第五章动态数列分析
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第五章 动态数列
一定时期内现象的总发展速度 等于各期环比发展速度的连乘积。
总发展 速度 环比发展速度 yi y i-1 yn y0 （i 1， 2， ，n）
【例】
根据第四次、第五次人口普查资料，我 国大陆人口1990年普查时有113368万人， 2000年普查时为126583万人，则此两次人口 普查之间我国人口平均发展速度为：
四、增长１％的绝对值
指每增长1%所包含的绝对 增长量，是一个由相对数和绝 对数结合运用的指标。
逐期增长量 增长1%的绝对值 环比增长速度 100 前一期水平 100
【例】
已知某集团公司2006年利税总额比 2005年增长1000万元，环比增长速 度为20%，求该公司2006年利税总 额比2005年增长1%的绝对值。
（i 1， 2， ，n）
当i=n时
定基增 长速 度 yn y0 y0 yn -1 y0 yi -1 y i-1
定基发展速度 -1
环 比 发 展 速 度 -1 （环比增长速度 1） -1 y i - y i-1 （ 1） -1 y i-1 （ （ （
三、平均发展速度和 平均增长速度
平均发展速度：是指各个时期环比发 展速度的平均数，说明现象在一定时 期内逐期发展变化的一般水平。 平均增长速度：是现象在一段时间内 增减变化的平均程度。 平均增长速度=平均发展速度-1 平均发展速度总是正值，而平均增长 速度可为正值也可为负值
总发展速度
② 相邻的两个定基发展速度之商，等于 相应时期的环比发展速度。即：
y i y i 1 yi (i 1,2,3, ,n) y0 y0 y i 1
二、增长速度
增长量 增长速度 基期发展水平 报告期发展水平 基期发展水平 基期发展水平 发展速度 1
总发展 速度 环比发展速度 yi y i-1 yn y0 （i 1， 2， ，n）
【例】
根据第四次、第五次人口普查资料，我 国大陆人口1990年普查时有113368万人， 2000年普查时为126583万人，则此两次人口 普查之间我国人口平均发展速度为：
四、增长１％的绝对值
指每增长1%所包含的绝对 增长量，是一个由相对数和绝 对数结合运用的指标。
逐期增长量 增长1%的绝对值 环比增长速度 100 前一期水平 100
【例】
已知某集团公司2006年利税总额比 2005年增长1000万元，环比增长速 度为20%，求该公司2006年利税总 额比2005年增长1%的绝对值。
（i 1， 2， ，n）
当i=n时
定基增 长速 度 yn y0 y0 yn -1 y0 yi -1 y i-1
定基发展速度 -1
环 比 发 展 速 度 -1 （环比增长速度 1） -1 y i - y i-1 （ 1） -1 y i-1 （ （ （
三、平均发展速度和 平均增长速度
平均发展速度：是指各个时期环比发 展速度的平均数，说明现象在一定时 期内逐期发展变化的一般水平。 平均增长速度：是现象在一段时间内 增减变化的平均程度。 平均增长速度=平均发展速度-1 平均发展速度总是正值，而平均增长 速度可为正值也可为负值
总发展速度
② 相邻的两个定基发展速度之商，等于 相应时期的环比发展速度。即：
y i y i 1 yi (i 1,2,3, ,n) y0 y0 y i 1
二、增长速度
增长量 增长速度 基期发展水平 报告期发展水平 基期发展水平 基期发展水平 发展速度 1
实用统计学_05动态分析指标解析
an 2
an 4
an 3
an 2 5
an 1 an
这种方法也比较简便易行，但须注意时距选择要适中，不要过
小或过大。用这种方法不仅可以观察发展趋势，同时也可以进行
趋势预测。
第四节 动态数列因素分析
三、最小平方法 最小平方法又称最小二乘法，是依据动态数列的观察值与趋势值
的离差平方和为最小值的基本要求，拟合一种趋势模型，然后利 用多元函数求极值的方法，推导出标准联立方程组，并求其参数， 进而测定各期的趋势值，形成一条较为理想的趋势线。
② 两个相邻时期的定基发展速度相除之商，等于相应的 环比发展速度，即
