讲义矩形和菱形知识讲解
讲义矩形和菱形
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线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 .
【答案】3:2
例1. 如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥CD于G，OH⊥AD于H，试说明四边形EFGH为矩形。
分析：四边形EFGH与已知条件有关的主要是对角线，如果能够证明对角
线EG和HF相等且互相平分，那么就能够判定四边形EFGH是矩形，根据
菱形的对角线平分每一组对角，知AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，DE
是∠ADC和∠ABC的角平分线，因为OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH
⊥AD，根据角平分线的性质很容易得出OE＝OF＝OG＝OH
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC、BD平分对角
∴O点在∠DAB、∠BCD、∠CDA、∠ABC的角平分线上
又∵OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD
∴OE＝OF＝OG＝OH
又∵AB//CD
∴OE⊥CD
又∵OG⊥OD
∴直线OE与OG重合
即E、O、G三点共线
同理可证H、O、F共线∴EFGH是平行四边形
又∵HF=EG ∴四边形EFGH是矩形
点拨：（1）用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形。
（2）用对角线判定一个四边形是矩形也必须同时满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形。
例2．如图，□ABCD中，AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点，求证：四边形EFGH的矩形。
例3．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，?
=
∠120
AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。
D
A
C
B
H
G
F
E
例4．如图，矩形ABCD 中，BD CE ⊥，E 为垂足，1:3:=∠∠ECB DCE ，则ACE ∠等于多少？
【巩固练习】
1、在矩形中，对角线具有的性质是（ ）
A ．相等且互相垂直
B ．相等且互相平分
C ．互相垂直且互相平分
D ．互相垂直且平分内角
2、下列说法错误的是（ ）．
（A ）矩形的对角线互相平分 （B ）矩形的对角线相等
（C ）有一个角是直角的四边形是矩形 （D ）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 3、矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ） （A ）2对 （B ）4对 （C ）6对 （D ）8对
4、①矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是
②已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30°，则矩形两条 对角线相交所得的四个角的度数分为 、 、 、 ．
③已知矩形的一条对角线长为10cm ， 两条对角线的一 个交角 为120°，则矩形的边长分别 为 cm ， cm ， cm ， cm
5. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 。
【答案】
1
14n - 6. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm.
【答案】25
7.如图，矩形ABCD 中，CE 平分15,=∠∠ACE BCD °，求BOE DOC ∠∠,的度数。
8、如图，矩形纸片ABCD 中，3cm 4cm AB BC ==，，现将A C 、重合使纸片折叠压平，设折痕为
……
D A
O
B
C E
A E
B F
O
D
C
M'
M
D
C
B
A
【巩固】(湖南湘西24,10分)如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠ACB=30°,AB=2.
(1)求AC的长.
(2)求∠AOB的度数.
(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.
【综合题】已知等腰ABC
△中，AB AC
=，AD平分BAC
∠交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF AB
∥，分别交AC、BC于E、F点，作PM AC
∥，交AB于M点，连结ME.
