1.矢量的合成与分解
《大学物理》矢量运算
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。 表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
2．矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度
表示：粗体字母A 或 A ，其大小用 A 或 A 表示 。
A A A0
（3） A B Ax B x A y B y Az Bz
（4）引入矢量标积后，功就可以表示为 W F s Fcos s
3．矢量的叉乘
矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称为矢积（叉积）
大小: C ABsin
C A B
垂直于A 、 B 组成的平面， 方向: 指向用右手螺旋法则确定。
位移、速度等 的合成
矢量作业
1. 矢量应如何正确表示？ 2. 矢量减法满足什么规律（请附图说明）？
3. 写出矢量点乘的解析表达式。
4. 矢量叉乘的右手螺旋法则如何操作？
5. 已知： a与b 夹角为45 ， a 6, b 2 2 , 求 a 2b a 3b
2 2 Ax Ay Az2
Az
z
k
Ax x
cos 2 cos 2 cos 2 1
4．矢量合成的解析法
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
y 已知 A、B，（如图）求 A B 、B 用平行四边形法则合成 C 解：先将 A A C A B 然后将 A、B 正交分解，其解析式为 O A Ax i Ay j B Bx i B y j
矢量知识
r i r j r k
矢量的有向线段表示方法： 矢量的有向线段表示方法： 作图时，用有方向的线段表示矢量。 作图时，用有方向的线段表示矢量。 线段的长度按一定比例表示矢量的大小， 线段的长度按一定比例表示矢量的大小， 线段的方向表示矢量的方向。 线段的方向表示矢量的方向。
r A r B
矢量的一个重要性质－ 矢量的一个重要性质－矢量平移的不变性 把矢量在空间平移， 把矢量在空间平移，矢量的大小和方向 都不会因平移而改变。 都不会因平移而改变。
r r r B C 的方向垂直于A、 两矢量所决定的平
面，其指向由右手螺旋法则确定。 其指向由右手螺旋法则确定。
矢 量 矢 积 图 示 法
r C r C
r B
r C
θ
r A
v Ax、Ay、Az 表示矢量 A在直角坐标系三
个坐标轴的投影(坐标分量 ，可正可负。 个坐标轴的投影 坐标分量)，可正可负。 坐标分量 矢量大小与三个坐标分量的关系： 矢量大小与三个坐标分量的关系：
A= A + A + A
2 x 2 y
2 z
பைடு நூலகம்
r A方向由该矢量与三个坐标轴的夹角
(方向角 确定 方向角)确定 方向角
Cx = Ax + Bx
2 2 2 Cy = Ay + By C = Cx +Cy +Cz Cz = A + Bz z
r C
方向由三个方向角确定
( ) ( ) r r cosγ = cos( C • k) = C
r r cosα = cos C • i = Cx C r r cosβ = cos C • j = Cy C
z
C
工程力学中的力的矢量运算
工程力学中的力的矢量运算在工程力学中，力（Force）是一个基本的物理量，用来描述物体受到的作用或者产生的作用。
力的矢量运算是工程力学中的重要概念，它可以帮助我们计算和分析力的性质和影响。
本文将就工程力学中力的矢量运算进行详细的论述。
一、力的定义和性质力是物体间相互作用的结果，通常用矢量来表示。
根据牛顿第二定律，力与物体的质量和加速度之间存在着直接的关系。
力的三个基本性质如下：1.力的大小：力的大小通常用牛顿（N）作为单位进行表示。
2.力的方向：力是一个矢量量，具有特定的方向。
力的方向通常用箭头来表示，箭头的方向表示力的作用方向。
3.力的点位：力作用的点位也非常重要，力可以作用于一个物体的任意点位，其效果有所不同。
二、力的矢量运算力的矢量运算主要包括矢量的加法和减法，它们可以帮助我们计算力的合成和分解。
1.力的矢量加法力的矢量加法是指将多个力按照一定的规则相加得到一个合力。
两个力向量相加的结果是一个力矢量，其大小等于两个力大小的和，方向等于两个力的方向之和。
设有两个力F1和F2，其大小分别为F1和F2，方向分别为α和β。
根据力的矢量加法规则可以得到如下公式：F = F1 + F2其中，F为合力的大小，α为合力的方向。
