浙教版-数学-九年级上册-二次函数的最值问题
解 : 1.设AD bcm,
M
D
C
30cm
bcm
易得b 3 x 30.
┐ xcm
A
B
40cm
N
4
想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其 中AB和AD分别在两直角边上.
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值
A
N
40cm
当x b 25时, 2a
y最大值
4ac b2 4a
300.
x（元） 15
20
30
…
y（件） 25
20
10
…
若日销售量y （件）是销售价x （元）的一次函数
（1）求日销售量与销售价的函数关系式（2）要使每日的销售利润最大，每
件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
解（1）设此一次函数的解析式为y=kx+b
15k+b=25 20k+b=20,
解得k=-1,b=40,一次函数的解析式为y=-x+40
是多少?
M
2.y xb x 3 x 30
4
30cm
bcm
D
C
┐xcm
A
B
N
40cm
3 4
x2
30x
3 x 202
4
300.
想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其 中AB和AD分别在两直角边上.
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值 是多少?
M
30cm
bcm
或用公式 :
D
C
当x b 20时, 2a
┐xcm
A
B
N
40cm
y最大值
4ac b2 4a
300.
想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩 形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).如果设矩形的一边AD=xcm, M
那么AB边的长度如何表示？ D
C
30cmN25Fra bibliotek40cm
12 x2 24x 25
12 x 252 300.
25
想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其 中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(2).设矩形的面积为ym2,当x
M C
取何值时,y的最大值是多少?
H
30cm
或用公式 :
DG
B
P┐
4－x
x
想一想
最大面积变式训练
小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为 了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买
回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的 方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花
圃各放一个1米宽的门（木质）。 花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
3
bcm
┐
A
40cBm
N
4 3
x2
40x
4 3
x
152
300.
想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩 形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(2).设矩形的面积为ym2,当x M
取何值时,y的最大值是多少?
或用公式 :
D
C
xcm
bcm
当x b 15时,
┐
A
40cBm
N
2a
解：设AD=x,
则AB=32－4x+3=35－4x
D
HG
C
从而S=x(35－4x)－x=－4x2+34x
∵AB≤10 ∴x≥6.25
A
EF
B
对称轴x=4.25,开口朝下
∴当x≥4.25时S随x的增大而减小 故当x=6.25时，S取最大值56.25
想一想 何时获得最大利润
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产 品的销售量y（件）之间满足如下关系：
设AB bcm,易得b 12 x 24. 25
想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中 点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何 值时,y的最大值是多少?
M C
H
30cm
DG
B
2.y xb x 12 x 24 P┐ A
xcm
解 : 1 .设AB bcm,
┐ bcm
A
B
N
40cm
易得b 4 x 40. 3
想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩 形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(2).设矩形的面积为ym2,当x M
取何值时,y的最大值是多少?
D
C
30cm
xcm
2.y xb x 4 x 40
y最大值
4ac b2 4a
300.
想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(1).设矩形的一边BC=xcm,那 M
么AB边的长度如何表示？
C
H
30cm
解 : 1.由勾股定理得：
DG
B
P┐
A
N
MN 50cm, PH 24cm. 40cm
回顾与练习
求下列二次函数的最大值或最小值：
⑴ y=2x2＋3x－4; ⑵ y=－x2＋4x
练习： 分别在下列各范围上求函数 y=x2+2x－3的最值
y
(1) x为全体实数 (2) 1≤x≤2 (3) －2≤x≤2
-2 -1
O 12 x
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高 各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多 少？
(2) y1=–10(x–125)2+6250 y2=–30(x–115)2+6750
所以，销售单价是115元,最大销售利润是6750元 (3)y1=y2时 20x2-4400x+240000=0,X2-220x+12000=0
(x-120)(x-100)=0,X1=120,x2=100
售价为120元利润相同
想一想
何时面积最大
练习：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩 形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
30cm
D
C
┐
A
B
N
40cm
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其 中AB和AD分别在两直角边上.
（2）设每件产品的销售价应定为x元,所获利润为w元 W=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225
产品的销售价应定为25元，此时每日销售利润是225元
想一想
何时获得最大利润
某商店将进价为100元的商品120元的价格出售时,销售量是300件,若商店在120 元的基础上每涨1元，就要少卖10件；而单价每降低1元,就可以多售出30件. （1)求所获利润y （元）与售价x（元）之间的函数关系式；(2)销售单价是 多少时,可以获利最多?(3)为了让利顾客，在利润相同的情况下，请为商店 选择正确的出售方式，并求出此时的售价。 解(1)当x>120时,y1= [300–10(x–120 )](x–100) y1=–10x2+2500x–150000 当100<x<120时,y2=[300+30(120–x)](x–100) y2=–30x2+6900x–390000
九年级数学上册 第一章 二次函数 1.4 二次函数的应用(第1课时)b课件 (新版)浙教版
.
∵
a
π 2
7
0, b
6, c
0,
新教课学讲目 解
标
答：当窗户半圆的半径约为0.35m，窗框矩形部分的另一边 长约为1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值约为 1.05m2.
