河南省洛阳市2015届高考数学二模试卷(理科)(Word版含解析)

河南省洛阳市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则复数z的实部与虚部之和为（）A．0B．1C．2D．42．（5分）集合A={x|x＜0}，B={x|y=lg[x（x+1）]}，若A﹣B={x∈A，且x∉B}，则A﹣B=（）A．{x|x＜﹣1} B．{x|﹣1≤x＜0} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x≤﹣1}3．（5分）若函数y=f（2x+1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象的对称轴方程是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣24．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数f（x）=x2，g（x）=lgx，若有f（a）=g（b），则b的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．[1，+∞）D．（1，+∞）6．（5分）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）（x+1）（x﹣2）6的展开式中x4的系数为（）A．﹣100 B．﹣15 C．35 D．2208．（5分）安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线C：，斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A，B两点，若+与向量=（﹣3，﹣1）共线，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．310．（5分）设函数f（x）=x|x﹣a|，若对∀x1，x2∈[3，+∞），x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[﹣3，0）C．（﹣∞，3]D．（0，3]11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．1B．C．D．212．（5分）已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）执行如图的程序图，若输入x=2，则输出的所有x的值的和为．14．（5分）已知tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan（α+β）=．15．（5分）已知向量，满足||=2，||=1，且对一切实数x，|+x|≥|+|恒成立，则，的夹角的大小为．16．（5分）已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣y2=3a2（a＞0）的左、右焦点，P是抛物线y2=8ax 与双曲线的一个交点，若|PF1|+|PF2=12，则抛物线的准线方程为．三、解答题（共5小题，满分60分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对∀n∈N*有2S n=a n2+a n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，设{b n}的前n项和为T n，求T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数．18．（12分）为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽取30名高中生的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm）；若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的数学期望．19．（12分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．（1）若BE=1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且=λ，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；（2）求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值，并求出此时二面角E﹣AC﹣F的余弦值．20．（12分）设M是焦距为2的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，A，B是其左右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．（1）求椭圆E的方程；（2）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）上点N（x，y）处切线方程为+=1，若与与椭圆E相切与（x1，y1），D（x2，y2）两点的切线相交于P点，且•=0，求证点P到原点距离为定值．21．（12分）已知函数f（x）=a x﹣xlna（a＞1），g（a）=b﹣x2，e为自然对数的底数．（1）当a=e，b=5时，求整数n的值，使得方程f（x）=g（x）在区间（n，n+1）内有解（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]使得f（x1）+g（x2）+≥f（x2）+g（x1）+e成立，求实数a 的取值范围．选做题。

请在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分22．（10分）如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，点P在线段BA延长线上，T是⊙O1上一点，PT⊥O2T，过P的直线交⊙O1于C，D两点（1）求证：=（2）若⊙O1与⊙O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O2=5，PT=，求PA的长．选修4-4，坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ（1）去曲线C1的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点，求|MN|的取值范围．选修4-5不等式选讲24．已知a，b∈R，a+b=1，x1•x2∈R．（1）求++的最小值；（2）求证：（ax1+bx2）（ax2+bx1）＞x1x2．河南省洛阳市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则复数z的实部与虚部之和为（）A．0B．1C．2D．