高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义教案新人教A版必修4
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、教学分析向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系.二、教学目标1、知识与技能：通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；掌握共线向量的充要条件。
2、过程与方法：由几个向量的和得出向量数乘运算的含义，从特殊到一般，经历向量数乘概念的形成，探究共线向量的充要条件，培养学生类比归纳的能力。
3、情感态度与价值观：初步体会实数与向量的乘积的含义及其几何意义，形成归纳、猜想与论证的能力。
三、重点难点教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用.教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.四、教学设想（一）导入新课思路1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗?③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？活动:引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.对问题①,学生通过作图1可发现,OC=OA+AB+BC=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即OC=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,由图1可知,图1PN=MN+=(-a)+(-a)+(-a),QMPQ+即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a.对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积.我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.由(1)可知,λ=0时,λa=0.根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.对问题③,向量共线的等价条件是:如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义,知a与b共线.反过来,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究,让学生思考,若去掉a≠0这一条件,上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下,共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.讨论结果:①数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由|λ|·|a|确定.②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.③向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形.（三）应用示例思路1例1 计算:(1)(-3)×4a;(2)3(a +b )-2(a -b )-a ;(3)(2a +3b -c )-(3a -2b +c ).活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a 、b ,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b .解:(1)原式=(-3×4)a =-12a ;(2)原式=3a +3b -2a +2b -a =5b ;(3)原式=2a +3b -c -3a +2b -c =-a +5b -2c .点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”.变式训练若3m +2n =a ,m -3n =b ,其中a ,b 是已知向量,求m ,n .解:因3m +2n =a , ①m -3n =b. ②3×②得3m -9n =3b . ③①-③得11n =a -3b .∴n =111a -113b . ④ 将④代入②,有m =b +3n =113a +112b . 点评:此题可把已知条件看作向量m 、n 的方程,通过方程组的求解获得m 、n .在此题求解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.图2例2 如图2,已知任意两个非零向量a 、b ,试作OA =a +b ,OB =a +2b ,OC =a +3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么?活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C 三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a 、b 变化过程中,A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规律.图3解:如图3分别作向量OA 、OC 、OB 过点A 、C 作直线AC.观察发现,不论向量a 、b 怎样变化,点B 始终在直线AC 上,猜想A 、B 、C 三点共线.事实上,因为AB =OB -OA =a +2b -(a +b )=b , 而AC =OC -OA =a +3b -(a +b )=2b , 于是AC =2AB .所以A 、B 、C 三点共线.点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必须先证明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的新颖独特.例3 如图4,ABCD 的两条对角线相交于点M,且AB =a ,AD =b ,你能用a 、b 表示MC 、、MB 、MA 和MD吗?图4活动:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.解:在ABCD 中, ∵AC =AB +AD =a +b ,DB =AB -AD =a -b ,又∵平行四边形的两条对角线互相平分, ∴MA =21-AC =21-(a +b )=21-a -21b , MB =21DB =21(a -b )=21a -21b , MC =21AC =21a +21b , MD =MB -=-21DB =-21a +21b . 点评:结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的关键.