2.力的矢量减法力的矢量减法是指将一个力从另一个力中减去得到一个力的差。
两个力向量相减的结果也是一个力矢量，其大小等于两个力大小之差，方向等于两个力的方向之差。
设有两个力F1和F2，其大小分别为F1和F2，方向分别为α和β。
根据力的矢量减法规则可以得到如下公式：F = F1 - F2其中，F为差力的大小，α为差力的方向。
三、力的合成和分解1.力的合成力的合成是指将多个力按照一定的规则相加得到一个合力。
合力是由多个力共同作用产生的效果。
力的合成可以用力的矢量加法来计算。
例如，在一个平面上有两个力F1和F2，它们的大小分别为10N和5N，方向分别为30°和45°。
将这两个力按照力的矢量加法相加，可以得到一个合力F，其大小和方向可以通过计算得到。
力的合成与分解力的矢量性质
力的合成与分解力的矢量性质力的合成与分解是物理学中的重要概念，它与力的矢量性质密切相关。
在这篇文章中，我们将探讨力的合成与分解的基本原理以及力的矢量性质的应用。
首先，我们来了解力的合成与分解。
力的合成是指将多个力合并为一个力的过程。
当物体受到两个或多个不同方向的力作用时，它们可以被视为由多个力合成的结果。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在它上面的合力成正比。
因此，力的合成是通过将多个力的矢量相加，来得到它们的合力的矢量。
这可以用几何方法或代数方法来表示和计算。
在几何方法中，我们可以使用力的矢量图形来表示。
假设有两个力，F1和F2，它们作用在物体上，且角度分别为θ1和θ2。
我们可以将它们的矢量表示在一个共同的坐标系中。
将它们的起点放在一个点上，并将它们的长度和方向按照比例绘制出来。
然后，从第一个矢量的尾部绘制一个新的矢量，它从该点延伸到第二个矢量的尾部。
这条连接两个矢量的矢量就是它们的合力。
可以使用三角法或平行四边形法来求得合力的大小和方向。
除了几何方法，我们还可以使用代数方法来计算合力。
假设F1和F2分别是两个力的大小，它们的方向可以用角度θ1和θ2表示。
我们可以将力的矢量分解为水平和垂直分量，然后对它们进行代数求和。
通过使用三角函数，我们可以求得水平和垂直分量的数值，然后将它们相加得到合力的大小和方向。
接下来，让我们来讨论力的分解。
力的分解是将一个力分解为两个或多个部分力的过程。
通过分解一个力，我们可以了解它对物体的不同方向的作用。
这在分析复杂的力系统时非常有用。
力的分解可以采用几何方法或代数方法进行。
在几何分解中，我们可以使用力的矢量图形来表示。
假设我们有一个力F，它的角度是θ。
我们可以将它的矢量表示在一个坐标系中，并绘制一个垂直于该矢量的参考线。
然后，我们可以沿着参考线的方向绘制一个垂直于力F的矢量，它的长度等于力F的投影。
这个垂直矢量被称为力F的分力。
同样，我们可以沿着矢量的方向绘制一个与力F 平行的矢量，它的长度等于力F的投影。
高中物理公式大全一览表
⾼中物理公式⼤全⼀览表 ⾼中物理有很多公式，经过⾼中三年的学习相信⼤家都有很多物理知识点需要总结，为了⽅便⼤家学习物理，⼩编为⼤家整理了⾼中物理公式，希望对⼤家有帮助。
⼀、质点的运动(1)------直线运动 1)匀变速直线运动1.平均速度V平=s/t(定义式)2.有⽤推论Vt2-Vo2=2as3.中间时刻速度Vt/2=V平=(Vt+Vo)/24.末速度Vt=Vo+at5.中间位置速度Vs/2=[(Vo2+Vt2)/2]1/26.位移s=V平t=Vot+at2/2=Vt/2t 7.加速度a=(Vt-Vo)/t {以Vo为正⽅向，a与Vo同向(加速)a>0;反向则a<0｝ 8.实验⽤推论Δs=aT2 {Δs为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝ 9.主要物理量及单位:初速度(Vo):m/s;加速度(a):m/s2;末速度(Vt):m/s;时间(t)秒(s);位移(s):⽶(m);路程:⽶;速度单位换算:1m/s=3.6km/h。
注：(1)平均速度是⽮量; (2)物体速度⼤,加速度不⼀定⼤; (3)a=(Vt-Vo)/t只是量度式,不是决定式; (4)其它相关内容:质点.位移和路程.参考系.时间与时刻;速度与速率.瞬时速度。
2)⾃由落体运动1.初速度Vo=02.末速度Vt=gt3.下落⾼度h=gt2/2(从Vo位置向下计算)4.推论Vt2=2gh 注:(1)⾃由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，遵循匀变速直线运动规律; (2)a=g=9.8m/s2≈10m/s2(重⼒加速度在⾚道附近较⼩,在⾼⼭处⽐平地⼩，⽅向竖直向下)。
