高等数学模拟试卷及答案

模拟试卷1一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.极限=→x x x x sin 1sinlim 20____________【】A 、0B 、1C 、∞D 、不存在,但不是∞2．曲线x y sin 2+=π在0=x 处的切线与x 轴正方向的夹角为____________【】A 、2πB 、4πC 、0D 、13.设)12)(1()(+-='x x x f ,),(+∞-∞∈x ,则在区间)1,21(内)(x f ____________【】A 、单调增加,曲线)(x f y =为凹的;B 、单调减少,曲线)(x f y =为凹的;C 、单调减少,曲线)(x f y =为凸的;D 、单调增加,曲线)(x f y =为凸的.4.设⎪⎩⎪⎨⎧>=<+=ax x a x a a x x x f ,,,12)(3，若)(x f 在点a x =处连续，则常数a =____________【】A 、0B 、1C 、1-D 、25.数列有界是数列收敛的____________【】A 、充分条件，但不是必要条件B 、必要条件，但不是充分条件C 、充分且必要条件D 、既非充分条件也非必要条件6.设)(0x f '、)0(f '均存在，以下四式中正确的一个是____________【】A 、)()()(lim0000x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆B 、)0()0()(lim 0f xf x f x '-=--→C 、)()()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+→D 、)(2)()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+→.7.函数1ln )(-=x x f 的导数为____________【】A 、11)(-='x x f B 、11)(-='x x f C 、xx f -='11)(D 、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-='1,111,11)(x xx x x f 8.已知C e xe dx x f x x+-=⎰)(,则='⎰dx x f )(____________【】A 、Ce xe x x +-B 、Cxe x +C 、Ce xe x x ++D 、Ce xe x x +-29.当0→x 时,⎰=x dt t x f 02sin )(是比43)(x x x g +=的____________无穷小.【】A 、高阶B 、低阶C 、同阶但不等价D 、等价10.设)(x f 在],[a a -上连续,则⎰-a adx x f )(恒等于___________【】A 、⎰adxx f 0)(2B 、0C 、⎰-+a dx x f x f 0)]()([D 、⎰--adxx f x f 0)]()([二、填空题（每小题2分，共10分）1.设)(x y y =是由方程0=-+e xy e y所确定,则当1.0,00=∆=x x 时,其微分________2．=+++∞→11232(lim x x x x =____________3．设)100()2)(1()(+++=x x x x x f ，则=')0(f ____________4．若函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值,则=a ____________5．定积分=++⎰-dx x x xx 11462312sin ____________三、计算题（每小题8分，共40分）1．求极限]1)1ln(1[lim 0xx x -+→2．设)(x y y =是由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2所确定的函数，求y y ''',3．求不定积分⎰dxex34．求定积分dxx x ⎰-π042cos cos 5．设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=1112)(2x bax x x x f 在1=x 处可导,求b a ,的值.四、应用题（每小题10分，共20分）1．制作一个容积固定的圆柱形有盖的桶,问高和底半径取多大尺寸时,用料最省.2．求由曲线xy 1=、直线x y =和2=x 所围成的平面图形的面积,以及此平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.五、证明题（1小题，10分）当0>x 时，证明：221)1ln(1xx x x +>+++模拟试卷2一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.下列等式中不成立的是.【】A 、12cos lim2=-→ππx xx B 、11sinlim =∞→xx x C 、1sin tan lim0=→xxx D 、1)sin(tan lim0=→xx x 2.设函数)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin2x x xx ,则)(x f 在0=x 处的性质是.【】A 、连续且可导B 、连续但不可导C 、既不连续也不可导D 、可导但不连续3.设)(x f '连续,则下列式子中成立的是.【】A 、C x f dx x f +='⎰)2()2(B 、C x f dx x f +='⎰)()2(C 、C x f dx x f +='⎰)2(21)2(D 、⎰=')2(2))2((x f dx x f 4.当0→x 时,与x tan 等价的无穷小是.【】A 、x x -2B 、x cos 1-C 、xx sin 2+D 、11-+x 5.设⎩⎨⎧===t b y t a x y sin cos ,则=x d yd 22.【】A 、ta b 2sin B 、tt a b22cos sin -C 、ta b 2cos D 、ta b 32sin -6.设x x x f 2ln )(=在0x 点可导,且2)(0='x f ,则=)(0x f .【】A 、1B 、2e C 、e2D 、2e 7.数列有界是数列收敛的____________.【】A 、必要条件，但不是充分条件B 、充分条件，但不是必要条件C 、充分且必要条件D 、既非充分条件也非必要条件8.下列积分中,其值等于0的是____________.【】A 、dxx ⎰-112sin B 、dxx ⎰-112cos C 、dxx x ⎰-11sin D 、dxx ⎰-112sin 9.曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 处的切线方程与法线方程分别为______.【】A 、切线方程为02=+y x ；法线方程02=-y xB 、切线方程为02=-y x ；法线方程02=+y xC 、切线方程为02=-y x ；法线方程02=-y xD 、切线方程为02=+y x ；法线方程02=+y x 10.=⎰dx e x x 35____________.【】A 、Cx e x +-)1(31B 、C x e x +-)1(33C 、Cx e x +-)1(3133D 、Cx e x ++)1(33二、填空题（每小题2分，共10分）1.设)(x f ⎩⎨⎧>+≤=332x b ax x x 在3=x 处可导，则=a ，=b 。