思路2例1 凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F,求证:EF =21(AB +DC ). 活动:教师引导学生探究,能否构造三角形,使EF 作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.鼓励学生多角度观察思考问题.图5解:方法一:过点C 在平面内作CG =AB ,则四边形ABGC 是平行四边形,故F 为AG 中点.(如图5)∴EF 是△ADG 的中位线. ∴EF21DG. ∴EF =21DG . 而DG =DC +CG =DC +AB , ∴EF =21(AB +DC ). 方法二:如图6,连接EB 、EC,则有EB =EA +AB ,EC =ED +DC ,图6又∵E 是AD 之中点, ∴有EA +ED =0, 即有EB +EC =AB +DC . 以EB 与EC 为邻边作EBGC,则由F 是BC 之中点,可得F 也是EG 之中点. ∴EF =21EG =21(EB +EC )=21(AB +DC ). 点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练习:(1)加强数形结合思想的训练,画出草图帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习,做到准确熟练运用.例2 已知OA 和OB 是不共线向量AP =t AB (t∈R ),试用OA 、OB 表示OP .活动:教师引导学生思考,由AP =t AB (t∈R )知A 、B 、P 三点共线,而OP =OA +AP ,然后以AB 表示AP ,进而建立OA ,OB 的联系.本题可让学生自己解决,教师适时点拨.解:OP =OA +AP =OA +t·AB =OA +t·(OB -OA )=(1-t)·OA +t·OB .点评:灵活运用向量共线的条件.若令1-t=m,t=n,则OP =m·OA +n·OB ,m+n=1.变式训练1.设两个不共线的向量e 1、e 2,若向量a =2e 1-3e 2,向量b =2e 1+3e 2,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d =λa +μb 与向量c 共线？解:d =λ(2e 1-3e 2)+μ(2e 1+3e 2)=(2λ+2μ)e 1+(3μ-3λ)e 2,要使d 与c 共线,则存在实数k 使d =kc, 即(2λ+2μ)e 1+(3μ-3λ)e 2=2k e 1-9k e 2.由2λ+2μ=2k 及3μ-3λ=-9k 得λ=-2μ.故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ就能使d 与c 共线. 2.(2007浙江高考),7 若非零向量a 、b 满足|a +b |=|b |,则( )A.|2a |>|2a +b |B.|2a |<|2a +b |C.|2b |>|a +2b |D.|2b |<|a +2b | 答案:C3.(2007全国高考),5 在△A BC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD =2DB ,CD =31CA +λCB ,则λ等于( ) A.32 B.31 C.-31 D.-32 答案:A（四）课堂小结1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量共线的条件,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人.（五）作业。
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2.2.3向量数乘运算及儿何意义（2）•一、教学目标：-（1）理解并掌握共线向量定理，并会判断两个向量是否共线。
•（2）能运用向量判断点共线、线共点等。
•二、教学重、难点：.（1）共线向量定理（2）共线向量定理应用。
三、教学过程：（一）复习：1.实数与向量的积的定义：一般地，实数2与向量Q的积是一个向量，记作2d,它的长度与方向规定如卜:（1）| 加冃Q||d|；(2)当2>0时,Aa的方向与方的方向相同;当2<0时，2d的方向与d的方向相反; 当2 = 0 时，Aa = O.2.实数与向量的积的运算律：（1）2（〃0）=（弘）0 （结合律）;（2）（2 +亦=舫+加（笫一分配律）;(3) A(a+b) =Aa + Xb (第二分配律).定理：如果有一个实数2,使b = Aa那么向量乙与方是共线向量；反之, 3.向量共线定理:如果向量厶与方（。
工0）是共线向量，那么有且只有一个实数2,使得b = Aa.（二）新课讲解：1. 向量共线问题： —> f —f例1>己知向量°、&满足"+ " - 一-二丄（3a + 2»）,求证：向量a 和庶线 5 2 5已知= DE = 3BC,试判断AC 与AE 是否共线?2. 空三，瞇鑿I 问题AB = /lBC （BC/6）^ B 、C 三点共线.例3、教材P89面例6例2、3. 证明两肓线平行的问题一 =直线AB 〃言线CD.AB 与CD 不在同一直线上J例 °。
在四边形ABCD 中，為二：+ 2》，~BC = -4^i-b, CD =-5a-3b.求证：四边形ABCD 为梯形. 四、课堂练习：P90面6题五、小结：1.掌握向量数乘运算的定义；2. 掌握向量数乘运算的运算律，并进行有关的计算；3. 理解两向量共线（平行）的条件，并会判断两个向量是否共线、点共线。
课后思考1 • 如图•在fr 意四边形ABCD 中.E.F 分别是Al ）・BC 的中点.求证:AB + DC = 2 EE A [—如图•平行四边形中• E 是1 中点.AE 交BD F M ■试用向僦的方 法证明:M 見IHJ 的一个三等分点・.. 设D.E.F 分别是△川3(’的边BC\ChAB±的点•且AF = +八乩HD = ■. . A ・■ ‘ ・■—BC^ CE = —CIA.若记八” =m. ( A = m 试用 表示3 4AB = ACD n AB//CD赠:小学五年级数学竞赛题1. ............................................................................................................................. 把自然数1.2.3.4…… 的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011 ............................................. 已知这个多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位？2.在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255,乙把被剩数的十位数字看错了，得结果是365,那么正确的乘积是多少？3.将23分成三个不同的奇数之和，共有几种不同的分法?4、把自然数1、2、3、4 ........... 的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213…… 已知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？5、恰有两位数字相同的三位数共有儿个?6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202,这群孩子至少有儿人？7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。