(3)竖直上抛运动1.位移s=Vot-gt2/22.末速度Vt=Vo-gt (g=9.8m/s2≈10m/s2)3.有⽤推论Vt2-Vo2=-2gs4.上升最⼤⾼度Hm=Vo2/2g(抛出点算起) 5.往返时间t=2Vo/g (从抛出落回原位置的时间) 注:(1)全过程处理:是匀减速直线运动，以向上为正⽅向，加速度取负值; (2)分段处理：向上为匀减速直线运动，向下为⾃由落体运动，具有对称性; (3)上升与下落过程具有对称性,如在同点速度等值反向等。
矢量的合成法则
矢量的合成法则矢量是物理学中一个非常重要的概念，它可以用来描述物体的运动状态和力的作用方向。
在物理学中，矢量的合成法则是指两个或多个矢量相加或相减的规则。
通过矢量的合成法则，我们可以计算出合成矢量的大小和方向，从而更好地理解物体的运动和力的作用。
矢量的合成法则最基本的形式是几何法则，它可以用来计算两个矢量的合成。
假设有两个矢量a和b，它们的大小分别为|a|和|b|，方向分别为θ1和θ2。
那么它们的合成矢量可以用以下公式来表示：c = a + b。
其中c是合成矢量的大小，θ3是合成矢量的方向。
根据三角函数的性质，我们可以得到以下公式来计算合成矢量的大小和方向：c = √(a^2 + b^2 + 2abcos(θ2-θ1))。
θ3 = arctan((bsin(θ2) + asin(θ1))/(bcos(θ2) +acos(θ1)))。
通过这些公式，我们可以很容易地计算出两个矢量的合成。
这对于理解物体的运动和力的作用是非常重要的，因为在实际的物理问题中，往往会涉及到多个力的作用，而这些力往往是以矢量的形式存在的。
除了几何法则之外，还有另一种常用的矢量合成法则，那就是分解法则。
分解法则是指将一个矢量分解为两个或多个分量矢量，然后再将这些分量矢量相加或相减来得到合成矢量。
这种方法在实际的物理问题中也是非常常用的，因为它可以简化计算过程，使得问题更容易解决。
分解法则的基本思想是将一个矢量分解为与坐标轴平行的分量矢量，然后再将这些分量矢量相加或相减来得到合成矢量。
假设有一个矢量a，它的大小为|a|，方向为θ。
我们可以将这个矢量分解为与x轴和y轴平行的两个分量矢量ax和ay，它们的大小分别为|ax|和|ay|，方向分别为θx和θy。
那么它们的合成矢量可以用以下公式来表示：c = ax + ay。
其中c是合成矢量的大小，θ3是合成矢量的方向。
根据三角函数的性质，我们可以得到以下公式来计算合成矢量的大小和方向：c = √(ax^2 + ay^2)。
矢量的分解原理及应用
矢量的分解原理及应用1. 矢量的概念矢量是描述物理量的有向量，具有大小和方向两个属性。
在坐标系中，矢量可以用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
2. 矢量的分解原理矢量的分解是将一个矢量分解为两个或多个矢量的过程。
分解的目的是将一个复杂的矢量问题简化为若干个简单的矢量问题，从而更容易进行计算和分析。
矢量的分解原理可以总结为以下几个步骤： - 根据问题给出的条件和要求，确定需要分解的矢量和分解的方向。
- 将需要分解的矢量在坐标系中画出，并确定分解的方向。
- 根据几何图形的性质，根据需要分解的方向，确定分解的方法。
- 根据分解的方法，将矢量分解为两个或多个简单的矢量。
- 对分解后的简单矢量进行计算和分析。
3. 矢量的分解应用矢量的分解在物理学、工程学以及其他学科中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：3.1 速度分解在运动学中，速度可以用矢量表示，速度的分解可以将一个物体的速度分解为水平方向和垂直方向的速度。
这样可以简化问题的计算和分析，使得问题更加容易理解。
3.2 力的分解在力学中，力也可以用矢量表示，力的分解可以将一个复杂的力分解为若干个简单的力，从而便于问题的计算和分析。
例如，在斜面上滑动的物体受到的重力可以分解为垂直于斜面的力和平行于斜面的力，这样可以更好地理解物体在斜面上的行为。
3.3 矢量的合成与矢量的分解相反，矢量的合成是将两个或多个矢量合成为一个矢量的过程。
矢量的合成有两种常见的情况，即平行四边形法则和三角形法则。
矢量的合成在物理学、工程学中经常用于计算合力、合速度等问题。
3.4 其他应用矢量的分解还有很多其他的应用，例如在导航系统中，可以将速度矢量分解为东西向速度和南北向速度，以便更准确地确定位置；在力学中，可以将斜面上的力分解为法向力和切向力，以便更好地分析物体在斜面上的运动等。