a2 ÷ a1 a2 × a0 a2 a0 a0 a0 a1 a1
第三节 动态数列的速度指标
二、增长速度
增长速度是根据增长量与基期水平对比而求得的一种相对数。 它表明现象在一定时期内增长的程度，说明报告期水平比基期 水平增长了百分之几（或若干倍），也是发展速度减1或减 100%的差额。
an
1 2
b1
b2
…
1 2
bn
第二节 动态数列的水平指标
（三）平均数时间数列的序时平均数 平均数时间数列可以由静态平均数或序时平均数所组成。由于静 态平均数的分子多属于标志总量，其分母多属于总体单位总量， 故其时间数列实际上也是由两个绝对数时间数列相应项对比形成 的。因此，要计算静态平均数时间数列的序时平均数，与由相对 数时间数列求序时平均数的方法一样，也需先分别求出分子、分 母两个数列的序时平均数，然后对比计算。
＋a2＋…＋an－1＋
an 2
n－1
第二节 动态数列的水平指标
若是间隔不等的时间数列，公式为：
a
a1＋a2 2
统计学第四版5动态数列
2019-2019年某国电冰箱年平均增长量：
a29273万台
4
第 五 章
统 计 学 原
理 第三节 动态数列速度分析指标
& 一、发展速度与增长速度
& 二、平均发展速度与平均增长速度
第 五 章
统 计
一、发展速度与增长速度
学
原
理
㈠发展速度
发展速度 报基告期期水水平平
环比发展速度： a1 , a2 ,..... an
产量（万台） 768 918 980 1044 1060
环比发展速度% — 119.5 106.8 106.5 101.5
定基发展速度% 100 119.5 127.6 135.9 138.0
环比增长速度% — 19.5 6.8 6.5
1.5
定基增长速度% — 19.5 27.6 35.9 38.0
定基发展速度% 100 119.5 127.6 135.9 138.0
定基发展速度与环比发展速度的关系：
⒈定基发展速度等于环比发展速度的连乘积
an a1 a2 ..... an
a0 a0 a1
an1
⒉两个相邻的定基发展速度之比等于环比发展速度
第
五 章
a a n
n1
an
a0 a0
23499.9
24133.8
26967.2
26857.7
29896.3
统
计
学 原
如果用符号a0，a1，a2，a3， ……a n-1，an代
理
表数列中各个发展水平，则在本例中，如果以
2019年作为基期水平，记为a0，则2019年、2019 年、2019年、2019年进出口总额分别用a1、 a2、 a3、 a4表示，称为报告期水平或计算期水平。
统计原理课件 第五章动态数列分析
(a1 a0 ) (a2 a1) (a3 a2 ) (an1 an ) an a0
②相邻两期累计增长量之差等于相应时期的逐期增 长量，即：
(ai a1 ) (ai1 a1 ) ai ai1
5.2.2 增长水平与平均增长水平
③年距增长量 在实际统计分析中，为了消除季节变动的
5.1.1 动态数列的概念
动态数列也称时间序列或时间数列，它是将 社会经济现象在不同时间上的指标数值，按其发 生的时间先后顺序排列而成的统计数列。
时间数列由两个基本要素组成： 一是被研究现象所属的时间； 二是反映该现象的统计指标数值。
5.1.1 动态数列的概念
动态数列的作用： ⑴ 可以描述总体现象的发展状态和结果。 ⑵ 可以研究总体现象变化的方向、速度和幅度。 ⑶ 可以揭示总体现象发展变化的规律性，从而对未
5.3 .1 发展速度与增长速度
⑴环比发展速度 环比发展速度也称逐期发展速度，是报告
期水平与前一期水平之比。用符号表示为 ：
a1 , a2 , a3 ,..., an
a0 a1 a2
an1
5.3 .1 发展速度与增长速度
⑵定基发展速度
定基发展速度是报告期水平与某一固定基 期水平(通常为最初水平或特定时期水平)之 比，表明现象在较长时期内总的发展速度， 也称为总速度。用符号表示为 ：
平均增长量
逐期增长量之和 逐期增长量个数
累计增长量 时间序列项数 1
5.3 .1 发展速度与增长速度
⒈ 发展速度 发展速度是两个不同时期的发展水平之比。
它表明现象发展的程度和方向，通常用百分 数或倍数表示，其计算公式为：
