直角三角形的存在性问题(教案)
直角三角形的存在性问题说课稿66
《直角三角形的存在性问题》说课稿尊敬的各位老师：大家好！今天我说课的题目是《直角三角形的存在性问题》，源自于湘教版数学中考复习专题。
下面，我将从教材分析，教法与学法、教学过程等几个方面对本课的设计进行说明。
一、教材分析（一）教材地位和作用直角三角形的存在性问题常与动点题结合在一起考，包括直角三角形和等腰直角三角形的存在性，本节主要研究直角三角形的存在性。
主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年中考的热点。
（二）教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧；体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。
（三）教学重点与难点1、教学重点1.能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题2.确定动点位置的方法及数形结合、分类讨论思想和方程思想的培养2、教学难点能够正确的分析问题、转化问题，合理利用条件解决问题二、教法选择与学法指导（一）教法设计为了达到更好地教学效果，实现教学目标，体现以学生发展为本的精神，本节课我将主要采用“启发探究式”的教学方法完成教学，在教学中运用“开放型的探究式”的教学模式。
围绕本节课所学知识，设计问题，激发学生积极思考，引导学生自主学习与合作交流，不断丰富数学活动的经验，增强学生学习过程中的反思意识，通过猜想验证、归纳总结，使学生积极参与教学过程，进一步培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
（二）学法指导学生通过对问题提出自己的猜想，主动探索，进行验证，归纳总结，发现规律；互动合作、解决问题；归纳概括、形成能力。
充分体现学生的主体地位。
三、教学过程本节课的教学过程分为八个部分：1、课前准备、引入课题出两个简单的关于直角三角形的练习，引发学生的学习兴趣。
【设计意图】通过两个简单的关于直角三角形的练习，检测学生对勾股定理、K型相似的应用情况，同时引出课题——直角三角形的存在性问题.2、师生互动、探究新知活动1 探究学习提问：（1）这样的问题，你怎么思考的？需要针对直角顶点进行分类.（2）一般会有几种情况？三种.（3）分类之后需要做什么？画图.（4）解题有哪些方法？（5）当直角顶点在点C的时候，如何精确地找到点C？以AB为直径的圆与直线的交点.3、小结直角三角形的存在性问题解题策略：4、探究应用如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P使△PBC 为直角三角形？若存在，求出点P坐标，若不存在说明理由。
18、直角三角形存在性问题--陆老师
直角三角形存在性问题
、
例1：如图所示，在中，，，D、E为线段BC上的两个动点，且（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作交AB于F，连接DF，设，如果为直角三角形，求的值.
【解答】或
【解析】在中，是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况，如果把夹的两条边用含有的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了.
如图1，作，垂足为H，那么H为BC的中点，
在中，，
由得，即，解得，
①如图2，当时，由，得，
，解得；
②如图3，当时，，得，
，解得.
例2：如图，已知直线经过点，与轴相交于点B，若点Q是轴上一点，且为直角三角形，求点Q的坐标.
【解答】，，，
【解析】将代入中，解得
，
①如图1，过点A作AB的垂线交轴于，
由AB的解析式可得的解析式为，即；
②如图2，过点B作AB的垂线交轴于，
由AB的解析式可得的解析式为，即；
③如图3，以AB为直径画圆与轴分别交于，作轴，垂足为点E，则，
，即，解得或3，
，
综上，，，，.。
直角三角形的存在性问题
小结： 写出本题完整的解题过程：
注意：
轴交于点 C．
（1）求点 A、 B 的坐标；
（ 2）若直线 l 过点 E(4, 0) ，M为直线 l 上的动点，当以 A、B、M为顶点所作的直角三角形
有．且．只．有．三个时，求直线 l 的解析式．
点拨： 1．当直线 l 与以 AB为直径的圆相交时，符合∠ AMB＝90°的点 M有 2 个；当直线 l 与圆相切时，符合∠ AMB＝ 90°的点 M只有 1 个． 2 ．灵活应用相似比解题比较简便．
为线段 OC上一点，设过 B、P 两点的直线为 l 1，过 A、P 两点的直线为 l 2，若 l 1与 l 2 是点 P 的直 角线，求直线 l 1 与 l 2的解析式．
〖练 4〗 如图 1，直线 y
4 x
4 和 x 轴、y 轴的交点分别为
B、C，点 A 的坐标是（-2 ，0）．
3
（1）试说明△ ABC是等腰三角形；
① __________为直角顶点的 Rt △QCP有 __________个 ② __________为直角顶点的 Rt △QCP有 __________个
第三步 计算 ——具体问题具体分析
②如图， Q为直角顶点，那么 __________________， 于是 MP ' OB ' 1 ，因此 MB 2MP '， MB OB 2
数形结合， xB xP ' 2 y P' ， 设 P(_____, _________________) ， 那么 _______ _________________ ， 解得 x1 4, x2 5
2 x1 4的几何意义就是点 _____ ， x2 5 的几何意义就是点 _______
数学人教版九年级上册二次函数图像中直角三角形的存在性问题
课题：二次函数图像中直角三角形的存在性问题一、教学目标1、掌握求二次函数表达式的方法。
2、掌握判断直角三角形可以从边和角两个角度入手。
3、掌握二次函数与直角三角形结合的动点问题的解决方法。
二、重、难点重点：线段的表示与分类讨论难点：分类讨论三、教学过程情境创设：存在性问题是中考中的热点问题，所涉知识点多，难度较大，也是学生比较荆手的问题，但它也是有解题方法可循的。
比如我们本节课将复习的直角三角形存在性问题，就可利用坐标系中两点的距离公式，正确得到所求三角形三边长的平方的代数式；根据勾股定理的逆定理得到方程，并解方程即可。
知识梳理：1、二次函数的表达式有哪些？一般式：对轴称为顶点坐标（，）项点式：对轴称为顶点坐标（，）交点（两根）式：对轴称为顶点坐标（，）（设计意图：让学生能根据所给条件选用恰当的表达式求二次函数解析式）2、直角三角形的判定方法有哪些？（设计意图：让学生知道判断一个三角形是直角三角形可从边和角两个角度入手，重点是对勾股定理逆定理的运用）3、已知点P(x,y)，则点P到x轴的距离为，到y轴的距离为。