4考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：由zi=1+i，得，∴复数z的实部与虚部分别为1和﹣1，和为0．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）集合A={x|x＜0}，B={x|y=lg[x（x+1）]}，若A﹣B={x∈A，且x∉B}，则A﹣B=（）A．{x|x＜﹣1} B．{x|﹣1≤x＜0} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x≤﹣1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出B中x的范围确定出B，根据A﹣B的定义确定出A﹣B即可．解答：解：由B中y=lg[x（x+1）]，得到x（x+1）＞0，解得：x＞0或x＜﹣1，即B={x|x＞0或x＜﹣1}，∵A={x|x＜0}，∴A﹣B={x|﹣1≤x＜0}，故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．（5分）若函数y=f（2x+1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象的对称轴方程是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得出y=f（2x），再向左平移个单位得出y=f（2x+1）=f（2（x））的图象．利用对称轴的平移对称答案．解答：解；∵y=f（2x+1）=f（2（x））∴函数y=f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得出y=f（2x），再向左平移个单位得出y=f（2x+1）=f（2（x））的图象．∵函数y=f（2x+1）是偶函数∴函数y=f（2x+1）的对称轴为x=0，∴函数y=f（2x）的对称轴为x=，y=f（x）的对称轴为x=1，故选：A点评：本题考查了函数的图象的平移伸缩，对称，属于抽象函数的知识比较多的题目，注意平移的方向．4．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：等差数列与等比数列．分析：可举﹣1，，…，说明不充分；举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…说明不必要，进而可得答案．解答：解：可举a1=﹣1，q=，可得数列的前几项依次为﹣1，，…，显然不是递减数列，故由“0＜q＜1”不能推出“{a n}为递减数列”；可举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…显然为递减数列，但其公比q=2，不满足0＜q＜1，故由“{a n}为递减数列”也不能推出“0＜q＜1”．故“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的既不充分也不必要条件．故选D点评：本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，举反例是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）已知函数f（x）=x2，g（x）=lgx，若有f（a）=g（b），则b的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．[1，+∞）D．（1，+∞）考点：对数函数的图像与性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（a）=a2≥0可得g（b）=lgb≥0，从而解得．解答：解：∵f（a）=a2≥0，∴g（b）=lgb≥0，∴b≥1；故选C．点评：本题考查了对数函数与二次函数的性质应用，属于基础题．6．（5分）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于（）A．B．﹣C．D．﹣考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由S+a2=（b+c）2，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：=2bccosA+2bc，化为sinA﹣4cosA=4，与sin2A+cos2A=1．解出即可．解答：解：∵S+a2=（b+c）2，∴S=b2+c2﹣a2+2bc，∴=2bccosA+2bc，化为sinA﹣4cosA=4，与sin2A+cos2A=1．解得cosA=﹣或cosA=﹣1．cosA=﹣1舍去．∴cosA=．故选：D．点评：本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（x+1）（x﹣2）6的展开式中x4的系数为（）A．﹣100 B．﹣15 C．35 D．220考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：把（x﹣2）6按照二项式定理展开，可得（x+1）（x﹣2）6的展开式中x4的系数．解答：解：（x+1）（x﹣2）6=（x+1）（﹣+﹣23••x3+24••x2﹣25••x+26•）故展开式中x4的系数为﹣23•+22•=﹣100，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．8．（5分）安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由已知基本事件总数n==120，甲连续三天参加活动，包含的基本事件个数m==24，由此能求出甲连续三天参加活动的概率．解答：解：甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，基本事件总数n==120，甲连续三天参加活动，包含的基本事件个数m==24，∴甲连续三天参加活动的概率p===．故选：B．点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．（5分）已知双曲线C：，斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A，B两点，若+与向量=（﹣3，﹣1）共线，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．3考点：双曲线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的左焦点和直线AB的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和向量的坐标运算即可得到a2=3b2，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．