发展速度
报告期水平 基期水平
100 %
由于计算时采用的基期的不同，发展速度 又环比发展速度和定基发展速度之分。
②相邻两期累计增长量之差等于相应时期的逐期增 长量，即：
(ai a1 ) (ai1 a1 ) ai ai1
5.2.2 增长水平与平均增长水平
③年距增长量 在实际统计分析中，为了消除季节变动的
5.1.1 动态数列的概念
动态数列也称时间序列或时间数列，它是将 社会经济现象在不同时间上的指标数值，按其发 生的时间先后顺序排列而成的统计数列。
时间数列由两个基本要素组成： 一是被研究现象所属的时间； 二是反映该现象的统计指标数值。
5.1.1 动态数列的概念
动态数列的作用： ⑴ 可以描述总体现象的发展状态和结果。 ⑵ 可以研究总体现象变化的方向、速度和幅度。 ⑶ 可以揭示总体现象发展变化的规律性，从而对未
5.3 .1 发展速度与增长速度
⑴环比发展速度 环比发展速度也称逐期发展速度，是报告
期水平与前一期水平之比。用符号表示为 ：
a1 , a2 , a3 ,..., an
a0 a1 a2
an1
5.3 .1 发展速度与增长速度
⑵定基发展速度
定基发展速度是报告期水平与某一固定基 期水平(通常为最初水平或特定时期水平)之 比，表明现象在较长时期内总的发展速度， 也称为总速度。用符号表示为 ：
平均增长量
逐期增长量之和 逐期增长量个数
累计增长量 时间序列项数 1
5.3 .1 发展速度与增长速度
⒈ 发展速度 发展速度是两个不同时期的发展水平之比。
它表明现象发展的程度和方向，通常用百分 数或倍数表示，其计算公式为：
发展速度
报告期水平 基期水平
100 %
由于计算时采用的基期的不同，发展速度 又环比发展速度和定基发展速度之分。
统计基础第五章动态数列分析
（2）由两个时点数列对比形成的相对数或平均数动 态数列计算序时平均数
ca
a1 2
a2
an1
an 2
n 1
a1 2
a2
an1
an 2
b
b1 2
b2
bn1
bn 2
b1 2
b2
bn1
bn 2
n 1
【例5.7】根据下列资料计算某地区第四季度就业人口数占劳动力资源
135822.8 159878.3 183217.4 211923.5
年底人口数（万人）
129227.0 129988.0 130756.0 131448.0
农林牧副渔总产值（亿元）
城乡居民人民币储蓄存款年底余额 （亿元）
29691.8 36239.0 39450.9 103617.3 119555.4 141051.0
a
n
n
式中：代表平均发展水平 ai代表各期发展水平 n代表时期指标项数
灵活性原则
【例5.1】某商场2006年各月商品销售额动态资料如表5-1所示， 试计算月平均销售额及全年月平均销售额。
月份
1月 2月 3月 4月 5月 6月
表5-1 某商场2006年各月商品销售额
销售额（万元）
300 360 380 410 440 480
f
76864
计算结果表明：该企业7月份平均库存量为13.03吨。
2）由间断时点数列计算序时平均数
间断时点数列是指按月末、季末 或年末登记取得资料的时点数列。它 有两种情况，一是数列中的各项指标 表现为逐期期末登记排列，二是数列 中各项指标表现非均衡的期末登记排 列。通常将前者称为间隔相等的间断 时点数列，后者称为间断不等的间断 时点数列。
应用统计学讲义第五章动态数列(二)
与下降 交替出现的循环往复运动。经济增长中繁 荣——衰 退——萧条——复苏——繁荣的循环也称为 商业周 期，是最常见的循环变动。循环变动的周期 都是一
循环变动C
指围绕长期趋势出现的具有一定循环周期的 波动
销售额
140 120
生产资料销售趋势
100
80
60
40
20 年份 0 1978 1980 1982
第五章 动态数列（二）
第五章
动态数列
第四节 长期趋势的测定与预测
一、影响动态数列的因素
动态数列反映现象的发展变化，每一时期都受
到多 种复杂因素的共同影响； 动态数列的指标值是这些因素共同作用的结果。 不同的因素所起的作用不同，产生的结果也相 应不 同，因此形成不同的动态数列。 影响因素按其性质和作用大致可以归纳为 4种：