高中数学必修4公开课教案223向量数乘运算及其几何意义
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义整体设计教学分析三维目标1.通过经历探究数乘运算法那么及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律.2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.3.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.重点难点教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用.教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算根底上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗?③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？活动:引导学生回忆相关知识并猜测结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比方λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.对问题①,学生通过作图1可发现,OC=OA+AB+BC=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即OC=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,由图1可知,图1PN=MN+=(-a)+(-a)+(-a),PQ+QM即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a.对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积.我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.由(1)可知,λ=0时,λa=0.根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.对问题③,向量共线的等价条件是:如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义,知a与b共线.反过来,向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究,让学生思考,假设去掉a≠0这一条件,上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下,共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.讨论结果:①数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由|λ|·|a|确定.②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.③向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形.应用例如思路1例1 计算:(1)(-3)×4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中,点拨学生不能将此题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a 、b ,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b . 解:(1)原式=(-3×4)a =-12a ;(2)原式=3a +3b -2a +2b -a =5b ;(3)原式=2a +3b -c -3a +2b -c =-a +5b -2c .点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项〞.变式训练假设3m +2n =a ,m -3n =b ,其中a ,b 是向量,求m ,n .解:因3m +2n =a , ①m -3n =b. ②3×②得3m -9n =3b . ③①-③得11n =a -3b .∴n =111a -113b . ④ 将④代入②,有m =b +3n =113a +112b . 点评:此题可把条件看作向量m 、n 的方程,通过方程组的求解获得m 、n .在此题求解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.图2例2 如图2,任意两个非零向量a 、b ,试作OA =a +b ,OB =a +2b ,OC =a +3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么?活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C 三点共线的猜测,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.此题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,此题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a 、b 变化过程中,A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规律.图3解:如图3分别作向量OA 、OC 、OB 过点A 、C 作直线AC.观察发现,不管向量a 、b 怎样变化,点B 始终在直线AC 上,猜测A 、B 、C 三点共线. 事实上,因为AB =OB -OA =a +2b -(a +b )=b , 而AC =OC -OA =a +3b -(a +b )=2b ,于是AC =2AB .所以A 、B 、C 三点共线.点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必须先证明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的新颖独特.