湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习综合运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决

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高三数学第二轮专题讲座复习数形结合思想试题

卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习：数形结合思想高考要求数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数〞与“形〞结合，互相浸透，把代数式的准确刻划与几何图形的直观描绘相结合，使代数问题、几何问题互相转化，使抽象思维和形象思维有机结合应用数形结合思想，就是充分考察数学问题的条件和结论之间的内在联络，既分析其代数意义又提醒其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决运用这一数学思想，要纯熟掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征重难点归纳应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化〔1〕集合的运算及韦恩图〔2〕函数及其图象〔3〕数列通项及求和公式的函数特征及函数图象〔4〕方程〔多指二元方程〕及方程的曲线以形助数常用的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的构造特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合典型题例示范讲解例1设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A}，假设C⊆B，务实数a 的取值范围此题借助数形结合，考察有关集合关系运算的题目知识依托解决此题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C进而将C⊆B用不等式这一数学语言加以转化错解分析考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论巧妙观察图象将是上策不能漏掉a＜–2这一种特殊情形技巧与方法解决集合问题首先看清元素终究是什么，然后再把集合语言“翻译〞为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解∵y=2x+3在［–2,a］上是增函数Array∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z =x 2的图象，该函数定义域右端点x =a 有三种不同的位置情况如下①当–2≤a ≤0时，a 2≤z ≤4即C ={z ｜a 2≤z ≤4}要使C ⊆B ,必须且只须2a +3≥4得a ≥21与–2≤a ＜0矛盾 ②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4即C ={z ｜0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图可知必须且只需⎩⎨⎧≤≤≥+20432a a 解得21≤a ≤2③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ={z ｜0≤z ≤a 2}，要使C ⊆B 必须且只需⎩⎨⎧>+≤2322a a a 解得2＜a ≤3 ④当a ＜–2时，A =∅此时B =C =∅，那么C ⊆B 成立综上所述，a 的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］例2a cos α+b sin α=c ,a cos β+b sin β=c (ab ≠0,α–β≠k π,k ∈Z )求证22222cosba c +=-βα 此题主要考察数学代数式几何意义的转换才能知识依托解决此题的关键在于由条件式的构造联想到直线方程进而由A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上错解分析考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二技巧与方法擅长发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明:在平面直角坐标系中，点A 〔cos α,sin α〕与点B 〔cos β, sin β〕是直线l :ax +by =c 与单位圆x 2+y 2=1的两个交点如图从而｜AB ｜2=(cos α–cos β)2+(sin α–sin β)2=2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线l 的间隔22||ba c d+=由平面几何知识知｜OA ｜2–(21｜AB ｜)2=d 2即 b a c d +==---2224)cos(221βα∴22222cos b a c +=-βα例3曲线y =1+24x -(–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围解析方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过〔2，4〕的直线答案〔43,125］例4设f (x )=x 2–2ax +2,当x ∈［–1,+∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围解法一由f (x )＞a ，在［–1,+∞)上恒成立⇔x 2–2ax +2–a ＞0在［–1,+∞)上恒成立考察函数g (x )=x 2–2ax +2–a 的图象在［–1,+∞］时位于x 轴上方如图两种情况不等式的成立条件是(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)(2)⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]，综上所述a ∈(–3,1)解法二由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 值〔即直线的斜率〕分别为1，–3，故直线l 对应的a ∈(–3,1)学生稳固练习1方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是() A 2B 3C 4D 以上均不对2f (x )=(x –a )(x –b )–2〔其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根〔α＜β)，那么实数a 、b 、α、β的大小关系为()A α＜a ＜b ＜βB α＜a ＜β＜bC a ＜α＜b ＜βD a ＜α＜β＜b3(4cos θ+3–2t )2+(3sin θ–1+2t )2，(θ、t 为参数)的最大值是4集合A ={x ｜5–x ≥)1(2-x },B ={x ｜x 2–ax ≤x –a }，当AB 时，那么a 的取值范围是M 12-2oyxa-1o yxa -1oyx-12-1o yx5设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在〔0,π〕内有相异解α、β〔1〕求a 的取值范围；〔2〕求tan(α+β)的值6设A ={(x ,y )｜y =222x a -,a ＞0}，B ={(x ,y )｜(x –1)2+(y –3)2=a 2,a ＞0},且A ∩B ≠∅，求a的最大值与最小值参考答案1解析在同一坐标系内作出y 1=sin(x –4π)与y 2=41x 的图象如图答案B2解析a ,b 是方程g (x )=(x –a )(x –b )=0的两根，在同一坐标系中作出函数f (x )、g (x )的图象如下列图答案A3解析联想到间隔公式，两点坐标为A (4cos θ,3sin θ),B (2t –3,1–2t )点A 的几何图形是椭圆，点B表示直线考虑用点到直线的间隔公式求解答案227 4解析解得A ={x ｜x ≥9或者x ≤3}，B ={x ｜(x –a )(x –1)≤0}，画数轴可得答a ＞35解y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a≠23时，曲线与直线有两个交点，故a ∈(–2,–3)∪(–3,2)②把sin α+3cos α=–a ,sin β+3cos β=–a 相减得tan332=+βα，故tan(α+β)=36解∵集合A 中的元素构成的图形是以原点O 为圆心，2a 为半径的半圆；集合B 中的元素是以点O ′(1,3)为圆心，a 为半径的圆如下列图∵A ∩B ≠∅，∴半圆O 和圆O ′有公一共点显然当半圆O 和圆O ′外切时，a 最小2a +a =｜OO ′｜=2,∴amin=22–2当半圆O 与圆O ′内切时，半圆O 的半径最大，即2a 最大此时2a–a=｜OO′｜=2,∴a max=22+2。

