高三一轮复习：函数的单调性

高三一轮复习：函数的单调性
高三一轮复习：函数的单调性教学设计
一、【教学目标】
【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
二、【教学重点】
函数单调性的概念、判断、证明及应用．
函数的单调性是函数的最重要的性质之一，它在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，三、【教学难点】
归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义或导数证明函数的单调性．由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下
（1）函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及其他函数单调性的理论基础。

（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。

（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。

在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；利用函数图象来研究
函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。

因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。

它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。

四、【学情分析】
从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等简单函数，能画出这些简单函数的图像，从图像的直观变化，进一步巩固函数的单调性。

从学生现有的学习能力看，通过初中、高中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。

函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

五、【教学方法】教师是教学的主体、学生是学习的主体，通过双主体的教学模式方法：
启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。

探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探；激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。

合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。

六、【教学手段】计算机、投影仪．
七、【教学过程】
（一）基础知识梳理:
1.函数的单调性定义：
2.单调区间：
3.一些基本函数的单调性 （1）一次函数b kx y += （2）反比例函数x k y = （3）二次函数c
bx ax y ++=2
（4）指数函数x a
y =()1,0≠>a a
（5）对数函数x y a
log
=()
1,0≠>a a
（二）基础能力强化：
1.下列函数中，在）
，（0∞-内是减函数的是（ ） A.2
1x y -= B.x x y 22
+= C.2
1x y = D.1-=x x y
2.x
x
x f -=1)(在（ ） A.），（），（∞+∞-11Y 上是增函数 B.），（），（∞+∞-11Y 是减函数 C.），）和（，（∞+∞-11是增函数 D.），）和（，（∞+∞-11是减函数
3.函数3)1(22
+--=x a x y 在区间(]1，∞-内递减，在）
，（∞+1内递增，则a 的值是（ ）
A.1
B.3
C.5
D.-1
4.函数54)(2+-=mx x x f 在区间[)∞+-，2上是增函数，在区
间(]2-∞-，
上是减函数，则)1(f =（ ） A.-7 B.1 C.17 D.25
5.函数2)1(2)(2
+-+=x a x x f 在区间4，（∞-]上是减函数，
那
么实数a 的取值范围是（ ）
3-≤a B.3-≥a C.5≤a D.3≥a
6.设函数b x a x f +-=）（12)(是R 上的增函数，则有（ ）
A.2
1>a B.2
1
≤
a
C.21->a D .2
1
<a 7.已知函数
⎩⎨
⎧≥+-<=)
0(4)3()0()(x a x a x a x f x ，满足对任意2
1
x x
≠，
都有0)
()(2
1
2
1
<--x
x x f x f 成立，则a 的取值范围是（ ） A.⎥⎦
⎤ ⎝
⎛41,0 B.）（,1
0 C.⎪⎭
⎫
⎢⎣
⎡14
1， D.）（3,0
（三）课堂互动讲练：
考点一、函数单调性的证明方法：
（1）定义法： （2）求导法：
（3）定义的两种等价形式： 例1:证明：函数)(x f =x x -+12
在定义域上是减函数.
例2：求函数()m x x x x f ++=9-6-2
3
的单调区间.
例3：试讨论函数)(x f =)0(>+a x
a x 的单调性.
考点二、复合函数的单调性：
例1：求下列函数的单调区间，并指出其增减性。

（1）)4(log 2
2
1x x y -= （2）3
22
1
2-+=x x y
练习：
1.函数3
22)2
1(-+=x x y 的单调递减区间是 ；函数)
23(log
23
1x x y --=的单调递增区间是
2.已知)2(log ax y a
-=在[],10上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A.()1,0
B.()1,2
C.()2,0
D.[)∞+，
2
考点三、函数单调性的应用：
1.函数)(x f 在）
，（∞+∞-上是增函数，且a 为实数，则
有（ ）
A.)2()(a f a f <
B.)()(2
a f a f < C.)()(2
a f a a f <- D.)()1(2
a f a f >+
2.已知函数)0(42)(2
>++=a ax ax x f ，若0,2
121=+<x x x x ，则（ ）
A.)()(21x f x f >
B.)()(2
1x f x f =
C.)()(21x f x f <
D.)()(2
1x f x f 与的大小不能确定
3.已知函数)(x f y =在[)∞+，
0上是减函数，试比较)1()4
3
(2+-a a f f 与的大小。

4.如果函数c bx x x f ++=2
)(，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，试比较)4(),2(),1(f f f 的大小。

5.若)(x f 是定义在）（,11-上的减函数，解不等式0)1()1(2
<---a f a f .
6.定义正实数集上的函数)(x f 满足以下三条：
（1）1)4(=f ；（2）)()()(y f x f xy f +=；（3）y x >时，
)(x f )(y f >. 求满足2)6()(≤-+a f a f 的实数a 的取值范围。

7.函数)(x f 对任意的R b a ∈,，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ， 并且当0>x 时，1)(>x f （1）求证：)(x f 是R 上的增函数
（2）若5)4(=f ，解不等式3)23(2
<--m m f 。