江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)
南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高一上期末
数学试题
试卷满分：150分 考试时长：120分钟
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知全集{}=0,1,2,3,4U ，集合{}=1,2,3A ，{}=2,4B ，则()U C A B ⋃ 为( )
{}.1,2,4A {}.2,3,4B {}.0,2,4C {}.0,2,3,4D
2、函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是 ( ) ().,1A -∞- ().1,B +∞ ()().1,11,C -⋃+∞ ().,D -∞+∞
3、=+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cos π
πππ
（ ） .A 2
3- .B 21- .C 21 .D 23 4、已知tan 3α=，则222sin 2cos sin cos sin ααααα
+=+( ) 3.8A
9.16B 11.12C 7.9
D
5、要得到函数sin()24x y π=-的函数，只需将sin 2
x y =的图象（ ） .2A π向左平移个单位 .2
B π向右平移个单位 .4
C π向左平移个单位 .4
D π向右平移个单位 6、在ABC ∆中，若点D 满足2BD DC →→=，则AD →
=（ ） 12.33A AC AB →→+ 52.33B AB AC →→- 21.33C AC AB →→- 21.33
D AC AB →→+ 7、已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） .Aa b c << .Bb a c << .C a c b << .Db c a <<
8、函数sin(),(0,0,)y A x A ωϕωϕπ=+>><在一个周期内的图像如图，此函数的解析式为（ ）
2.2sin(2)3A y x π=+ .2sin(2)3
B y x π=+
.2sin()23x C y π=- .2sin(2)3
D y x π=- 9、若()124,0,,cos ,sin 21325βααβπαβ⎛
⎫⎛⎫∈-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则sin 2αβ+=（ ） 33.65A 33.65B - 63.65C 63.65D - 10、定义在R 上的函数()f x 满足)()3(x f x f -=+，当31x -≤<-时,2()(2)f x x =-+,
当
13x -≤<时,()f x x =.则)2013()3()2()1(f f f f Λ+++=（ ）
.338A .337B .1678C .2013D
11、已知函数()y f x =是()1,1-上的偶函数，且在区间()1,0-是单调递增的，,,A B C 是锐角ABC ∆的三个内角，则下列不等式中一定成立的是
.(sin )(cos )A f A f A > .(sin )(cos )B f A f B >
.(cos )(sin )C f C f B > .(sin )(cos )D f C f B >
12、如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是弧AB 的三等分点，,M N 是线段AB 的三等分点．若6OA =，则MD NC →→
⋅的值是（ ）
.12A .122B .26C .36D
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、扇形的半径为1cm ，中心角为30o ，则该扇形的弧长为 cm
14、已知向量(3,2),(2,1)a b →→==-，则向量a →在向量b →方向上的投影为
15、函数)0(tan )(>=ωωx x f 的相邻两支截直线4π
=y 所得线段长4π
，则)4
(π
f 的值___ 16、下列说法正确的是_________（请把你认为正确说法的序号都填上）。
①与r a ＝（－3，4）共线的单位向量是43(,)55
-；
②函数22
()cos 2sin =+f x x x 的最小正周期为π；
③=y ④P 是ABC ∆所在平面内一点，若⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
PA PB PB PC PC PA ，则P 是ABC ∆的垂心；
⑤若函数212log (23)=-+y x ax 的值域为R ，则a 的取值范围是(。
三、解答题：（本大题共6题，17题10分，其余每题12分，共70分）
17、(1)化简：sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)
－＋＋－－＋＋＋－＋－αααααα︒︒︒︒；
(2)求值：tan10tan50a 5+10t n 0+o o o o 。
18、已知1,2,60a b a b →→→→
==o 与的夹角是，计算 （1） +a b →→；（2）22a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。
19、已知函数1)6sin(cos 4)(--=π
x x x f
（1）求)(x f 的最小正周期（2）求)(x f 在区间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
20、已知：())2cos ,sin ,,2cos a x x b x x →→==，设函())f x a b x R →→
=⋅∈ 求：（1）()f x 的最小正周期及最值；（2）()f x 的对称轴及单调递增区间。
21 、已知,,A B C 是ABC ∆的内角，向量(()1,cos ,sin m n A A →→=-=且1m n →→
⋅=. （1）求角A 的大小；（2）若221sin 22cos sin B B B
+=--，求tan C 。
22、已知()22sin 22sin 261,44242f x x t x t t x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-
-⋅-+-+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，其最小值为()g t .
（1）求()g t 的表达式；
（2）当112
t -
≤≤时，要使关于t 的方程()g t kt =有一个实根，求实数k 的取值范围。
数学答案
一、选择题：
1-5 CCDCB 6-10 DBACB 11-12 CC
二、填空题 13.6π 14.
15.0 16. ②③④
三、解答题：
17、解：（1）原式=sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα-==--－＋-；
（2）原式
=tan(1050tan10tan +)(1)50tan50⋅-⋅=o o o o o o
18、解：
(1).+a b →→===
（2）22122232213122432a b a b a a b b →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫+-=+-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。
19、解：（1）
21()4cos cos )1cos 2cos 122cos 222sin(2)26
f x x x x x x x x x x π=⋅--=--=--=-- T π∴=周期
（2）510,2,sin(2),1266662x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈∴-∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦Q max min ()0,()3f x f x ∴==-
20、
21、
22、。
江西省南昌市进贤一中2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文202004180186
江西省南昌市进贤一中2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．命题p ：“[0,)x ∀∈+∞，有0x x +≥成立.”则命题p 的否定是（ ）A ．:(,0)p x ⌝∀∈-∞，有0x x +<成立.B ．:(,0)p x ⌝∀∈-∞，有0x x +≥成立.C ．:[0,)p x ⌝∃∈+∞，有0x x +<成立D ．:[0,)p x ⌝∃∈+∞，有0x x +≥成立.2．抛物线212y x =-的焦点坐标是（ ） A ．1(0,)8B ．1()8,0-C ．1(0,)2-D ．1(,0)2-3．如图正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．8cmB ．6cmC ．D ．4．直线()()2130a x a y ++--=与()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为( ) A ．1-B ．1C ．±1D ．32-5．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是A ．24B ．845+C ．4+65．126．圆224460x y x y +--+=上的点到直线80x y +-=的最大距离与最小距离的差是 A 2B ．2C ．4D ．427．已知l ，m 为两条不同直线，α，β为两个不同平面.则下列命题正确的是（ ） A ．若l α，m α⊂，则l mB ．若l α，m α，则l mC ．若l α⊂，m β⊂，αβ∥，则l mD ．若l α，l β∥，m αβ=，则l m8．已知焦点为F 的抛物线C ：y 2＝4x ，点P (1,1)，点A 在抛物线C 上，则PA AF +的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．正四棱锥P ABCD -5底面ABCD 边长为2,E 为AD 的中点,则BD 与PE 所成角的余弦值为（ ）A ．64B ．13C ．34D ．2410．已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意x R ∈，有()3f x '>，且()13f -=，则f （x ）＜3x ＋6的解集为( )A ．（－1, 1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－1）D ．（－∞，＋ ∞）11．已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P Q 、两点，若2PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．12C ．13D ．212．已知函数()24,0,0x x x x f x e x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，方程()0f x ax -=有4个不同的实数根，则a 的取值范围是（）A ．2,44e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,44e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()222f x x xf '+=，则不等式()0f x <的解集为__________．14．直线123x ty t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）的倾斜角大小为________15．若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______． 16．记定义在R 上的函数()y f x =的导函数为'()f x ．如果存在0[,]x a b ∈，使得0()()'()()f b f a f x b a -=-成立，则称0x 为函数()f x 在区间[,]a b 上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上“中值点”的为____ ．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22每题12分，共70分) 17．已知2:7100p x x -+<，22:430q x mx m -+<，其中0m >．（1）若4m =，且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3,{(x cos y ααα==为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(Ⅱ)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证： （1）B ，C ，H ，G 四点共面； （2）平面EFA 1∥平面BCHG ．20．已知函数()()2ln 2f x x ax a a R =-+∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调性.21．已知抛物线C ：22(0)y px p =>，过其焦点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若不过原点O 且斜率存在的直线l 与抛物线C 相交于D 、E 两点，且OD OE ⊥.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 22．已知函数3431)(23+++=bx ax x x f （b a ,是实数），且0)2(='f ,(1)0f -=． （1）求实数b a ,的值；（2）当[]1,x t ∈-时，求)(x f 的最大值)(t g 的表达式．文科数学参考答案1-6．CCACBB 7-12．DBDCAA 13．()0,8 14．23π 15． 16．2317．（1）(4,5)；（2）5[,2]3． （1）2:7105p x x -+<∴p 为真命题时实数x 的取值范围是(2,5)4m =∴同理q 为真命题时，实数x 的取值范围是(4,12)． 又p q ∧∵为真∴,p q 同时为真命题，即x 的取值范围的交集，为45x <<，即/2()3123(2)(2)f x x x x =-=+-时，且p q ∧为真，x 的取值范围是(4,5)．（2）因为∞是∞的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件. 又命题q 为真命题时，实数x 的取值范围是(,3)m m .∴235m m ≤⎧⎨≥⎩，解得523m ≤≤．故实数m 的取值范围是5[,2]3．18．（I ）3230x y -=， 22193x y +=；（II 3223+. 