例 3 如图4, ABCD 的两条对角线相交于点M,且AB =a ,AD =b ,你能用a 、b 表示MC 、、MB 、MA 和MD 吗?图4活动:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.解:在ABCD 中,∵AC =AB +AD =a +b ,DB =AB -AD =a -b ,又∵平行四边形的两条对角线互相平分,∴MA =21-AC =21-(a +b )=21-a -21b , MB =21DB =21(a -b )=21a -21b , MC =21AC =21a +21b , MD =MB -=-21DB =-21a +21b . 点评:结合向量加法和减法的平行四边形法那么和三角形法那么,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的关键.思路2例1 凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F,求证:EF =21(AB +DC ). 活动:教师引导学生探究,能否构造三角形,使EF 作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.鼓励学生多角度观察思考问题.图5解:方法一:过点C 在平面内作CG =AB , 那么四边形ABGC 是平行四边形, 故F 为AG 中点.(如图5) ∴EF 是△ADG 的中位线. ∴EF21DG . ∴EF =21DG . 而DG =DC +CG =DC +AB ,∴EF =21(AB +DC ). 方法二:如图6,连接EB 、EC,那么有EB =EA +AB ,EC =ED +DC ,图6又∵E 是AD 之中点,∴有EA +ED =0, 即有EB +EC =AB +DC .以EB 与EC 为邻边作EBGC,那么由F 是BC 之中点,可得F 也是EG 之中点. ∴EF =21EG =21(EB +EC )=21(AB +DC ). 点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练习:(1)加强数形结合思想的训练,画出草图帮助解决问题;(2)加强三角形法那么和平行四边形法那么的运用练习,做到准确熟练运用. 例2 OA 和OB 是不共线向量AP =t AB (t ∈R ),试用OA 、OB 表示OP .解:OP =OA +AP =OA +t·AB =OA +t·(OB -OA )=(1-t)·OA +t·OB . 点评:灵活运用向量共线的条件.假设令1-t=m,t=n,那么OP =m·OA +n·OB ,m+n=1. 变式训练1.设两个不共线的向量e 1、e 2,假设向量a =2e 1-3e 2,向量b =2e 1+3e 2,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d =λa +μb 与向量c 共线？解:d =λ(2e 1-3e 2)+μ(2e 1+3e 2)=(2λ+2μ)e 1+(3μ-3λ)e 2,要使d 与c 共线,那么存在实数k 使d =kc,即(2λ+2μ)e 1+(3μ-3λ)e 2=2k e 1-9k e 2.由2λ+2μ=2k 及3μ-3λ=-9k 得λ=-2μ.故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ就能使d 与c 共线.2.(2007浙江高考),7 假设非零向量a 、b 满足|a +b |=|b |,那么( )A.|2a |>|2a +b |B.|2a |<|2a +b |C.|2b |>|a +2b |D.|2b |<|a +2b | 答案:C3.(2007全国高考),5 在△ABC 中,D 是AB 边上一点,假设AD =2DB ,CD =31CA +λCB ,那么λ等于( ) A.32 B.31 C.-31 D.-32 答案:A知能训练本节练习解答:1.图略.2.AC =75AB ,BC =72-AB . 点评:此题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案.值得注意的是BC 与AB 反向.3.(1)b =2a ;(2)b =47-a ;(3)b =-21a ;(4)b =98a . 4.(1)共线;(2)共线.5.(1)3a -2a ;(2)1211-a +31a ;(3)2y a . 6.图略.课堂小结1.让学生回忆本节学习的数学知识:向量的数乘运算法那么,向量的数乘运算律,向量共线的条件,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜测、类比,分类讨论,等价转化.2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分的重视,它是我们学习中伟大的引路人.作业课本习题2.2 A 组题11、12.设计感想1.本教案的设计流程符合新课程理念,充分抓住本节教学中的学生探究、猜测、推证等活动,引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题.先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地0·a =0),它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小,当λ>0时,λa 与a 方向相同,当λ<0时,λa 与a 方向相反;向量共线定理用来判断两个向量是否共线.然后对所探究的结果进行运用拓展.2.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分表达,因而成为中学数学知识网络的一个交汇点,由此可看出在中学数学教材中的地位的重要,也成为近几年各地高考命题的重点和热点,教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理.。
高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义教案 新人教A版必修4
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.知识与技能
(1)掌握向量的数乘运算及其几何意义.
(2)理解向量共线定理,并应用其解决相关问题.
2.过程与方法
通过由向量加法运算探究向量的数乘运算的过程,使学生形成数形结合的研究问题的方法,由λ的符号来判断λa与a的方向是否相同的过程,培养学生用分类讨论的思想研究问题的方法.
3.情感、态度与价值观
通过对向量数乘运算的探究学习,经历数学探究活动的过程,培养学生的探索精神和创新意识;通过数乘向量的实际应用,体会数学的应用价值,学会用数学的方式解决问题.
重点:向量的数乘运算及其几何意义,向量共线定理.
难点:向量共线定理的应用.
重难点突破:引导学生作出几个相同向量的和,再讨论它们的几何意义,得到向量数乘运算的直观感知,然后过渡到一般的向量数乘运算的定义.要强调λa是一个向量,λa也有长度和方向.
