定一个四边形是矩形也必须同时满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形。
例2．如图，□ABCD中，AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点，求证：四边形EFGH的矩形。
例3．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒
=
∠120
AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。
D
A
C
B
H
G
F
E
例4．如图，矩形ABCD 中，BD CE ⊥，E 为垂足，1:3:=∠∠ECB DCE ，则ACE ∠等于多少？
【巩固练习】
1、在矩形中，对角线具有的性质是（ ）
A ．相等且互相垂直
B ．相等且互相平分
C ．互相垂直且互相平分
D ．互相垂直且平分内角
2、下列说法错误的是（ ）．
（A ）矩形的对角线互相平分 （B ）矩形的对角线相等
（C ）有一个角是直角的四边形是矩形 （D ）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 3、矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ） （A ）2对 （B ）4对 （C ）6对 （D ）8对
4、①矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是
②已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30°，则矩形两条 对角线相交所得的四个角的度数分为 、 、 、 ．
③已知矩形的一条对角线长为10cm ， 两条对角线的一 个交角 为120°，则矩形的边长分别 为 cm ， cm ， cm ， cm
5. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。
已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 。
【答案】
1
14n - 6. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm.
【答案】25
7.如图，矩形ABCD 中，CE 平分15,=∠∠ACE BCD °，求BOE DOC ∠∠,的度数。
8、如图，矩形纸片ABCD 中，3cm 4cm AB BC ==，，现将A C 、重合使纸片折叠压平，设折痕为
……
D A
O
B
C E
A E
B F
O
D
C
M'
M
D
C
B
A
【巩固】(湖南湘西24,10分)如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠ACB=30°,AB=2.
(1)求AC的长.
(2)求∠AOB的度数.
(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.
【综合题】已知等腰ABC
△中，AB AC
=，AD平分BAC
∠交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF AB
∥，分别交AC、BC于E、F点，作PM AC
∥，交AB于M点，连结ME.
⑴求证四边形AEPM为菱形
⑵当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
M
P F
A B
C
D
E
考点三：矩形和菱形的综合应用
例（2011山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（1
2
1
<
<a），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，
a的值为_____________．
练习1：(2011江苏南京，21，7分)如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC 于点F．
第一次操作第二次操作
（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．
∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．
解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．
又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．
又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．
∴口ABEC是矩形．
2011江苏南通，26，10分【答案】（1）AE′＝BF
证明：如图2，
∵在正方形ABCD中， AC⊥BD
∴∠''
F OE＝∠AOD＝∠AOB＝90°
即∠AO E′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′
∴∠AOE′＝∠BOF′
又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA
∴OE′＝OF′
∴△OAE′≌△OBF′
∴AE′＝BF
（2）作△AOE′的中线AM，如图3.
则OE′＝2OM＝2OD＝2OA
∴OA＝OM
∵α＝30°
∴∠AOM＝60°
∴△AOM为等边三角形
∴MA＝MO＝ME′，∠'
AE M＝∠'E AM
又∵∠'
AE M＋∠'E AM＝∠AMO
即2∠'
AE M＝60°
∴∠'
AE M＝30°
∴∠'
AE M＋∠AOE′＝30°＋60°＝90°
∴△AOE′为直角三角形.
2011湖南衡阳，26，10分【解】(1) 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），。