试题解析：（Ⅰ）因为直线l 的极坐标方程为cos 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即13cos sin 322ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭3230x -=．曲线C 的参数方程为3{3x cos y sin αα==（α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，可得22193x y +=．（Ⅱ）设点()3cos 3sin P αα为曲线C 上任意一点，则点P 到直线l 的距离d==，故当cos14πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，d．19．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC.∴B，C，H，G 四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形．∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.20．(1) 20x y+=； (2) 若0a≤，()f x在()0,∞+上递增；若0a>，()f x在10,a⎛⎫⎪⎝⎭上递增，在1,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递减．【详解】（1）当2a=时，()2ln42f x x x=-+，()24f xx∴=-'，()()12,12f f∴'=-=-，∴曲线()y f x=在1x=处的切线方程为：20x y+=；（2）()()22220axf x a xx x-+=-='>若0a≤，()0f x'>，()f x在()0,∞+上递增；若0a>，当10,xa⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；当1,xa⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x'<，()f x单调递减．21．（1）28y x=；（2）(8,0).【详解】（1）设A ，B 两点的坐标分别为(),A A x y ，(),B B x y ，则22A A y px =，22B B y px =，两式相减得()()()2A B A B A B y y y y p x x +-=-.即()2A BA B A By y y y p x x -+⋅=-，又线段AB 的中点的纵坐标为4，直线AB 的斜率为1，∴82p =，∴4p =. 即抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设直线l ：()0y kx b b =+≠与抛物线C ：28y x =交于点()11,D x y ，()22,E x y ，则28y kx b y x =+⎧⎨=⎩，2880ky y b ⇒-+=，∴064320k kb ≠⎧⎨->⎩，∴128b y y k =，2221212264y y b x x k==，由OD OE ⊥得12120x x y y +=，即8bk=-，8b k =-， 直线为()8y k x =-，∴l 过定点()8,0.22．（1）⎩⎨⎧=-=01b a （2）3214,10333()4,033t t t t g t t ⎧-+-<<>⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩或试题解析：（1）b ax x x f ++='2)(2，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=++03431044b a b a 得⎩⎨⎧=-=01b a ， （2）3431)(23+-=x x x f ，因为x x x f 2)(2-='=)2(-x x ，所以)(x f 在)0,(-∞递增，)2,0(递减，),2(+∞递增。
【数学】江西省南昌市2019-2020学年高一上学期期末考试试题(解析版)
高一上学期期末考试试题
一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分）
1.若 是第二象限角，则点 P sin, cos 在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】因为 是第二象限角，所以 sin 0, cos 0 ，
5
A. 5 B. 5
25
2 5
C. 5 D. 5
【答案】A
【解析】
sin
4 3
sin
3
sin
3
5 5,
所以
sin
3
5 5
,故
cos
6
cos
2
3
sin
3
5 5.
故选：A.
8.已知 a sin 29,b cos 52, c tan 50 ，则（ ）
A. a b c B. c a b C. b c a D. c b a
tan
x
1，所以
4
k
x
2
k
，k
Z
．
即函数的定义域为
4
k
, 2
k
k
Z
．
故答案为：
4
k , 2
k
k
Z
．
sin2 cos2
14. 8
8 _____________.
2 【答案】 2
sin2 cos2
【解析】 8
8
cos2
8
sin2
8
cos 4
2 2．
2 故答案为： 2 ．
则
f
12
的值是（
江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)
江西省南昌市南昌县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、单选题（5*12=60） 1．下面与角233π终边相同的角是 A ．43π B ．3π C ．53π D ．23π 2．计算sin (－1380°)的值为 A ．1-2B ．12C ．3-D ．3 3．已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<4．已知cos sin()0απα⋅+<,那么角α是A.第一或第二象限角B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角 5．使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是 A ．3|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．7|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．57|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭6．函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象如图所示，则 A ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 7．已知()()()235121(11)521x x f x x x x x ⎧+≤-⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，若()2f x =，则x 的值是A ．1-B ．1-或45C ．22±D ． 1-或 22±8．已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin x 的值为A ．10-B ．10C ．10D ．10-9．已知奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，当()0,1x ∈时，函数()2xf x =，则12log 23f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=A ．1623-B ．1623C ．2316-D ．231610．关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是 A ．其图象关于直线4πx =-对称 B ．其图象关于点14π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 C ．其值域是[]1,3- D ．其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的3倍得到 11．先把函数()sin()6f x x π=-的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()y g x =的图象，当3(,)44x ππ∈时，函数()g x 的值域为A ．(B ．1(,1]2- C ．( D ．[1,0)- 12．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是 A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)22二、填空题（5*4=20）13．已知tan =2α，则3sin(2)cos()2cos 2ππααα-⋅+= _________．14．函数()2sin(2),0,32f x x x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的单调减区间___________ 15．已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____16．对于函数，给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当时，该函数取得最小值是-1；③该函数的图象关于直线对称；④当且仅时，.其中正确命题的序号是_____(请将所有正确命题的序号都填上)三、解答题17．（本小题满分10分）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度. （1）求这个圆心角所对的弧长； （2）求这个扇形的面积.18．（本小题满分12分）已知函数f （x ）的定义域为A ，函数g （x ）（﹣1≤x ≤0）的值域为B ．（1）求A ∩B ；（2）若C ＝{x |a ≤x ≤2a ﹣1}且C ⊆B ，求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）若函数2()3sin 22cos 3.f x x x =++ （I ）求()y f x =的最小正周期；（II ）求()y f x =在x ∈R 时的最小值，并求相应的x 取值集合.20．（本小题满分12分）已知43cos α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求()sin4απ+的值； （2）若()11cos 14αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值.21．（本小题满分12分）函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在它的某一个周期内的单调减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，求函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．（本小题满分12分）已知定义在上的函数是奇函数．（1）求的值，并判断函数在定义域中的单调性（不用证明）；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案一．选择题二．填空题 13．43 14．5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．2 16．③④ 三．解答题17.∵扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角α=2弧度，∴扇形半径为1sin1r =． （1）这个圆心角所对的弧长为122sin1sin1l r α==⨯=． （2）扇形面积为21121122sin1sin1sin 1S lr ==⨯⨯=．19.（I ）()cos2132sin 246f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭,T π∴=.（II ）()()min 2sin 24,2,6f x x f x π⎛⎫=++∴= ⎪⎝⎭()ππ,2x 2k πk Z 62+=-+∈此时 , ()ππx k πk Z ,x {x |x k π,k Z}.33∴=-+∈=-+∈即的取值集合为20.解：（1）由cos α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得17sin α===，所以sin cos cos sin 444sin πππααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭ 17==（2）因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,αβπ+∈，又()11cos 14αβ+=，则()sin αβ+===，所以()sin sin βαβα=+- ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+11111471472=-⨯=， 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πβ=.21.（1）由条件，115212122T πππ=-=， ∴2,ππω= ∴2ω= 又5sin 21,12πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭∴3πϕ=- ∴()f x 的解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，得2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭∴()2sin 43g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭而325,,488636x x πππππ⎡⎤∈∴-≤-≤⎢⎥⎣⎦∴函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为12-。
2019学年江西省高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】