新教课学讲目 解
标
二次函数求实际问题中的最值问题的解答
1、求出函数表达式和自变量的取值范围 2、通过配方或利用公式求最大值或最小值
注意：求出的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变 量的取值范围内。
新教课学讲目 解
标
现在我们来解决课前想一想
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多 少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，
学教以学致目 用
标
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6，今在四边上分别选取E 、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何 设计，可使花园面积最大？
草图（如图所示）．
巩教固学提目升
标
7、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,
制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于
多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面 积是多少?
xx
y
课教堂学小目结
标
运用二次函数求实际问题中的最值问题，一般的步骤：
①把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）；
②求出函数表达式和自变量的取值范围；
③通过配方变形或利用公式求它的最值（在自变量的取值范围 内）；
（或利用函数图象找最值）
1.4二次函数的应用(第1课时)(同步课件)-2024-2025学年九年级数学上册同步课堂(浙教版)
1.4 二次函数的应用第1课时 几何图形的面积问题数学（浙教版）九年级 上册第1章二次函数学习目标1．学会分析实际问题中的二次函数关系；2．学会用二次函数表示几何图形中的关系，并用来求实际问题中的最大值与最小值；导入新课问题1：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位：m ）与小球的运动时间 t （单位：s ）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2（0≤t ≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h= 30t - 5t2解决思路：通过图象可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.思考：如何求二次函数的顶点坐标呢？知识点一 二次函数的实际应用——几何图形面积问题由于抛物线 y = ax 2+ bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2+ bx + c有最小（大）值思考：如何求出二次函数 y = ax 2+ bx + c 的最小（大）值？二次函数的顶点式可以很直观地看出最大值或最小值当 时小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．t/sh/m O 1234562040h= 30t - 5t2我们来求一下问题1：例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？1.矩形面积公式是什么？2.如何用l表示另一边？3.面积S的函数关系式是什么？l30-lS=l(30-l),即S=-l2+30l (0<l<30).S=l(30-l),即S=-l2+30l (0<l<30).因此，当时，S有最大值，也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.归纳总结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.典例精析【例1】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（ ）米．A．4B．5C．6D．8【详解】解：设中间隔开的墙长为x m，能建成的饲养室总占地的面积为Sm2，根据题意得，S=x×(28+2-3x)=-3(x-5)2+75，-3＜0，有最大值，∴当x=5时，S取得最大值，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．练一练1．如图，某跑道的周长为400m 且两端为半圆形，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道AB 段的长应为．【详解】解：设矩形直线跑道AB=xcm ，矩形面积为ycm 2，由题意得： y=400−2ᵆᵰ·ᵆ=−2ᵰ(ᵆ−100)2+20000ᵰ∵−2ᵰ＜0，∴当x=100时，y 最大，即直线跑道长应为100m ．故答案为：100m2．如图，一块矩形区域ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为18米（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD 的面积最大时AB 的长．【详解】解：设AB=x 米，矩形的面积设为y （平方米），则AB+EF+CD=3x ，∴AD=BC=18−3ᵆ2．∴y=x·18−3ᵆ2=−32ᵆ2+9ᵆ．由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，∴当AB=x=-ᵄ2ᵄ=3时，函数y 取得最大值．∴当AB=3米时，矩形ABCD 的面积最大．1．如图，要围一个矩形菜园ABCD，共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB,BC,CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【详解】设AB的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2，则BC的长为(40-2x)m，由题意得y=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200，其中0＜40-2x≤26，即7≤x＜20，①AB的长不可以为6m，原说法错误；③菜园ABCD面积的最大值为200m2，原说法正确；②当y=-2(x-10)2+200=192时，解得x=8或x=12，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，说法正确；综上，正确结论的个数是2个，故选：C．2．把一根长4a的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（ ）A．ᵄ2B．ᵄ2�C．ᵄ22D．ᵄ243．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m ，门宽为2m ．这个矩形花圃的最大面积是．【详解】解：设花圃的长为x,面积为y,则y 关于x 的函数表达式为：y=12(38+2−��ᵆ)ᵆ=−12ᵆ2+20ᵆ=−12(x-20)2+200又∵38+2-x＞0，x≥22≤x＜404．如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是平方米．【详解】解：设AB=x米，矩形ABCD的面积为S，则BC=（16-2x)米，∴S=x(16-2x)=2x2+16x=-2(x-4)2+32即矩形ABCD的最大面积为32平方米故答案为：32．5．用一段长为24m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长10m ，则这个养鸡场最大面积为 m 2．【详解】设养鸡场长为x 米，则宽为12(24−��ᵆ)米，面积为S 平方米，根据题意得：S=x×12(24−ᵆ)=−12ᵆ2+12ᵆ，(0＜x≤10)，∵二次函数图象对称轴为：直线x=12，开口向下，∴ 当0＜x≤10时，S 随x 的增大而增大，∴当x=10时，S 取得最大值为70．故答案是：70．6．如图所示，矩形花圃ABCD的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．【详解】（1）∵AB边长为xm，四边形为矩形，且剩余三边长总和为32m，∴BC边长为(32-2x)m，∴S=AB·BC=x(32-2x)=-2x2+32x；（2）函数化为顶点式，即得S=-2(x-8)2+128，可知x=8时，S有最大值128m2．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，根据简单等量关系解决问题，二次函数化为顶点式即可得到函数最值，正确理解题意列得函数解析式是解题的关键．7．如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长15m的墙，想用长为40m的网绳围成一个矩形ABCD给奶奶养鸡，怎样使矩形ABCD的面积最大呢？同学淇淇帮她解决了这个问题．淇淇的思路是：设BC的边长为xcm，矩形ABCD的面积为Sm2，不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：(1)求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围；(2)x为何值时，矩形ABCD的面积最大？【详解】（1）解：S=x(40−��ᵆ2)=-12ᵆ2+20ᵆ,ᵆ的取值范围为0＜ ᵆ�≤15；（2）解：∵S=-12ᵆ2+20ᵆ ，-12＜0，∴当x=-20−1=20时，S 有最大值，当x ＜20时，S 随x 的增大而增大，而0＜x≤15，∴x=15时，S 有最大值，即矩形ABCD 的面积最大．课堂小结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.谢谢~。