高三数学第二轮专题讲座复习数学归纳法的解题应用试题

卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习：数学归纳法的解题应用高考要求数学归纳法是高考考察的重点内容之一类比与猜想是应用数学归纳法所表达的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法重难点归纳(1)数学归纳法的根本形式设P (n )是关于自然数n1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，那么P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立(2)数学归纳法的应用详细常用数学归纳法证明恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等典型题例示范讲解例1试证明a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有a n +c n ＞2b n 此题主要考察数学归纳法证明不等式知识依托等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤错解分析应分别证明不等式对等比数列或者等差数列均成立，不应只证明一种情况技巧与方法此题中使用到结论(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a 证明(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =qb ,c =bq (q ＞0且q ≠1)∴a n +c n =n nq b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，那么2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2(2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2(2k k k c a c a +>+ 那么当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41(a k +c k )(a +c )＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1 也就是说，等式对n =k +1也成立由①②知，a n +c n ＞2b n对一切自然数n 均成立例2在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列 (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{a n }所有项的和错解分析(2)中，S k =－321-k 应舍去，这一点往往容易被无视技巧与方法求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式解∵a n ,S n ,S n －21成等比数列，∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2)(*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3 代入(*)式得a 3=－152 同理可得a 4=－352,由此可推出a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21) ∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21) 由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立 (3)由(2)得数列前n 项和S n =121-n ,∴S =lim ∞→n S n =0例3是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ) 解假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a c b a c b a c b a 于是，对n =1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10) 那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2 =12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24) =12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说，等式对n =k +1也成立综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立学生稳固练习 1f (n )=(2n +7)·3n+9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，那么最大的m 的值是()A 30B 26C 36D 6 2用数学归纳法证明3k≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证() A n =1 B n =2 C n =3 D n =4 3观察以下式子474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…那么可归纳出________ 4a 1=21,a n +1=33+n n a a ,那么a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为________，由此猜想a n =________ 5用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N * 6假设n 为大于1的自然数，求证2413212111>+++++n n n 参考答案1解析∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除证明n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时，f (k )=(2k +7)·3k+9能被36整除，那么n =k +1时，f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1－(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3 =(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2)⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36答案C2解析由题意知n ≥3，∴应验证n =3答案C3解析11112)11(112321122++⨯<++<+即12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即 112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *) 112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *) 73:答案、83、93、10353=n 5证明(1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，那么当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除 ∴当n =k +1时也成立由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除 6证明(1)当n =2时，24131********>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k。