4. 总结矢量的分解是将一个复杂的矢量分解为若干个简单的矢量的过程，具有重要的理论和应用价值。
高考物理总复习知识点分类总结-力的合成和分解
F 1F 2 力的合成和分解一、标量和矢量1．将物理量区分为矢量和标量体现了用分类方法研究物理问题的思想。
2．矢量和标量的根本区别在于它们遵从不同的运算法则：标量用代数法；矢量用平行四边形定则或三角形定则。
矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则）。
平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法。
一个矢量（合矢量）的作用效果和另外几个矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果。
3．同一直线上矢量的合成可转为代数法，即规定某一方向为正方向。
与正方向相同的物理量用正号代入．相反的用负号代入，然后求代数和，最后结果的正、负体现了方向，但有些物理量虽也有正负之分，运算法则也一样．但不能认为是矢量，最后结果的正负也不表示方向如：功、重力势能、电势能、电势等。
二、力的合成与分解力的合成与分解体现了用等效的方法研究物理问题。
合成与分解是为了研究问题的方便而引人的一种方法．用合力来代替几个力时必须把合力与各分力脱钩，即考虑合力则不能考虑分力，同理在力的分解时只考虑分力而不能同时考虑合力。
1．力的合成（1）力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）。
力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。
（2）平行四边形定则可简化成三角形定则。
由三角形定则还可以得到一个有用的推论：如果n 个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n 个力的合力为零。
（3）共点的两个力合力的大小范围是|F 1－F 2| ≤ F 合≤ F 1＋F 2（课件演示）（4）共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之和，最小值可能为零。
【例1】物体受到互相垂直的两个力F 1、F 2的作用，若两力大小分别为53N 、５ N ，求这两个力的合力．解析：根据平行四边形定则作出平行四边形，如图所示，由于F 1、F 2相互垂直，所以作出的平行四边形为矩形，对角线分成的两个三角形为直角三角形，由勾股定理得：2222215)35(+=+=F F F N=10 N合力的方向与F 1的夹角θ为： 3335512===F F tg θ θ＝30° 点评：今后我们遇到的求合力的问题，多数都用计算法，即根据平行四边形定则作出平行四边形后，通过解其中的三角形求合力．在这种情况下作的是示意图，不需要很严格，但要规范，明确哪些该画实线，哪些该画虚线，箭头应标在什么位置等．【例2】如图甲所示，物体受到大小相等的两个拉力的作用，每个拉力均为200 N ，两力之间的夹角为60°，求这两个拉力的合力．解析：根据平行四边形定则，作出示意图乙，它是一个菱形，我们可以利用其对角线垂直平分，通过解其中的直角三角形求合力．320030cos 21==οF F N=346 N合力与F 1、F 2的夹角均为30°．点评：（1）求矢量时要注意不仅要求出其大小，还要求出其方向，其方向通常用它与已知矢量的夹角表示．（2）要学好物理，除掌握物理概念和规律外，还要注意提高自己应用数学知识解决物理问题的能力．2．力的分解（1）力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。
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第一部分：矢量的合成和分解
Ⅰ、矢量
定义：既有大小又有方向的物理量。
特点：矢量的合成和分解遵循平行四边形定则。
矢量的图示：带箭头的有向线段。
A
Ⅱ、矢量的合成
① 同方向矢量的合成：直接相加得到合矢量。
② 反方向矢量的合成：相互抵消，剩余的便是合矢量。
③ 不在同一直线上矢量的合成：遵循平行四边形定则（或三角形法则）。
在三角形中的计算方法：
正弦定理：
21sin sin sin A A A
αβθ
== 余弦定理：2212122cos A A A A A θ=
+-知识点分析和使用（1）
1、 简述三角函数.
sin θ= cos θ= tan θ= cot θ=
2、 一物体受到x 方向20N 的力和y 方向-30N 的力，求受到的合力.