二次函数中的最值问题【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
二次函数中的最值问题【浙教版】【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】 (1)【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】 (3)【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】 (5)x=-【例1】二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3时，则y的最大值为15+m（用含m的式子表示）．【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到当﹣3≤x≤3时，y的最大值．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m，∴该函数的对称轴是直线x＝1，该函数图象开口向上，当x＝1时，有最小值，∴当﹣3≤x≤3时，y取得最大值时对应的x的值是﹣3，∵当x＝﹣3时，y＝（﹣3﹣1）2﹣1+m＝15+m，∴当﹣3≤x≤3时，y的最大值为15+m，故答案为：15+m．【变式1-1】当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（）A．最大值﹣3B．最小值﹣3C．最大值﹣4D．最小值﹣4【分析】用配方法配方成顶点式，可求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴当x≥2时，函数有最小值y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，故选：B．【变式1-2】已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最小值和最大值．小王的解答过程如下：解：当x＝﹣1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4．小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．【解答】解：小王的做法是错误的，正确的做法如下：∵二次函数y＝x2，∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是y轴，∵﹣1≤x≤2，∴当x＝0时取得最小值，最小值是0，当x＝2时取得最大值，此时y＝4，由上可得，当﹣1≤x≤1时，函数y的最小值是0，最大值是4．【变式1-3】已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．（1）求b+c的值．（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．=1，求出b的值，再将点（3，0）代入y＝x²+bx﹣c，即可【分析】（1）由对称轴−b2求解析式；（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x ＝1，结合函数图像可知当x ＝﹣4时，y 有最大值21；（3）设顶点坐标为（h ，2h 2﹣h ﹣1），可求平移后的解析式为y ＝（x ﹣h ）2+2h 2﹣h ﹣1，设平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为w ，则w ＝3h 2﹣h ﹣1＝3（h −16）2−1312，即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝x ²+bx ﹣c 的对称轴为直线x ＝1， ∴−b2=1， ∴b ＝﹣2，∵二次函数y ＝x ²+bx ﹣c 的图象经过点（3，0）， ∴9﹣6﹣c ＝0， ∴c ＝3， ∴b +c ＝1；（2）由（1）可得y ＝x ²﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∵﹣4≤x ≤3，∴当x ＝﹣4时，y 有最大值21；（3）平移抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3，其顶点始终在二次函数y ＝2x 2﹣x ﹣1上，∴．设顶点坐标为（h ，2h 2﹣h ﹣1），故平移后的解析式为y ＝（x ﹣h ）2+2h 2﹣h ﹣1， ∴y ＝x 2﹣2hx +h 2+2h 2﹣h ﹣1＝x 2﹣2hx +3h 2﹣h ﹣1， 设平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为w ， 则w ＝3h 2﹣h ﹣1＝3（h −16）2−1312，∴当h =16时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值为−1312．【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】【例2】已知二次函数y ＝mx 2﹣4mx （m 为不等于0的常数），当﹣2≤x ≤3时，函数y 的最小值为﹣2，则m 的值为（ ） A ．±16B ．−16或12C ．−16或23D ．16或2【分析】由二次函数y ＝mx 2﹣4mx 可得对称轴为x ＝2，分为m ＞0和m ＜0两种情况，当m ＞0时，二次函数开口向上，当﹣2≤x ≤3时，函数在x ＝2取得最小值﹣2，将x ＝2，y ＝﹣2代入y ＝mx 2﹣4mx 中，解得m =12，当m ＜0时，二次函数开口向下，当﹣2≤x ≤3时，函数在x ＝﹣2取得最小值﹣2，将x ＝﹣2，y ＝﹣2代入y ＝mx 2﹣4mx 中，解得m =−16，即可求解．【解答】解：∵二次函数为y ＝mx 2﹣4mx ，∴对称轴为x =−b 2a=4m 2m=2，①当m ＞0时， ∵二次函数开口向上，∴当﹣2≤x ≤3时，函数在x ＝2取得最小值﹣2， 将x ＝2，y ＝﹣2代入y ＝mx 2﹣4mx 中， 解得：m =12， ②当m ＜0时， ∵二次函数开口向下，∴当﹣2≤x ≤3时，函数在x ＝﹣2取得最小值﹣2， 将x ＝﹣2，y ＝﹣2代入y ＝mx 2﹣4mx 中， 解得：m =−16， 综上，m 的值为12或−16， 故选：B ．【变式2-1】已知关于x 的二次函数y ＝x 2+2x +2a +3，当0≤x ≤1时，y 的最大值为10，则a 的值为 2 ．【分析】根据抛物线的关系式可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为直线x ＝﹣1，所以可得0≤x ≤1在对称轴的右侧，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵y ＝x 2+2x +2a +3 ＝x 2+2x +1+2a +2 ＝（x +1）2+2a +2，∴抛物线的对称轴为：直线x ＝﹣1， ∵a ＝1＞0，∴抛物线的开口方向向上，∴当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而增大， ∵当0≤x ≤1时，y 的最大值为10， ∴当x ＝1时，y ＝10，把x ＝1时，y ＝10代入y ＝x 2+2x +2a +3中可得： 1+2+2a +3＝10， ∴a ＝2， 故答案为：2．【变式2-2】已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax +c ，当﹣1≤x ≤2时，y 有最小值7，最大值11，则a +c 的值为（ ） A ．3B ．9C ．293D ．253【分析】先求得抛物线的对称轴，根据二次函数图象上点的坐标特征，当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，即可得出﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，从而求得a+c＝9．【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c，∴该二次函数的图象的对称轴为直线x=−−2a2a=1，∵当x＝1时，y＝a﹣2a+c＝﹣a+c；当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝3a+c；∴当﹣1≤x≤2时，函数的最值为y＝﹣a+c和y＝3a+c，∵当﹣1≤x≤2时，y有最小值7，最大值11，∴﹣a+c+（3a+c）＝7+11，即2a+2c＝18，∴a+c＝9，故选：B．【变式2-3】已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（）A．6B．2C．﹣2D．