动态数列
其二是乘法模式，它假定四种变动 因素
呈现出相互影响的关系时，动态数
列总 变动 (Y) 体现为各种因素的乘积，即 Y＝ T•S•C•I。此乘法模式中，Y、T为总 量指
第五章
动态数列
动态数列分析一般采用乘法模式， 把受
各个因素影响的变动分别测定出来，
为 决策提供依据。
第五章
动态数列
其一是加法模式，它假定四种变动 因素呈现出相互独立的关系时，动
态数列总变动 (Y) 体现为各种因素的 总和，即Y＝T+S+C+I。此加法模式 中， Y 、 T 是总量指标， S 、 C 、 I 是 季节变动、循环变动与不规则变动 对长期趋势所产生的偏差，或是正 值、或是负值。
第五章
第五章
动态数列
反映现象发展的长期趋势有两种基本形式：一
统计学原理第五章 动态数列分析
1 .由总量指标动态数列计算平均发展水平
（1）时点数列计算平均发展水平
(b) 间断时点数列
间隔相等的间断时点数列平均发展水平
a1 a2 an
=
a2
2
n 1
公式中：a-——表示平均发展水平 ai——表示各项时点指标数值 n——表示时点指标数值的项数。
13
§5.2 动态研究的水平指标
间隔不等的间断时点数列计算平均发展水平
2
导入案例
飞达公司每年的利润情况如下表： 表5-1 飞达公司每年利润情况单位：万元
年份 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
2004
利润 95.4 102.5 102.8 120.7 128.5 145.9 155.6 180.3
这就是个动态数列，通过这个数列反映了飞达公司近八年来的利润 变化情况。所谓动态数列，就是指将同一统计指标的数值按时间先后顺 序排列而成的数列。这个公司过去的情况如上表，本章的主要内容就是 通过对过去的回顾，用统计分析方法总结发展规律，分析发展趋势进而 预测未来。
a1 a2
Байду номын сангаас
f1
a2 a3
f
2
an
a 1
n
fn
1
a= 2
2
2
f
例: 某企业2004年各时点的职工人数如下表。计算平均职工人数。 某企业2004年职工人数资料
日/月 1/1 1/4 1/7 1/9 1/12 31/12 职工人数 300 400 380 420 500 600
3
§5.1 动态数列的意义和种类
一、动态数列的意义和构成 （一）动态数列的意义 动态数列是将现象发展在各个时间的指标数值按照时间先后顺序排列而
动态分析方法
第五章动态分析方法一、解释概念1. 动态数列又称时间数列、时间序列，是将某一指标在不同时间上的数值，按时间（年、季、月等）先后顺序排列而成的统计数列。
2.平均发展水平又称序时平均数或动态平均数，是根据数列中不同时期（或时点）上的发展水平计算的平均数。
3.增长量又称增减量，是在一定时期内所增减的绝对量，即报告期水平与基期水平之差。
它说明某种社会经济现象报告期水平比基期水平增加（或减少）了多少。
4.平均发展速度是某种社会经济现象各环比发展速度的序时平均数，说明在发展期内平均发展变化的程度。
5.长期趋势是指现象受某种基本因素的作用，在较长一段时间内，持续上升或下降的发展趋势。
6.季节变动是指社会经济现象受自然条件和社会风俗等因素的影响，在一年内随季节更替而出现的周期性波动。
二、填充内容1. 所属时间、具体指标数值。
2.绝对数动态数列、相对数动态数列、平均数动态数列、绝对数动态数列。
3. 时期数列、时点数列。
4. 最初水平、中间水平、最末水平、基期水平、报告期水平。
5. 报告期水平、定基发展速度、环比发展速度。
6. 某一固定基期水平、发展变动程度。
7. 报告期增长量、基期发展水平、定基增长速度、环比增长速度。
8. 水平法、累计法。
9. 长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动。
10. 季节指数。
11. 按月（季）平均法。
12. 若干年、转折点。
13. 逐期增长量。
14. 数列的中间。
15. 二次增长量。