（设计意图：让学生知道点的坐标的实际意义）4、两点间的距离公式：用A，B两点的坐标来表示线段AB的长。
（设计意图：让学生知道用两点坐标来表示该两点的线段长）习题展示：oy B( x2,y2)A( x1,y1)x如图，已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于点A 、B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），直线l 经过点B 、C 两点，抛物线的顶点为D 。
（1）求此抛物线和直线l 的解析式；（2）判断ΔBCD 的形状并说明理由；（3）如图，在抛物线的对称轴上求点P ，使ΔPBC 为直角三角形；思考题：如图，在对称轴右侧的抛物线上，是否存在点P ，使ΔPDC 为等腰三角形。
若存在，请求出符合条件点P 的坐标，若不存在，请说明理由；C B A O y xD CBDA yLO C B A O y xD 思路分析：将B （3，0），C （0，3）代入y=-x 2+bx+c 中，得关于b ，c 的二元一次方程组，解出b ，c 的值，从而得到抛物线的解析式；设y=kx+z,将B （3，0），C （0，3）代入y=kx+z ，得关于k ，z 的二元一次方程组，解出k ，z 的值，从而得到直线l 的解析式。
直角三角形存在性问题
2直角三角形存在性问题(总17页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直角三角形存在性问题【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C 坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ； （3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，12C C 、求法相同，以2C 为例： 【构造三垂直】故C 2坐标为（132，0）代入得：BN =32AM BN=MB NC 2由A 、B 坐标得AM =2，BM =4，NC 2=3△易证AMB ∽△BNC 234C C 、求法相同，以3C 为例：故a =1或3设MC 3=a ，C 3N =b △易证AMC 3∽△C 3NB ，由A 、B 坐标得AM =1，BN =3，AM C 3N=MC 3N B代入得：1b =a3，即ab =3，又a +b =4，故C 3坐标为（2,0），C 4坐标为（4,0）构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股 还剩下1C 待求，不妨来求下1C ：（1）表示点：设1C 坐标为（m ，0），又A （1，1）、B （5，3）； （2）表示线段：AB =1AC =1BC = （3）分类讨论：当1BAC ∠为直角时，22211AB AC BC +=； （4）代入得方程：()()2222201153m m +-+=-+，解得：32m =．还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法： 互相垂直的两直线斜率之积为-1．考虑到直线1AC 与AB 互相垂直，11AC AB k k ⋅=-，可得：12AC k =-，又直线1AC 过点A （1,1），可得解析式为：y =-2x +3，所以与x 轴交点坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，即1C 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~ 【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．代数法：（1）表示点A 、B 、C 坐标；（2）表示线段AB 、AC 、BC ；（3）分类讨论①AB ²+AC ²=BC ²、②AB ²+BC ²=AC ²、③AC ²+BC ²=AB ²； （4）代入列方程，求解．如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．【三垂直构造等腰直角三角形】【2019兰州中考（删减）】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题． 【模型呈现】如图，在Rt △ABC ，∠ACB =90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =DE ，BC =AE ．我们把这个数学模型成为“K 型”． 推理过程如下：【模型迁移】二次函数22y ax bx =++的图像交x 轴于点A （-1,0），B （4,0）两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x ⊥轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒． （1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）在直线MN 上存在一点P ，当PBC ∆是以BPC ∠为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标．【分析】（1）213222y x x =-++；（2）本题直角顶点P 并不确定，以BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P 点，再过点P 作水平线，得三垂直全等． 设HP =a ，PQ =b ，则BQ =a ，CH =b ， 由图可知：42a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩．故D 点坐标为（1,3）．同理可求此时D 点坐标为（3,2）．思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC 中点M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P 点．根据B 点和M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P 点坐标易求．P 点横坐标同D 点，故可求得D 点坐标．