﹣3【分析】根据二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣2，可知该函数的对称轴在y轴右侧，4×1×c−b 24×1=−3，−b2＞0，再根据当x≤0时，函数的最小值为﹣2，即可得到c的值，然后将c的值代入入4×1×c−b 24×1=−3，即可得到b的值．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，∴该函数的对称轴在y轴右侧，4×1×c−b 24×1=−3，−b2＞0，∴b＜0，∵当x≤0时，函数的最小值为﹣2，∴当x＝0时，y＝c＝﹣2，将c＝﹣2代入4×1×c−b 24×1=−3，可得b1＝2（舍去），b2＝﹣2，故选：C．【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】【例3】当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m≤2B．0≤m＜4C．2≤m≤4D．m≥2【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，当x＝0时，y＝﹣3，∴2≤m≤4，【变式3-1】已知二次函数y ＝﹣x 2﹣4x +5，当m ≤x ≤m +3时，求y 的最小值（用含m 的代数式表示）．【分析】分四种情况讨论：①当m +3≤﹣2时，即m ≤﹣5，y 的最小值为﹣m 2﹣4m +5；②当m +32＜−2＜m +3时，即﹣4＜m ＜﹣3，y 的最小值为﹣m 2﹣4m +5；③当m ＜﹣2≤m +32时，即﹣3≤m ＜﹣2，y 的最小值为﹣m 2﹣8m ﹣7；④当m ≥﹣2时，y 的最小值为﹣m 2﹣8m ﹣7，【解答】解：y ＝﹣x 2﹣4x +5＝﹣（x +2）2+9， ∴对称轴为直线x ＝﹣2，当m ≥﹣2时，则当x ＝m +3时，y 有最小值为﹣（m +3）2﹣4（m +3）+5＝﹣m 2﹣10m ﹣16，当m ＜﹣2＜m +3时，即﹣5＜m ＜﹣2，当对称轴位于范围内时，谁离对称轴远，谁就小， 若m +3+2≥﹣2﹣m ，即−72≤m ＜﹣2时，当x ＝m +3时，y 有最小值为﹣（m +3）2﹣4（m +3）+5＝﹣m 2﹣10m ﹣16， 当m +3+2＜﹣2﹣m ，即﹣5＜m ＜−72时，当x ＝m 时，y 有最小值为﹣m 2﹣4m +5， 当m +3+2≤﹣2时，即m ≤﹣5， y 的最小值为﹣m 2﹣4m +5；综上所述：m ≥−72时y 的最小值为﹣m 2﹣10m ﹣16；当m ＜−72时，y 的最小值为﹣m 2﹣4m +5．【变式3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3a ，其中a 、b 为实数，a ＜0，且经过（3，0）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若a ＝﹣2，当t ﹣2≤x ≤t 时，函数的最大值是6，求t 的值；（3）点A 坐标为（0，4），将点A 向右平移3个单位长度，得到点B ．若抛物线与线段AB 有两个公共点，求a 的取值范围．【分析】（1）把已知点坐标代入抛物线的解析式，求得a 、b 的数量关系，把抛物线解析式中的b 换成a 的代数式，再将抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标； （2）分x ＝t 和x ＝t ﹣2在对称轴右侧、左侧或两侧三种情况，讨论求解即可； （3）抛物线经过（﹣1，0）和（3，0），与线段AB 有两个公共点时，结合图象即可判断出a 的取值范围．【解答】解：（1）把（3，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣3a 得，9a +3b ﹣3a ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x ﹣1）2﹣4a ， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a ）； （2）∵a ＝﹣2，∴抛物线的解析式为y ＝﹣2（x ﹣1）2+8， ∴对称轴为直线：x ＝1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大， ∵当t ﹣2≤x ≤t 时，函数的最大值是6，∴①当x ＝t 和x ＝t ﹣2在对称轴右侧时，有{−2(t −2−1)2+8=6t −2＞1，解得t ＝4，②当x ＝t 和x ＝t ﹣2在对称轴左侧时，有{−2(t −1)2+8=6t ＜1，解得t ＝0，③当x ＝t 和x ＝t ﹣2在对称轴左侧或两侧时，函数的最大值为8，不可能为6，此时无解， 综上，t 的值为0或4；（3））∵点A 坐标为（0，4），将点A 向右平移3个单位长度，得到点B ， ∴B （3，4），∵y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x ﹣3）（x +1）， ∴抛物线经过点（3，0）和（﹣1，0）， 若此二次函数的图象与线段AB 有两个交点，则如图所示，抛物线的图象只能位于图中两个虚线的位置之间， 当抛物线经过点A 时，为一种临界情况， 将A （0，4）代入，4＝0﹣0﹣3a ，解得a ＝−43， 当抛物线的顶点在线段AB 上时，为一种临界情况，此时顶点的纵坐标为4，∴﹣4a ＝4，解得a ＝﹣1，∴−43≤a ＜﹣1．【变式3-3】已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点（2，c ）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．（2）当t ≤x ≤2﹣t 时，函数的最大值为M ，最小值为N ，若M ﹣N ＝3，求t 的值． 【分析】（1）由抛物线经过（2，c ）和（0，c ），可得到抛物线的对称轴为直线x ＝1，即可根据点（﹣1，0），确定抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0）；（2）根据t ≤2﹣t ，确定t ≤1，2﹣t ≥1，求出当＝1时取得最大值4，解得N ＝1，令y ＝1求出值．【解答】解：（1）∵抛物线经过（2，c ）和（0，c ）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴（﹣1，0）的对称点为（3，0）．即抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3.0）；（2）∵与x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1， ∴{0=−1−b +c −b 2×(−1)=1，解得：{b =2c =3，∴y ＝﹣x 2+2x +3． ∵t ≤x ≤2﹣t ， ∴t ≤1，2﹣t ≥1．∴当t ≤x ≤2﹣t 时，当x ＝1时取得最大值4，即M ＝4，当x ＝t 或x ＝2﹣t 时取得最小值N ，∵M ﹣N ＝3，∴N ＝1．令y ＝l 得，1＝﹣t 2+2t +3，解得t 1=√3+1（舍），t 2=−√3+1，∴t =−√3+1． 令y ＝l 得，1＝﹣（2﹣t ）2+2（2﹣t ）+3，解得t 1=√3+1（舍），t 2=−√3+1． ∴t =−√3+1．综上：t =−√3+1．。
1.4二次函数的应用(第2课时)(同步课件)-2024-2025学年九年级数学上册同步课堂(浙教版)
1.4 二次函数的应用第2课时 商品销售利润问题数学（浙教版）九年级 上册第1章二次函数学习目标1．学会根据销售问题中的数量关系列出二次函数关系式；2．利用列出的二次函数关系式，根据其性质解决商品销售过程中的最大利润问题；3、商品销售类二次函数问题，要注意二次函数自变量的取值范围； 导入新课目前，我国存在大量的商场，是人们平时购物、饮食、游玩等重要的场所；在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？知识点一二次函数的应用——商品销售问题问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是元，销售利润元.180006000数量关系（1）销售额= 售价×销售量;（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.例某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10x y=(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.60001.自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.2.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当时,y=-10×52+100×5+6000=6250.即定价65元时，最大利润是6250元.降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+18x y=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60x+6000.60001.自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.2.降价多少元时，利润最大，是多少？当 时,即定价57.5元时，最大利润是6050元.即：y =-18x 2+60x +6000，由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?