⑴求证四边形AEPM为菱形
⑵当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
M
P F
A B
C
D
E
考点三：矩形和菱形的综合应用
例（2011山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（1
2
1
<
a的值为_____________． 练习1：(2011江苏南京，21，7分)如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC 于点F． 第一次操作第二次操作 精品文档 精品文档平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结 平行四边形： 性质： ①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相平分； 判定： ①定义：两组对边分别平行的四边形 ②方法1：两组对角分别相等的四边形 ③方法2：两组对边分别相等的四边形 ④方法3：对角线互相平分的四边形 ⑤方法4：一组平行且相等的四边形 矩形： 性质： ①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相平分且相等；判定： ①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等菱形： 性质： ①边：四条边都相等； ②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④面积：则S菱形=底×高=ah；或者S菱形= 1 2 ab（对 角线乘积的一半）． 判定： ①有一组邻边相等的平行四边形； ②对角线互相垂直的平行四边形； ③四条边都相等． 正方形： 性质： ①边：四条边都相等； ②角：四角相等； ③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； 判定： ①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形； ③对角线互相垂直的矩形． ④有一个角是直角的菱形 ⑤对角线相等的菱形； 几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）识别矩形的常用方法 ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③说明四边形ABCD的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法 ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③说明四边形ABCD的四条相等． （3）识别正方形的常用方法 ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角． 菱形 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称 中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）. 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘 积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数． 【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°． 【答案与解析】 平行四边形 【知识脉络】 【基础知识】 Ⅰ. 平行四边形 (1)平行四边形性质 １）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2）平行四边形的性质(包括边、角、对角线三方面） ： A B D O C 边：①平行四边形的两组对边分别平行; ②平行四边形的两组对边分别相等； 角：③平行四边形的两组对角分别相等； 对角线:④平行四边形的对角线互相平分． 【补充】平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点. (２)平行四边形判定 １)平行四边形的判定（包括边、角、对角线三方面)： A B D O C 边:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2)三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 3)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. ４）平行线间的距离: 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。 两条平行线间的距离处处相等。 Ⅱ. 矩形 （1）矩形的性质 １）矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. ２）矩形的性质: ①矩形具有平行四边形的所有性质; ②矩形的四个角都是直角； ③矩形的对角线相等； ④矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形，有两条对称轴,对称中心是对角线的交点． （2)矩形的判定 １）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形． 2）证明一个四边形是矩形的步骤： 方法一:先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等； 菱形 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理. 【要点梳理】 【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是- 个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件^ 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1. 菱形的四条边都相等； 2. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角^ 3. 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中 心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将 菱形分成完全全等的两部分^ （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底X高; 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和） 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一 半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 . 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3. 四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、（2015?石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E, F分别为AD , AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G,连接BD . （1）求证：四边形EGBD是平行四边形； （2）连接AG,若Z FGB=30 °, GB=AE=1 ,求AG 的长. 菱形 【知识梳理】 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等） 2、性质：（1）边：四条边都相等； （2）角：对角相等、邻角互补； （3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； （4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形． 3、菱形的判定方法: 一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 4、识别菱形的常用方法 （1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等． （2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直． （3）说明四边形ABCD的四条相等． 