【例】如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:.
分析:作直径BD,连接DA,DC,根据四边形AHCD是平行四边形求解.
证明:作直径BD,连接DA,DC,
则=-,DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC.
∴CH∥DA,AH∥DC.
故四边形AHCD是平行四边形.
∴.
又,
∴.
变式训练已知G为△ABC内一点,若=0,求证:G是△ABC的重心.
证明:如图,由=0,
知=-().
以为邻边作▱BGCD,
则,即=-.
而在▱BGCD中,BC与GD相交于E,且,
则AE是△ABC中BC边上的中线.
又因为||=2||,所以G为△ABC的重心.。
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《向量数乘运算及其几何意义》教学设计教材版本|人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书必修4设计思路向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算。
教学时从110米跨栏比赛捕象出物理背景，引入数乘运算，充分展现了向量数乘运算的现实意义。
实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向。
特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。
共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛,且容易出错。
尤其是定理的前捉条件：向量厅是非零向量。
共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系。
课时分配1课时教学目标1•向量数乘运算及其几何意义、运算律，共线向量定理。
2.经历向量数乘运算定义及其儿何意义的探究过程，体会类比、归纳、由特殊到一般的数淫思想的应用。
体会类比、归纳推理方法在本节课中的作用。
在用向量方法研究三点共线教学的过程中渗透数形结合的思想方法。
3.感受平面向量方法在研究平面几何问题中的作用，进一步提高学习向量知识的积极性。
体会类比迁移的推理方法,培养学生的创新能力教学重点与难点【教学重点】向量数乘运算及其几何意义、运算律、共线向量定理。
♦向量数乘定义由学牛类比实数乘法得到，通过学生自主验证运算律与教师儿何画板演示相结合的方法突破教学重点。
【教学难点】共线向量定理及其应用。
♦通过学生思考、讨论、交流、变式训练、总结等环节突破共线向量定理及其应用这一教学难点。
教学准备ppt＞几何画板教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图情境引入从刘翔110米跨栏比赛屮抽象出位移倍数的问题，进而引出课题。
教师介绍、提问，学生思考回答从热点话题刘翔退役以及110米跨栏比赛抽象出向量数乘的背景，让学生感受向量数乘运算的物理背景和现实意义。
探究新知向量数乘运算定义：一般地，实数2与向量d 的积是一个向量，记作；!：，它的长度与方向规定如下：(1)I2al=l2llal；(2)当2>0时，加的方向与：的方向相同；当吋，2方的方向与2的方向相反；教师引导，学生思考、归纳总结。
人教课标版高中数学必修4《向量数乘运算及其几何意义》教学设计
【数学思想】数形结合
【解题过程】∵ ＝2 ，∴ － ＝ ＝2 ＝2( － )，
∴3 ＝2 ＋ ，∴ ＝ ＋ ＝ b＋ c.
点拨：利用向量线性运算法则表示有向线段，用到了三角形中线的向量表示
5．在四边形ABCD中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()
A．.
B．
C．
D．
【知识点】向量线性运算法则与几何图形结合
【数学思想】数形结合
【解题过程】∵ ,
∴
点拨：利用向量线性运算法则表示有向线段，用到了三角形中线的向量表示
答案：C
4．在△ABC中， ＝c， ＝b，若点D满足 ＝2 ，则 等于()
A. b＋ c
B. c－ b
C. b－ c
D. b＋ c
答案：A
其二，若 与 平行，且不妨令 ，设 ，接下来看 、 方向如何：① 、 同向，则 ，②若 、 反向，则记 ，总而言之，存在实数 （ 或 ）使 .
【设计意图】通过由特殊到一般，探索发现共线向量基本定理，再用定义加以证明，符合科学探索发现的一般规律.
●活动②巩固理解，尝试应用
判断三点之间的位置关系，主要看这三点是否共线.由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线.因此，借助共线向量基本定理，可以帮助我们判定三点是否共线.