归纳总结求解最大利润问题的一般步骤1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”2.结合实际意义，确定自变量的取值范围；3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.典例精析【例1】某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出30-x件，要使利润最大，每件的售价应为（ ）A．24元B．25元C．28元D．30元【详解】解：设利润为w，由题意可得，w=(x-20)(30-x)=-x2+50x-600=-(x-25)2+25∵-1＜0，20≤x≤30，∴当x=25时w最大，故选B；【例2】已知某商品的进价为每件40元．现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；定价为元才能使利润最大．【详解】解：设每涨价x元，获得的总利润为y元，根据题意得：y=(6--40+x)(300-10x)=(20+x)(300-10x)==-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250(0≤x≤30)∴当x=5时，y的值最大，此时定价为：60+5=65（元）故答案为：65．练一练1．“爱成都，创文明，迎大运”，卫生环境先着手，为提高工作效率，某清洁工具生产商投产一种新型垃圾夹，每件制造成本为20元，在试销过程中发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=-2x+52．(1)写出每月的利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；(2)当销售单价为多少元时，生产商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？【详解】（1）由题意得：w=y(x-20)=(-2x+52)(x-20)=-2x2+92x-1040；（2）w=-2x2+92x-1040=-2(x-23)2+18，∴当销售单价为23元时，每月能获得最大利润，最大利润是18万元；1．2022年北京冬奥会的冰墩墩受广大群众的喜爱，某超市销售冰墩墩饰品，每件成本为40元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y （件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y=-2x+200，若要求销售单价不得低于成本．为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少元？（ ）A．80元，1800元B．70元，2000元C．70元，1800元D．80元，2000元【详解】设每月所获利润为w，由题意可知：w=(x-40)×y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70）2+1800∵抛物线开口向下，∴当x=70时，函数有最大值为1800．故选：C．2．某书店销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出(100-5x)本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）A．250元B．500元C．750元D．1000元【详解】解：每本可获利x元，一天可售出(100-x)本，则一天的利润为(100-5x)x=-5x2+100x，设日利润为y，∴y=-5x2+100x=-5(x-10)2+500，∴最大利润为：500元，故选：B．3．某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出，若每床每天收费提高10元，则有2张床位不能租出；若每床每天收费再提高10元，则再有2张床位不能租出；若每次按提高10元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（ ）A．3125元B．3120元C．2950元D．1280元【详解】解：设每床每晚收费提高x个10元，旅店每天营业收入为y元，根据题意得：y=（10+10x）（30-2x）=-20x2+280x+300=-20(x-7)2+1280，∴当x=7时，y最大，最大值为1280元，∴该旅店每天营业收入最多为1280元，故选：D．4．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为150件：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（件），每天所得的销售利润为w（元）．则当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是_______元.【详解】解：由题意，得：涨了(x-25)元，销售量少10(x-25)件，现在的销售量为y=150-10(x-25)=(400-10x)件，W=(x-20)·y=(x-20)(400-10x)=-10x2+600x-8000当x=−ᵄ2ᵄ=30时，W最大，W=(30-20)×(400-300)=1000元．故当销售单价为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是1000元．故答案为：30，1000．5．超市销售的某商品进价是10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，则该商品的售价定为元/件时，每天销售该商品的获利最大．【详解】设获利W元，则W=（x-10）·y∴W=（x-10）（-5x+150）=-5x2+200x-1500当x=−ᵄ2ᵄ=20时，W的值最大，∴当x=20时，每天销售该商品的获利最大．故答案为：20．6．2022年，中国航天迈着大步向浩瀚宇宙不断探索．这一年，神舟十四号载人飞船成功发射．某航模专卖店向航天爱好者推出了“神舟十四号”飞船模型．每个模型的进价是80元，原计划按每个120元销售，每月能售出30个，经调查发现，这种模型每个降价1元，则每月销售量将增加2个．（降价为整元）(1)直接写出每月销售量y（个）与每个降价x（元）的函数关系式；(2)设专卖店销售这种模型每月可获利w元，当每个降价多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？【详解】（1）根据题意得：y=30+2x；（2）设每个降价x元，根据题意得，w=(120-80-x)(30+2x)=-2x2+50x+1200=-2(x-252)2+30252，当每个降价12或13元时，每月获得的利润最大，最大利润是1512元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．7．水果店新进一种水果，进价为每千克5元，每天的销售量y(kg)与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式，其图像如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)水果的销售单价定为多少元时，水果店卖这种水果每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0），由所给函数图像可知：8ᵅ+ᵄ=606ᵅ+ᵄ=100，解得：ᵅ=−20ᵄ=220，∴y与x的函数关系式为y=-20x+220．（2）解：设每天销售这种水果所获的利润为w元，∵y=-20x+220，∴w=(x-5)y=(x-5)(-20x+220)=-20(x-8)2+180，∴当x=8时，w有最大值，最大值为180，∴售价定为8元/件时，每天最大利润为180元．课堂小结求解最大利润问题的一般步骤1.建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”2.结合实际意义，确定自变量的取值范围；3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.谢谢~。
【精品推荐】2020年秋九年级数学上册第一章二次函数1.4二次函数的应用第2课时b课件新版浙教版
1≤x＜50 50≤x≤90
x＋40
90
200－2x
已知 该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每
天利润为y元
巩教固学提目升
标
(1) 求出y与x的函数关系式
(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最 大利润是多少？ (3) 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润 不低于4800元？请直接写出结果
（2） 教学方程的意义，突出概念的内涵与外延。 “含有未知数”与“等式”是方程意义的两点最重要的内涵。“含有未知数”也是方程区别于其他等式的关键特征。在第1页的两道例题里，学生陆续写出了等式，也写出了不等式；写出了不含未知数的等式，也写出了含有未知数的等式。这些都为教学方程的意义提供了鲜明的感知材料。教材首先告诉学生： 像x+50=150、2x=200这样含有未知数的等式叫做方程，让他们理解x+50=150、2x=200的共同特点是“含有未知数”，也是“等式”。这时，如果让学生对两道例题里写出的50+50=100、x+50＞100和x+50＜200不能称为方程的原因作出合理的解释，那么学生对方程是等式的理解会更深刻。教材接着安排讨论“等式和方程有什么关系”，并通过“练一练”第1题让学生先找出等式，再找出方