【2017本溪中考】如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点B （3,0），经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为5(4,)2C ，与y 轴交点为D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当OPQ ∆是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．【分析】 （1）21322y x x =--； （2）①当∠POQ 为直角时，考虑Q 点在对称轴上，故过点Q 向y 轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P 向x 轴作垂线，长度必为1，故P 的纵坐标为±1．如下图，不难求出P 点坐标． 设P 点坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得：213122m m --=．解得：11m =+21m =31m =+41m =- 如下图，对应P点坐标分别为()11-、()11--、()1．②当∠OPQ 为直角时，如图构造△OMP ≌△PNQ ，可得：PM =QN ． 设P 点坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则22131302222PM m m m m ⎛⎫=---=-++ ⎪⎝⎭，QN =1m -，∴213122m m m -++=-，若213122m m m -++=-，解得：1m =，2m =若213122m m m -++=-+，解得：12m =-22m =如下图，对应P点坐标分别为、(2．对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．【2019阜新中考】如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点(3,0)A -和点(1,0)B ，交y 轴于点C ． （1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D 的坐标为(1,0)-，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO ∆为等腰直角三角形，且MNO ∠为直角若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图【分析】（1）224233y x x =--+；（2）连接AC ，将四边形面积拆为△APC 和△ADC 面积，考虑△ADC 面积为定值，故只需△APC 面积最大即可，铅垂法可解； （3）过点N 作NE ⊥x 轴交x 轴于E 点，如图1，过点M 向NE 作垂线交EN 延长线于F 点， 易证△OEN ≌△NFM ，可得：NE =FM ．设N 点坐标为224,233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，则224233NE m m =--+，1FM m =+，∴2242133m m m --+=+2242=133m m m --++，解得：1m =（图1），2m =（图4）对应N 点坐标分别为⎝⎭、⎝⎭；2242=133m m m --+--，解得：3m =（图2）、4m （图3）对应N 点坐标分别为⎝⎭、⎝⎭．当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况．一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似．而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．【对称轴上寻找点】（2018·安顺中考）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C ． （1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 坐标．【分析】（1）直线BC ：3y x =+抛物线：223y x x =--+；（2）将军饮马问题，考虑到M 点在对称轴上，且点A 关于对称轴的对称点为点B ，故MA +MC =MB +MC ，∴当B 、M 、C 三点共线时，M 到A 和C 的距离之后最小，此时M 点坐标为（-1，2）；（3）两圆一线作点 P ：以1P 为例，构造△PNB ∽△BMC ，考虑到BM =MC =3， ∴BN =PN =2，故1P 点坐标为（-1，-2）．易求2P 坐标为（1,4）．3P 、4P 求法类似，下求3P ：已知PN =1，PM =2，设CN =a ，BM =b ，由相似得：12ab =，即ab =2，由图可知：b -a =3， 故可解：1b =，2b =（舍），对应3P 坐标为⎛- ⎝⎭．类似可求4P坐标为⎛- ⎝⎭．【抛物线上寻找点】（2018·怀化中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax x c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使BDM ∆的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =-++，直线AC ：y =3x +3； （2）看图，M 点坐标为（0,3）与C 点重合了．（3）考虑到AC 为直角边，故分别过A 、C 作AC 的垂线，与抛物线交点即为所求P 点，有如下两种情况，先求过A 点所作垂线得到的点P ： 设P 点坐标为()2,23m m m -++，则PM =m +1，AM =()2202323m m m m --++=--， 易证△PMA ∽△ANC ，且AN =3，CN =1，∴212331m m m +--=，解得：1103m =，21m =-（舍）， 故第1个P 点坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭；再求过点C 所作垂线得到的点P ：()223232PM m m m m =--++=-，CN =m ，2321m m m =-，解得：173m =，20m =（舍）， 故第2个P 点坐标为720,39⎛⎫⎪⎝⎭．综上所述，P 点坐标为1013,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或720,39⎛⎫⎪⎝⎭．【动点还可能在……】（2019·鄂尔多斯中考）如图，抛物线22(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ，直线y x =-与该抛物线交于E ，F 两点． （1）求抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH EF ⊥于点H ，求PH 的最大值． （3）以点C 为圆心，1为半径作圆，C 上是否存在点M ，使得BCM ∆是以CM 为直角边的直角三角形若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】 （1）224233y x x =+-； （2）过点P 作x 轴的垂线交EF 于点Q ，所谓PH 最大，即PQ 最大，易解．