高考数学复习 第十五章 复数15-1试题 选修2

第十五章 选修二 第一讲
时间：60分钟 满分：100分
1．(2009·天津)i 是虚数单位，5i
2－i
＝
( )
A ．1＋2i
B ．－1－2i
C ．1－2i
D ．－1＋2i 答案：D
解析：5i 2－i ＝5i(2＋i)(2－i)(2＋i)＝10i －5
4＋1
＝－1＋2i ，故选D.
2．(2009·重庆)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则5i
z
＝
( )
A ．2－i
B ．2＋i
C ．－2－i
D ．－2＋i
答案：A
解析：由题意知z ＝－1＋2i ，则5i
z
＝
5i －1＋2i ＝5i(－1－2i)
1＋4
＝2－i.故选A.
3．(2009·四川)复数(1＋2i)
2
3－4i
的值是
( )
A ．－1
B ．1
C ．－i
D ．i 答案：A
解析：(1＋2i)2
3－4i ＝－3＋4i 3－4i
＝－1.
4．(2009·江西)若复数z ＝(x 2
－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为
( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．－1或1 答案：A
解析：∵z ＝(x 2
－1)＋(x －1)i 为纯虚数，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－1＝0，x －1≠0，⇒x ＝－1.故选A. 5．(2009·浙江)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z
＋z 2
＝
( )
A ．－1－i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．1＋i 答案：D
解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i)2
＋1＋i 2
＋2i ＝1＋i.故选D.
6．(2009·安微)i 是虚数单位，若1＋7i
2－i
＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是
( )
A ．－15
B ．－3
C ．3
D ．15 答案：B
解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2＋i ＋14i －74＋1
＝－1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝－1，b ＝3，∴ab
＝－1×3＝－3，故选B.
7．已知关于x 的方程x 2
＋(1－2i)x ＋3m －i ＝0有实根，则实数m 满足 ( )
A ．m ≤－14
B ．m ≥－1
4
C ．m ＝－112
D ．m ＝1
12
答案：D
解析：设实根为x 0，则x 2
0＋(1－2i)x 0＋3m －i ＝0，
即(x 2
0＋x 0＋3m )－(2x 0＋1)i ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
0＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0
＝－1
2m ＝1
12
，故选D.
8．(2009·湖北)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －
m i)为实数的概率为 ( )
A.13
B.14
C.16
D.112 答案：C
解析：∵(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i ，它为常数的等价条件是m 2＝n 2
，又m 、n 均为正整数，∴m ＝n .故问题事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)
六个，基本事件空间中含有36个基本事件，∴636＝1
6
.故选C.
二、填空题(4×5＝20分)
9．已知(a －i)2
＝2i ，其中i 是虚数单位，那么实数a ＝______________. 答案：－1
解析：(a －i)2＝a 2
－1－2a i ＝2i ，可得a ＝－1. 总结评述：本题考查复数相等知识，属容易题．
10．已知复数z 与(z －2)2
－8i 都是纯虚数，则z ＝______________. 答案：2i
解析：设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则(z －2)2－8i ＝(b i －2)2－8i ＝(4－b 2
)－(4b ＋8)i
是纯虚数．∴⎩⎪⎨
⎪⎧
4－b 2
＝0
4b ＋8≠0
，
解得b ＝2，∴z ＝2i.
11．(2010·唐山市模拟试题)设a ∈R ，若a ＋i
1－i
为纯虚数，则a ＝________.
答案：1
解析：∵a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(a －1)＋(a ＋1)i
2
∈{纯虚数}．∴a ＝1.
12．(2009·福建)若2
1－i
＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________.
答案：2
解析：∵21－i ＝a ＋b i ，∴2(1＋i)
(1－i)(1＋i)
＝a ＋b i ，即1＋i ＝a ＋b i ，
∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋b ＝2.
三、解答题(4×10＝40分)
13．实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2
－2x －15)i 对应的点Z 在：(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上．
分析：因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2
－2x －15也是实数．
若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限；
当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．
解析：(1)当实数x 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x －6＜0，
x 2－2x －15＜0，
即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．
(2)当实数x 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x －6＞0，
x 2－2x －15＜0，
即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．
(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2
－2x －15)－3＝0. 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．
14．设复数z ＝(1＋i)2
＋3(1－i)2＋i
，若z 2
＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．
分析：与实数集中求值问题类似，应当先化简，后代入求值．
解析：z ＝(1＋i)2
＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3(1－i)
2＋i
＝3－i 2＋i ＝(3－i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝5－5i 5
＝1－i ， 将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ，得(1－i)2
＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， 即(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝1－(a ＋2)＝1，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3
b ＝4.
总结评述：在复数运算时，记住一些结论是有益于提高运算效率的，如(1＋i)2
＝2i ，
(1－i)2
＝－2i ，1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i 等等．
15．已知z 是复数，z ＋2i 、z
2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2
在复平面
上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，
∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋1
5(x －4)i. 由题意得x ＝4， ∴z ＝4－2i.
∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2
)＋8(a －2)i ，
根据条件，已知⎩
⎪⎨⎪
⎧
12＋4a －a 2
＞0，8(a －2)＞0.解得2＜a ＜6，
∴实数a 的取值范围是(2,6)．
16．已知(x 2－i x
)n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为－314，其中i 2
＝－1，求展
开式中的常数项．
分析：先根据已知条件T 3：T 5＝－3
14
，求出n 的值，再求常数项．
解析：∵T 3＝T 2＋1＝C 2n (x 2)n －2(－i x
)2＝C 2n x 2n －5(－i)2＝－C 2n x 2n －5
，
T 5＝T 4＋1＝C 4n (x 2)
n －4
(－i
x
)4＝C 4n x
2n －10
(－i)4＝C 4n x
2n －10
.
又T 3：T 5＝－314
，
得n 2
－5n －50＝0， ∴n ＝10. 又T r ＋1＝C r
10(x 2)
10－r
(－
i
x
)r ＝C r 10(－i)r
x 20－52r ，
由20－5
2
r ＝0，
得r ＝8，
∴展开式中的常数项为C 810(－i)8
＝45.
拓展提升：展开式与复数的综合题一直是高考命题的热点，解决这类问题的关键：一是正确理解题意，掌握二项式定理及系数性质；二是正确运用通项公式，根据题意写出相关项
及系数；三是要注意i n
的运算性质及正负号．
误区分析：在解答过程中，易出现把系数写错的情况，把T 5写为C 5n (x 2)n －5
(－i x
)5，即
第6项，出错的原因是对二项展开式的特点没有熟记．。