课教堂学小目结
标
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 :
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
谢谢观看，敬请指导
天平两臂平衡，表示两边的物体质量相等；两臂不平衡，表示两边物体的质量不相等。让学生在天平平衡的直观情境中体会等式，符合学生的认知特点。例1在天平图下方呈现“=”，让学生用等式表达天平两边物体质量的相等关系，从中体会等式的含义。教材使用了“质量”这个词，是因为天平与其他的秤不同。习惯上秤计量物体有多重，天平计量物体的质量是多少。教学时不要把质量说成重量，但不必作过多的解释。 例2继续教学等式，教材的安排有三个特点： 第一，有些天平的两臂平衡，有些天平两臂不平衡。根据各个天平的状态，有时写出的是等式，有时写出的不是等式。学生在相等与不等的比较与感受中，能进一步体会等式的含义。第二，写出的四个式子里都含有未知数，有两个是含有未知数的等式。这便于学生初步感知方程，为教学方程的意义积累了具体的素材。第三，写四个式子时，对学生的要求由扶到放。圆圈里的关系符号都要学生填写，学生在选择“=”“＞”或“＜”时，能深刻体会符号两边相等与不相等的关系；符号两边的式子与数则逐渐放手让学生填写，这是因为他们以前没有写过含有未知数的等式与不等式。
浙教版数学 九年级上册：二次函数的应用——利润最值问题
博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年 级：九年级 日期： 辅导科目：数 学 学科教师：刘云丰 时间： 课 题 九上 第六讲：二次函数的应用——利润最值问题 授课日期教学目标1、熟练掌握二次函数的概念、图像及性质；2、学会灵活运用二次函数的概念、图像及性质来解决实际问题。
教学内容二次函数的应用——利润最值问题〖教学重点与难点〗◆教学重点：熟悉二次函数的概念、图像及其性质。
灵活运用二次函数的概念、图像及性质来解决实际问题。
◆教学难点：灵活运用二次函数的概念、图像及性质来解决实际问题。
〖教学过程〗 一、知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a bx 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当a bx 2-=，ab ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a bx 2-=，ab ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．二、典型例题：[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x 解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--=)15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．变式训练：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元，则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元，则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ． ⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x 400502-+-=x x 225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．变式训练：3．市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千x （元） 15 20 3…y （件） 25 20 1…克)•与销售单价x (元)(30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ．⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x ∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值） 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x•≤34或36≤x ≤39．[例4]：研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．变式训练：4. 为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y )40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．三、本课小结：本课主要学习了利用二次函数解决利润问题中的一些最值情况，解决这类问题，一般先理清题中的各个数量关系，通过建模思想建立函数模型，最后利用二次函数中求最值的方法来达到我们解决问题的目的！四、课后作业：1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是23-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)． 3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”) 解：29)23(22-+-=m x y∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 4.5米 ．解：当05.3=y 时，213.55y x =-+05.3=45.052⨯=x ，5.1=x 或5.1-=x （不合题意，舍去）5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m ． 解：t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时，5max =s ，所以，最高点距离地面725=+(米)．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．解：设每件价格降价x 元，利润为y 元，则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ，625max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．xyA B O解：设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)9．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x （元/千克）... 25 24 23 22 ... 销售量y （千克） (200)250030003500…（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？ 解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，•∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？ 解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250. 当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元． 答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．- 11 -。
《二次函数的最值问题》教案
二次函数的最值问题一、内容与内容解析1.内容含参二次函数在m x n ≤≤内的最值问题.２.内容解析本节课在讨论了影响0a ＞时二次函数在m x n ≤≤内最值的因素后对0a ＞时含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题进行探究.主要的研究方法是从函数图像入手，通过几何画板动态演示，确定分类标准，进行分类讨论,进而对分类标准进行优化，得到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决相关的最值问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从函数图像入手，运用分类讨论思想求含参二次函数在m x n ≤≤内最值.二、目标和目标解析1.目标(1)通过复习二次函数图像的特征和性质，能够借助二次函数的图像研究二次函数的最值.(2)通过对二次函数在m x n ≤≤内最值问题初探、对含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题的探究，经历直观感知、抽象概括、运算求解、反思与构建等思维过程，体会函数思想，分类讨论等数学思想方法，发展数学感知、数学表征、抽象概括、运算能力等.2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助二次函数的图像研究二次函数在m x n ≤≤内的最值，并能由此得到二次函数在m x n ≤≤内最值的影响因素，进一步体会函数思想.