（3）CM 为直角边，故点C 可能为直角顶点，点M 也可能为直角顶点．①当BCM ∠为直角时，如图：21 1M ：不难求得CF =1，BF =2，∴1:1:2EM EC =，又11CM =，可得：1EMEC =． 故1M坐标为2⎛-+ ⎝⎭； 同理可求2M坐标为2-⎝⎭． ②当∠BMC 为直角时，如图：3M ：不难发现CM =1，BC ，∴2BM =，即△MEC ∽△BFM ，且相似比为1：2，设EC =a ，EM =b ，则FM =2a ，BF =2b ，由图可知：2221a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得：3545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 故点3M 的坐标为36,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 至于4M 坐标，显然()1,2-．综上所述，M 点坐标为2⎛-+ ⎝⎭或2-⎝⎭或36,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()1,2-．【总结】对于大部分直角三角形存在性问题，构造三垂直全等或相似基本上可解决问题，牢记构造步骤：（1）过直角顶点作水平或竖直线；（2）过另外两端点向其作垂线．。
11.2.2直角三角形的性质与判定(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《11.2.2直角三角形的性质与判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一个三角形是否为直角三角形的情况？”（如测量窗户玻璃的斜边长度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的性质与判定的奥秘。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生对于直角三角形在实际生活中的应用认识不足。因此，我将在后续的教学中，引入更多与直角三角形相关的实际案例，让学生了解到数学知识在现实世界中的广泛应用。
4.培养学生团队合作精神，通过小组讨论、交流分享，提高对直角三角形性质与判定的理解；
5.激发学生数学学习兴趣，探索直角三角形在历史、文化及现代科技领域的应用，提升数学素养。
三、教学难点与重点
《11.2.2直角三角形的性质与判定》
1.教学重点
-理解并掌握直角三角形的定义：直角三角形是一种有一个角为直角（即90°）的三角形。
五、教学反思
在完成《11.2.2直角三角形的性质与判定》这一章节的教学后，我进行了深入的反思。我发现，学生在理解直角三角形的定义和性质方面普遍较为顺利，但对勾股定理的证明和应用判定方法时，存在一定的难度。这让我意识到，在今后的教学中，应更加关注学生对定理证明过程的掌握，以及如何将理论知识应用于实际问题的解决。
-掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
-掌握直角三角形的判定方法：通过边长关系判断一个三角形是否为直角三角形。
-应用直角三角形的性质解决实际问题，如计算斜边长度、角度等。
直角三角形的存在性问题
直角三角形的存在性问题（因动点产生的直角三角形的存在性问题）课前预热1、两点式2、两直线互相垂直，两直线的解析式为11b x k y +=与22b x k y += → 121-=⋅k k3、三角形相似：射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=24、三角函数求解新课认知问题提出：已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求 解第三点解决方法：1、找点方法：双线一圆（两垂线一圆）一圆指以已知边为直径作圆，双线指过线段（边）端点（顶点）做垂线. 2、分析题目中的定长、定角3、确定点的坐标情况分类：（1）当动点在直线上运动时常用方法:①121-=⋅k k ；②三角形相似；③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动是时情况分类：①已知点处做直角方法：①121-=⋅k k ；②三角形相似；③勾股定理.②动点处做直角方法：寻找特殊角.动点在直线上运动时例1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为秒时，△PAD的周长最小？当t为秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由当动点在曲线上运动时 (1)求解过程中只有已知点处做直角例2 如图，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）求解过程中动点处做直角例3 如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ=43AB,求tan ∠CED 的值②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．1、（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA ； （2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）经过A （3，0），B （4，1）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1），连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标．3、（2012内蒙古）如图，抛物线2y x bx 5=--与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF 的解析式；（3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例1（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM．∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是矩形．