3灰色模型GM(1,N)及其应用
灰色预测法GM(1,1)理论及应用
灰色预测法GM(1,1)理论及应用一、概念1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。
灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。
2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。
尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
二、灰色预测的类型1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM （1，1）模型的建立 1. 数据处理为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
i. 设()()()()()()()()(){},,, (00000)123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比()()()(),,,,()00123X t t t n X t λ-==。
如果绝大部分的级比都落在可容覆盖区间(,)2211n n ee-++内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色预测。
分数阶累加多变量灰色模型FMGM(1,n)及应用
分数阶累加多变量灰色模型FMGM(1,n)及应用罗佑新【摘要】在分析单变量分数阶累加生成和累减生成的基础上,推导多变量分数阶累加生成的计算公式,建立多变量分数阶累加灰色模型FMGM(1,n),给出基于最小二乘法估计模型参数.以分数阶数为设计变量,以最小平均相对误差为目标函数,建立优化模型,以Matlab为平台编写优化求解程序.多变量分数阶累加灰色模型FMGM(1,n)模型是单变量的FGM(1,1)模型在多变量情况下的自然推广,旨在反映各变量间相互制约、相互促进的关系.最后给出了算例,算例表明本文所建模型的适应性、有效性.%After analyzing the fractional order AGO and IAGO of single variable, formula of multivariable fractional order AGO was deduced; the multivariable grey model FMGM(1,n) with fractional order accumulation was established; the model parameter estimation based on least square method was derived. By taking fractional order and minimum average relative error as design variable and object function, the optimal model was established and the solution program based in Matlab was written. As natural promotion of single variable model FGM(1,1), multivariable grey model FMGM(1,n) with fractional order accumulation reflected the interaction of variables. At last, the numerical example was given to indicate correctness and effectiveness of the model.【期刊名称】《中南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(048)010【总页数】5页(P2686-2690)【关键词】多变量分数阶累加灰色模型FMGM(1,n)模型;优化;最小二乘法;模型参数估计【作者】罗佑新【作者单位】湖南文理学院洞庭湖生态经济区建设与发展省级协同创新中心,湖南常德,415000【正文语种】中文【中图分类】N94灰色系统理论立足于数据很少的灰系统，将已知数据序列进行数据变换处理，建立独具特色的微分方程模型，充分发掘较少数据中的显信息和隐信息，进而从无序的数据中发现有序，推知其未来的发展规律[1−3]。
灰色GM(1,N)模型在经济中的预测与应用
1 绪论研究的背景灰色系统理论是我国闻名学者邓聚龙教授于1982年创建的(1), 灰色系统理论这一新兴理论刚一诞生，就受到国内外学术界和广大实际工作者的极大关注，很多闻名学者和专家给予充分确信和支持，许多中青年学者纷纷加入灰色系统理论研究行列，以极大的热情开展理论探讨及在不同领域中的应用研究工作。
目前，英、美、德、日、台湾、香港、联合国世界卫生组织(WHO)等国家、地域及国际组织有许多知名学者从事灰色系统的研究和应用;海内外许高校开设了灰色系统课程;国际、国内多种学术期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。
在灰色系统理论进展的同时，灰色系统理论的实际应用日趋普遍，应用领域不断拓展，前后在生命科学、环保、电力，经济、能源、交通、教育、金融等众多科学领域[2-7]，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题。
灰色系统理论通过20年的进展，其蓬勃生机和广漠进展前景正日趋普遍地为国际、国内各界所熟悉、所重视。
而灰色GM多维变量又是现代灰色系统理论的核心组成部份，它已成功地应用于经济生活、气象预报、人口预测、电力系统负荷预测等领域，并取得了可喜的成绩。
灰色模型理论应用于经济预测也已成为国内外专家学者研究的热点，最近几年来一些专家对灰色预测模型进行了改良，接踵显现了无偏GM（1，n）模型、动态多维GM（1,n）模型的应用。
关于本课题中的建模和预测，尽管有许多成功的实例，但也有很多误差较大的实例。
用于短时间预测时有较好的精度，但用于中长期预测时预测结果就存在较大的误差。
最近几年来很多学者提出对GM模型的改良与适用范围的研究，从不同的角度通过对背景值的改良来提高GM模型建模精度，通过优化灰导数白化值的方式改良了GM模型的建模精度。
本文将进一步研究了GM(1,N)模型及其精度，并作出预测和推行应用。
研究的目的在灰色系统理论进展及其实际应用日趋普遍、应用领域不断拓展同时，灰色GM（1,N）模型在经济社会领域中尤其特出，如在农业、工业中研究经济效益受各因素的阻碍预测继而减少经济损失等，有助于国家、国民收入的整体提高。
MGM_1_n_灰色模型及应用_翟军
( 2)
A=
a 1n a 2n a nn
B = ( b1 , b2 , … , bn ) 则 ( 2) 式可记为
dX ( 1) = A X ( 1) + B dt 上式的连续时间响应为 [ 2] X ( 1) ( t ) = eA t X ( 1) ( 0) + A - 1 ( e A t - I ) 其中 e At = I + A t +
T
( 5)
记 a i = ( a i1 , ai 2 , … , ai n , bi ) , i = 1, 2, … , n。则由最小二乘法得到 a i 的辩识值 a i a i1 a i2 ai = a in bi = ( L T L ) - 1 L T Y i i = 1, 2, … , n ( 6)
∞
( 3)
B
( 4)
A2 2 t + … 2! Ak k t k!