2019学年江西省高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，那么下列结论正确的是（） A． B．C． D．2. （）A ．___________B ．___________C ．___________D ．3. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A ．___________B ．___________C ．___________D ．4. 下列说法正确的是（）A．B．C．D ．5. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是（）A．B．C．D ．6. 已知是定义在上的函数，的图象如下图所示，那么不等式的解集是（）A．B．C．D ．7. 函数的最小值和最大值分别为（）A ． -3 ， 1___________B ． -2 ， 2___________C ． -3 ，_________D ． -2 ，8. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度9. 已知是方程两根，且，则为（）A ．___________B ．_________C ．或_________D ．或10. 使函数为奇函数，且在上是减函数的的一个值是（）A ．_________B ．_________C ．_________D ．11. 若函数在上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A ．___________B ．___________C ．___________D ．12. 函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．下列命题：①“囧函数”的值域为；②“囧函数”在上单调递增；③“囧函数”的图象关于轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线至少有一个交点．正确命题的个数为（）A ． 1___________B ． 2______________C ． 3___________D ． 4二、填空题13. ________________________ ．14. 已知角的终边经过点，且，则______________ ．15. ________________________ ．16. 已知函数，则函数的所有零点构成的集合为______________ ．三、解答题17. 设函数的定义域为，关于的不等式的解集为．（1）当时，求；（2）当时，若，求的取值范围．18. 如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数．（1）指出这一时间段的最大用电量及最小用电量；（2）求出的值，写出这段曲线的函数解析式．19. 设为实数，且，试讨论关于的方程的实数解的个数．20. 关于的方程有两个相等的实数根．（1）求实数的取值范围；（2）若，求的值．21. 设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，，求的值．22. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
(9份试卷汇总)2019-2020学年江西省南昌市数学高一(上)期末考试模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．在三棱锥中，平面，，，点M 为内切圆的圆心，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.2．在正三棱锥P ABC -中，4,AB 3PA ==，则侧棱PA 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ） A ．14B ．154C ．18D ．6383．已知函数()()cos 4f x g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 是周期为π的偶函数，则()g x 可以是（ ） A ．cos xB ．sin xC ．cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭4．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的正弦值为（ ） A ．23B ．33C ．63D ．25．设角的终边经过点，那么（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH:HB=1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为4π，则球O 的表面积为 （ ）A ．92π B ．94π C ．9π D ．18π7．在△ABC 中，点M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上，且满足AP ＝2PM ，则()PA PB PC +u u u v u u u v n u u u v等于( ) A ．－43B ．－49C ．4 3D ．4 98．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则12a －32b 等于 ( ) A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．(－1，－2)D ．(1,2)9．在四棱锥P ABCD -中，四条侧棱长均为2，底面ABCD 为正方形，E 为PC 的中点，且90BED ∠=︒，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．163πB ．169π C ．43π D ．π10．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知函数（为自然对数的底数），若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r=( )A ．0B ．BE u u u rC ．AD u u u rD ．CF uuu r二、填空题13．已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝2，AC ＝BC ＝1，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为__ .14．已知()x 2,1f x 1 1.1xx x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若a ＜b ＜c ，满足()()()f a f b f c ==，则()a b f c ++的取值范围是_____．15．已知函数()()f x x R ∈，若函数(+2)f x 过点12-（，），那么函数|()|y f x =一定经过点____________ 16．在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为__________．三、解答题17．在ABC V 中，已知4cos 5A =，()310cos A B -=，且A B >． ()1求tan A 的值；()2求证：2A B =．18．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求函数()f x 的解析式； （2）当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域. （3）将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，且()g x 为偶函数，求ϕ的值. 19．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．20．设函数()sin(2)()3f x A x x R π=+∈的图像过点7(,2)12P π-. （1）求()f x 的解析式；（2）已知10()21213f απ+=，02πα-<<，求1cos()sin()2sin cos 221sin cos ππαααααα-++-+++的值； （3）若函数()y g x =的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称，求函数()y g x =的单调区间.21．已知圆心在x 轴的正半轴上，且半径为2的圆C 被直线3y x =截得的弦长为13. （1）求圆C 的方程； （2）设动直线与圆C 交于,A B 两点，则在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得直线AN与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 22．设圆C 的圆心在x 轴上，并且过()()1,1,1,3A B -两点. (1)求圆C 的方程；(2)设直线y x m =-+与圆C 交于,M N 两点，那么以MN 为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN 的方程；若不能，请说明理由. 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D C D D B A A A CD二、填空题 13．6π 14．()1,2 15．()3,2 16．三、解答题 17．（1）34；（2）详略. 18．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）[]1,2（3）3πϕ=19．（1）（2）20．（1）()223f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）713-；（3）单减区间为15(,)()1212k k k z ππππ-+∈， 单增区间为511(,)()1212k k k z ππππ++∈. 21．（1）22(1)4x y -+=（2）当点N 为时，直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，详见解析22．(1) ()22210x y -+= (2) 17y x =-++17y x =-+-2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知圆22:680C x y x +-+=，由直线1y x =-上一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )A.1B.2C.2D.32．若函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()2,3C.()1,3D.9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．已知实心铁球的半径为R ，将铁球熔成一个底面半径为R 、高为h 的圆柱，则hR=( ) A ．32B ．43C ．54D ．24．10名小学生的身高（单位：cm ）分成了甲、乙两组数据，甲组：115，122，105， 111，109；乙组：125，132，115， 121，119.两组数据中相等的数字特征是( ) A.中位数、极差 B.平均数、方差 C.方差、极差D.极差、平均数5．设13cos 6sin 6,22a =+o o22tan171cos70,1tan 172b c -==+o o o，则有( ) A.b c a <<B.c b a <<C.c a b <<D.a c b <<6．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则512f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．3B ．12-C 3D ．327．已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=( ) A.3 B.33±C.32-D.32±8．已知向量(2,3),(,4)a b x ==r r ，若()a a b ⊥-rr r ，则x =（ ）A ．1B ．12C ．2D ．39．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（ ）A.1233π+ B.1233π+C.1236π+D.216π+10．由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）A.42B.31C.33D.421-11．直线与圆相交于M ，N 两点，若，则k 的取值范围是A ．B ．C ．D ．12．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于A ．RB ．{}|,0x x R x ∈≠C ．{}0D ．∅二、填空题13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，则84S S 的值是__________. 14．设17sin4a π=，cos 5b π=，7tan 6c π=，用“<”把,,a b c 排序_______. 15．如下图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=22x 与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S ：①先产生两组0～1的均匀随机数，a=RAND （ ），b=RAND （ ）；②做变换，令x=2a ，y=2b ；③产生N 个点（x ，y ），并统计落在阴影内的点（x ，y ）的个数1N ，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1 000时，1N =332，则据此可估计S 的值为____．16．如图所示，已知点()1,1A ，单位圆上半部分上的点B 满足·0OAOB =u u u r u u u r ，则向量OB uuu r的坐标为________．三、解答题17．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和02πββαπ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点P 、Q 两点，点P 的纵坐标为55.（Ⅰ)求2sin 2sin cos 21ααα++的值； （Ⅱ)若23OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，求cos β的值.18．设函数()x 22a,x 0f x 1,x 0(x 1)-⎧+≤⎪=⎨>⎪-⎩．()1当x R ∈时，求函数()f x 的零点0x ；()2若a 1=-，当()f x 1>时，求x 的取值范围．19．如图，在ABC ∆中，2AB =，5AC =，3cos 5CAB ∠=，D 是边BC 上一点，且2BD DC =u u u r u u u r ．（1）设AD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，求实数x ，y 的值；（2）若点P 满足 BP u u u r 与 AD u u u r共线， PA PC ⊥u u u v u u u v ，求BP ADu u u v u u u v 的值． 20．集合3{|1,}2A x x R x =<∈+，{|||2,}B x x a x R =-<∈. （1）若2a =，求A B U ；（2）若R B C A =∅I ，求a 的取值范围.21．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cosβ的值． 22．对于任意n ∈*N ，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”.