∴DM=ON=2，∴CD=2×2=4．∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB=2，∵梯形ABCD的面积=（AB+CD）•OD=9，∴OD=3，即c=3．∴把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得．∴y=x2+4x+3．将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）．（3）①当t为2秒时，△PAD的周长最小；当t为4或4﹣或4+秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形．②存在．∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，∴∠PDM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，∴∠PDM=∠APN，∵∠PMD=∠ANP，∴△APN∽△PDM，∴=，∴=，∴PN2﹣3PN+2=0，∴PN=1或PN=2．∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．故答案为：2；4或4﹣或4+例2（1）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=8，∵点B在点A的右侧，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．当x=0时，y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）．（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．设直线BD的解析式为y=kx+b，则，解得k=﹣，b=4．∴直线BD的解析式为y=﹣x+4．∵l⊥x轴，∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣4）．如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，∴（﹣m+4）﹣（m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．化简得：m2﹣4m=0，解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．此时，四边形CQBM是平行四边形．解法一：∵m=4，∴点P是OB的中点．∵l⊥x轴，∴l∥y轴，∴△BPM∽△BOD，∴==，∴BM=DM，∵四边形CQMD是平行四边形，∴DM CQ，∴BM CQ，∴四边形CQBM是平行四边形．解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则，解得k1=，b1=﹣4．故直线BC的解析式为y=x﹣4．又∵l⊥x轴交BC于点N，∴x=4时，y=﹣2，∴点N的坐标为（4，﹣2），由上面可知，点M的坐标为（4，2），点Q的坐标为（4，﹣6）．∴MN=2﹣（﹣2）=4，NQ=﹣2﹣（﹣6）=4，∴MN=QN，又∵四边形CQMD是平行四边形，∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，∵在△BMN与△CQN中，，∴△BMN≌△CQN（ASA）∴BN=CN，∴四边形CQBM是平行四边形．（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（﹣2，0），Q2（6，﹣4）．若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：①以点Q为直角顶点．此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．∵P在线段EB上运动，∴﹣8≤x Q≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，故此种情形不存在．②以点D 为直角顶点．连接AD ，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，由勾股定理得：AD=，BD=，∵AB 2+BD 2=AB 2，∴△ABD 为直角三角形，即点A 为所求的点Q ． ∴Q 1（﹣2，0）；③以点B 为直角顶点．如图，设Q 2点坐标为（x ，y ），过点Q 2作Q 2K ⊥x 轴于点K ，则Q 2K=﹣y ，OK=x ，BK=8﹣x ． 易证△QKB ∽△BOD ， ∴，即，整理得：y=2x ﹣16．∵点Q 在抛物线上，∴y=x 2﹣x ﹣4． ∴x 2﹣x ﹣4=2x ﹣16，解得x=6或x=8，当x=8时，点Q 2与点B 重合，故舍去；当x=6时，y=﹣4，∴Q 2（6，﹣4）．例3 ⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴1221b b a -=-=⨯ ∴b =－2．∵抛物线与y 轴交于点C （0，－3），∴c =－3，∴抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．⑵∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y =0时，x 2－2x －3=0．∴x 1=－1,x 2=3.∵A 点在B 点左侧，∴A （－1，0），B （3，0）设过点B （3，0）、C （0，－3）的直线的函数表达式为y =kx ＋m ， 则033k m m =+⎧⎨-=⎩，∴13k m =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的函数表达式为y =x －3． ⑶①∵AB =4，PO =34AB ， ∴PO =3∵PO ⊥y 轴∴PO ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得点P 的横坐标为12-， ∴P （12-，74-）∴F（0，74 -），∴FC=3－OF=3－74=54．∵PO垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE－CG=52－1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG=．②P1（12），P2（1－252）．练习1、【答案】解：（1）证明：∵∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∠ACO ＋∠OAC ＝90°，∴∠BCD ＝∠OAC 。