解答：解：双曲线C：的左焦点为（﹣c，0），斜率为1的直线方程设为y=x+c，代入双曲线的方程得（b2﹣a2）x2﹣2a2cx﹣a2c2﹣a2b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=x1+x2+2c=+2c=，若+与向量=（﹣3，﹣1）共线，则有y1+y2=（x1+x2），即有a2=3b2，即c2=a2+b2=a2，即e==．故选B．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查向量的坐标运算，由直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理是解题的关键．10．（5分）设函数f（x）=x|x﹣a|，若对∀x1，x2∈[3，+∞），x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．[﹣3，0）C．（﹣∞，3]D．（0，3]考点：函数恒成立问题．专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由条件可得函数f（x）=x|x﹣a|在[3，+∞）上是增函数，对a讨论，当a≤3时，当a＞3时，求得单调区间，即可得到a≤3．解答：解：∵对于任意x1，x2∈[3，+∞），x1≠x2，不等式＞0恒成立，∴函数f（x）=x|x﹣a|在[3，+∞）上是增函数．由函数f（x）=x|x﹣a|=，当a≤3时，f（x）=x2﹣ax（x≥3）在（，+∞）递增，则在[3，+∞）递增；当a＞3时，f（x）的增区间为（a，+∞），减区间为（﹣∞，a），即有f（x）在[3，+∞）先减后增．综上可得，a≤3，故实数a的取值范围是（﹣∞，3]．故选C．点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的单调性的应用，掌握分类讨论的思想方法和两区间的包含关系是解题的关键，属于中档题．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．1B．C．D．2考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，求出面积，即可得出结论．解答：解：由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，面积为=2，所以该几何体的各个面中最大面的面积为2，故选：D．点评：本题考查三视图，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．12．（5分）已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．π考点：球内接多面体．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：确定∠BAC=120°，S△ABC=，利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，可得D到平面ABC的最大距离，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．解答：解：设△ABC的外接圆的半径为r，则∵AB=BC=，AC=3，∴∠BAC=120°，S△ABC=，∴2r==2∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，∴D到平面ABC的最大距离为3，设球的半径为R，则（）2=3×（2R﹣3），∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：B．点评：本题考查球的半径，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离是关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）执行如图的程序图，若输入x=2，则输出的所有x的值的和为126．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，∵y=log2x，故当y为整数时，x为2的整数次幂，又由退出循环的条件为x＞100，故该程序输出的x值为100以内的2的整数次幂，即2+4+8+16+32+64=126，故答案为：126点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，分析程序的功能，以便得出正确的结论，是基础题．14．（5分）已知tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan（α+β）=1．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得tanα+tanβ和tanα•tanβ的值，从而求得tan（α+β）的值．解答：解：由题意lg（6x2﹣5x+2）=0，可得6x2﹣5x+1=0，tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=，∴tan（α+β）===1．故答案为：1．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，两角和的正切公式的应用，属于中档题．15．（5分）已知向量，满足||=2，||=1，且对一切实数x，|+x|≥|+|恒成立，则，的夹角的大小为．考点：平面向量数量积的运算．专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：设，的夹角为θ，求得=2cosθ，再由向量的平方即为模的平方，对一切实数x，|+x|≥|+|恒成立，即有不等式x2+4xcosθ﹣1﹣4cosθ≥0恒成立，运用判别式不大于0，解不等式，再由非负数概念和夹角的范围，即可得到所求夹角．解答：解：设，的夹角为θ，则=2×1×cosθ=2cosθ，不等式|+x|≥|+|即为（+x）2≥（+）2，即+2x+x2≥+2+，即有4+4xcosθ+x2≥4+4cosθ+1，即x2+4xcosθ﹣1﹣4cosθ≥0，由对一切实数x，|+x|≥|+|恒成立，则有△≤0，即为16cos2θ+4（1+4cosθ）≤0，即有（2cosθ+1）2≤0，则有2cosθ+1=0，即cosθ=﹣，由0≤θ≤π，可得θ=．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积的性质，主要考查向量的平方即为模的平方，同时考查二次不等式恒成立思想，运用判别式不大于0是解题的关键．16．（5分）已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣y2=3a2（a＞0）的左、右焦点，P是抛物线y2=8ax 与双曲线的一个交点，若|PF1|+|PF2=12，则抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线的焦点坐标，结合题意，确定焦半径，利用双曲线的定义可解．