2.=⎰→320sin limxxdx x x 。

3.设x x f 22sin )(cos ='，且0)0(=f ，则=)(x f _________。

4.设xx x f =)(，则=')(x f 。

5.=⎰-dx ex x 1022=___________。

三、计算题（每小题8分，共40分）1.求极限)tan 11(lim 20xx x x -→2.设)(x y y =是方程0=-+e xy e y的隐函数，求y '与y ''.3.求不定积分dxx x sin ⎰4.求定积分dxx ⎰-202sin 1π5.求曲线xxey -=的单调区间、凹凸区间和拐点。

四、应用题（每1小题10分，共20分）1.将长度为l 的铁丝分成两段，一段弯成正方形，另一段弯成一个圆周，问两段各为多长时，才能使所得正方形与圆面积之和最小。

2.求由曲线xx ey e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积，以及此平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

五、证明题（1小题，10分）当0>x 时，证明：x x +>+1211模拟试卷3一、单项选择题（每小题2分，5小题，共10分）1．下列数列中，发散的是()（A ）321+-=n n x n （B ）32)1(n n n x n n -+=（C ）1)1(+-=n x nn （D ）nnx n n )1(2-+=2．设⎪⎩⎪⎨⎧>=<+=时当　时当时当a x x a x a a x x x f ,,,12)(3在点a x =处连续，则常数a ＝()（A ）2（B ）0（C ）l（D ）1-3．设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则在),(b a 内，以下命题正确的是()（A ）至少有一点ξ，使0)(='ξf （B ）有且仅有一点ξ，使0)(='ξf （C ）至多有一点ξ，使0)(='ξf （D ）处处有0)(='ξf 4．下列等式正确的是()（A ）)()(x f x df =⎰（B ）Cx f dx x f +='⎰)()(（C ）⎰=)())((x f dx x f d （D ）dx x f dx x f dx d)())((=⎰5．反常积分dx xk ⎰∞+11收敛的充分必要条件是()（A ）2≥k （B ）1>k （C ）1≥k （D ）10<<k 二、填空题（每小题2分，5小题，共10分）1．x x x11(lim -∞→=．2．设)(0x f '存在，则0lim →h hx f h x f )()2(00-+=．3．⎰x adt t f dtd))((=．4．设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(．5．dx x ⎰-22=______．三、计算题（每小题9分，6小题，共54分）1．求极限212lim x x e x →．2．设）（21ln x x y ++=，求y '，y ''．3．求不定积分⎰xdx xln 2．4．计算定积分dx x x x⎰-121)1(arcsin ．5．求曲线53523++-=x x x y 的凹、凸区间及拐点．6．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2．四、应用题（1小题，14分）求曲线x y =与直线1=x ，4=x 以及x 轴所围成的平面图形分别绕x 轴与绕y 轴旋转一周所成的旋转体体积．五、证明题（1小题，12分）证明不等式：当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++．模拟试卷4一、单项选择题（每小题2分，5小题，共10分）1．数列有界是数列收敛的()（A ）充分必要条件（B ）充分条件，但不是必要条件（C ）必要条件，但不是充分条件（D ）既非充分条件也非必要条件2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处的性质是()（A ）连续且可导（B ）既不连续也不可导（C ）连续但不可导（D ）可导但不连续3．