高三数学第二轮专题讲座复习求解函数解析式的几种常用方法试题

卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法高考要求求解函数解析式是高考重点考察内容之一，需引起重视本节主要帮助考生在深入理解函数定义的根底上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成才能，并培养考生的创新才能和解决实际问题的才能重难点归纳求解函数解析式的几种常用方法主要有1待定系数法，假设函数解析式的构造时，用待定系数法；2换元法或者配凑法，复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3消参法，假设抽象的函数表达式，那么用解方程组消参的方法求解f (x );另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法典型题例示范讲解例1(1)函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a --(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式(2)二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式此题主要考察函数概念中的三要素定义域、值域和对应法那么，以及计算才能和综合运用知识的才能知识依托利用函数根底知识，特别是对“f 〞的理解，用好等价转化，注意定义域错解分析此题对思维才能要求较高，对定义域的考察、等价转化易出错技巧与方法(1)用换元法；(2)用待定系数法解(1)令t=log a x (a >1,t >0;0<a <1,t <0),那么x =a t因此f (t )=12-a a (a t －a －t) ∴f (x )=12-a a (a x －a －x)(a >1,x >0;0<a <1,x <0)(2)由f (1)=a +b +c ,f (－1)=a －b +c ,f (0)=c得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a 并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或者－1，所以所求函数为f (x )=2x 2－1或者f (x )=－2x 2+1或者f (x )=－x 2－x +1或者f (x )=x 2－x －1或者f (x )=－x 2+x +1或者f (x )=x 2+x －1例2设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一局部是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象此题主要考察函数根本知识、抛物线、射线的根本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维才能因此，分段函数是今后高考的热点题型知识依托函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线错解分析此题对思维才能要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱技巧与方法合理进展分类，并运用待定系数法求函数表达式解(1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b∵射线过点(－2，0)∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2(2)当－1<x <1时，设f (x )=ax 2+2∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ·(－1)2+2,即a =－1∴f (x )=－x 2+2(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2综上可知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成例3f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1)解法一(换元法〕∵f (2－cos x )=cos2x －cos x =2cos 2x －cos x －1令u =2－cos x (1≤u ≤3),那么cos x =2－u∴f (2－cos x )=f (u )=2(2－u )2－(2－u )－1=2u 2－7u +5(1≤u ≤3)∴f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +4(2≤x ≤4)解法二(配凑法〕f (2－cos x )=2cos 2x －cos x －1=2(2－cos x )2－7(2－cos x 〕+5∴f (x )=2x 2－7x －5(1≤x ≤3),即f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +14(2≤x ≤4)学生稳固练习1假设函数f (x )=34 x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,那么m 等于() A 3B 23C －23 D －32设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,那么x >1时f (x )等于()A f (x )=(x +3)2－1B f (x )=(x －3)2－1C f (x )=(x －3)2+1D f (x )=(x －1)2－13f (x )+2f (x1)=3x ,求f (x )的解析式为_________ 4f (x )=ax 2+bx +c ,假设f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,那么f (x )=_________5设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式6设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，f (x )=－2(x－3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式假设矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值7动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示PA 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图8函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数获得最小值，最小值为－5(1)证明f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式； (3)试求y =f (x )在［4，9］上的解析式参考答案1解析∵f (x )=34-x mx ∴f ［f (x )］=334434--⋅-⋅x mx x mxm =x ,整理比较系数得m =3答案A 2解析利用数形结合，x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1的对称轴为x =－1,最小值为－1，又y =f (x )关于x =1对称，故在x >1上，f (x )的对称轴为x =3且最小值为－1答案B3解析由f (x )+2f (x 1)=3x 知f (x 1)+2f (x )=3x1 由上面两式联立消去f (x 1)可得f (x )=x 2－x 答案f (x )=x2－x4解析∵f (x )=ax 2+bx +c ,f (0)=0,可知c =0又f (x +1)=f (x )+x +1,∴a (x +1)2+b (x +1)+0=ax 2+bx +x +1,即(2a +b 〕x +a +b =bx +x +1故2a +b =b +1且a +b =1,解得a =21,b =21,∴f (x )=21x 2+21x 答案21x 2+21x 5解f (x )=ax 2+bx +c ,然后找关于a 、b 、c 的方程组求解，f (x )=178722++x x 6解设x ∈［1,2］,那么4－x ∈［2,3］,∵f (x )是偶函数，∴f (x )=f (－x ),又因为4是f (x )的周期，∴f (x )=f (－x )=f (4－x )=－2(x －1)2+4(2)设x ∈［0，1］，那么2≤x +2≤3,f (x )=f (x +2)=－2(x －1)2+4,又由(1〕可知x ∈［0,2］时，f (x )=－2(x －1)2+4,设A 、B 坐标分别为(1－t ,0〕,(1+t ,0)(0＜t ≤1),那么|AB |=2t ,|AD |=－2t 2+4,S 矩形=2t (－2t 2+4)=4t (2－t 2),令S 矩=S ，∴82S =2t 2(2－t 2)·(2－t 2)≤(3222222t t t -+-+)3=2764, 当且仅当2t 2=2－t 2,即t =36时取等号∴S 2≤27864⨯即S ≤9616,∴S max =96167解(1)如原题图，当P 在AB 上运动时，PA =x ;当P 点在BC 上运动时，由Rt △ABD可得PA =2)1(1-+x ;当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得PA =2)3(1x -+;当P 点在DA 上运动时，PA =4－x ,故f (x )的表达式为f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤)43( 4)32( 106)21( 22)10( 22x x x x x x x x x x(2)由于P 点在折线ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P 点的位置进展分类求解如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0；当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S △ABP =21AB ·BP =21(x －1〕；当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △ABP =21·1·1=21；当P 在DA 上时，即3＜x ≤4时，S △ABP =21(4－x )故g (x )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<≤<-≤≤)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10( 0x x x x x x8(1)证明∵y =f (x )是以5为周期的周期函数，1124321oyxDPCDPCA∴f (4)=f (4－5)=f (－1),又y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0(2)解当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2)2－5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0得a (1－2)2－5+a (4－2)2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2)2－5(1≤x ≤4)(3)解∵y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)=－f (－0),∴f (0)=0, 又y =f (x )(0≤x ≤1)是一次函数， ∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1－2)2－5=－3,f (1)=k ·1=k ,∴k =－3∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x ,当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15, 当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2［(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x。