= I+
k= 1
为辩识参数 A 和 B , 将 ( 2) 离散化得到
n
x (i 0) ( k) =
j= 1
a ij ( 1) ( x j ( k ) + x (j 1) ( k - 1) ) + bi i = 1, 2, … , n ; k = 2, 3, … , m 2
…, …,
1 ( 1) ( x ( 2) + x (n1) ( 1) ) , 2 n 1 ( 1) ( x ( 3) + x (n1) ( 2) ) , 2 n 1 ( 1) ( x ( m ) + x (n 1) ( m-1) ) , 2 n
1 1
1 ( 1) 1 ( 1) ( x ( m ) + x (1 1) ( m 1) ) , ( x ( m ) + x (21) ( m -1) ) , 2 1 2 2 Y i = ( x (i 0) ( 2) , x (i 0) ( 3) , … , x (i 0) ( m ) ) T 则得 A 和 B 的辩识值 A 和 B a 11 a 12 … a 1n A = a 21 an 1 M G M ( 1, n ) 模型 的计算值为 X ( 1) ( k ) = e A ( k - 1) X
灰色GM(1,N)模型在海堤沉降预测中的应用
灰色GM（1，N）模型在海堤沉降预测中的应用摘要：本文以中化泉州中下游回填工程为例，采用灰色GM（1，N）模型对观测数据进行分析和预测，并通过MATLAB平台编程实现建模。
结果表明：灰色GM （1，N）组合模型能较好的对沉降监测数据进行预测，且具有良好的预报精度。
关键词：GM（1，N）模型；MATLAB；分析预测；建模1.引言灰色系统理论是上世纪八十年代由我国邓聚龙教授提出。
灰色系统分析的经典方法就是将系统的行为当作是随机变化的一个过程，使用概率统计的方法，从大量数据中找出统计规律，这种方法对于较大量的数据统计处理比较高效，但是对小量数据下的贫信息系统的分解分析会显得比较困难[1]。
在变形监测数据处理中，可对带有随机性的离散的变形监测数据进行“生成”处理，以做到增强规律性、弱化随机性的效果。
然后由微分方程建立数学模型，经过模型“逆生成”计算还原得到结果数据[2]。
2.灰色GM（1，N）模型的建立设某变形体有n个有联系的监测点，共获取m个周期的变形原始观测数据，则变形体的观测序列为：一次累加生成序列为：考虑n个点之间的关联，则建立n元一阶常微分方程组为：简化成矩阵形式：其中：由积分变换原理得，对公式（2）式两边左乘得：在区间[0，t]上积分，整理后有：为得到模型参数A 和B，对公式（1）进行离散化，可由最小二乘法得到估值[3]：其中：根据阵中即可得到A 和B 的辨识值：对于离散形式的模型，可化为[4]：；其中：累减还原后有当k<m 时，为模拟值；k=m 时，为滤液值；k>m 时，为预测值。
模型的平均拟合精度为[5]：其中：残差预测模型核心代码如下：（1）累加矩阵的生成（2）微分方程求解for i=1：n-1 Q=P'；W=（RR）'；P（i）=（X1（i+1）+X1（i））； B=[（-0.5）*Q W]；end Yn=X；Yn（1）=[]；for i=1：n-1 a0=0； c=[a b]'；a0=R（i+1）+a0； c=inv（B'*B）* B'* Yn'；RR（i）=a0； c=c'；a=c（1）；b=c（2）；End F（1）=X（1）；（3）累减生成预测数据 for k=1：n-1G（1）=F（1）； F（k+1）=（X1（1）-（b/a）for k=1：（n-1） *R（k+1））*exp（-a*k）+（b/a）*R（k+1）；G（k）=F（k+1）-F（k）； end3.GM（1，N）模型实例应用与分析本文根据湄洲湾南岸外走马埭垦区海堤监测项目，已知数据由福建省海事局提供，该数据采用坐标系统：1954年北京坐标系（中央子午线 L0=120°），高程系统：1985国家高程基准。
灰色模型介绍及应用
灰色理论基本知识概言有关名词概念建模机理灰色理论模型应用（1，1）模型的应用——污染物浓度问题GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目第十章灰色模型介绍及应用灰色理论基本知识概言客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。
对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。
本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。
灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。