三、选择答案1.（ a ）2.（ b ）3.（ d ）4.（ d ）5.（ a d ）6.（ d ）7.（ d ）8.（ c ）9.（ a c d ）10. ( a c )11.（ a c ）12.（ b ）13.（ a d ）14.（ a b c ）15.（ a c ）四、判断改错1.（×）时期指标是通过连续登记取得的，而时点指标则是通过一次性登记取得的。
2.（√）3.（√）4.（√）5.（×）环比发展速度的连乘积等于定基发展速度，而相邻两个定基发展速度之商等于环比发展速度6.（√）7.（×）利润指标是总量指标，而当发生亏损时指标数值相加不仅未增加反而减少，表明利润指标为负增长，同样反映时期指标数值大小与时间长短有关。
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2012年粮食产量：101.52 5.33 4 122.84万吨
公式5、1
a a n
n 1
a 2
2
a2 a3
a1
an
a af f
a
a1 a2 2
f1
a2
2
a3
f2
an1 2
an
f n1
f1 f 2 f n1
单位:万吨
年份
t
粮食产量 y
t2
ty
2006
－2
91.0
4
－182.0
2007
－1
96.1
1
－96.1
2008
0
101.2
0
0
2009
1
107.0
1
107.0
2010
2
112.2
4
224.4
合计
0
507.6
10
53.3
最小平方法案例1(简化公式)答案
b
ty t2
186.1 70
2.66
34.3
38.6 42.3
环比增长速度（%） —
6.9 13.4
10.8
3.2
2.7
平均速度指标计算例题
x n x
106 .9%113 .4%110 .8%103 .2%102 .7%
107.3%
x n an 5 9400 107 .3% a0 6604
平均增长速度 x 1 107 .3% 1 7.3%
2
2
6
6百万元/ 人
何秀余: 重点
第三节、现象发展的速度指标
一、发展速度
– 1、发展速度的种类：
• 环比发展速度=报告期水平÷前期水平 • 定基发展速度=报告期水平÷固定基期水平
– 2、二者关系：环比发展速度连乘积等于定基发展速度；相邻两 定基发展速度之商等于相应时期的环比发展速度
– 注：年距发展速度=本年某期水平/上年同期水平
7
706.1 790 8830
8
737.1 810 9100
9
10
11
761.4 810 9290
838.3 830 9980
901.0 850 10420
12
1082.4 880
12090
下半年平均月劳动生产率
c a b
a/n
a0 2
a1
a2
an 2
n
706 .1 737 .1 761 .4 838 .3 910 1082 .4
2
4 1
473人
间断时点数列案例2
某工厂成品仓库中某产品在2010库存
量如下：
单位：台
日期 1.1 3.1 7.1 8.1 10.1 12.31 库存量 38 42 24 11 60 0
间断时点数列案例2答案
a
a1 a2 2
f1
a2
2
a3
f2
an1 2
an
f n1
c a b
时期数列序时平均数案例1
某地区国内生产总值的资料 单位：亿元
2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 18530.7 21617.8. 26635.4 34515.1 45005.8 57733
时期数列序时平均数案例1答案
a a n 21617.8 26635.4 34515.1 45005.8 57733 5 37101.42亿元
c a b
x n x n an
a0
n
ai
2
xx
3
x
xn
i 1
a0
公式5、2
yc
a bt
b
nty t y
nt 2 t2
a y bt
二、增长速度
– 1 、增长速度的种类：环比增长速度、定基增长速度 – 2、增长速度=发展速度－1 – 3、年距增长速度=年距发展速度－1
三、平均发展速度与平均增长速度
– 1、平均发展速度－1=平均增长速度 – 2、平均速度的计算方法：水平法、累计法
何秀余: 重点
平均发展速度计算公式
x n x n an
f1 f 2 f n1
