4.2.1 等差数列的概念2-新教材高二数学人教A选择性必修第二册同步教学课件
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人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1(第1课时)等差数列的概念及通项公式【课件】
类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规
律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和
数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的
这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是 2A=a+b
合作探究
是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面
20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
1 − ( ∈ ) 当x=n时的函数值，即 = () .
如图4.2-1， 在平面直角坐标系中画出
= + −
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为1 − 的直线.
合作探究
在这条直线上描出点
, ， , ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)
合作探究
律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和
数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的
这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是 2A=a+b
合作探究
是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面
20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
1 − ( ∈ ) 当x=n时的函数值，即 = () .
如图4.2-1， 在平面直角坐标系中画出
= + −
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为1 − 的直线.
合作探究
在这条直线上描出点
, ， , ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)
合作探究
4.2.1等差数列的性质课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
如：a2+a8＝a4+a6＝a3+a7
推论 : 若m n 2 p, 则am an 2a p .
如：a2+a8＝2a5
判断1：a7+a8＝a15，a1+a21＝a22 (× ) 注意：等号两侧的项数必须相同
判断2：若{an}为等差数列,am+an＝ap+aq,则m+n＝p+q (× )
an
2an 1
如：
1，，，，
2 3 4 5
d 1
3, 5, 7, 9, 11
d' 2
探究新知
一.等差数列的性质
线性运算
若 an , bn 分别是公差为d1 , d 2的等差数列，
则数列 xan ybn 为公差是xd1 yd 2的等差数列。
例题讲解
例2
[练习等差数列 {an }中, a1 a5 a9 , 则 cos(a2 a8 ) __ .
2
1
析 : 3a5 , a5 , cos(a2 a8 ) cos 2a5 cos
3
3
2
反例:常数列
探究新知
一.等差数列的性质
（2）在有穷等差数列中，与首末项“等距”的两项之和
2
2
2
观察与猜想：观察上述各项的角标满足什么关系？由此猜想相关结论.
等差数列{an }中, 若m n p q, 则am an a p aq (m, n, p, q N * )
证明：证明上述猜想。
证明 : am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d
推论 : 若m n 2 p, 则am an 2a p .
如：a2+a8＝2a5
判断1：a7+a8＝a15，a1+a21＝a22 (× ) 注意：等号两侧的项数必须相同
判断2：若{an}为等差数列,am+an＝ap+aq,则m+n＝p+q (× )
an
2an 1
如：
1，，，，
2 3 4 5
d 1
3, 5, 7, 9, 11
d' 2
探究新知
一.等差数列的性质
线性运算
若 an , bn 分别是公差为d1 , d 2的等差数列，
则数列 xan ybn 为公差是xd1 yd 2的等差数列。
例题讲解
例2
[练习等差数列 {an }中, a1 a5 a9 , 则 cos(a2 a8 ) __ .
2
1
析 : 3a5 , a5 , cos(a2 a8 ) cos 2a5 cos
3
3
2
反例:常数列
探究新知
一.等差数列的性质
（2）在有穷等差数列中，与首末项“等距”的两项之和
2
2
2
观察与猜想：观察上述各项的角标满足什么关系？由此猜想相关结论.
等差数列{an }中, 若m n p q, 则am an a p aq (m, n, p, q N * )
证明：证明上述猜想。
证明 : am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d
等差数列概念等差数列的证明与性质-高二数学教材配套教学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
2. 等差数列的通项公式
3. 等差中项
an =a1+(n-1)d
−1
⟹d=
−1
由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
这三个数满足关系式：
+
A= 2
4. 等差数列的函数特征
函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,
等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列.
则3 + 15 = ____.
解：∵在等差数列{ }中,若 + = + ，
则 + = + ，∴1 + 17 = 5 + 13 .
由条件等式，得9 = 117.
∴3 + 15 = 29 = 2 × 117 = 234.
新知探究
练习.已知等差数列{ }中，4 + 7 + 10 = 30，则3 − 25 的值为( B ).
公差为 d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设成 a－3d，a－d，a＋d，a
＋3d，公差为 2d.
新知探究
练习：已知递增的等差数列{an}的前三项之和为 21，前三项之积为 231，求
数列{an}的通项公式．
新知探究
方法一：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为 a1，a1＋d，a1＋2d，
4 ∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15× 4 ＝24.