高三数学第二轮专题讲座复习直线方程及其应用试题

卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习：直线方程及其应用高考要求直线是最简单的几何图形，是解析几何最根底的局部，本章的根本概念；根本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的断定都是解析几何重要的根底内容应到达纯熟掌握、灵敏运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的重难点归纳1对直线方程中的根本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与间隔有关的问题等2对称问题是直线方程的一个重要应用，里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或者点关于直线的对称中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具3线性规划是直线方程的又一应用线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域求线性目的函数z=ax+by的最大值或者最小值时，设t=ax+by,那么此直线往右(或者左)平移时，t值随之增大(或者减小)，要会在可行域中确定最优解4由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进展，考察学生的综合才能及创新才能典型题例示范讲解例1某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a＞b)问学生间隔镜框下缘多远看画的效果最正确？它不仅考察了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考察了把实际问题转化为数学问题的才能错解分析一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tan ACB 的最大值假设坐标系选择不当，或者选择求sin ACB 的最大值都将使问题变得复杂起来技巧与方法ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值解AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最正确，应使∠ACB 获得最大值由三角函数的定义知、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、(b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为k AC =tan xCA =x a a -ααcos sin ,.cos sin tan x b b xCB k BC -==αα于是tan ACB =AC BC AC BC k k k k ⋅+-1ααααcos )(sin )(cos )(sin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x xab b a xx b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,那么tan ACB ≤ααcos )(2sin )(b a ab b a +-⋅-,当且仅当xab=x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0), 因此，学生间隔镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最正确例2预算用2000元购置单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的15倍，问桌、椅各买多少才行？此题主要考察找出约束条件与目的函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解知识依托约束条件，目的函数，可行域，最优解错解分析解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，假设从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设技巧与方法先设出桌、椅的变数后，目的函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解解x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x xy x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得∴A 点的坐标为(7200，7200)由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得∴B 点的坐标为(25，275)所以满足约束条件的可行域是以A (7200，7200)，B (25，275)，O (0，0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目的函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，275)，但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37故有买桌子25张，椅子37张是最好选择例3抛物线有光学性质由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y 2=2px (p ＞0)一光源在点M (441,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l 2x －4y －17=0上的点N ，再折射后又射回点M (如以下图所示)(1)设P 、Q 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，证明y 1·y 2=－p 2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？假设存在，恳求出此点的坐标；假设不存在，请说明理由对称问题是直线方程的又一个重要应用此题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考察了学生理解问题、分析问题、解决问题的才能知识依托韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程错解分析在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ 的斜率不存在时技巧与方法(2)、第(3)问的关键(1)证明由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F (2p，0)，设直线PQ 的方程为y =k (x －2p )①由①式得x =k 1y +2p,将其代入抛物线方程y 2=2px 中，整理，得y 2－k p 2y －p 2=0,由韦达定理，y 1y 2=－p 2当直线PQ 的斜率角为90°时，将x =2p 代入抛物线方程，得y =±p ,同样得到y 1·y 2=－p 2(2)解因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M (441，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x 直线QN 的方程为y =－1,Q 点的纵坐标y 2=－1，由题设P 点的纵坐标y 1=4，且由(1)知y 1·y 2=－p 2,那么4·(－1)=－p 2,得p =2,故所求抛物线方程为y 2=4x(3)解将y =4代入y 2=4x ,得x =4，故P 点坐标为(4，4)将y =－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x =213,故N 点坐标为(213，－1) 由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x +y －12=0,设M 点关于直线NP 的对称点M 1(x 1,y 1) 又M 1(41,－1)的坐标是抛物线方程y 2=4x 的解，故抛物线上存在一点(41，－1)与点M 关于直线PN 对称例3|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证abc +2＞a +b +c证明设线段的方程为y =f (x )=(bc －1)x +2－b －c ,其中|b |＜1,|c |＜1,|x |＜1,且－1＜a ＜1∵f (－1)=1－bc +2－b －c =(1－bc )+(1－b )+(1－c )＞0f (1)=bc －1+2－b －c =(1－b )(1－c )＞0∴线段y =(bc －1)x +2－b －c (－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1时，恒有abc +2＞a +b +c学生稳固练习1设M =120110,1101102002200120012000++=++N ，那么M 与N 的大小关系为() A M ＞NB M =NC M ＜ND 无法判断2三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为()A 15B 30C 36D 以上都不对3直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的间隔之差最大，那么P 点坐标是_________4自点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0相切，那么光线l 所在直线方程为_________5函数f (θ)=2cos 1sin --θθ的最大值为_________，最小值为_________6设不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，那么x 的范围为_________参考答案:1解析将问题转化为比较A (－1，－1〕与B (102021，102000〕及C (102021，102021〕连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y =101x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M ＞N 答案2解析设三角形的另外两边长为x ,y ,那么⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<≤<11110110y x y x点(x ,y 〕应在如右图所示区域内当x =1时，y =11；当x =2时，y =10,11；当x =3时，y =9,10,11；当x =4时，y =8,9,10,11;当x =5时，y =7,8,9,10,11以上一共有15个，x ,y 对调又有15个，再加上(6，6〕，(7，7〕，(8，8〕，(9，9〕，(10，10〕、(11，11〕六组，所以一共有36个答案C3解析找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点答案P (5，6〕4解析光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切答案3x +4y －3=0或者4x +3y +3=05解析f (θ)=2cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率答案346解析原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,那么f (－2)＜0,且f (2)＜0答案213217+<<-x。