5、面积:设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱 形=1 2 ab 【经典题】 一、选择题 1. (2014 广东省珠海市) 边长为3cm的菱形的周长是( ) A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.15 cm 3. (2014 贵州省毕节地区) 如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH的长等于（） A.3.5 B.4 C.7 D.14 B C （第8题图） 4. (2014 湖南省长沙市) 如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB=60° ,则对角线BD 的长为 ( ) A ． 1 B ． 2 D ． 5. (2014 江苏省徐州市) 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是 矩形 B.等腰梯形 C.对角线相等的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 6. (2014 山东省枣庄市) 如图，菱形ABCD 的边长为4，过点A 、C 作对角线AC 的垂线，分别交CB 和AD 的延长 线于点E ，F,AE=3，则四边形AECF 的周长为（ ） A ．22 B ．18 C ．14 D ．11 7. (2014 浙江省宁波市) 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是 （ ） A.10 B. 8 C. 6 D. 5 8. (2014 黑龙江省农垦牡丹江管理局) 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列 结论：①AE=BF ；②△DEF 是等边三角形；③△BEF 是等腰三角形； ④∠ADE=∠BEF ，其中结论正确的个数是（ ） A D B 学科：数学 教学内容：菱形 【基础知识精讲】 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 定理1：四边都相等的四边形是菱形． 定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【重点难点解析】 1．菱形的性质 (1)菱形具有平行四边形的一切性质； (2)菱形的四条边都相等； (3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； (4)菱形是轴对称图形． 2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半． A．重点、难点提示 1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法； 3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件； 4．体会特殊与一般的关系． B．考点指要 菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一． 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质： ①菱形的四条边都相等； ②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起） ③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起） 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段） 菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形） ①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四条边都相等的四边形是菱形． 【难题巧解点拨】 例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD 学科：数学 教学内容：菱形 学习目标 1．掌握菱形的概念． 2．理解菱形的性质及识别方法． 3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题． 学法指导 把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点． 基础知识讲解 1．菱形的定义 四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形． 由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可． 2．菱形的性质 （1）它具有平行四边形的一切性质 （2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形． 3．菱形的识别方法 菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法． 其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形． 4．菱形的面积计算 由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=2 1ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半． 5．菱形的性质及识别方法的作用 利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算． 重点难点 重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用． 难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题． 易错误区分析 运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 菱形（基础） 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、（广安）如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF =BE ． 【思路点拨】连接AC ，根据菱形的性质可得AC 平分∠DAE ，CD =BC ，再根据角平分线的性质可得CE =FC ，然后利用HL 证明Rt △CDF ≌Rt △CBE ，即可得出DF =BE ． 【答案与解析】 证明：连接AC ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠DAE ，CD =BC ， ∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ， ∴CE =FC ，∠CFD =∠CEB =90°． 在Rt △CDF 与Rt △CBE 中， ? ??==CE CF CB CD ， ∴Rt △CDF ≌Rt △CBE （HL ）， ∴DF =BE ． 【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质． 举一反三： 初三数学 特殊四边形知识点及性质 几种特殊四边形的有关概念 （1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可． （2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可． （3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形． （4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行； ②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题． （5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形． 2．几种特殊四边形的有关性质 （1）矩形： ①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线 所在直线，2条）． （2）菱形： ①边：四条边都相等； ②角：对角相等、邻角互补；、 ③对角线：对角线互相垂直平分 且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线 所在直线，2条）． （3）正方形： ①边：四条边都相等； ②角：四角相等； ③对角线：对角线互相垂直平 分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．