（1）已知数列：1，q ，2q 是“K 数列”，求实数q 的取值范围；（2）已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项和为n S ，数列{}n S 是“K 数列”，求首项1a 的取值范围；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且11232n n S S a +-=，n ∈*N . 设1(1)nn n n c a a λ+=+-，是否存在实数λ，使得数列{}n c 为“K 数列”. 若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 【参考答案】*** 一、选择题13．10 14．c a b << 15．32816．22⎛- ⎝⎭三、解答题17．（Ⅰ)49-；（Ⅱ)515- 18．（1）()02log x a =--；（2）()()(),10,11,2-∞-⋃⋃.19．（1）12,33x y ==；（2）34或316. 20．（1）{|2x x <-或0}x >；（2）4a ≤-或3a ≥.21．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 22．（1）2q >；（2）11a >-；（3）536λ>.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A.3B.13+C.12+D.42．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.16B.20C.24D.283．已知实心铁球的半径为R ，将铁球熔成一个底面半径为R 、高为h 的圆柱，则hR=( ) A ．32B ．43C ．54D ．24．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)(3)f x f x +=-，当(2,0)x ∈-时，()2xf x =-，则(1)(4)f f +等于( )A ．-1B ．12-C ．12D ．15．设函数()f x 满足()()f x f x -=，当0x …时，1()()4x f x =，若函数1()sin 2g x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在1[2-，5]2上的零点个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．36．设a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．a b ∥，b α⊂，则a P αB ．a α⊂，b β⊂，αβ∥，则a b ∥C ．a α⊂，b α⊂，a β∥，b β∥，则αβ∥D ．αβ∥，a α⊂，则a β∥7．已知α是第二象限角，(5)P x 为其终边上一点，且2cos x α=，则sin α=（ ） A.24B.54C.74 D.1048．某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示，根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（ ）A ．第一季度B ．第二季度C ．第三季度D ．第四季度9．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=- B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角()0ααπ≤≤的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A ，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为Q ．记线段BQ 的长为y ，则函数()y f α=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．已知2()sin ()4f x x π=+，若1(lg5),(lg )5a f b f ==，则（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1a b +=D ．1a b -=12．在等差数列{}n a 中，()()35710133248a a a a a ++++=，则等差数列{}n a 的前13项的和为（ ） A ．24 B ．39C ．52D ．104二、填空题13．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC AB AA ===，E 为BC的中点，2BC AE =，则异面直线AE 与1A C 所成的角是_______。
2019-2020学年江西省南昌市进贤一中高一上学期期末考试数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年江西省南昌市进贤一中高一上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃ð为( ) A ．{1,2,4} B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}答案：C先根据全集U 求出集合A 的补集U A ð，再求U A ð与集合B 的并集()U A B ⋃ð． 解：由题得，{}0,4,U A =Q ð{}{}{}()0,42,40,2,4.U A B ∴⋃=⋃=ð故选C. 点评：本题考查集合的运算，属于基础题． 2．函数()()1lg 11f x x x=++-的定义域是（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,+∞ C ．()()1,11,-+∞U D ．(),-∞+∞答案：C根据分母不为0，真数大于0，即可得到结论． 解：要使函数()f x 有意义，则1010x x +>⎧⎨-≠⎩，即11x x >-⎧⎨≠⎩，即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞）， 故选：C ． 点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，属于基础题. 3．ππππcossin cos sin 12121212⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A． B ．12-C ．12D答案：D利用余弦差的公式进行合并即可． 解：22πππππππcos sin cos sin cos sin cos 12121212121262⎛⎫⎛⎫-+=-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D 点评：本题属于基础题，考查三角特殊值的余弦公式的计算．4．已知tan 3α=，则222sin 2cos sin cos sin ααααα+=+( ).A ．38B ．916C ．1112D ．79答案：C分子分母同时除以2cos α，利用同角三角函数的商关系化简求值即可. 解：因为tan 3α=，所以2cos 0α≠，于是有2222222222sin 2cos sin 2cos 211sin cos sin sin cos sin tan tan 1tan cos cos 2ααααααααααααααα+++===+++，故本题选C.点评：本题考查了同角三角函数的商关系，考查了数学运算能力. 5．要得到函数sin()24x y π=-的图象，只需将sin 2xy =的图象（ ） A ．同右平移2π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移4π个单位 D ．向左平移2π个单位 答案：A利用平移变换即可得到平移的过程． 解： 函数y ＝sin （24x π-）＝sin 12（x 2π-），只需将y ＝sin 12x 的图象向右平移2π个单位，即可得到函数y ＝sin （24x π-）的图象， 故选A ． 点评：本题考查三角函数的图象的平移，注意自变量x 的系数，属于基础题． 6．在ABC ∆中，若点D 满足2BD DC =u u u ru u u r，则AD =u u u r（ ）A ．1233AC AB +u u ur u u u rB ．5233AB AC -u u ur u u u rC ．2133AC AB -u u ur u u u rD ．2133AC AB +u u ur u u u r答案：D 解：,BD AD AB DC AC AD =-=-Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.2BD DC ∴=u u u r u u u u r 由，得2()AD AB AC AD -=-u u ur u u u r u u u r u u u r , 化简可得32AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r,即1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,故本题正确答案为D7．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<答案：B根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 解：0.8000.70.71a <=<=Q ，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B.点评：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.8．函数()()sin 0,0,y A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像如图所示，则该函数的解析式为（ ）A ．22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．2sin 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭答案：A根据图象求出,,A ωϕ即可得到函数解析式. 解： 显然2A =， 因为5212122T πππ=+=，所以T π=，所以222T ππωπ===， 由()212f π-=得2sin[2()]212πϕ⨯-+=，所以2,62k ππϕπ-+=+k Z ∈，即223k πϕπ=+，k Z ∈， 因为0||ϕπ<<，所以23ϕπ=， 所以2()2sin(2)3f x x π=+. 故选：A 点评：本题考查了根据图象求函数解析式，利用周期求ω，代入最高点的坐标求ϕ是解题关键，属于基础题.9．若(),0,αβπ∈，12cos 213βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4sin 25αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2αβ+=（ ） A ．3365B ．3365-C ．6365D ．6365-答案：C先由(),0,αβπ∈，可得(,),(,)2222βπαπαπβπ-∈--∈-，结合cos 02βα⎛⎫-< ⎪⎝⎭，sin 02αβ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可得(,),(0,)2222βπαπαπβ-∈-∈，继而得到5sin 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3cos 25αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，转化sin sin[]222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用两角差的正弦公式即得解 解：由题意(),0,αβπ∈，故,0,,222αβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故(,),(,)2222βπαπαπβπ-∈--∈- 又cos 02βα⎛⎫-< ⎪⎝⎭，sin 02αβ⎛⎫-> ⎪⎝⎭故(,),(0,)2222βπαπαπβ-∈-∈ 25sin 1cos 2213ββαα⎛⎫⎛⎫∴-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23cos 1sin 225ααββ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则sinsin[]222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63sin cos cos sin 222265βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C 点评：本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题 10．定义在上的函数满足，当时,,当时,.则=（ ）A ．338B ．337C ．1678D ．2013 答案：B,,即函数是周期为的周期函数.当时,,当时,.,,故本题正确答案为11．已知函数()y f x =是(1,1)-上的偶函数，且在区间(1,0)-是单调递增的，,,A B C 是锐角ABC ∆的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．(sin )(cos )f A f A > B ．(sin )(cos )f A f B > C ．(cos )(sin )f C f B > D ．(sin )(cos )f C f B > 答案：C试题分析：由题意()f x 在(0,1)上单调递减，在锐角三角形中，2A B π+>，即2A B π>-，因此sin sin()cos 2A B B π>-=，因此(sin )(cos )f A f B <，类似地只有C 正确．故选C ．【考点】函数的奇偶性与单调性．12．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点．若6OA =，则MD NC ⋅u u u u v u u u v的值是（ ）A ．12B ．2C ．26D ．36答案：C利用()()OD OM O MD N O C C N =-⋅-⋅u u ur u u u u r u u u r u u u r u u u u v u u u v ，结合题中条件，展开利用数量积的公式即可得解.连接,OC OD ，由C 、D 是弧AB 的三等分点，得∠AOD ＝∠BOC ＝60°，()()OD O MD C NC M O ON =--⋅⋅u u ur u u u u r u u u r u u u r u u u u v u u u v QOD OC OD ON OM OC OM ON =⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r66cos6062cos12026cos12022=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯o o o18664=++- 26=．