高三数学第二轮专题讲座复习探索性问题试题

卜人入州八九几市潮王学校望城区白箬高三数学第二轮专题讲座复习：探究性问题高考要求重难点归纳假设把一个数学问题看作是由条件、根据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探究性问题条件不完备和结论不确定是探究性问题的根本特征解决探究性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法〔1〕直接求解；〔2〕观察——猜测——证明；〔3〕赋值推断；〔4〕数形结合；〔5〕联想类比；〔6〕特殊——一般——特殊典型题例示范讲解例1函数1)(2++=ax c bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数〕是奇函数，f (x )有最大值21，且f (1)＞52〔1〕求函数f (x )的解析式；〔2〕是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点(1,0)对称，假设存在，求出直线l 的方程，假设不存在，说明理由此题考察待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的才能知识依托函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题错解分析不能把a 与b 间的等量关系与不等关系联立求b ；无视b 为自然数而导致求不出b 的详细值；P 、Q 两点的坐标关系列不出解技巧与方法充分利用题设条件是解题关键此题是存在型探究题目，注意在假设存在的条件下推理创新，假设由此导出矛盾，那么否认假设，否那么，给出肯定的结论，并加以论证解〔1〕∵f (x )是奇函数∴f (–x )=–f (x )，即1122++-=++-ax cbx ax c bx ∴–bx +c =–bx –c ∴c =0∴f (x )=12+ax bx由a ＞0，b 是自然数得当x ≤0时，f (x )≤0，当x ＞0时，f (x )＞0∴f (x )的最大值在x ＞0时获得∴x ＞0时，22111)(babx x b a x f ≤+=当且仅当bxx b a 1=即a x 1=时，f (x )有最大值21212=b a∴2b a =1,∴a =b 2①又f (1)＞52，∴1+a b ＞52,∴5b ＞2a +2② 把①代入②得2b 2–5b +2＜0解得21＜b ＜2又b ∈N ,∴b =1,a =1,∴f (x )=12+x x〔2〕设存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于点〔1，0〕对称，P (x 0,y 0)那么Q 〔2–x 0,–y 0)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+02000201)2(21y x x y x x ,消去y 0，得x02–2x 0–1=0解之，得x 0=1±2,∴P 点坐标为(42,21+)或者(42,21--) 进而相应Q 点坐标为Q 〔42,21--〕或者Q (42,21+) 过P 、Q 的直线l 的方程x –4y –1=0即为所求例2如图，三条直线a 、b 、c 两两平行，直线a 、b 间的间隔为p ，直线b 、c 间的间隔为2p，A 、B 为直线a 上两定点，且｜AB ｜=2p ，MN 是在直线b 上滑动的长度为2p 的线段〔1〕建立适当的平面直角坐标系，求△AMN 的外心C 的轨迹E ；〔2〕接上问，当△AMN 的外心C 在E 上什么位置时，d +｜BC ｜最小，最小值是多少？〔其中d 是外心C 到直线c 的间隔〕此题考察轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探究问题、综合解题的才能知识依托求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程错解分析①建立恰当的直角坐标系是解决此题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C 点位置需要一番分析技巧与方法C 所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探究型题目解1〕以直线b 为x 轴，以过A 点且与b 直线垂直的直线为y 轴建立直角坐标系设△AMN 的外心为C (x ,y )，那么有A (0,p )、M 〔x –p ,0)，N (x +p ,0)，由题意，有｜CA ｜=｜CM ｜∴2222)()(y p x x p y x ++-=-+,化简，得x 2=2py它是以原点为顶点，y 轴为对称轴，开口向上的抛物线〔2〕由〔1〕得，直线c 恰为轨迹E 的准线由抛物线的定义知d =｜CF ｜，其中F 〔0,2p 〕是抛物线的焦点∴d +｜BC ｜=｜CF ｜+｜BC ｜由两点间直线段最短知，线段BF 与轨迹E 的交点即为所求的点直线BF的方程为p x y 2141+=联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=pyx p x y 221412得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.16179)171(41p y p x 即C 点坐标为(p p 16179,4171++) 此时d +｜BC ｜的最小值为｜BF ｜=p 217 例3三个向量a 、b 、c ，其中每两个之间的夹角为120°，假设｜a ｜=3,｜b ｜=2,｜c ｜=1，那么a 用b 、c 表示为解析如图–a 与b ，c 的夹角为60°,且|a |=|–a |=3由平行四边形关系可得–a =3c +23b ,∴a =–3c –23b 答案a =–3c –23b 例4假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p ，且各引擎是否有故障是HY 的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，那么对于多大的p 而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为平安？2解析飞机成功飞行的概率分别为4引擎飞机为4222443342224)1(4)1(6C )1(C )1(C P P P P P P P P P P +-+-=+-+-2引擎飞机为222212)1(2C )1(C PP P P P P +-=+-⋅要使4引擎飞机比2引擎飞机平安，那么有6P 2〔1–P 〕2+4P 2〔1–P 〕+P 4≥2P (1–P )+P 2,解得P ≥32 即当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机平安学生稳固练习1直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β)①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β④l ⊥m ⇒α∥β A ①与②B ①与③C ②与④D ③与④2现有邮资为0元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为0元，那么最少要购置邮票()A 7张B 8张C 9张D 10张3观察sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°=43,sin 215°+cos 245°+sin15°·cos45°=43，写出一个与以上两式规律一样的一个等式4在四棱锥P —ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，问底面的边BC 上是否存在点E〔1〕使∠PED =90°；〔2〕使∠PED 为锐角证明你的结论5非零复数z 1,z 2满足｜z 1｜=a ,｜z 2｜=b ,｜z 1+z 2｜=c 〔a 、b 、c 均大于零〕，问是否根据上述条件求出12z z ？请说明理由参考答案1解析①l ⊥α且α∥β⇒l ⊥β,m ⊂β⇒l ⊥m②α⊥β且l ⊥α⇒l ∥β,但不能推出l ∥m③l ∥m ,l ⊥α⇒m ⊥α,由m ⊂β⇒α⊥β④l ⊥m ,不能推出α∥β答案B2解析故8张答案B3解析由50°–20°=(45°–15°)=30°可得sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=43 答案sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=434解(1)当AB ≤21AD 时，边BC 上存在点E ，使∠PED =90°;当AB >21AD 时，使∠PED =90°的点E 不存在〔只须以AD 为直径作圆看该圆是否与BC 边有无交点〕〔证略〕〔2〕边BC 上总存在一点，使∠PED 为锐角，点B 就是其中一点连接BD ，作AF ⊥BD ，垂足为F ，连PF ，∵PA ⊥面ABCD ，∴PF ⊥BD ，又△ABD 为直角三角形，∴F 点在BD 上，∴∠PBF 是锐角同理，点C 也是其中一点5解∵|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(1z +2z )=|z 1|2+|z 2|2+(z 12z +1z z 2)∴c 2=a 2+b 2+(z 12z +1z z 2)即12z +1z z 2=c 2–a 2–b 2∵z 1≠0,z 2≠0，∴z 12z +1z ·z 2=12112221z z z z z z z z =|z 2|2(21z z )+|z 1|2(12z z ) 即有b 2(21z z )+a 2(12z z )=z 1z 2+z 1z 2∴b 2(21z z )+a 2(12z z )=c 2–a 2–b 2∴a 2(12z z )2+(a 2+b 2–c 2)(12z z )+b 2=0这是关于12z z 的一元二次方程，解此方程即得12z z 的值。

湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习极限的概念及其运算

湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习：极限的概念及其运算高考要求极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题重难点归纳1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限2 运算法则中各个极限都应存在都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如 )1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110 典型题例示范讲解例1已知lim∞→x 12+-x x －a －b =0,确定a 与b 的值命题意图在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依因而本题重点考查考生的这种能力也就是本知识的系统掌握能力知识依托解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法错解分析本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错技巧与方法有理化处理解 bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在，则1－a 2=0,当1－a 2=0时，1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→aab a ab ax b xx x b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a例2设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－11求a n 和a n －1的关系式；2写出用n 和b 表示a n 的表达式；3当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n命题意图历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力错解分析本题难点是第2中由1中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性技巧与方法抓住第一步的递推关系式，去寻找规律解 1a n =S n －S n －1=－ba n －a n －1－1)1(1)1(1-+++n n b b=－ba n －a n －1n b b )1(+ n ≥2解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b n ≥2 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b ba b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时例3求1122lim +-∞→++n n n n n aa111121()21:22,;lim lim 22()n nn n n n n n a a a a a a a a a--+→∞→∞++><-==++解当或时 111()212222,;lim lim 242()2n n n n n n n n a a a a a a -+→∞→∞++-<<==++当时 1112123212,;lim lim 262n n n n n n n n a a a --+-→∞→∞+⋅===+⋅当时 2,a =-当时11111111112221()2(2)22232622(2)22323()2222n n n n n n n n n n nn n n nn n n n n n a a n ----+++--+⎧-+-==-⎪+-+⎪+⋅==⎨++-+⋅⎪==-⎪⎩--为奇数为偶数学生巩固练习1 a n 是1n 展开式中含2的项的系数，则)111(lim 21nn a a a +++∞→ 等于 A 2 B 0 C 1D －12 若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则nn c a c a )(lim 22++∞→的值是A 0B 1C 0或1D 不存在3 )(lim x x x x n -+++∞→ =_________4 若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________5 在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n 1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{g a n 1－21a n }是公差为－1的等差数列 1求数列{a n }的通项公式；2S n =a 1a 2…a n n ≥1,求lim ∞→n S n参考答案 1 解析 )111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==， 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n 答案 A2 解析 ⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得答案 C 3 解析 xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案 21 4 解析原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a ∴a ·b =82答案 82 5 解 1由{a n 1－101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031,∴a n 1－101a n =a 2－101a 121n -1=10031－53×10121n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n 1=101a n 121+n ①又由数列{g a n 1－21a n }是公差为－1的等差数列，且首项g a 2－21a 1=g 10031－21×53=－2,∴其通项g a n 1－21a n =－2n －1－1=－n 1,∴a n 1－21a n =10－n 1,即a n 1=21a n 10－n 1 ②①②联立解得a n =25［21n 1－101n 1］2S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=nk nk k k nk k a 911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S。

湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习数列的通项公式与求和的常用方法

湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习：数列的通项公式与求和的常用方法高考要求数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法重难点归纳1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性2 数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式 a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3 求通项常用方法①作新数列法作等差数列与等比数列 ②累差叠加法最基本形式是a n =(a n －a n －1+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1 ③归纳、猜想法4 数列前n 项和常用求法①重要公式 1+2+…+n =21n (n +1) 12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1) 13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)2②等差数列中S m +n =S m +S n +mnd ，等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q mS n③裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项应掌握以下常见的裂项等)!1(1!1)!1(1,C C C ,ctg2ctg 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=⋅+-=++-n n