38 42 2 42 24 4 24 111 11 60 2 60 0 3
2
2
2
2
2
2 41 23
390.5 32.5台 12
连续时点数列案例1
某厂某年一月份的产品库存变动记
录资料如下：
单位：台
计划完成（%）c 130 135 138 125
两个时期数列序时平均数之比答案
c a b
cb b
860130% 887135% 875138% 898125% 860 887 875 898
132%
两个时点数列序时平均数之比
我国1985—1990年社会劳动者（年底
合计 21
593.1
91
2168.9
593.1
最小平方法案例1(一般公式)答 案
b
nty t y
nt 2 t2
6 2168 .9 21 593 .1
6 91 212
5.32
a y bt
n
n
593.1 6
5.32
21 6
80.23
yc a bt 80.235.32t
第四节、时间数例变动趋势分析
一、长期趋势的测定
• 1、时距扩大法 • 2、移动平均法 • 3、最小平方法 • 4、半数平均法
二、季节变动的测定
• 1、按月（季）平均法 • 2、移动平均趋势剔除法
三、循环波动 四、不规则变动
何秀余: 重点
最小平方法计算公式
yc a bt
b
数）人数如下表，试计算“七五”时期
第三产业人数在全部社会劳动者人数中
的平均比重。
单位：万
人 年份
1985
1986 1987 1988 1989 1990
社会劳动者人数b
49873 51282 52783 54334 55329 56740
第三产业人数a 第三产业人数的比重（%）c83ຫໍສະໝຸດ 0 16.78819 17.2
间断时点数列案例1
某企业2010年第三季度职工人数:6月 30日435人,7月31日452人,8月31日462人,9 月30日576人,要求计算第三季度平均职工 人数.
间断时点数列案例1答案
n 1
a 2
2
a2 a3
a1
an
435 452 462 576
2
6 790 810 810 830 850 880 910
2
2
6
1百万元/ 人
下半年劳动生产率
c a
b
706.1 737.1 761.4 838.3 9011082.4 790 810 810 830 850 880 910
年距增长量=本年某期水平－上年同期水平
四、平均增长量
平均增长量=逐期增长量之和÷逐期增长量个数 平均增长量=累计增长量÷（数列项数－1）
两个时期数列序时平均数之比
某企业2010年计划产值和产值计划 完成程度的资料如下表，试计算该企业 年产值计划平均完成程度指标。
季度
1
2
34
计划产值（万元）b 860 887 875 898
日期 1日 4日 9日 15日 19日 26日 31日 库存量 38 42 39 23 2 16 0
连续时点数列案例1答案
a
af f
383 425 39 6 23 4 2 7 165 01 356 4751
744 24台 31
发展水平指标二
a0
— 几何平均法（水平法）
n
ai
x
2
x
3
x
n
x
i 1
a0
— 方程式法（累计法）
我国1990—1995年钢产量速度 指标计算表
年份
1990 1991 1992 1993 1994 1995
产量（万吨）
6604 7057 8000 8868 9153 9400
累计增长量（万吨） —
2、相对指标（或平均指标）动态数列序时平均数
（1）两个时期数列序时平均数之比 （2）两个时点数列序时平均数之比 （3）一个时期数列一个时点数列序时平均数之比
三、增长量=报告期水平－基期水平
（1）逐期增长量=报告期水平－前一期水平 （2）累计增长量=报告期水平－固定基期水平 注意：二者关系：逐期增长量之和等于累计增长量；相邻两累计增 长量之差等于相应时期的逐期增长量。
96.1 101.2 107.0
25
－428.0
85.6
9
－ 273.0
90.9
1
－96.1
96.2
1
101.2
101.5
9
321.0
106.8
2010 5
112.2
25
561.0
112.1
合计 0
593.1
70
186.1
593.1
最小平方法案例2