信息不完全是“灰”的基本含义。
灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。
通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。
但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。
尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。
事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。
目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。
灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。
有关名词概念灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。
灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。
《灰色GM(1,1)模型的优化及其应用》范文
《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言随着科技的飞速发展，大数据的崛起，预测与决策分析变得尤为重要。
灰色预测模型，特别是灰色GM（1,1）模型，以其对数据要求低、操作简单、效果良好的特点，被广泛应用于社会经济各个领域。
然而，传统灰色GM（1,1）模型在某些复杂、高精度的应用场景中存在一定局限性。
本文旨在探讨灰色GM（1,1）模型的优化方法及其在各领域的应用。
二、灰色GM（1,1）模型概述灰色GM（1,1）模型是一种以微分方程为基础的灰色预测模型，通过对原始数据进行累加生成（AGO）和累减生成（IAGO），构造出微分方程的系数，从而进行预测。
该模型在处理小样本、不完全信息的数据时具有较好的预测效果。
三、灰色GM（1,1）模型的优化针对传统灰色GM（1,1）模型在处理复杂、高精度数据时可能出现的局限性，本文提出以下几种优化方法：（一）改进数据处理方式对原始数据进行更为细致的预处理和后处理，包括但不限于利用更加先进的数据分析工具进行数据的筛选和净化，以及对AGO和IAGO的处理方法进行改进。
（二）引入其他变量和参数通过引入其他相关变量和参数，丰富模型的输入信息，提高模型的预测精度。
例如，可以通过引入时间变量、季节因素等，对模型进行时间和季节性优化。
（三）结合其他预测模型将灰色GM（1,1）模型与其他预测模型进行结合，如与神经网络、支持向量机等相结合，形成混合预测模型，以提高模型的预测精度和稳定性。
四、灰色GM（1,1）模型的应用（一）经济领域应用灰色GM（1,1）模型在经济领域的应用广泛，如对股票价格、房地产价格、经济周期等进行预测。
通过优化后的灰色GM（1,1）模型，可以更准确地预测经济走势，为政策制定提供科学依据。
（二）农业领域应用在农业领域，灰色GM（1,1）模型可以用于预测农作物产量、病虫害发生情况等。
通过优化后的模型，可以更准确地预测农业生产情况，为农业生产提供科学指导。
（三）其他领域应用除了经济和农业领域，灰色GM（1,1）模型还可以应用于其他领域，如医疗、能源、交通等。
《灰色GM(1,1)模型的优化及其应用》范文
《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一摘要：本文以灰色GM（1,1）模型为基础，对其进行了深入的优化，并通过实际案例验证了其在实际应用中的有效性。
文章首先概述了灰色GM（1,1）模型及其应用领域，接着介绍了模型优化的具体步骤，并探讨了模型在各个领域的应用，最后对研究结果进行了总结与展望。
一、引言灰色系统理论是一种研究信息不完全、不精确的系统的理论。
GM（1,1）模型作为灰色系统理论中的一种预测模型，被广泛应用于各个领域。
然而，在实际应用中，GM（1,1）模型仍存在一些不足，如模型精度不高、预测能力有限等。
因此，对GM（1,1）模型进行优化，提高其预测精度和稳定性，具有重要的理论和实践意义。
二、灰色GM（1,1）模型概述灰色GM（1,1）模型是一种基于微分方程的预测模型，适用于小样本、不完全信息的数据预测。
该模型通过累加生成序列和紧邻均值生成序列，建立微分方程进行预测。
其基本思想是将无规律的原始数据序列转化为有规律的生成数据序列，进而进行预测。