故选：C. 点评：本题主要考查了向量的数量积的运算，考查了向量的加减法，属于基础题.二、填空题13．扇形的半径为1cm ，圆心角为30°，则该扇形的弧长为________cm 答案：6π 由弧长公式l ＝|α|•r ，将题中圆心角转化为弧度制，进而可得解. 解：圆弧所对的圆心角为30°即为6π弧度，半径为1cm 弧长为l ＝|α|•r 6π=⨯16π=（cm ）．故答案为6π． 点评：本题主要考查了弧长公式，属于基础题.14．已知向量(3,2)a =v，(2,1)b =-v ，则向量a v 在向量b v 方向上的投影为________.答案：455-利用投影公式求解a bb⋅r r r 即可得解.因为向量(3,2)a =r，()2,1b=-r ，则向量a r 在b r 方向上的投影为4541a b b⋅==-+rr r ；故答案为：45-． 点评：本题考查了向量数量积的几何意义，是基础题. 15．函数()tan (0)f x x ωω=>的相邻两支截直线4y π=所得线段长4π，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值________. 答案：0由正切函数的图像结合题意可得周期，进而有4ππω=，从而得解. 解：∵函数图象的相邻两支截直线y 4π=所得线段长为4π， ∴函数f （x ）的周期为4π，图象如下：由4ππω=得ω＝4， ∴f （x ）＝tan4x ，∴f （4π）＝tan π＝0． 故答案为0. 点评：本题主要考查了正切函数的图像及周期性，属于基础题.16．下列说法正确的是_________（请把你认为正确说法的序号都填上）. ①与(3,4)a =-r共线的单位向量是43(,)55-； ②函数22()cos 2sin f x x x =+的最小正周期为π；③y =④P 是ABC ∆所在平面内一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 是ABC ∆的垂心；⑤若函数212log (23)y x ax =-+的值域为R ，则a的取值范围是(. 答案：②③④试题分析：对于①，与(3,4)a =-r共线的单位向量为34(,)55a a ±==±-r r ；对于②，函数2221cos 231()cos 2sin 1sin 1cos 2222x f x x x x x -=+=+=+=-，所以该函数的最小正周期为22T ππ==；对于③，由210{1130x x x x -≥⇒-≤≤+-≠，定义域关于原点对称，此时1()3y f x ====，11()()33f x f x -===，故该函数为偶函数；对于④，由()00PA PB PB PC PB PA PC PB CA PB CA ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，同理PC AB ⊥u u u r u u u r，所以P 是ABC ∆高线的交点即ABC ∆的垂心；对于⑤，当212log (23)y x ax =-+的值域为R 时，223y x ax =-+的值域必须包含了所有的正实数，结合二次函数的图像可知24120a a ∆=-≥⇔≥a ≤③④正确.【考点】1.平面向量的线性运算；2.三角函数的图像与性质；3.函数的奇偶性；4.平面向量的数量积；5.对数函数的图像与性质.三、解答题17．（1）化简：()()()()()()sin 180sin tan 360tan 180cos cos 180αααααα-︒++--︒++︒+-+︒-；（2）求值：tan10tan 50tan 50︒+︒︒︒.答案：（1）-1（2（1）利用诱导公式，化简每项可得原式sin sin tan tan cos cos αααααα--=+-，即得解；（2）利用tan 50tan10tan(60)tan(5010)1tan 50tan10o ooooo o+=+=-，即得解解： （1）原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα---===-+-；（2）原式()()tan 10501tan10tan50tan50=︒+︒⋅-︒⋅︒︒︒=. 点评：本题考查了诱导公式、两角和的正切公式，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题18．已知1a =r ，2b =r ，a r 与b r 的夹角是60︒，计算 （1）a b +r r；（2）()()22a b a b +-r r r r .答案：（1（2）-3（1）转化a b +=r r，利用数量积的的分配律和数量积的定义，即得解；（2）转化()()2222232a b a b a ab b +-=+-r r r r r r，即得解解：（1）a b +===r r ；（2）()()2222232a b a b a ab b +-=+-r r r r r r r r 1213122432=⨯+⨯⨯⨯-⨯=-.点评：本题考查了数量积的模长公式、运算律和定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题19．已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.答案：（1）最小正周期π（2）()max 0f x =，()min 3f x =-. （1）利用两角差的正弦公式、降幂公式、辅助角公式可化简原式得到()2sin 226f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式，即得解；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数性质，可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得解解：（1）()14cos cos 12f x x x x ⎫=⋅--⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x =--2cos 222sin 226x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴周期T π=. （2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()max 0f x =，()min 3f x =-. 点评：本题考查了三角函数综合，考查了两角和与差的正弦公式、降幂公式、辅助角公式和正弦型函数的周期性，值域，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于中档题20．已知：()2cos ,sin a x x =r，),2cos b x x =r ，设函())f x a b x R =⋅∈r r.求：（1）()f x 的最小正周期及最值； （2）()f x 的对称轴及单调递增区间.答案：（1）最小正周期π，最大值为2，最小值为-2.（2）122k x ππ=+.5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（1）利用降幂公式和辅助角公式化简得到2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期性和值域即得解； （2）令232x k πππ+=+可得对称轴，令222232k x k πππππ-+≤+≤+可得单调区间 解：（1）()22sin cos x x f x x =+2sin 2x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22T ππ==，()f x 的最大值为2，()f x 的最小值为-2. （2）令232x k πππ+=+得122k x ππ=+，k Z ∈， ∴()f x 的对称轴为122k x ππ=+，k Z ∈.令222232k x k πππππ-+≤+≤+，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， ∴()f x 的单调增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 点评：本题考查了三角函数综合，考查了降幂公式、辅助角公式和正弦型函数的周期性，对称性、单调性、值域，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于中档题21．已知A ，B ，C 是ABC V 的内角，向量(m =-u r ，()cos ,sin n A A =r且1m n ⋅=u r r.（1）求角A 的大小； （2）若221sin 22cos sin BB B+=--，求tan C .答案：（1）3A π=（2）613+（1）利用1m n ⋅=u r r，可得cos 1A A -+=，借助辅助角公式，即得解（2）利用正弦的二倍角公式，可得()222cos sin 2cos sin B B B B+=-，化简可得tan 3B =，转化()()()tan tan tan C A B A B π=-+=-+，利用两角和的正切公式，可得解解：（1）因为(m =-u r ，()cos ,sin n A A =r ，且1m n ⋅=u r r，所以cos 1A A -+=cos 1A A -=， 所以2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,A π∈， 所以5,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以66A ππ-=，故3A π=.（2）∵()22222cos sin 1sin 22cos sin cos sin B B B B BB B++=-⇒--cos sin 22cos sin B BB B+=-⇒=--，cos sin 2cos 2sin 3cos B B B B B ⇒+=-+⇒sin tan 3B B =⇒=，∴()()()tan tan tan C A B A B π=-+=-+tan tan 1tan tan A BA B +=--613+==. 点评：本题考查了三角函数和向量综合，考查了向量的数量积，二倍角公式，辅助角公式，两角和与差的正切公式等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题22．已知()22sin 22sin 261,44242f x x t x t t x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--⋅-+-+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，其最小值为()g t .（1）求()g t 的表达式； （2）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程()g t kt =有一个实根，求实数k 的取值范围. 答案：（1）()()225154216112821t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎪⎩；（2）8k ≤-或5k ≥-.试题分析：（1）利用x 的范围确定sin 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭，对函数解析式化简整理，对t 进行分类讨论，利用抛物线的性质求得每种情况的()g t 的解析式，最后综合；（2）根据（1）中获得当112t -≤≤时()g t 的解析式，令()()h x g t kt =-，要使()g t kt =有一个实根需1()2h -和(1)h 异号即可． 试题解析：（1）因为,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,464x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,142x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()2sin 261,4242f x x t t x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=---+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，当12t <-时，则当1sin 242x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，()2min554f x t t =-+⎡⎤⎣⎦， 当112t -≤≤时，则当sin 24x t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()min61f x t =-+⎡⎤⎣⎦， 当1t >时，则当sin 214x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()2min82f x t t =-+⎡⎤⎣⎦，故()()225154216112821t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎪⎩.（2）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令()()h t g t kt =-，欲使()g t kt =有一个实根，则只需()10210h h ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩或()10210h h ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩，解得8k ≤-或5k ≥-. 【考点】1、三角函数的性质；2、二次函数的性质；3、函数的零点；4、分段函数．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附解答