达成目标(2)的标志是：借助二次函数的图像求解含参二次函数在m x n ≤≤内最值，进一步体会函数思想和分类讨论的思想.三、教学问题诊断分析学生已学习了二次函数的概念、图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为本节课的学习奠定了基础.但对于含参二次函数在m x n ≤≤内的图像及最值问题，由于其抽象程度较高，学生可能会在为什么要进行分类讨论以及如何确定分类标准这两个问题上产生一定的困难.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何确定分类标准.四、教学过程设计引言:(展现生活实例，体现研究二次函数在m x n ≤≤内最值的必要性)本节课，我们将结合二次函数的相关知识深入研究二次函数的最值问题.1.复习导入，自主发现问题1如图，(5,),(8,),(1,),( 3.9,)A B C D A y B y C y D y --在二次函数2134y x x =--的图像上，请比较：(1)B y A y ；（2） D y C y ；（3）D y B y ；（4）C y A y .问题2根据问题1的结论填空：（1）二次函数2134y x x =--（58x ≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（2）二次函数2134y x x =-- ( 3.91x -≤≤-)，当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（3）二次函数2134y x x =--（ 3.98x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（4）二次函数2134y x x =--（15x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.师生活动: 教师提出问题，学生尝试用已有知识解决这些问题，并交流问题中蕴含的函数知识和对这些知识的理解.追问1：这些二次函数的图像是完整的抛物线吗？追问2：为什么有的（二次函数的）最值能在顶点处取到，有的却不能呢？追问3：通过对上面问题的研究，你认为二次函数在 内的最值的取得与什么有关？师生活动:通过对前面问题的研究，自主发现影响二次函数在 内的最值的因素：对称轴和m x n ≤≤的相对位置.若对称轴不在m x n ≤≤内时，最值在端点处取得；对称轴在m x n ≤≤内时，最值在顶点和端点处分别取得.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象进行分析.设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和 的相对位置影响了二次函数的最值.为下一步解决0a ＞时含参二次函数在 内的最值问题做铺垫. 2.问题剖析，合作探究探究1：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值. 师生活动:教师引导学生先观察函数解析式，分析参数t 的变化对二次函数图像的影响，然后借助计算机软件，直观感受对称轴和m x n ≤≤的相对位置如何影响二次函数的最小值.最后全班交流，确定分类标准，学生独立补全解题过程.追问1：观察本题中的函数解析式与前面 有什么区别？ m x n ≤≤2134y x x =--m x n ≤≤m x n ≤≤m x n ≤≤追问2：随着参数t 的变化，二次函数2134y x tx =--图象的开口方向和开口大小会改变吗？对称轴呢？追问3：二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值是唯一确定的吗？ 师生活动:关注学生是否明确此处为什么要进行分类讨论，体会分类讨论的必要性. 追问4：如何确定分类标准？如何用数学符号表达这种关系呢？师生活动: 师生共同讨论写出分类标准.教师规范格式以后要求学生将过程补齐. 设计意图：探究0a ＞时含参二次函数在 内的最小值问题，让学生体会解决这一类问题的基本方法.培养学生直观感知、抽象概括、数学表征能力，激发自主学习的积极性和探究意识.引导观察，发现分类依据，培养探究意识.探究2：已知关于x 的二次函数y 1＝x 2+bx +c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x ＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b 2﹣c ＝0，当b ﹣3≤x ≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2＝2x 2+x +m ，若在（1）的条件下，当0≤x ≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．师生活动：要求学生独立解决，写出分析过程，小组内交流讨论，最后全班汇报交流.对于学生展示的分类方法，教师适当引导和纠正，让学生理解如何进行分类讨论（不重复，不遗漏），并对分类方法进行优化.最后共同归纳出求含参二次函数在m x n ≤≤内最值的一般方法：一般先确定对称轴与m x n ≤≤的相对位置关系，分别画出示意图，确定分类标准，再进行分类讨论.设计意图：在探究1的基础上进一步探究 时含参二次函数在 内的最大值问题，重点体会解题过程中分类标准的确定.师生活动：回顾探究1和探究2的过程，体会它们的相同与不同之处.追问1：为什么有时候分3类，有时候分2类就可以了？什么时候分2类，什么时候分3类呢？追问2：你能直接判断它们分别分几类进行讨论吗：师生活动：通过类比探究1和探究2归纳：求二次函数在m x n ≤≤上的最值不仅min 2min min 2min 10242,12,2211,2321111,1,2422(1)13()2111()42x t t t x y t t t x t y t t t x y t t t y t t t t =--=-=---==---==--⎧⎪--⎪⎪=---⎨⎪⎪--⎪⎩解：＞，对称轴：（1）当2＜即＜时：（2）当2≤2≤即1≤≤时：，（3）当2＞即＞-时：＜综上所述：1≤≤＞-m x n≤≤m x n ≤≤0a ＞要看对称轴与m x n ≤≤的相对位置，还要看开口方向.开口向下时，可类比开口向上的数学模型进行讨论.设计意图：讨论0a ＞时含参二次函数在 内最小值的分类问题，体会开口方向对函数最值的影响.3.归纳总结师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们研究了哪些问题？（2）我们是如何分析、解决这些问题的？（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？设计意图：通过小结，理清本节课的研究内容和研究方法.让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的方法.4.课外作业(1) 必做题：①求二次函数223y x ax =--+（45x -≤≤）的最值.②已知二次函数221y ax ax =++（12x -≤≤）有最大值4，求实数a 的值.(2) 选做题：求二次函数223y x x =-+（2t x t ≤≤+）上的最值.（3）兴趣作业：通过本节课的学习，你能自己提出一个二次函数最值相关的问题并进行解答吗？试试看，和同伴交流你的想法.设计意图：巩固本节课所学内容，利用前面归纳的结论来解决二次函数最值的相关问题，加深对含参二次函数在 内的最值问题的认识.体会函数思想.提升学生分析问题，解决问题的能力.m x n ≤≤m x n≤≤。
浙教版九年级上册数学第一章：二次函数易错题——最值问题(含解析)
浙教版九年级上册数学第一章：二次函数易错题——最值问题一、单选题1.已知二次函数y=(m﹣2)x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点，(x1，0)，(x2，0)，则下列说法正确是( )①该函数图象一定过定点(﹣1，﹣5)；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：65<m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为：4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：214<m＜11.A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②③④2.已知二次函数y＝﹣12x2+2x+3，则该函数的最大值为（）A. ﹣2B. 2C. ﹣3D. 53.二次函数y=-2(x+1)²-3的最大值为（）A. -1B. -2C. -3D. -44.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m 为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（）A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①③④5.把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A. ﹣4B. 0C. 2D. 66.已知二次函数y=x²，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是( )A. 