n ααn n n n n n n n rn r n n nα④错项相消法 ⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法典型题例示范讲解例1已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，求数列{a n }和{b n }的通项公式；解 ∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1例2设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3; (1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;(3)设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和；D n 为数列{d n }的前n 项和，T n =B r －D n ，求lim∞→n 4)(n na T 命题意图本题考查数列的通项公式及前n 项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力知识依托利用项与和的关系求a n 是本题的先决；(2)问中探寻{a n }与{b n }的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点错解分析待证通项d n =32n +1与a n 的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r 与n 的关系，使T n 中既含有n ，又含有r ，会使所求的极限模糊不清技巧与方法 (1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n 与r 的关系，正确表示B r ，问题便可迎刃而解解 (1)由A n =23(a n －1)，可知A n +1=23(a n +1－1)， ∴a n +1－a n =23 (a n +1－a n )，即n n a a 1+=3，而a 1=A 1=23(a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n(2)∵32n +1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n］=4n +3，∴32n+1∈{b n }而数32n =(4－1)2n=42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n=(4k +1)，∴32n∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1(3)由32n +1=4·r +3，可知r =43312-+n ，∴B r =)19(827)91(9127,273433)52(2)347(1212-=-⋅-=+⋅-=+=++++n n n n n D r r r r ，89)(lim ,3)(,433811389)19(827821349444241212=∴=+⋅-⋅=---⋅+=-=∴∞→++n n n n n n n nn n n r n a T a D B T 例3 设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项(1)写出数列{a n }的前3项(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)解析 (1)由题意，当n =1时，有11222S a =+，S 1=a 1， ∴11222a a =+，解得a 1=2 当n =2时，有22222S a =+，S 2=a 1+a 2，将a 1=2代入，整理得(a 2－2)2=16，由a 2＞0，解得a 2=6当n =3时，有33222S a =+，S 3=a 1+a 2+a 3，将a 1=2，a 2=6代入，整理得(a 3－2)2=64，由a 3＞0，解得a 3=10 故该数列的前3项为2，6，10(2）解法一由(1）猜想数列{a n } 有通项公式a n =4n －2下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式是a n =4n －2，(n ∈N *） ①当n =1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立②假设当n =k 时，结论成立，即有a k =4k －2，由题意，有k k S a 222=+，将a k =4k －2 代入上式，解得2k =k S 2，得S k =2k 2，由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1，将S k =2k 2代入得(221++k a )2=2(a k +1+2k 2)，整理得a k +12－4a k +1+4－16k 2=0，由a k +1＞0，解得a k +1=2+4k ，所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2，即当n =k +1时，上述结论成立根据①②，上述结论对所有的自然数n ∈N *成立解法二由题意知n n S a 222=+，(n ∈N *) 整理得，S n =81(a n +2)2,由此得S n +1=81(a n +1+2)2，∴a n +1=S n +1－S n =81［(a n +1+2)2－(a n +2)2］整理得(a n +1+a n ）(a n +1－a n －4)=0，由题意知a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4，即数列{a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)，即通项公式为a n =4n －2 学生巩固练习1 设z n =(21i -)n ，(n ∈N *)，记S n =｜z 2－z 1｜+｜z 3－z 2｜+…+｜z n +1－z n ｜，则lim ∞→n S n =_________2 作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________3 数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0，又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由4 数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *) (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ;(3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由参考答案,)22(|)21()21(|||:.1111+++=---=-=n n n n n n i i z z c 设解析22)22(1221])22(1[2121--=--=+++=∴nn n n c c c S Λ221222221lim +=+=-=∴∞→n n S 2 解析由题意所有正三角形的边长构成等比数列{a n }，可得a n =12-n a，正三角形的内切圆构成等比数列{r n }，可得r n =12163-n a ,∴这些圆的周长之和c =lim ∞→n 2π(r 1+r 2+…+r n )=233π a 2，面积之和S =lim ∞→n π(n 2+r 22+…+r n 2)=9πa 23 解 (1）可解得11+=+n n a a n n ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ， (2)T n =2n+n －1(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1可用数学归纳法证明(略）4 解 (1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }成等差数列，d =1414--a a =－2,∴a n =10－2n (2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ，当n ＞5时，S n =n 2－9n +40，故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-540951 922n n n n n n(3)b n =)111(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n)1(2)]111()3121()211[(2121+=+-++-+-=+++=∴n n n n b b b T n n ΛΛ；要使T n ＞32m总成立，需32m＜T 1=41成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为7。