设)(0x f '、)0(f '均存在，以下四式中正确的一个是()（A ）)()()(lim 0000x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆（B ）)(2)()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+→（C ）)()()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+→（D ）)0()0()(lim 0f xf x f x '-=--→4．设)(x f 在),(b a 内有定义，则下列命题正确的是()（A ）0)(='x f 的点属于可能取得极值的点（B ）0)(='x f 的点必定是)(x f 的极值点（C ）)(x f 的极值点必定是0)(='x f 的点（D ）0)(='x f 的点必定不是)(x f 的极值点5．设)(x f 在],[b a 上连续，则下列不等式成立的是()（A ）dxx f dx x f b aba)()(2⎰⎰≥（B ）dxx f dx x f b aba)()(2⎰⎰≤（C ）⎰⎰≤<<c abadxx f dx x f b c a )()(,（D ）dxx f dx x f b ab a⎰⎰≤)()(二、填空题（每小题2分，5小题，共10分）1．xx x 10)21(lim +→=．2．设x x y ln 2=，则y '=．3．函数7186223---=x x x y 的单调递减区间是．4．⎰+2031x tdt dxd =__________．5．⎰π20|sin |dx x =____．三、计算题（每小题9分，6小题，共54分）1．求极限xe e xx x sin lim0-→-．2．设)(x y y =由方程0ln =-y xy 所确定，求y '．3．求不定积分dx xx xx ⎰-+3cos sin cos sin ．4．计算反常积分dx e x x ⎰∞+-02．5．求抛物线x y 22=与其在点)1,21(处的法线围成的图形的面积．6．求微分方程满足所给初始条件的特解：0)2(222=-+dy x y dx y x ，1|1==x y ．四、应用题（1小题，14分）要建造一个圆柱形无盖水池，容积为V ，若侧面与底面的单位面积的费用之比为b a :，问底半径r 和高h 之比为多少时，才能使建造费用最省？五、证明题（1小题，12分）证明不等式：当20π<<x 时，x x x 2tan sin >+．模拟试卷5一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）1.若x x x f -=-2)1(，则)(x f =【】(A)xx +2(B))1(-x x (C))1()1(2---x x (D))2)(1(-+x x 2.数列有界是数列收敛的【】(A)充分条件，但不是必要条件(B)必要条件，但不是充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件也非必要条件3.设⎪⎩⎪⎨⎧>=<+=时当　时当时当a x x a x a a x x x f ,,,12)(3,若)(x f 在点a x =处连续，则常数a ＝【】(A)0(B)l(C)1-(D)24.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处的性质是【】(A)连续且可导(B)连续但不可导(c)既不连续也不可导(D)可导但不连续5.设)(0x f '、)0(f '均存在，以下四式中正确的一个是【】(A))()()(lim0000x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆(B))0()0()(lim 0f xf x f x '-=--→(C))()()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+→(D))(2)()(lim0000x f hh x f h x f h '=--+→6.)5(lim x x x -++∞→=【】(A)∞(B)1(C)5(D)07.设)(x f 在),(b a 内有定义，则下列命题正确的是【】（A ）)(x f 的极值点必定是0)(='x f 的点（B ）0)(='x f 的点必定是)(x f 的极值点（C ）0)(='x f 的点属于可能取得极值的点（D ）0)(='x f 的点必定不是)(x f 的极值点8.设a 是不等于1的正数，函数xa x f =)(，aa x g xln )(=，则【】(A))(x g 是)(x f 的不定积分(B))(x g 是)(x f 的导数(C))(x f 是)(x g 的原函数(D))(x g 是)(x f 的原函数9.