三、GM（1,1）模型的优化针对GM（1,1）模型的不足，本文提出以下优化措施：1. 数据预处理：通过数据平滑、去噪等手段，提高原始数据的准确性。
2. 模型参数优化：采用最小二乘法、遗传算法等优化方法，对模型参数进行优化，提高模型的预测精度。
3. 模型检验与修正：通过残差检验、后验差等方法对模型进行检验，并根据检验结果对模型进行修正。
四、GM（1,1）模型的应用GM（1,1）模型在各个领域都有广泛的应用，如经济预测、农业预测、医学预测等。
本文以某地区经济增长预测为例，详细介绍了GM（1,1）模型在实践中的应用。
通过对该地区的历史经济数据进行建模和预测，验证了优化后的GM（1,1）模型的有效性和准确性。
五、案例分析以某地区经济增长预测为例，采用优化后的GM（1,1）模型进行预测。
首先，收集该地区的历史经济数据，并进行预处理。
然后，建立GM（1,1）模型，对数据进行建模和预测。
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2§ 3 灰色模型GM(1,N)及其应用
客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型。
建模的实质是建立微分方程的系数。
设有N个数列
X i(0)(X i(0)(1),X(0)(2), ,X i(0)(n)) i 1,2, ,N
对X i(0)做累加生成，得到生成数列
2 n
X i(1)(X i(0)(1), X i(0)(m), , X(0)(m))
m 1 m 1
(X i⑴(1), X i⑴(1) X i(0)(2), ,X i(1)(n 1) X i(0)(n)) i 1,2, ,N
我们将数列X i⑴的时刻k 1,2,小看作连续的变量t，而将数列X i(1)转而看成时间t的函
数X i(1)X i(1)(t)。
如果数列X21),X31), ,X N1)对X1(1)的变化率产生影响，则可建立白化式微分
方程
⑴
dX
1 (1) (1) (1) (1)
aX 1 b1 X 2 b2 X 3 b N 1X N( 1)
dt
这个微分方程模型记为GM( 1,N )。
方程(1)的参数列记为(a,b1,b2, b N 1)T，再设Y N(X1(0)(2),X1(0)(3), ,X；0)(n))T，将方程(1)按差分法离散，可得到线性方程组，形如
Y N B ?
按照最小二乘法，有
求出？后，微分方程(1)便确定了。
若n 1 N，则方程组(2)的方程个数少于未知数的个数，此时，B T B是奇异矩阵，我们(2)
(3)
? (B T B) 1B T Y N
其中，利用两点滑动平均的思想，最终可得矩阵
1 (1)
-(X1( )(1) 2X1(1)(2))(1)
X 2(2)X N1)(2)
1 (1)
B 2(X；)⑵X1(1)(3))⑴
X
2
(3)X N1)(3)
T(X1(1)( n 1)X1(1)( n))(1)
X
2(n)X
N1)( n)
的元素实际上是各子因素无法利用(3)式得到？，我们称这时的信息为贫信息。
考虑到向量
对母因素影响大小的反映，因此，引入矩阵M对T做加权极小化。
对未来发展趋势减弱的子
因素加以较大的权，对有发展潜力的子因素加以较小的权，这样做可把未来的可能情形也考虑进来，使之更好地反映未来的实际情况。
具体地，令
M diag( 1, 2, , N)
其中，若X i对X i的影响有减弱的趋势，贝y i相应较大；反之，若X i对X i的影响有增加的趋势,
则i相应较小。
此时，计算向量
? M 1B T(BM 1B T)1Y N
年度19811982198319841985
工业总产值X 13101333656373905153165231
发电量X 21712817735172271863220343
未来受教育职工X 31074812213138531519617979
物耗X 41786519549215842934936117
技术水平X 50.9680.9850.945 1.091 1.183
滞销积累量X62086522834264402857333588
待业人数X 71514916247202263145934603
由于本问题的未知数有7个，而i 1,2,3,4,5,故不能按式(3)建立GM (1,7)模型，而必须按贫信息方法(4)式估计？。
按这种方法最终得到GM (1,7)模型(过程略)为
(1)
—10.66XJ 246X)1)0.91X3°2.5XJ 3.6 10 5x5°2.08X『8.5 1O2x7°
dt
从上式易知，X2、X4前的系数大，表明发电量和物耗对系统影响大；X3、X6是阻碍系统发
展的因素；X5、X 7无论是阻碍还是促进系统的发展，其作用皆不明显。