答案：BC∥DE
解析：【知识点】向量线性运算法则及共线向量定理
【数学思想】数形结合
【解题过程】∵ ，
又∵BC与DE不在同一条直线上
∴BC∥DE
点拨：运用向量线性运算法则判定向量的线性关系，从而判定直线平行
例3如图,已知任意两个非零向量 ,试作 ，你能判断 三点之间的位置关系吗？为什么？
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.2.3向量的数乘运算及其几何意义
λ>0 时，与a方向相同 λ<0 时，与a方向相反 ；
特别地，当 λ＝0 或 a＝0 时，0a＝ 0 或 λ0＝ 0 .
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.3
2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝ (λμ)a . (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa . (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb .
本 课 时 栏 目 开 关
果 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当存在一个实数 λ，使 b＝λa. 判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问 题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组) 求解．若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在． 例如，已知 e1，e2 是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－ 8e2，则 a 与 b 是否共线？
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
答
①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)
如果 λ＝0 或 μ＝0 或 a＝0，则①式显然成立； 如果 λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有
本 |λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|， 课 时 栏 |(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|， 目 开 故|λ(μa)|＝|(λμ)a|. 关
证明 → → 若 A、B、C 三点共线，则存在 λ∈R，使AC＝λAB.
→ → → → ∴OC－OA＝λ(OB－OA)， → → → ∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.
2.2.3
2.2.3
【学习要求】
向量数乘运算及其几何意义
本 1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义． 课 时 栏 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向 目 量运算． 开 关
新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.2.3向量数乘运算及其几何意义(一)
2.2.3 向量的数乘运算及几何意义（1） 一、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；二、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律。
三、教学过程：（一）复习： 已知非零向量a r ，求作a a +r r 和()()a a -+-r u u r ． 如图：OB a a =+u u u r r r 2a =r ，()()CE a a =-+-u u u r r r 2a =-r ．（二）新课讲解：1．实数与向量的积的定义： 一般地，实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度与方向规定如下： （1）||||||a a λλ=r r ； （2）当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同； 当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反； 当0λ= 时，0a λ=r r ．2．实数与向量的积的运算律： （1）()()a a λμλμ=r r （结合律）； （2）()a a a λμλμ+=+r r r （第一分配律）； （3）a b λλλ+r r r r （a+b ）=（第二分配律）．3．例1 计算：（1）(3)4a -⨯r ； （2）3()2()a b a b a +---r r r r r ； （3）(23)(32)a b c a b c +---+r r r r r r ． 解：（1）原式=12a -r ； （2）原式=5b r ； （3）原式=52a b c -+-r r r ．例2．已知向量a ϖ和向量b ϖ，求作向量b a a ρρρρ325.2--和4．练习 计算： （1）)2(2)(3b a b a +-- （2）)243(3)362(2c b a c b a -+---+ （3）教材P90面5题 5．思考 例3．a -r E a r a r a r O B A C D a -r )0( ρρρρ≠a a a 有何关系？与λ. ab a b ρρρρλλ=，使得一个实数共线当且仅当有且只有与非零向量向量是否共线？向量212122 ,e e b e e a +-=-=ρρ例4．教材例7。
人教A版高中数学必修四向量数乘运算及其几何意义教案新课程新课标
第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++BA BA CB . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++ 二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = bA BD COabab a -b则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？ 三、 例题：例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d . 解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作BA ， DC ， 则BA = a -b ， DC = c -dOAaB’b -bbBa + (-b )abABCbad cDa -bA ABBB’Oa -ba ab b O AOBa -ba -b BA O-b例二、平行四边形ABCD 中，=AB a，=ADb， 用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：AC = a + b ， DB = AD AB - = a -b变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直） 变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ98四、 小结：向量减法的定义、作图法| 五、 作业：P103第4、５题 六、 板书设计（略） 七、 备用习题：1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于( )A.a +bB.-a +(-b )C.a -bD.b -a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则A.a +b +c +d =0B.a -b +c -d =0C.a +b -c -d =0D.a -b -c +d =0３.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：a +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d = .４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =DC ，并画出b -c 和a +d .A BD C第３题。
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.2.3向量数乘及几何意义》教案