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4} 2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．13．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x35．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．67．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．78．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（）A．D（x）的值域是{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）是奇函数D．任意x∈R，都有f[f（x）]＝19．（5分）已知函数，则f（﹣6）+f（log26）＝（）A．6B．8C．9D．1010．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．211．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x，1），若⊥，则实数x的值是．14．（5分）已知a＝1.010.01，b＝ln2，c＝log20.5，则a，b，c从小到大的关系是．15．（5分）＝．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4}【分析】可解出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：A＝{0，1，2，3，4，5}；∴∁A B＝{0，2，4}．故选：A．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算．2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．1【分析】直接利用诱导公式化简求值．【解答】解：tan225°＝tan（180°+45°）＝tan45°＝1．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．4【分析】把已知数据代入弧长公式计算可得．【解答】解：由题意可知扇形的弧长l＝2，扇形的半径r＝OA＝1，∴则圆心角∠AOB的弧度数α＝＝＝2．故选：B．【点评】本题考查弧长公式，属基础题．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x3【分析】根据条件分别判断函数的奇偶性和单调性即可．【解答】解：A．y＝e x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝sin x是奇函数，在定义域上不是单调性函数，不满足条件．C．f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，∵y＝2x是增函数，y＝2﹣x是减函数，则y＝2x﹣2﹣x是增函数，故C正确，D．y＝﹣x3是奇函数，则定义域上是减函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意利用正切函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期是＝2，故选：B．【点评】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．6．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．6【分析】由已知直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解tanα．【解答】解：由，得，即，解得tanα＝6．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．7．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．7【分析】由已知及向量基本运算可知，，然后结合向量数量积的性质即可求解【解答】解：AD是BC边上的中线，∴，则＝＝＝＝﹣故选：B ．【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．8．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（ ）A ．D （x ）的值域是{0，1}B ．D （x ）是偶函数C ．D （x ）是奇函数D ．任意x ∈R ，都有f [f （x ）]＝1【分析】根据分段函数的表达式，结合函数值域，奇偶性以及函数值的定义分别进行判断即可．【解答】解：A ．函数的值域为{0，1}，故A 正确，B ．若x 是无理数，则﹣x 也是无理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝0，若x 是有理数，则﹣x 也是有理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝1，综上f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，故函数f （x ）是偶函数，故B 正确， C ．由B 知函数是偶函数，不是奇函数，故C 错误，D ．当x ∈R 时，f （x ）＝1或0都是有理数，则f [f （x ）]＝1，故D 正确， 故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的值域，奇偶性以及函数值的判断，利用分段函数的解析式分别进行判断是解决本题的关键．9．（5分）已知函数，则f （﹣6）+f （log 26）＝（ ） A ．6B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由函数的解析式求出f （﹣6）与f （log 26）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则f （﹣6）＝log 3[3﹣（﹣6）]＝log 39＝2，f （log 26）＝+1＝7，则f （﹣6）+f （log 26）＝2+7＝9； 故选：C ．【点评】本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．10．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．2【分析】由，，两边同时平方可求，||，进而可求在方向上的投影．【解答】解：∵||＝1，，，∴16＝，4＝，解可得，＝，||＝，则在方向上的投影为＝，故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．11．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】作出函数的图象，根据对称性求出A，B的坐标关系进行判断即可．【解答】解：f（x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x，（x∈[0，π]）设A（x，﹣sin x），则A，B关于x＝对称，此时B（π﹣x，﹣sin x），当0≤x≤时，|AB|＝π﹣x﹣x＝π﹣2x，当≤x≤π时，|AB|＝x﹣（π﹣x）＝2x﹣π，则对应的图象为D，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用三角函数的对称性求出A，B的坐标关系是解决本题的关键．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）【分析】由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，其图象如图所示：在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），故选：A．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x ，1），若⊥，则实数x 的值是 ．【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值．【解答】解：∵；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算．14．（5分）已知a ＝1.010.01，b ＝ln 2，c ＝log 20.5，则a ，b ，c 从小到大的关系是 c ＜b ＜a ．【分析】容易得出，1.010.01＞1，0＜ln 2＜1，log 20.5＜0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵1.010.01＞1.010＝1，0＜ln 2＜lne ＝1，log 20.5＜log 21＝0； ∴c ＜b ＜a ．故答案为：c ＜b ＜a ．【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．15．（5分）＝ 1 ．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：＝lg（）﹣2+1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得a 的最大值．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+）在[0，a]是增函数，∴a+≤，∴a≤，则a的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意根据五点法作图，将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）由题意可得C⊆A，可得，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A＝4，ω＝2，，函数表达式为．补全数据如下表：（Ⅱ）∵，∴A＝[﹣4，4]，又A∪C＝A，∴C⊆A．依题意，∴实数m的取值范围是[﹣3，1]．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，集合中参数的取值范围，属于基础题．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．【分析】（Ⅰ）直接利用二倍角公式，求得sin2的值．（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系，求得cos（α+β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值，可得β的值．【解答】解：（Ⅰ）因为sinα＝，α∈（），所以cosα＝﹣＝﹣．从而sin2＝＝．（Ⅱ）因为α∈（），β∈（0，），所以α+β∈（，），所以cos（α+β）＝﹣＝﹣．∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝•（﹣）﹣（﹣）•＝，∴β＝．【点评】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，求出f（x）的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可．（Ⅱ）利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝＝≥3﹣1＝，∴函数f（x）的值域为[，+∞）．（Ⅱ）令t＝ax2﹣4x+3，当a≥0时，t无最大值，不合题意；当a＜0时，∵t＝ax2﹣4x+3＝a（x﹣）2﹣+3，∴t≤3﹣，又f（t）＝3t在R上单调递增，∴f（x）＝3t≤＝81＝34，∴3﹣＝4，∴a＝﹣4．【点评】本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的单调性的关系是解决本题的关键．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得对称中心．（Ⅱ）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意有＝（2sin x，cos2x）•（cos x，﹣）＝2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2x﹣＝kπ，则，k∈Z，∴函数y＝f（x）的对称中心为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象．由，即，又x∈[0，π]，∴g（x）的单调增区间为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性、单调性、以及函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性的定义判断即可；（Ⅱ）根据函数的单调性和奇偶性得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）又∵g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝﹣x•[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），∴g（x）为偶函数；（Ⅱ）依题意有g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又f（0）＝f（﹣2）＝f（2）＝0，所以g（0）＝g（﹣2）＝g（2）＝0，要使得g（x）＜0，则x∈（﹣2，0）∪（0，2），由g（h（x））＜0得h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2）∵，∴，∴，∵a＞0，，又h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2），∴即，∴存在使得g（h（x））＜0恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，三角函数的性质，是一道综合题．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时求出总收益y＝y1+y2的解析式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．（Ⅱ）根据条件转化为y＝+≥对任意x∈[0，5]恒成立，利用换元法转化为一元二次函数进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x百万元，则对甲种产品投入资金5﹣x百万元当a ＝2时，y ＝y 1+y 2＝（5﹣x ）+•2＝，（0≤x ≤5），令t ＝，则0≤t ≤，y ＝﹣（t 2﹣2t ﹣5），其图象的对称轴t ＝1∈[0，]，∴当t ＝1时，总收益y 有最大值，此时x ＝1，5﹣x ＝4．即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大……………（5分）（Ⅱ）由题意知y ＝+＝≥对任意x ∈[0，5]恒成立，即﹣2x +2a+1≥0对任意x ∈[0，5]恒成立，令g （x ）＝2x +2a +1，设t ＝，则t ∈[0，]，则g （t ）＝﹣2t 2+2at +1，其图象的对称轴为t ＝，……………（7分）①当0＜≤，即0＜a ≤时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）≥g （），∴g （t ）min ＝g （）＝2a ﹣9≥0，得a ≥，又0＜a ≤∴≤a ≤②当＜≤，即＜a ≤2时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）＜g （），可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0，符合题意∴＜a ≤2③当＞，即2＜a ≤5时，易知g （t ）＝﹣2t 2+2at +1在[0，]单调递增可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0恒成立，2＜a ≤5综上可得≤a ≤5．∴实数a 的取值范围是[，5]．……………（12分）【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数对称性与区间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