（4）等腰梯形： ①边：上下底平行但不相等，两腰相等； ②角：同一底边上的两个角相等；对角 初中数学知识点大全 1、一元一次方程根的情况 △=b2-4ac 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 当△<0时，一元二次方程没有实数根 2、平行四边形的性质： ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。 ③平行四边形的对边/对角相等。 ④平行四边形的对角线互相平分。 菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。 矩形与正方形： ①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 ②矩形的对角线相等，四个角都是直角。 ③ 对角线相等的平行四边形是矩形。 ④ 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。 ⑤一组邻边相等的矩形是正方形。 多边形： ①N 边形的内角和等于（N-2）180度 ②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度） 平均数：对于N 个数X 1，X 2…X N ，我们把（X 1+X 2+…+X N ）/N 叫做这个N 个数的算 术平均数，记为X 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据 的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。 二、基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 第一章特殊的平行四边形 一、菱形： 【知识梳理】 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ①边的性质：对边平行且四边相等． ②角的性质：邻角互补，对角相等． ③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 【例题精讲】板块一、菱形的性质 例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm． （1）求菱形ABCD的边长； （2）求菱形ABCD的高DM． 例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE 相交于点G，连接CG与BD相交于点H． 求证：（1）求∠BGD的度数。（2）求证：DG+BG=CG 例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD. (1)求证：四边形ABCD是菱形． (2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由． 例4. 已知，菱形 ABCD 中，E、F分别是BC、CD上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数． F E D C B A 跟踪练习： 1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为() A.4 B.2.4 C.4.8 D.5 2.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC和CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（） A.23 B.33 C.43 D.3. 3.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口 与第二次折痕所成角的度数应为() A.15°或30° B.30°或45° O A 平行四边形、矩形、菱形、正方形知识方法总结 一. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 平行四边形 矩形 菱形 正方形 图形 一般 性质 1．边： 且 ； 2．角： ； ； 3．对角线 ； 1．边： 且 ； 2．角： ； ； 3．对角线 ； 1．边： 且 ； 2．角： ； ； 3．对角线 ； 1．边： 且 ； 2．角： ； ； 3．对角线 ； 面积 二. 判断（识别）方法小结： (1) 识别平行四边形的方法：（从边、角、对角线3方面） ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (2) 识别矩形的方法：（从定义、特殊元素（角、对角线）3方面） ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；（ t R ⊕∠Y 一个 ） ②对角线相等的平行四边形是矩形； （ ⊕Y 对角线 =） ③有三个角是直角的四边形是矩形； （3t R ∠个 ） ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（ ⊕对角线互相平分对角线 =） (3) 识别菱形的方法：（从定义、特殊元素（边、对角线）3方面） ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （ =⊕Y 一组邻边 ） ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （ ⊕⊥Y 对角线 ） ③四边都相等的四边形是菱形； （4= 边） ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。（ ⊕⊥对角线互相平分对角线 ） (4) 识别正方形的方法：（从边、角、对角线3方面） 抓本质：矩形+菱形 ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（ = Rt ∠⊕⊕Y 一组邻边一个 ） ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； （ ⊕⊕⊥=Y 对角线 对角线） ③有一组邻边相等的矩形是正方形； （ =⊕ 矩形一组邻边 ） ④对角线互相垂直的矩形是正方形； （ ⊕⊥矩形对角线 ） ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； （ Rt ∠⊕菱形一个 ） ⑥对角线相等的菱形是正方形； （⊕=菱形 对角线） ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 （ ⊕⊕⊥=对角线互相平分对角线 对角线） 小结：把以上识别方法的编号分别填入下图中的每一条带方向的线上：（如平行四边形的第一种识别方法的编号为 (1) ①，其他方法类似） 三、其他性质： 1、平行四边形、矩形、菱形、正方形（平行四边形系列图形）：都具有的 （1）与面积有关的：任意一条对角线分得的两部分面积___________；两条对角线分得的四部分面积________。 ?推广：若一条直线过平行四边形（系列图形）对角线的交点，则直线被一组对边截下的 线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形（系列图形）的面积。 菱形知识讲解 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 菱形 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】 【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称 轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中 心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的 面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一 半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何 一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角 线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行， 垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、（2015?石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD． （1）求证：四边形EGBD是平行四边形； （2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长． 【思路点拨】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【答案与解析】 讲义矩形和菱形 龙文教育学科教师辅导讲义 线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】3:2 例1. 