八年级数学下册《直角三角形》教案、教学设计
-请同学们完成课本第chapter页的练习题1-5，重点关注勾股定理及其逆定理的应用。
-选择两道与直角三角形判定方法相关的题目进行解答，要求写出详细的解题过程。
2.实践应用题：
-结合生活实际，找出两个含有直角三角形的场景，并简要说明直角三角形在其中的作用。
-尝试运用勾股定理解决实际距离或高度测量问题，要求列出解题步骤和最终答案。
3.提高拓展题：
-完成“拓展延伸”部分第1、2题的解答，培养学生的逻辑思维和空间想象力。
-针对本节课学到的直角三角形知识，编写一道具有挑战性的题目，与同学进行交流分享。
4.小组合作任务：
-以小组为单位，共同探讨直角三角形在实际生活中的应用，并以PPT或手抄报形式进行展示。
-小组讨论并总结直角三角形判定方法的要点，将讨论成果以书面形式提交。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们学习数学的热情。
2.培养学生严谨、认真的学习态度，使他们养成勤奋好学的学习习惯。
3.通过直角三角形的学习，引导学生体会数学在生活中的应用，增强他们的数学意识。
4.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极进取的精神风貌。
教学设计：
1.导入：通过生活中的实例，如建筑物的直角、三角形标志等，引起学生对直角三角形的关注，激发他们的学习兴趣。
5.反思与总结：
-完成本节课的学习反思，总结自己在课堂上的收获和不足，以及对直角三角形知识点的认识。
-撰写一篇关于直角三角形学习心得的短文，与同学和老师分享。
作业要求：
1.作业应在规定时间内完成，书写工整、清晰，解答过程要求简洁明了。
2.鼓励同学们在完成作业时积极思考，主动请教同学和老师，提高解决问题的能力。
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直角三角形的存在性问题（教案）
学习目标：
1、经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧。
2、体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。
一、课前准备
1.已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长为 .
2.如图，A （0，4），C （4，0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为 .
【设计意图】通过两个简单的关于直角三角形的练习，检测学生对勾股定理、M 型相似的应用情况，同时引出课题——直角三角形的存在性问题.
二、我们一起来探究
如图，A （0，1），B （4，3）是直线12
1
+=
x y 上的两点，点P 是x 轴上一个动点. 问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标.
y
x
B
A O
y
x
B
A O
y
x
B
A
O
（备用图1） （备用图2）
提问：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 需要针对直角顶点进行分类. （2）一般会有几种情况？ 三种. （3）分类之后需要做什么？ 画图.
（4）解题有哪些方法？
（5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？ 以AB 为直径的圆与x 轴的交点.
变式跟进：将上述直线向上平移a 个单位，A 、B 两点也同时向上平移到相应的位置，x 轴上存在唯一的点P ，使得∠APB=90°. 求a 的值.
【小结】直角三角形的存在性问题解题策略： . 【设计意图】通过这个环节，探究直角三角形存在性问题解题策略：分类——画图——解题，重在让学生了解这类题的的三种解法：几何法、解析法、代数法，从而为后面的练习做好铺垫.
三、反馈练习
1.如图，点O （0，0），A （1，2），若存在格点P ，使△APO 为直角三角形，则点P 的个数有 个.
2.在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别同时从A 、B 出发，其中点P 在线段AB 上向点B 移动，速度是2cm/s. 点Q 在线段BC 上向点C 运动，速度为1cm/s.
设运动时间为t s ，当t= 时，△BPQ 是直角三角形.
3.如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设角形，求x 的值；
追问：x 的取值范围如何？
【设计意图】通过这三个题的练习，让学生了解尽管题目的背景不同，但是方法是一样的，旨在检测学生对分类讨论思想的应用，学会针对直角顶点进行分类画图，并采用合适的方法予以解答.
四、链接中考（2011 济南）
如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）. 抛物线
83
4
942++-=x x y 经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ，Q 是AC 上一点，且AQ ＝5. 请问在抛物线对
称轴l 上是否存在点F ，使得△FDQ 为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
y x
Q D
O C
B
A
y x
Q
D
O C
B
A
（备用图）
【设计意图】本题是二次函数与直角三角形的存在性问题的结合题，二次函数的复杂性是学生比较困惑的地方，加入直角三角形之后难度增大. 但是，主要方法并没有改变，旨在帮助学生分析、理解题意，找到相应的直角三角形. 解题时，要关注到点Q 的特殊位置.
五、课堂小结：在本节课中，对“直角三角形的存在性问题”，你有什么感想？
（1）角： （2）边：
（3）函数： 分类：直角顶点
画图
解题
构造相似三角形 勾股定理
1
21-=⋅k k C
六、课后练习
（2012山东）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，
点C 为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋1
2
x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且
B 点横坐标为－3．
（1）求证：△BDC ≌△COA ； （2）求BC 所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。