江西省南昌市进贤一中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
江西省南昌市进贤一中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知全集，集合，，则为( ) A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}2. 函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是（）A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)3. （）A．B．C．D．4. 已知，则( ).A．B．C．D．5. 要得到函数的图象，只需将的图象（）A．同右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位6. 在中，若点满足，则（）A．B．C．D．7. 已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．8. 函数的部分图像如图所示，则该函数的解析式为（）A．B．C．D．9. 若，，，则（）A．B．C．D．10. 定义在上的函数满足，当时,,当时,.则=（）A．338 B．337 C．1678 D．201311. 已知函数是上的偶函数，且在区间是单调递增的，是锐角的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．12. 如图，是半圆的直径，、是弧的三等分点，，是线段的三等分点．若，则的值是（）A．12 B．C．26 D．36二、填空题13. 扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为________14. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影为________.15. 函数的相邻两支截直线所得线段长，则的值________.16. 下列说法正确的是_________（请把你认为正确说法的序号都填上）.①与共线的单位向量是；②函数的最小正周期为；③是偶函数；④是所在平面内一点，若，则是的垂心；⑤若函数的值域为，则的取值范围是.三、解答题17. （1）化简：；（2）求值：.18. 已知，，与的夹角是，计算（1）；（2）.19. 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值.20. 已知：，，设函数.求：（1）的最小正周期及最值；（2）的对称轴及单调递增区间.21. 已知，，是的内角，向量，且.（1）求角的大小；（2）若，求.22. 已知，其最小值为.（1）求的表达式；（2）当时，要使关于的方程有一个实根，求实数的取值范围.。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_52
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页,22题,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上,并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷,草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,只交答题卡.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由可求出，再结合即可求得.【详解】解：因为，所以,又，所以，故选：B.【点睛】本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属基础题.2.已知点O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,满足等式,则四边形ABCD是( ) A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 菱形 D. 平行四边形【答案】D【解析】【分析】由向量的减法运算可得，再结合相等向量的定义即可得解.【详解】解：由,得,即,故,得四边形ABCD是平行四边形，故选：D.【点睛】本题考查了向量的减法运算及相等向量，属基础题.3.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则函数的最小正周期是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三角函数图像的平移变换求出，再结合三角函数的周期的求法求解即可.【详解】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则,即函数的最小正周期是，故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的平移变换，重点考查了三角函数的周期，属基础题.4.函数零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来探究函数的图象特征,如函数的图象大致是( )A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】由，可得是偶函数，且,,再判断即可得解.【详解】解：由，有，即是偶函数，则的图像关于轴对称，结合特殊值,,即可判断选项A符合题意，故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及函数图像的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.6.若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得，再求值即可得解.【详解】解：因为函数是幂函数,所以,解得或.又因为在上单调递增,所以,所以,即,从而，故选：D.【点睛】本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.7.设,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合指数幂及对数值的求法可得，得解.【详解】解：因为,,,所以.故选：B.【点睛】本题考查了求指数幂及对数值，属基础题.8.已知函数是定义在上的奇函数,则( )A. B. C. 2 D. 5【答案】B【解析】【分析】由函数，则其定义域关于原点对称且，再求解即可.【详解】解：由函数是定义在上的奇函数,则其定义域关于原点对称且，得,所以,即,则，故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了求值问题，属基础题.9.在平面坐标系中,,,,是单位圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以轴的非负半轴为始边,为终边,若,且,则所在的圆弧是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】假设点在指定象限,得到的符号,验证,是否成立即可【详解】若点在第一象限,则,,则,与题意不符,故排除A,B；若点在第二象限,则,,则,与题意不符,故排除C；故选：D【点睛】本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题10.函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数在R上单调递增,可得不等式组,求解即可得解.【详解】解：由函数在R上单调递增,则,得，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.11.在平行四边形中，点E，F分别在边，上，满足，，连接交于点M，若，则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，将用向量表示，再由，把向量用向量表示，根据E，F，M 三点共线的关系式特征，即可求得结论.【详解】因为，所以.因为，所以.因为E，F，M三点共线，所以，所以.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题.12.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数在区间内没有零点,可得，再结合求解即可.【详解】解：因为,,所以.因为在区间内没有零点,所以.解得.因为,所以,因为.所以或.当时;当时,，故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数则______.【答案】5【解析】【分析】先将代入解析式可得,再求即可【详解】由题,,所以故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算14.已知角的终边经过点,则____________.【答案】【解析】【分析】结合三角函数的定义求解即可.【详解】解：因为，则,所以,故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.15.已知为第三象限角,则____________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的关系可将原式变形为，再结合三角函数象限角的符号求解即可.【详解】解：，又为第三象限角,则，故原式，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数象限角的符号问题，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.16.定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.【答案】10【解析】【分析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解.【详解】解：由于定义在R上的偶函数满足,所以的图象关于直线对称,画出时，部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,由图可知：当时,有5个交点,又和都是偶函数,所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10，故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知角的终边经过点,求下列各式的值.（1）;（2）.【答案】（1）-2 （2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得，再结合同角三角函数的商数关系即可得解.（2）由同角三角函数的平方关系及诱导公式化简即可得解.【详解】解:（1）由角的终边经过点,可知,则.（2）由已知有，所以.【点睛】本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关系，重点考查了运算能力，属基础题.19.已知函数（且）.（1）判断并证明奇偶性;（2）求使的的取值范围.【答案】（1）奇函数,证明见解析（2）当时,;当时,【解析】分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再判断，得解.（2）由对数函数的单调性求解对数不等式即可.【详解】解:（1）由,得,解得,即函数的定义域为,显然关于原点对称.又,所以是定义域上的奇函数.（2）由,得,即,当时,不等式等价于,解得,当时,不等式等价于,解得,综上,当时, 的取值范围为;当时, 的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了对数不等式的解法，属中档题.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据:取）【答案】（1）（2）6次【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；（2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得,,所以当时,,即,解得,所以,故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意可得,,整理得,,即,两边同时取常用对数,得,整理得,将代入,得,又因为,所以.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.21.已知函数的最大值是2,函数的图象的一条对称轴是,一个对称中心是.（1）求的解析式;（2）已知B是锐角,且,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数图像的性质及函数的最值列方程，分别求出即可；（2）由B是锐角，结合求解即可.【详解】解:（1）设的最小正周期为T,∵图象的一条对称轴是,一个对称中心是,,,,,,∴.图象的一条对称轴是,,.,.又∵的最大值是2,∴,从而.（2）∵,∴,又，∴,∴.∴.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数求角问题，属中档题.22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴在上单调递增；（2）总存在，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页,22题,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上,并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷,草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,只交答题卡.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由可求出，再结合即可求得.【详解】解：因为，所以,又，所以，故选：B.【点睛】本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属基础题.2.已知点O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,满足等式,则四边形ABCD是( )A. 等腰梯形B. 正方形C. 菱形D. 平行四边形【答案】D【解析】【分析】由向量的减法运算可得，再结合相等向量的定义即可得解.【详解】解：由,得,即,故,得四边形ABCD是平行四边形，故选：D.【点睛】本题考查了向量的减法运算及相等向量，属基础题.3.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则函数的最小正周期是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三角函数图像的平移变换求出，再结合三角函数的周期的求法求解即可.