＝ ，
(2)∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝
15
60－15 15
（2）方法二：∵{an}为等差数列，观察可得：4a60=a15+3a75，
∴4×20=8+3×a75,求得a75=24
3. 等差中项
an =a1+(n-1)d
−1
⟹d=
−1
由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
这三个数满足关系式：
+
A= 2
4. 等差数列的函数特征
函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,
等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列.
则3 + 15 = ____.
解：∵在等差数列{ }中,若 + = + ，
则 + = + ，∴1 + 17 = 5 + 13 .
由条件等式，得9 = 117.
∴3 + 15 = 29 = 2 × 117 = 234.
新知探究
练习.已知等差数列{ }中，4 + 7 + 10 = 30，则3 − 25 的值为( B ).
公差为 d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设成 a－3d，a－d，a＋d，a
＋3d，公差为 2d.
新知探究
练习：已知递增的等差数列{an}的前三项之和为 21，前三项之积为 231，求
数列{an}的通项公式．
新知探究
方法一：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为 a1，a1＋d，a1＋2d，
4 ∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15× 4 ＝24.
＝ ，
(2)∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝
15
60－15 15
（2）方法二：∵{an}为等差数列，观察可得：4a60=a15+3a75，
∴4×20=8+3×a75,求得a75=24
4.2.1等差数列的概念 课件(共13张PPT)(2024)高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
a, A, b 成等差数列
等差数列填空：
12，
，
，
，
0
探究新知
三.等差数列的通项公式
如果一个数列a1, a2, … , an, …是等差数列,它的公差是d, 那么
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
不
累
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
完
a4-a3=d
加
…
…
全
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
[练习1]等差数列{an }中, 若a1 5, 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a11 a1 10 d 5 10 3 35
[变式]等差数列{an }中, 若a4 14 , 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a4 a1 3d a1 9 14, a1 5.
不是
（6）, , , , …
不是
公差可为正、可为负也可为0
说明：判断数列是不是等差数列,
运用定义：看+ − 是否为
同一个常数.
探究新知
二.等差中项的定义
在如下的两个数之间, 插入一个数使这三个数成为一个等差数列:
(1) 2, ( 3 ), 4
(2) -1, ( 2 ), 5
新课导入
【情景2】 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装
对应的尺码分别是： 34，36，38，40，42，44，46，48
新课导入
【情景3】 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得
新教材高中数学第4章数列4.2等差数列4.2.1第2课时等差数列的性质课件新人教A版选择性必修第二册
＋7d＝8，
所以 5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.
()
(3)若{an}是等差数列，则对任意 n∈N*都有 2an＋1＝an＋an＋2．
()
(4)数列{an}的通项公式为 an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数 y
＝3x＋5 的图象的斜率相等．
()
[提示] (1)错误，如－2，－1，0，1，2 是等差数列，但其绝对 值就不是等差数列．
(2)错误，如数列－1，2，－3，4，－5 其绝对值为等差数列，但 其本身不是等差数列．
[跟进训练] 1．已知五个数成等差数列，它们的和为 5，平方和为895，求这 5 个数．
[解] 设第三个数为 a，公差为 d，则这 5 个数分别为 a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d.
由已知有
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝895，
A．20
B．22
C．24
D．26
C [∵{an}为等差数列，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴a4＋a12＝a6＋a10＝2a8，
a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，
∴a8＝24， 则 2a10－a12＝a8＋a12－a12＝a8＝24.]
3．已知数列{an}为等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点 P(3，a3)， Q(5，a5)的直线斜率为( )
2．等差数列的性质 (1){an}是公差为 d 的等差数列，若正整数 m，n，p，q 满足 m＋
n＝p＋q，则 am＋an＝_a_p_＋__a_q____.
①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末
4.2.1等差数列的性质及应用第2课时 课件——高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
+ = + ( + − )
因为
所以
+=+
+ = +
合作探究
拓展
等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广： = + − (, ∈ ∗ ) ． （ =
−
−
）
(2) 若{ }是等差数列，, , , ∈ ∗ ,且 + = + . 则 + = +
31 + 21 = 4,
67
66
67
66
a5=a1+4d= ,故第 5 节的容积为 升.