=+⎰dx x x 383【】(A)Cx +3arctan 3412(B)Cx +3arctan 3414(C)Cx +3arctan 3214(D)Cx +3arctan 321210.设)(x f 在],[b a 上连续，则下列不等式成立的是【】(A)dxx f dx x f baba⎰⎰≤)()((B)dxx f dx x f ba ba)()(2⎰⎰≤(C)⎰⎰≤<<cabadxx f dx x f b c a )()(,(D)dxx f dx x f baba)()(2⎰⎰≥二、填空题（每小题2分，5小题，共10分）1.xx x 1)21(lim +→=2.xx x 1sin)(sin lim ⋅∞→=3.设x x y ln 2=，则y '=4.⎰dx xe x 2=_________5.⎰+231x tdt dxd =__________三、计算题（每小题8分，6小题，共48分）1.求极限xe e x x x sin lim 0-→-2.求极限xx x tan 01lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→3.设)(x y y =由方程0ln =-y xy 所确定，求y '、y ''.4.求不定积分⎰dxx x sin 5.计算定积分dx x x ⎰-1212216.求抛物线x y 22=与其在点)1,21(处的法线围成的图形的面积.四、应用题（1小题，12分）某房产公司有80套公寓出租，当月租金1000元时，公寓会全部租出去.当每月租金增加20元时，就会多一套公寓租不出去.租出去的公寓每月每套需花费120元的维修费.试问房租定为多少可获得最大收益？最大收益为多少？五、证明题（1小题，10分）证明不等式：当0>x 时，xx +>+1211模拟试卷6一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）1.下列数列中，发散的是【】A 、321+-=n n x n B 、32)1(n n n x n n -+=C 、1)1(+-=n x nn D 、nnx n n )1(2-+=2.下列命题中．错误的是【】A 、若0)(lim 0=→x f x x ，则0|)(|lim 0=→x f x x ；反之，不成立B 、若-∞=→)(lim 0x f x x ，则∞=→)(lim 0x f x x ；反之．不成立C 、若+∞=→)(lim 0x f x x ，则+∞=+→)(lim 0x f x x ；反之，不成立D 、若+∞=→)(lim 0x f x x ,则∞=→)(lim 0x f x x ；反之．不成立3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处的性质是【】A 、既不连续也不可导B 、连续且可导C 、连续但不可导D 、可导但不连续4.设xe y arctan =，则='y 【】A 、)1(arctanx x e x+B 、xe x+1arctan C 、)1(2arctanx x e x+D 、xe x2arctan 5.设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则在),(b a 内，以下命题正确的是【】A 、至少有一点ξ，使0)(='ξfB 、有且仅有一点ξ，使0)(='ξfC 、至多有一点ξ，使0)(='ξfD 、处处有0)(='ξf 6.函数5)1(3)(22+-=x x f 的极大值点为【】A 、1B 、1-C 、0D 、无极大值点7.下列等式正确的是【】A 、)()(x f x df =⎰B 、Cx f dx x f +='⎰)()(C 、⎰=)())((x f dx x f d D 、dx x f dx x f dxd)())((=⎰8.若⎰+=,)()(C x F dx x f 则⎰+dx b ax f )(=【】A 、Cb ax aF ++)(B 、Cb ax F ++)(C 、C x F +)(D 、C b ax F a++)(19.设⎰=32)(x xdt t f y,则dxdy =【】A 、)(x fB 、)()(23x f x f +C 、)(2)(3232x xf x f x -D 、)()(23x f x f -10.反常积分dx xk ⎰∞+11收敛的充分必要条件是【】A 、2≥k B 、1>k C 、1≥k D 、10<<k 二、填空题（每小题2分，5小题，共10分）1.xx x)11(lim -∞→=。