如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥CD于G，OH⊥AD于H，试说明四边形EFGH为矩形。 分析：四边形EFGH与已知条件有关的主要是对角线，如果能够证明对角 线EG和HF相等且互相平分，那么就能够判定四边形EFGH是矩形，根据 菱形的对角线平分每一组对角，知AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，DE 是∠ADC和∠ABC的角平分线，因为OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH ⊥AD，根据角平分线的性质很容易得出OE＝OF＝OG＝OH 解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC、BD平分对角 ∴O点在∠DAB、∠BCD、∠CDA、∠ABC的角平分线上 又∵OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD ∴OE＝OF＝OG＝OH 又∵AB//CD ∴OE⊥CD 又∵OG⊥OD ∴直线OE与OG重合 即E、O、G三点共线 同理可证H、O、F共线∴EFGH是平行四边形 又∵HF=EG ∴四边形EFGH是矩形 点拨：（1）用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形。 （2）用对角线判定一个四边形是矩形也必须同时满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形。 例2．如图，□ABCD中，AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点，求证：四边形EFGH的矩形。 例3．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，? = ∠120 AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。 D A C B H G F E O D C B A A B C D O D C B A D C B A 第5课 菱形和矩形的性质与判定的总结 一、归纳知识点： 1. 菱形的定义、性质及判定 定 义：有一组邻边相 等的平行四边形叫做菱形。 ABCD ABCD AB BC ? ??=? 平行四边形菱形 性 质 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且四边都相等；②邻角互补，对角相等； ③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角； ④是中心对称图形、轴对称图形． ① AB= BC=CD =AD ；②AC ⊥BD 且AC 、BD 分 别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线． 面 积 ①菱形面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． ②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对 角线乘积的一半．（注：不能直接使用） ①1 2 ABCD S AC BD = ?菱形 ②1 2 ABCD S AC BD =?四边形 判 定 ① 一组邻边相等的平行四边形是菱形． ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ③ 四边相等的四边形是菱形． D′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE≌△AD′F； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形证明你的结论. A B C D E F D A B C D O A B C D O A B C 30° A B C O A B C D 2. 矩形的定义、性质及判定 定 义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 90ABCD ABCD B ? ??∠=?? 平行四边形矩形 性 质 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且相等；②四个角都是直角； ③对角线互相平分且相等； ④是中心对称图形、轴对称图形． ①ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠ =90°； ②AC=BD ． 推论 ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ②在直角三角形中，30?角所对的直角边等于斜边的一半． ① O 是AC 的中点，则1 2 BO AC =． ② 30B ∠=?，则1 2 AC AB = ． 判定 ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形． ② 对角线相等的平行四边形是矩形． ③ 有三个角是直角的四边形是矩形． 例2.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=33，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30° （1）求BE 、QF 的长（2）求四边形PEFH 的面积． 第19章：矩形、菱形与正方形知识点 矩形 定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形。 对称性：矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴有两条，分别为通过对边中点的直线。 特殊性质： 1.矩形的四个角都是直角。 2.矩形的对角线相等。 补充： 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半。 判定： 1.定义法：有一个角为直角的平行四边形是矩形。 2.判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 3.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对称性：菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴有两条，分别为它的对角线所在直线。 特殊性质： 1.菱形的四条边都相等。 2.菱形的对角线互相垂直(且平分对角)。 判定： 1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形。 3.判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 第19章：矩形、菱形与正方形知识点 矩形 定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形。 对称性：矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴有两条，分别为通过对边中点的直线。 特殊性质： 1.矩形的四个角都是直角。 2.矩形的对角线相等。 补充： 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半。 判定： 1.定义法：有一个角为直角的平行四边形是矩形。 2.判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 3.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对称性：菱形既是中心对称图形又是轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴有两条，分别为它的对角线所在直线。 特殊性质： 1.菱形的四条边都相等。 2.菱形的对角线互相垂直(且平分对角)。 判定： 1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形。 3.判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 平行四边形、矩形、菱形、正方形知识方法总结 一. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 二. 判断（识别）方法小结： (1) 识别平行四边形的方法：（从边、角、对角线3方面） ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。 (2) 识别矩形的方法：（从定义、特殊元素（角、对角线）3方面） ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；（ t R ⊕∠一个 ） ②对角线相等的平行四边形是矩形； （ ⊕对角线 =） ③有三个角是直角的四边形是矩形； （3t R ∠个 ） ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（ ⊕对角线互相平分对角线 =） (3) 识别菱形的方法：（从定义、特殊元素（边、对角线）3方面） ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （ =⊕ 一组邻边 ） ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （ ⊕⊥对角线 ） ③四边都相等的四边形是菱形； （4= 边） ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。（ ⊕⊥对角线互相平分对角线 ） (4) 识别正方形的方法：（从边、角、对角线3方面） 抓本质：矩形+菱形 ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（ = Rt ∠⊕⊕ 一组邻边一个 ） ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； （ ⊕⊕⊥=对角线 对角线） ③有一组邻边相等的矩形是正方形； （ =⊕ 矩形一组邻边 ） ④对角线互相垂直的矩形是正方形； （ ⊕⊥矩形对角线 ） ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； （ Rt ∠⊕菱形一个 ） ⑥对角线相等的菱形是正方形； （⊕=菱形 对角线） ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 （ ⊕⊕⊥=对角线互相平分对角线 对角线） 小结：把以上识别方法的编号分别填入下图中的每一条带方向的线上：（如平行四边形的第一种识别方法的编号为 (1) ①，其他方法类似） 三、其他性质： 1、平行四边形、矩形、菱形、正方形（平行四边形系列图形）：都具有的 （1）与面积有关的：任意一条对角线分得的两部分面积___________；两条对角线分得的四部分面积________。 ?推广：若一条直线过平行四边形（系列图形）对角线的交点，则直线被一组对边截下的 线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形（系列图形）的面积。 人教版初中数学八年级下册菱形知识点及同步练习 学科：数学 教学内容：菱形 学习目标 1．掌握菱形的概念． 2．理解菱形的性质及识别方法． 3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题． 学法指导 把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点． 基础知识讲解 1．菱形的定义 四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形． 由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可． 2．菱形的性质 （1）它具有平行四边形的一切性质 （2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形． 3．菱形的识别方法 菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法． 其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形． 4．菱形的面积计算 由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4× 21×（22b a ）=2 1 ab ，即菱形的面积等于 对角线乘积的一半． 5．菱形的性质及识别方法的作用 利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算． 重点难点 重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用． 难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题． 易错误区分析 苏教版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 菱形（提高） 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称 中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）. 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘 积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数． 菱形的定义及其性质 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ? 1９．2.2 菱形的定义及其性质 课题菱形的定义及其性质课型新 授课课时第1课时授课时长４５分钟 授课题目(章,节) 第十九章第二节19．２.２圆的一般方程 教材及参考书目义务教育课程标准实验教材书数学八年级下册（人民教育出版社） ●教学目的与要求 1、知识目标:掌握菱形的定义和菱形的特殊性质,并熟练运用其进行有关的证明 和计算。 2、能力目标:通过学生实践、观察、猜想、探究得出菱形的定义和性质，培养学 生合情推理能力和演绎推理能力。 ３、情感目标：经历“几何画板”探索数学规律,激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。 ●教学重难点 ?菱形是特殊的平行四边形,因而她有着自己的定义和不同于平行四边形的性质，菱形的定义和性质即是平行四边形定义与性质的延续，又是以后学习正方形的基础。因此本节课的重难点定为： 1、教学重点:菱形的概念与性质 ２、教学难点：菱形性质和直角三角形的知识的综合应用. ?而解决这一难点的关键在于关键在于把握平行四边形的概念,引伸到菱形定义，再研究菱形的性质。 ●教学方法 ?由于八年级学生思维的不成熟,在解决实际问题中考虑不够深入。并根据本节内容,采用师生合作探究和学生动手实践、观察、猜想、探究相结合的教学方法。 ●教学辅助 多媒体教学演示折纸剪纸探究 ●教学过程及时间分配 1、情景创设,引入新课(９分钟） 2、探索活动，讲授新课(14分钟） 3、例题讲解，指导应用（8分钟) ４、课堂练习,动手实践（８分钟) 5、归纳小结,反馈回授(3分钟) 6、知识延伸,分层作业（3分钟） 初中数学等腰梯形的性质知识点详解 初中数学等腰梯形的性质知识点详解 对于数学的学习中，下面是对等腰梯形的性质知识点的内容讲解，供大家参考学习。 等腰梯形的性质 ①两底平行，两腰相等 ②等腰梯形在同一底上的两个角相等 ③等腰梯形的两条对角线相等 ④等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴 通过上面对数学中等腰梯形的性质知识点的内容讲解学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会从中学习的更好。 初中数学相关的角与性质知识点详解 对于数学的学习中，下面是对相关的角与性质知识点的内容讲解，供大家参考学习。 相关的角与性质 相关的角： 1、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。 3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。 4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。 注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。 角的性质 1、对顶角相等。 2、同角或等角的余角相等。 3、同角或等角的补角相等。 通过上面对数学中相关的角与性质知识点的内容讲解学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会从中学习的更好。 初中数学菱形的定义与性质知识点详解 下面是老师对数学中菱形的定义与性质相关知识讲解，希望给同学们的复习学习提供很好的帮助。 菱形的定义与性质 1、定义：邻边相等的平行四边形是菱形。 2、性质： （1）菱形的四边形都相等。 （2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角，（3）菱形的面积等于对角线乘积的一半。 （4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴。八年级数学平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结复习过程
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