答案:B
13
1 = ,
22
7 则
= ,
66
二、典例引领
合作探究
∗
例 3 已知数列{ }是等差数列， , , , ∈ 且 + = +
求证： + = +
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解： （1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
又“首末两数之积比中间数的平方小16”
− − + =
∴
解得
= ±
故公差是 ±
三、课堂练习
课堂练习
3 灵活设元求解等差数列
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
变式训练
孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动
了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干
年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（
高中数学选择性必修二(人教版)《4.2.1 等差数列的概念及通项公式》课件
解：法一：∵a5＝10，a12＝31， ∴aa11＋ ＋411dd＝＝1301，， ∴ad1＝＝3－，2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－5，∴a20＝3×20－5＝55. 法二：∵a12＝a5＋7d，即 31＝10＋7d，∴d＝3， ∴an＝a12＋(n－12)d＝3n－5， ∴a20＝a12＋8d＝31＋8×3＝55.
an＝_a_1＋__(_n_－__1_)_d__
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等差数列{an}的单调性与公差 d 有关．
()
(2)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项． ( )
答案：(1)，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an 等于
∵cos 1－cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)
－3m＝(3m＋2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等
差数列．D.∵(a＋1)－(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差
数列． 答案：ACD
3. 已知 2m 与 n 的等差中项为 5，m 与 2n 的等差中项为 4，则 m 与 n
解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以 d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2) ＝10d＋122＋34(d≠0)， 当 d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈125，＋∞. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中 a1，a2，…，a10 是首项为 1， 公差为 1 的等差数列，当 n≥1 时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差 为 dn 的等差数列．
2．[等差数列的函数特性]已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试 判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 由已知aa11＋ ＋1651－ －11dd＝ ＝3231， 7， 解得ad1＝＝4－. 23， 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N *，所以 153 是所给数
an＝_a_1＋__(_n_－__1_)_d__
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等差数列{an}的单调性与公差 d 有关．
()
(2)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项． ( )
答案：(1)，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an 等于
∵cos 1－cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)
－3m＝(3m＋2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等
差数列．D.∵(a＋1)－(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差
数列． 答案：ACD
3. 已知 2m 与 n 的等差中项为 5，m 与 2n 的等差中项为 4，则 m 与 n
解：(1)依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以 d＝3. (2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2) ＝10d＋122＋34(d≠0)， 当 d∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a30∈125，＋∞. (3)所给数列可推广为无穷数列{an}，其中 a1，a2，…，a10 是首项为 1， 公差为 1 的等差数列，当 n≥1 时，a10n，a10n＋1，…，a10(n＋1)是公差 为 dn 的等差数列．
2．[等差数列的函数特性]已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试 判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解：设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 由已知aa11＋ ＋1651－ －11dd＝ ＝3231， 7， 解得ad1＝＝4－. 23， 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N *，所以 153 是所给数
高中数学第四章数列4.2.1第2课时等差数列的性质及应用同步课件新人教A版选择性必修第二册
(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
分析根据各个题的特征,选择相应等差数列的性质求解.
解 (1)(方法 1)设{an}的公差为 d,
1 = 4,
1 + 4 = 10,
3
则
解得
1 + 14 = 25,
= 2,
故
3
答案 0
解析 设图象过点(4,6)和(6,4)的一次函数解析式为y=kx+b,则由
6 = 4k + b,
解得k=-1,b=10.因此图象过点(4,6)和(6,4)的一次函数解析式
4 = 6k + b,
为y=-x+10.由等差数列的通项公式与一次函数的关系可知an=10-n,所以
a10=10-10=0.
中项及等差数列性质求解;(2)中涉及四个数成等差数列,因此可考虑用“对
称性”设出这四个数.
解 (1)设{an}的公差为d,∵a1+a3=2a2,
∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.
又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,
∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,
解得d=3或d=-3(舍去),
故a19-b19=c19=5+18×2=41.
方法技能求等差数列基本运算的两种方法
一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;
二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的
效果.
变式训练 1(1)已知数列{an}为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9=
分析根据各个题的特征,选择相应等差数列的性质求解.