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湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习：综合运
用等价转化、分类讨论、数形结合等思想解决函数综合问题
高考要求
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力
重难点归纳在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件
学法指导 (一)准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线
(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式
所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑高考试题涉及5个方面 (1)(三)把握数形结合的特征和方法
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换
(四)认识函数思想的实质，强化应用意识
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识典型题例示范讲解
例1fx R xxx
21fxxfxfxfa f 21f 41
fxa n fn n 21).(ln lim n n a ∞
→命题意图知识依托 fxxfxfx 错解分析
fxxfxfx
技巧与方法
fxxfxfx ()()()()2222
x x x x f x f f f =+=⋅
xx
21fxxfxfxfx ()()()02222
x x x x f f f +=≥xff 2121f 21f 21f 21f 21f 4141f 41f 41f 41faf 21
a 2
1f
4
1
a
4
1 yfxxfxfxfxfxx R
fxfxfxx R fxfxx R xxfxfxfx R
fxxf 21
fn n 21f n 21n n 21f n 21fn n 21f n 21f n 21f n 21f n 21n a 21f n 21a n 21
fxfn n 21f n 21a n fn n
21f
n
21a n 21a n a n 21
.0)ln 21
(lim )(ln lim ==∞→∞→a n a n n n 例2Scvba yv (2)为了使全程运输成本最小，
汽车应以多大速度行驶？
命题意图
知识依托
错解分析
v
S ya
v
S bv
v
S S
v
a bvyS
v
a bvvc ]SabvS
v
a bvS ab
v
a bvv
b
a
a b
c o
y
x a b
c
o y
x
b a cv b a yS ab b a cv
c ]S v a bvS c a bcS v a c a bvbc vc S cvabcvcvcbcabcvabcS v a bvS c
a
b cvcvcy ＝S
c a
bcy b ab cv
b ab
b ab cv
c yS v
a
bvvx b a yx b
a yx b
a
yySbv v b a
vc ]
b a cv b a y b
a cvcy 例3 fx R xyfxyfxfyxfxf fx (2)在区间［－9，9］上，求f (x )的最值
xyfyxffxfxfxfxfx xxxxxxfxfxfxxxfxfxxfxfxfxxxfxfxfxfxfxff
yxay a A
1
1o
y x
B
1
1o
y x
C
1
1o
y x
D
1
1o
y x
2定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+fxab fbfagagbfbfagagbfafbgbgafafbgbga 其中成立的是( )
A ①与④
B ②与③
C ①与③
D ②与④ x xx aaa afxxxax R fxfx 参考答案:
aa fxxgxxabfaagaafbbgbbfafbffgbgagg fafbggfbfaff gagbggfbfagagb x
ttata
⎪⎩⎪
⎨⎧>+=⋅>-=+≥+-=∆0100)1(42
1212a t t a t t a a a 2]
afxxxfxfxafaafaaafafafafa fxxafxxxax
21a 43a 21fxa ]fxa ]faa a 21fxa ]f 2143af 2
1faxafx
xxax 21a 43a 21fxa ) f 2143af 21faa 21fxafxafaa a 21fx 43a 21a 21fxaa 21fxa 4
3。

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