3、（2009海南）两个大小分别为F 1和F 2（F 2<F 1）的力作用在同一质点上，它们的合力
的大小F 满足（ ）
A. 21F F F ≤≤
B.
121
2
22
F F F F F -+≤≤ C. 1212F F F F F -≤≤+ D. 22222
1212F F F F F -≤≤+
α θA=A 2 –A 1 A 2 A 1
A=A 1+A 2
A 2
A 1
β
a （邻边）
b(对边)
h （斜边）
θ A A 1
A 2
A A 1 A 2
4、（2010天津河西质查）某物体在三个共点力F 1、F 2、F 3的作用下处于平衡状态，则下面的各图中正确的反映了这三个力的关系是（ ）
A B C D
5、已知三个共点力的合力为零，则这三个力的大小可能为（ ） A. 15N, 5N, 6N B. 3N, 6N, 4N C. 1N, 2N, 10N D. 1N, 6N, 3N
6、如图所示，有五个力作用于同一点O ，表示这 五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条
邻边和三条对角线.已知110F N =，则这五个力的
合力大小为 N.
7、物体受到两个相反的力的作用，F 1=8N ，F 2=10N ，当F 2由10N 逐渐减小到零的过程中，这两个力的合力的大小变化是（ ）
A. 逐渐变小
B. 逐渐变大
C. 先变大后变小
D. 先变小后变大
Ⅲ、矢量的减法
① 利用“平行四边形定则”或“三角形法则”把一个已知矢量A 分解为两个分量：
② 1212322
cos cos sin X Y all X Y F F F F F F F F F F αβ
αβ=-=+-=+ tan Y X F F θ=，
F 3 F 2 F 1 F 3 F 2 F 1
F 3 F 2 F 1 F 3
F 2 F 1 A
A 2 A
1 A=A 2+(-A 1)=A 2-A 1
-A 1 A 1 A 2
A=A 2-A 1
A 2
A 1
O
F 5
F 4
F 3 F 2 F 1
θ是all F 和x 轴的方位角.
知识点分析和使用（2）
1、求图中矢量F 在x 和y 轴方向的分量.
x F =
y F =
2、100N 的力和x 轴成α角，其y 方向的分量为60N ，求力的x 方向的分量及其方位角α.
3、分解一个力，若已知它的一个分力的大小和另一个分力的方向，且合力、分力不共线，则以下正确的是（ ）
A. 只有唯一一组解
B. 一定有两组解
C. 可能有无数组解
D. 可能有两组解 4、（2010北京西城区）F 1、F 2是力F 的两个分力，若F=10N ，则下列哪组力不可能是F 的两个分力（ ）
A. F 1=10N, F 2=10N
B. F 1=20N, F 2=20N
C. F 1=2N, F 2=6N
D. F 1=20N, F 2=30N 5、（2009海口模拟）关于合力和它的两个分力的关系，下列说法中正确的是（ ） A. 合力和它的两个分力同时作用于物体上 B. 合力的大小一定等于两个分力大小的代数和 C. 合力一定大于它的任一个分力
D. 合力的大小可能等于某一个分力的大小
6、求下列作用于同一点的力的合力：30N ，东北方向；70N ，正南；50N ，西偏北30︒.
第二部分：物理原理和运动规律
Ⅰ、牛顿第一定律：
任何物体在不受任何外力作用的时候（F 合=0），总保持静止状态或匀速直线运动状态（a=0）.
知识点分析和使用（1）
（1）如何对物体进行受力分析？
分析：分析顺序——重力，弹力，摩擦力（一重二弹三摩擦），再其他的力. ① 重力一定有，先画好.
y x O θ
F y
F x F
②弹力就是我们平时说的拉力、压力、支持力，但是一般要分析的是压力和支持力.有
没有压力和支持力，先看有没有接触的地方.有接触的地方才去分析是否有其他物体压着它，或者支持着它. 注意，物体受到压力的时候是因为别的物体压着它，不是它压别的物体.
③摩擦力，还是看接触的地方，如果有弹力，才可能有摩擦力.有没有摩擦力还要看接
触面是否粗糙，有没有发生相对滑动或者有相对滑动的趋势.
④然后才分析题目是否有提到其他力.
1、画出图中球、杆、木块所受的弹力方向.（设各接触面光滑）
2、在甲、乙两图中，A、B之间一定有弹力的是图.
甲乙
A B B
A。