解 (1)(方法 1)设{an}的公差为 d,
1 = 4,
1 + 4 = 10,
3
则
解得
1 + 14 = 25,
= 2,
故
3
答案 0
解析 设图象过点(4,6)和(6,4)的一次函数解析式为y=kx+b,则由
6 = 4k + b,
解得k=-1,b=10.因此图象过点(4,6)和(6,4)的一次函数解析式
4 = 6k + b,
为y=-x+10.由等差数列的通项公式与一次函数的关系可知an=10-n,所以
a10=10-10=0.
中项及等差数列性质求解;(2)中涉及四个数成等差数列,因此可考虑用“对
称性”设出这四个数.
解 (1)设{an}的公差为d,∵a1+a3=2a2,
∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.
又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,
∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,
解得d=3或d=-3(舍去),
故a19-b19=c19=5+18×2=41.
方法技能求等差数列基本运算的两种方法
一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;
二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的
效果.
变式训练 1(1)已知数列{an}为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9=
4.2.1等差数列的概念教学设计2023-2024学年高二下学期数学人教A版(019选择性必修第二册
课题等差数列课型新授课课时1课时教学内容等差数列的定义及通项公式教学目标知识目标：1.掌握等差数列的定义2.掌握等差数列的通项公式的基本应用能力目标：1.明确等差数列的定义2.能够利用等差数列的通项公式，求出等差数列的任何一项素质目标：1培养学生的观察能力2.进一步提高学生推理、归纳能力3.培养学生将数学学习与生活相结合的思想教学重、难点教学重点：1.等差数列的定义的理解与掌握2.等差数列的通项公式的推导及应用教学难点：等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教学方法游戏教学法、小组教学法、讲练结合法教学媒体及资源交互式电子白板、PPT教学过程教学环节及内容教师活动学生活动环节一（8min）：*创设情景兴趣导入教师引入与运动有关的生活实例播放观看实例一姚明刚进NBA 时一周训练罚球个数：6000，6500，7000，7500… 实例二匡威运动鞋（女）的尺码数：35，36，37，38 … 教师引导学生观察：上面例子中的数列的具有怎样的特点?第一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于500 ； 第二个数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1 ；师生共同总结出这两个数列的共同特点，进而引出等差数列的定义，导入新课课件 质疑引导 分析课件 思考 自我 建构环节二（15min ）：动脑思考 探索新知一、等差数列的定义如果一个数列从它的第2项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d 表示。
教师强调学生在理解等差数列的定义时应注意：（1）从第2项开始（这是为了保证“每一项”都有“前一项”）；（2）每一项与它的前一项的差（公差=后项－前项） （3）差都等于同一个常数（差都相等）；教师引导学生对式子“公差=后项－前项”进行变形得到“后项=前项＋公差”，进而分析得：若数列{}n a 为等差数列，d 为公差，则d a a n n =-+1，即d a a n n +=+1 (n ≥1)注：n=1时 2a =1a +d n=2时3a =2a +d n=3时4a =3a +d … 教师引入与运动有关的盛会：第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。
4.2.1等差数列的概念(教学课件)-高中数学人教A版选择性必修第二册
答案： 4
解析：设等差数列an 的公差为 d，且 d 为整数，
由题意得 a6 a1 5d 0 ， a7 a1 6d 0 ，
所以 23 5d 0 ，且 23 6d 0 ，解得 23 d 23 ，
5
6
又 d 为整数，则公差 d 4 .
根据题意得
aa1101
11 11 ，即
220 220
10d 11d
11 11
，
解这个不等式组，得19 d 20.9 .
所以，d 的取值范围为19 d 20.9 .
例 4 已知等差数列{an} 的首项 a1 2 ，公差 d 8 ，在{an} 中每相邻两项 之间都插入 3 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn} . （1）求数列{bn} 的通项公式. （2） b29 是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是，说明理由.
答案：
an
3n 4
7 4
n
N
解析：设数列an 的公差为 d，由 a5 4a3 ，得 a1 4d 4a1 2d ，
又 a1
1 ，所以 d
3 4
，所以 an
1
(n
1)
3 4
3 4
n
7 4
n
N
.
12.一个首项为 23，公差为整数的等差数列，若前 6 项均为正数，第 7 项起 为负数，则它的公差为_________________.
10.等差数列an 中， a1 1 ， a9 21，则 a3 与 a7 等差中项的值为________.
答案：11
解析：根据题意，等差数列an 中， a1 1 ， a9 21 ，
则有 a1 a9 a3 a7 1 21 22 ，