【详解】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则,即函数的最小正周期是，故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的平移变换，重点考查了三角函数的周期，属基础题.4.函数零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来探究函数的图象特征,如函数的图象大致是( )A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】由，可得是偶函数，且,,再判断即可得解.【详解】解：由，有，即是偶函数，则的图像关于轴对称，结合特殊值,,即可判断选项A符合题意，故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及函数图像的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.6.若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得，再求值即可得解.【详解】解：因为函数是幂函数,所以,解得或.又因为在上单调递增,所以,所以,即,从而，故选：D.【点睛】本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.7.设,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合指数幂及对数值的求法可得，得解.【详解】解：因为,,,所以.故选：B.【点睛】本题考查了求指数幂及对数值，属基础题.8.已知函数是定义在上的奇函数,则( )A. B. C. 2 D. 5【答案】B【解析】【分析】由函数，则其定义域关于原点对称且，再求解即可.【详解】解：由函数是定义在上的奇函数,则其定义域关于原点对称且，得,所以,即,则，故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了求值问题，属基础题.9.在平面坐标系中,,,,是单位圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以轴的非负半轴为始边,为终边,若,且,则所在的圆弧是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】假设点在指定象限,得到的符号,验证,是否成立即可【详解】若点在第一象限,则,,则,与题意不符,故排除A,B；若点在第二象限,则,,则,与题意不符,故排除C；故选：D【点睛】本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题10.函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数在R上单调递增,可得不等式组,求解即可得解.【详解】解：由函数在R上单调递增,则,得，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.11.在平行四边形中，点E，F分别在边，上，满足，，连接交于点M，若，则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，将用向量表示，再由，把向量用向量表示，根据E，F，M三点共线的关系式特征，即可求得结论.【详解】因为，所以.因为，所以.因为E，F，M三点共线，所以，所以.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题.12.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数在区间内没有零点,可得，再结合求解即可.【详解】解：因为,,所以.因为在区间内没有零点,所以.解得.因为,所以,因为.所以或.当时;当时,，故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数则______.【答案】5【解析】【分析】先将代入解析式可得,再求即可【详解】由题,,所以故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算14.已知角的终边经过点,则____________.【答案】【解析】【分析】结合三角函数的定义求解即可.【详解】解：因为，则,所以,故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.15.已知为第三象限角,则____________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的关系可将原式变形为，再结合三角函数象限角的符号求解即可.【详解】解：，又为第三象限角,则，故原式，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数象限角的符号问题，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.16.定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.【答案】10【解析】【分析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解.【详解】解：由于定义在R上的偶函数满足,所以的图象关于直线对称,画出时，部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,由图可知：当时,有5个交点,又和都是偶函数,所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10，故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知角的终边经过点,求下列各式的值.（1）;（2）.【答案】（1）-2 （2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得，再结合同角三角函数的商数关系即可得解.（2）由同角三角函数的平方关系及诱导公式化简即可得解.【详解】解:（1）由角的终边经过点,可知,则.（2）由已知有，所以.【点睛】本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关系，重点考查了运算能力，属基础题.19.已知函数（且）.（1）判断并证明奇偶性;（2）求使的的取值范围.【答案】（1）奇函数,证明见解析（2）当时,;当时,【解析】分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再判断，得解.（2）由对数函数的单调性求解对数不等式即可.【详解】解:（1）由,得,解得,即函数的定义域为,显然关于原点对称.又,所以是定义域上的奇函数.（2）由,得,即,当时,不等式等价于,解得,当时,不等式等价于,解得,综上,当时, 的取值范围为;当时, 的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了对数不等式的解法，属中档题.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据:取）【答案】（1）（2）6次【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；（2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得,,所以当时,,即,解得,所以,故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意可得,,整理得,,即,两边同时取常用对数,得,整理得,将代入,得,又因为,所以.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.21.已知函数的最大值是2,函数的图象的一条对称轴是,一个对称中心是.（1）求的解析式;（2）已知B是锐角,且,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数图像的性质及函数的最值列方程，分别求出即可；（2）由B是锐角，结合求解即可.【详解】解:（1）设的最小正周期为T,∵图象的一条对称轴是,一个对称中心是,,,,,,∴.图象的一条对称轴是,,.,.又∵的最大值是2,∴,从而.（2）∵,∴,又，∴,∴.∴.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数求角问题，属中档题. 22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴在上单调递增；（2）总存在，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．。
江西省南昌市进贤一中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
理科数学试卷一、单选题(每小题5 分，共60分). 1.131i i+=-（ ） A. 24i --B. 24i -+C. 12i -+D. 12i -- 2.命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是（ ）A. 2,x x R e x ∀∈≤B. 0200,x x R e x ∃∈>C. 0200,x x R e x ∃∈≤ D. 2,x x R e x ∀∈< 3.“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.直线y x =与曲线y =） A 52B. 32C. 23D. 16 5.观察下列各式：若112213a b a b ==＋，＋，334447a b a b ==＋，＋，5511a b =⋯＋，，则77a b ＋等于( ) A. 18 B. 29 C. 47 D. 156.已知点()3,4A ，F 是抛物线28y x =的焦点，M 是抛物线上的动点，当MA MF +最小时，M 点坐标是( )A. ()0,0B. (3,C. ()2,4D. (3,- 7.已知椭圆2215x y m +=离心率5e =，则m 的值为（ ） A. 3 B. 3或253C.D.8.已知函数()x x a f x e +=的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线20x ey -+=平行，则a = A 1B. e -C. eD. -19.函数()()2ln f x x a x a R =-∈不存在极值点，则a 的取值范围是 （ ） ..A. (,0)-∞B. (0,)+∞C. [0,)+∞D. (,0]-∞ 10.已知函数()f x 满足()()f x f x '<，在下列不等关系中，一定成立的（ ） A. ()()12ef f <B. ()()12ef f >C. ()()21ef f >D. ()()21ef f <11.设1F 、2F 分别为双曲线2221x y a b-=（0a >，0b >）左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点．若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A. (0,2)B. (1,3]C. [2,3)D. [)3,+∞ 12.已知函数()ln a f x x x x =+，32()5g x x x =-++，若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12()()0f x g x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],24ln 2-∞-B. (],1-∞C. 1124ln 2,ln 224⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦D. 11,ln 224⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦二、填空题（每小题5分，共20分）.13.函数()f x =2ln x x -单调递减区间是_______．14.)102x dx =⎰ __________． 15.已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是______________． 16.已知函数()x x f x e =，给出下列结论： ①(1,)()f x +∞是的单调递减区间； ②当1(,)k e ∈-∞时，直线y=k 与y=f （x ）的图象有两个不同交点； ③函数y=f （x ）的图象与21y x =+的图象没有公共点；④当(0,)x ∈+∞时，函数1()()y f x f x =+的最小值为2． 其中正确结论的序号是_________ 三、解答题（17题10分，其它每题12分，共70分）.的17.（1）已知复数z 满足(1)25z i z i -+=--，求z ．（2）若,,x y z 均为实数，且2222,2,2236x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，求证：,,x y z 中至少有一个大于0.18.设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x ＞0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－相切．(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f(x)在上最大值．19.已知命题()21,,1x p x m x ∀∈+∞≥-：恒成立；命题q ：方程22122x y m m +=-+表示双曲线． ()1若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；()2若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围． 20.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 的极坐标方程；(2)若直线12,l l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()2=3R πθρ∈，设直线12,l l 与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求OMN V 的面积.21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且与抛物线2y x =交于M ，N 两点，OMN ∆ （O为坐标原点）的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．的22.已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈．。