解答：解：由双曲线方程（a＞0）得c=2a∴F1（﹣2a，0），F2（2a，0），由抛物线方程y2=8ax，设F2（2a，0）为抛物线的焦点，其准线为x=﹣2a，过F1点则有|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|+|PF2|=12，∴|PF1|=6+a，|PF2|=6﹣a，又双曲线左准线为x=﹣=，离心率e=2∴|PF1|=2x P+a=6+a，∴x P=3∴|PF2|=x P+2a=6﹣a，∴a=1∴抛物线方程为y2=8x，∴抛物线的准线方程为x=﹣2．故答案为：x=﹣2．点评：本题综合考查抛物线与双曲线的定义与性质，考查方程思想，解题的关键是灵活运用定义解题，并学会从方程到图形来沟通数与形之间的联系．三、解答题（共5小题，满分60分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对∀n∈N*有2S n=a n2+a n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，设{b n}的前n项和为T n，求T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用递推式可得a n﹣a n﹣1=1．利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得：a n=n，可得b n==，利用“裂项求和”可得：{b n}的前n项和为T n=，根据n+1必定是平方数即可得出．解答：解：（1）∵2S n=a n2+a n，∴当n=1时，，解得a1=1；当n≥2时，，，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵∀n∈N*有a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴a n=1+（n﹣1）=n．∴a n=n．（2）b n===，∴{b n}的前n项和为T n=++…+=，∴T1，T2，T3，…，T100中只有取n=3，8，15，24，35，48，63，80，99时，T n才为有理数．∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9．点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、平方数，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（12分）为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽取30名高中生的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm）；若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）由题意及茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，利用用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是=，利用对立事件即可；（2）依题意，抽取一名学生是“高个子”的概率为=，从该地所有高中生（人数很多）中选3名，ξ～B（3，）．ξ的取值为0，1，2，3，求出每一个值对应事件的概率，即可求出ξ的数学期望．解答：解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是=，所以选中的“高个子”有2人，“非高个子”有3人．用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，则P（A）=1﹣=．因此，至少有一人是“高个子”的概率是．（2）依题意，抽取一名学生是“高个子”的概率为=，从该地所有高中生（人数很多）中选3名，ξ～B（3，）．ξ的取值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==因此，ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3P∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．点评：本题主要考查茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的数据处理能力和应用意识．19．（12分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．（1）若BE=1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且=λ，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；（2）求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值，并求出此时二面角E﹣AC﹣F的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）由EF∥AB，AB⊥AD，可得EF⊥AF，EF⊥FD，折起后平面ABEF⊥平面EFDC，可得AF⊥平面EFDC．假设线段AD上存在一点P，且=λ，使得CP∥平面ABEF．若BE=1，可得平面ABEF的法向量为=（0，5，0）．由=λ，可得，可得，利用，解得λ即可判断出．（2）设BE=a，可得AF=a（0＜a≤4），FD=6﹣a．V三棱锥A﹣CFD=，利用基本不等式的性质可得：当且仅当a=3时取等号．三棱锥A﹣CDF的体积有最大值．设平面ACE的法向量为=（x1，y1，z1），利用，可得．设平面ACF的法向量为，同理可得，利用=即可得出．解答：解：（1）∵EF∥AB，AB⊥AD，∴EF⊥AF，EF⊥FD，折起后平面ABEF⊥平面EFDC．平面ABEF∩平面EFDC=EF．∴AF⊥平面EFDC．假设线段AD上存在一点P，且=λ，使得CP∥平面ABEF．∵BE=1，可得F（0，0，0），A（0，0，1），D（0，5，0），C（2，3，0）．可得平面ABEF的法向量为=（0，5，0）．∵=λ，∴=+=，∴P，∴=，则=，解得．∴线段AD上存在一点P，且=，使得CP∥平面ABEF．（2）设BE=a，∴AF=a（0＜a≤4），FD=6﹣a．∴V三棱锥A﹣CFD===3，当且仅当a=3时取等号．∴当a=3时，三棱锥A﹣CDF的体积有最大值3．可得A（0，0，3），D（0，3，0），C（2，1，0），E（2，0，0），∴=（2，0，﹣3），=（2，1，﹣3），=（0，0，3），=（2，1，0）．设平面ACE的法向量为=（x1，y1，z1），则，∴，令x1=3，解得y1=0，z1=2，∴=（3，0，2）．