当n-m=1时，b-a有最小值B. 当n-m=1时，b-a有最大值C. 当b-a=1时，n-m无最小值D. 当b-a=1时，n-m有最大值7.若关于x的方程|ax2+bx+c|=5有三个不相等的实数根，则二次函数y=ax2+bx+c有（）A. 最小值为5B. 最大值为5C. 最大值为5或最小值-5D. 最大值-5或最小值5二、填空题8.在平面直角坐标系中，已知A(−1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点，将抛物线y= x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为________．9.汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝15t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是________秒.10.已知y＝x2+（1﹣a）x+2是关于x的二次函数，当x的取值范围是0≤x≤4时，y仅在x＝4时取得最大值，则实数a的取值范围是________．三、综合题11.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A(−3,0)、B(1, 0)，交y轴于点N，点M抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM,点E是线段AM上方抛物线上的一动点，EF⊥AM于点F；过点E作EH⊥x 轴于点H,交AM于点D.点P是y轴上一动点，当EF取最大值时．①.求PD+PC的最小值；OQ的最小值．②.如图2，Q点是y轴上一动点,请直接写出DQ+1412.某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y=kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k ，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．13.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线y=12x−2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点C(−1,0)．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．14.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C ，AC ，BC ．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P ，交BC于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N ．设M点的坐标为M(m,0)，请用含m的代数式表示线段PN 的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF(∠B=∠E=30°)，若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC=DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒.（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？16.如图，已知抛物线y= 1x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC3∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.17.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(6,4)，抛物线y=x2−5x+ a−2的顶点为C ．（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若满足不等式x2−5x+a−2≤0的x的最大值为3，直接写出实数a的值．18.为了更好地做好复课准备，某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，已知A 型口罩每包价格a元，B型口罩每包价格比A型少4元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包。
浙教版九年级数学上册第一章习题课件二
整合方法
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm， BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以
章末整合提升训练
9．如图，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是 AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方 形，则当AC＝___4_____时，三个正方形的面 积之和最小．
章末整合提升训练
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm， BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向点B以2 cm/s的 速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以1 cm/s的 速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当 △PBQ的面积最大时，运动时间为___2_s____．
整合方法
12．【中考·包头】某广告公司设计一幅周长为16米的 矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元， 设矩形一边长为x米，面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的 取值范围； 解：∵矩形的一边长为x米，周长为16米， ∴其邻边长为(8－x)米， ∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中0＜x<8.
解：设AB＝m米，则AD＝BC＝(100－2m)米， 根据题意得m(100－2m)＝450，解得m1＝5， m2＝45，当m＝5时，100－2m＝90＞20，不 合题意舍去；当m＝45时，100－2m＝10， 答：AD的长为10米．
章末整合提升训练
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值． 解：设 AD＝x 米，矩形菜园 ABCD 的面积为 S 平方米， ∴S＝12x(100－x)＝－12(x－50)2＋1 250，若 a≥50，则当 x＝50 时， S 的最大值为 1 250 ；若 0＜a＜50，则当 0＜x≤a 时，S 随 x 的增 大而增大，∴当 x＝a 时，S 的最大值为 50a－12a2，综上所述，当 a≥50 时，矩形菜园 ABCD 面积的最大值为 1 250 平方米；当 0＜a ＜50 时，矩形菜园 ABCD 面积的最大值为50a－12a2平方米．
新浙教版九年级(上)1.4_二次函数的应用(1)
探究与建模
3.图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形.如果制作一个窗 户边框的材料的总长度为8米,那么如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大?(结 果精确到0.01米) 解:设半圆的半径为r米，如图，矩形的一边长为 根据题意，有：5r+πr+2r+2l=8, 即：l=4－0.5(π+7)r 所以： 4－0.5(π+7)r＞0 又因为：l＞0且r ＞0
而图像的对称轴为直线x=2，且0＜ 2＜4
所以由求最值公式可知，当 x=2时，该函数达到最大值为4.
答：该窗框的宽和高相等，都为2米时透光面积达到最大的4米2
练习感悟
⑴数据（常量、变量）提取；
⑵自变量、应变量识别；
⑶构建函数解析式，并求出自变量的取值范围；
⑷利用函数（或图像）的性质求最大（或最小）值。
，解决问题。
关于函数建模 问题？
变式与拓展
1.如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为16米。
⑴求截面积S（米2）关于底部宽x（米）的函数解析式，及自变量x 的取值范围？ ⑵试问：当底部宽x为几米时，隧道的截面积S最大（结果精确到0.01米）？
1.解：∵隧道的底部宽为x，周长为16，
π +2 8－ x 4
？
x
答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的截面积最大。
2.已知，直角三角形的两直角边的和为2，求斜边 长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值 时两条直角边的长。
解：设其中的一条直角边长为x， 则另一条直角边长为（2－x）， 又设斜边长为y， 则：
2－x
x
所以：当x＝1时，斜边长有最小值 2 ,
2、图中所示的二次函数图像的解析式