课 题： 2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行. 教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件 教学难点：对向量共线的充要条件的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量二、讲解新课：1．示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a)OC =OA AB BC ++=a +a +a=3aPN =PQ QM MN ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a（1）3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |；（2）-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a |2．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a|（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0 3．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立 如果λ≠0，μ≠0，a ≠有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a||(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a|∴|λ(μa )|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向从而λ(μa )=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a≠0当λ、μ同号时，则λa 和μa同向， ∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a||λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向 即 |(λ+μ)a |=|λa +μa|当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向；当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa 同向，且|(λ+μ)a |=|λa +μa|∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立.当a≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时（1）当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作OA =a AB =b 1OA =λa11A B =λb 则OB =a +b 1OB =λa+λb由作法知 ，AB ∥11A B 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11A B | ∴111||||||||OA A B OA AB ==λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1∴1||||OB OB =λ ∠AOB=∠ A 1OB 1 因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同∴λ(a +b )=λa+λb当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa+λb∴ ③式成立 4．向量共线的充要条件若有向量a (a ≠)、b ，实数λ，使b =λa ，则a 与b为共线向量若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa； 当a 与b 反向时b =-μa从而得向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使b =λa三、讲解范例：例1若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n .分析：此题可把已知条件看作向量m 、n 的方程，通过方程组的求解获得m 、n . 解：记3m ＋2n ＝a ① m －３n ＝b ② 3×②得３m －９n ＝３b ③①－③得11n ＝a －３b . ∴n ＝111a －113b ④ 将④代入②有：m ＝b ＋３n ＝113a ＋112b 例2凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证EF ＝21(AB +DC ). 解法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C 在平面内作CG ＝AB ，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点.∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF =DG 21, ∴EF ＝21DG . 而DG ＝DC ＋CG ＝DC ＋AB ，∴EF ＝21（AB ＋DC ）. 解法二：创造相同起点，以建立向量间关系 如图，连EB ，EC ，则有EB ＝EA ＋AB ，EC ＝ED ＋DC ，又∵E 是AD 之中点，∴有EA ＋ED ＝0. 即有EB ＋EC ＝AB ＋DC ；以EB 与EC 为邻边作平行四边形EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点.∴EF ＝21EG ＝21（EB ＋EC ）＝21（AB ＋DC ）例3 如图,已知任意两个非零向量a,b,试作2,3OA OB OC ==+=+a+b,a b a b你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么? 解：∵()2AB OB OA =-=+-+=a b a b b()32AC OC OA =-=+-+=a b a b b∴2AC AB =所以,A 、B 、C 三点共线. 四、课堂练习：五、小结:通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用. 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：。
高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义(二)全册精品教案 新人教A版必修4
2.2.3 向量数乘运算及几何意义（2）
一、教学目标：
（1）理解并掌握共线向量定理，并会判断两个向量是否共线。
（2）能运用向量判断点共线、线共点等。
二、教学重、难点：
（1）共线向量定理
（2）共线向量定理应用。
三、教学过程：
（一）复习：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：
（1）||||||a a λλ=；
（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；
当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；
当0λ= 时，0a λ=．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）()()a a λμλμ=（结合律）；
（2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）；
（3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）．
3．向量共线定理：
定理： 如果有一个实数λ，使b a λ= （0≠a ），那么向量b 与a 是共线向量；反之，如果向量b 与a （0≠a ）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=．
（二）新课讲解：
1．向量共线问题：
例1、
例2、
例3、教材P89面例6
例4。
四、课堂练习： P90面6题 五、小结：1．掌握向量数乘运算的定义；
2．掌握向量数乘运算的运算律，并进行有关的计算；
3．理解两向量共线（平行）的条件，并会判断两个向量是否共线、点共线。
课后思考
1．
2．
3． ..35,4,2,为梯形求证：四边形中在四边形ABCD b a CD b a BC b a AB ABCD --=--=+=。