设平面ACF的法向量为=（x2，y2，z2），则，同理可得=（1，﹣2，0），∴===，∴二面角E﹣AC﹣F的余弦值为．点评：本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）设M是焦距为2的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，A，B是其左右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．（1）求椭圆E的方程；（2）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）上点N（x，y）处切线方程为+=1，若与与椭圆E相切与（x1，y1），D（x2，y2）两点的切线相交于P点，且•=0，求证点P到原点距离为定值．考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，注意整体代入，解方程即可求得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设切点C（x1，y1），D（x2，y2），运用椭圆上一点的切线方程，得到PC，PD的方程，求得交点P的坐标，再由•=0，则PC⊥PD，运用直线的斜率公式，化简整理，由两点的距离公式，注意C，D在椭圆上，满足椭圆方程，运用整体代入，化简计算即可得到定值．解答：（1）解：设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则+=1，即n2=b2•，由k1k2=﹣，即•=﹣，即有=﹣，即为a2=2b2，又c2=a2﹣b2=1，解得a2=2，b2=1．即有椭圆E的方程为+y2=1；（2）证明：设切点C（x1，y1），D（x2，y2），则两切线方程PC，PD分别为：+y1y=1，+y2y=1，解得P（，），由•=0，则PC⊥PD，即有k PC=，由于x12+2y12=2，即有x12﹣2=﹣2y12，1﹣y12=x12，代入上式，可得k PC=，同理可得k PD=，即有k PC•k PD=﹣1，即为x1x2=﹣4y1y2，又x12=2﹣2y12，x22=2﹣2y22，即有|PO|2==，又（x1x2）2=16（y1y2）2，即有（2﹣2y12）（2﹣2y22）=16（y1y2）2，即（1﹣y12）（1﹣y22）=4（y1y2）2，即y12y22=（1﹣y12﹣y22），则|PO|2==3，即|PO|=，故P到原点距离为定值点评：本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．21．（12分）已知函数f（x）=a x﹣xlna（a＞1），g（a）=b﹣x2，e为自然对数的底数．（1）当a=e，b=5时，求整数n的值，使得方程f（x）=g（x）在区间（n，n+1）内有解（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]使得f（x1）+g（x2）+≥f（x2）+g（x1）+e成立，求实数a 的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）构造函数F（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣xlna+x2﹣b，从而代入a=e，b=5得F（x）=e x﹣x+x2﹣5，F′（x）=e x﹣1+3x；从而由导数的正负确定函数的单调性，再结合函数零点的判定定理可得F（x）在（1，2），（﹣2，﹣1）内分别有一个零点，从而可求得n=1或n=﹣2．（2）原题意可化为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得[f（x1）﹣g（x1）]﹣[f（x2）﹣g（x2）]≥e ﹣；即存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得F（x1）﹣F（x2）≥e﹣；从而化为F（x）max﹣F（x）x lna﹣lna+3x=3x+ min≥e﹣，x∈[﹣1，1]；从而转化为函数F（x）的最值问题，求导可得F′（x）=a（a x﹣1）lna；从而由导数的正负确定函数的单调性，从而可得F（x）min=F（0）=1﹣b，F （x）max=max{F（﹣1），F（1）}；再比较F（﹣1），F（1）的大小可得F（1）＞F（﹣1）；从而化为F（1）﹣F（0）≥e﹣；从而可得a﹣lna≥e﹣lne，从而解得．解答：解：（1）令F（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣xlna+x2﹣b，当a=e，b=5时，F（x）=e x﹣x+x2﹣5，F′（x）=e x﹣1+3x；当x＞0时，F′（x）＞0，则F（x）在（0，+∞）上为增函数，当x＜0时，F′（x）＜0，则F（x）在（0，+∞）上为减函数；而F（0）=﹣4，F（1）=e﹣＜0，F（2）=e2﹣1＞0，F（﹣1）=﹣＜0，F（﹣2）=+2＞0；又∵F（x）在（1，2），（﹣2，﹣1）上分别连续且单调，∴F（x）在（1，2），（﹣2，﹣1）内分别有一个零点，即方程f（x）=g（x）在区间（1，2），（﹣2，﹣1）内有一个解；综上所述，当n=1或n=﹣2时，方程f（x）=g（x）在区间（n，n+1）内有解．（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]使得f（x1）+g（x2）+≥f（x2）+g（x1）+e成立，即存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得[f（x1）﹣g（x1）]﹣[f（x2）﹣g（x2）]≥e﹣；即存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得F（x1）﹣F（x2）≥e﹣；即F（x）max﹣F（x）min≥e﹣，x∈[﹣1，1]；F′（x）=a x lna﹣lna+3x=3x+（a x﹣1）lna；①当x＞0时，由a＞1得a x﹣1＞0，lna＞0，故F′（x）＞0；②当x=0时，F′（x）=0；③当x＜0时，由a＞1得a x﹣1＜0，lna＞0，故F′（x）＜0；则F（x）在[﹣1，0]上为减函数，[0，1]上为增函数；故F（x）min=F（0）=1﹣b；F（x）max=max{F（﹣1），F（1）}；而F（1）﹣F（﹣1）=a﹣﹣2lna（a＞1）；设h（a）=a﹣﹣2lna（a＞0），则h′（a）=1+﹣2=（﹣1）2≥0，（当且仅当a=1时，等号成立）∴h（a）在（0，+∞）上为增函数，而h（1）=0；故当a＞1时，h（a）＞h（1）=0；∴F（1）＞F（﹣1）；故F（1）﹣F（0）≥e﹣；化简可得，a﹣lna≥e﹣lne，且易知m（a）=a﹣lna在（1，+∞）上是增函数，故a≥e；即实数a的取值范围为[e，+∞）．点评：本题考查了导数的综合应用及存在性命题，同时考查了分类讨论的思想及函数零点的判定定理的应用，属于难题．选做题。