函数的最大小值与导数
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
二次函数的最大值与最小值
二次函数的最大值与最小值在数学的世界中，函数是关系，它都是把输入值映射到另一个值的方法。
其中，二次函数是最重要的一类函数之一，广泛应用于数学、物理、统计学、经济学和其他领域。
本文将主要讨论二次函数的最大值与最小值问题。
首先，让我们来了解一下什么是二次函数。
二次函数是一类函数的简称，也就是满足如下形式的函数：y = ax + bx + c其中a、b、c为常数。
最重要的是，当a不等于0时，它是一个平方函数，如果a等于0，它就变成一个一次函数。
若a>0，函数图像开口向上；若a<0，函数图像开口向下。
接下来，让我们来讨论二次函数的最大值与最小值问题。
无论是最大值还是最小值，它们都是依靠函数的极值点来求得的。
通常，要找到极值点，首先需要求出函数的导数，然后将求出来的导数等于零，极值点就在d/dx=0的位置。
在二次函数y=ax+bx+c中，它的导数为：dy/dx = 2ax + b设dy/dx=0，可解得：2ax+b=0=>x = -b/2a将x的值代入二次函数中，可得：y = f(-b/2a)这里的y即为二次函数的极值点，也就是最大值或最小值，具体取决于二次函数的系数a的正负值，若a>0，极值点即为最小值；若a<0，极值点即为最大值。
有了极值点，我们就可以求得二次函数的最大值与最小值，比如有这样一个二次函数：y = 6x + 8x + 10它的导数为：dy/dx = 12x + 8将其等于零，可求出极值点的位置：=>12x + 8 = 0=>x = -8/12即极值点的位置为x = -2/3。
将x = -2/3代入原函数中，可求得极值：y = 6(-2/3) + 8(-2/3) + 10=>y = 10 - 8/3=>y = 10 - 2.66667=>y = 7.33333故二次函数y = 6x + 8x + 10的极小值y = 7.33333。
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有 极值,并且极大值 极小值)不一定就是最大值 最小 极值 并且极大值(极小值 不一定就是最大值(最小 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 但除端点外在区间内部的最大值(或最小值 值),但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值),则 一定是极大值(或极小值 或极小值). 一定是极大值 或极小值 (4)如果函数不在闭区间 如果函数不在闭区间[a,b]上可导 则在确定函 上可导,则在确定函 如果函数不在闭区间 上可导 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值. 处的值 (5)在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数 这样的函数称为单峰函数),那么要根 有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再 与端点的函数值进行比较. 与端点的函数值进行比较
函数的最大值与最 小值与导数
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时,判别 0)是极大 小)值的 在 处连续时 判别f(x 是极大(小 值的 当函数 判别 是极大 方法是: 方法是 如果在x 右侧f ①如果在 0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 ,那 ） 右侧 那 是极大值; 么,f(x0)是极大值 是极大值 如果在x 右侧f ②如果在 0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 ,那 那 是极小值. 么,f(x0) 是极小值 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 分条件.极值只能在函数的 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 时取到. 两侧的导数异号时取到 两侧的导数异号时取到 3.在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小 而不是极值. 哪个值最小,而不是极值 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值
函数的最大(小)值与导数课后同步检测(基础卷)(解析版)
5.3.2函数的最大(小)值与导数课后同步检测（基础卷） 一、单选题1. 函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A.π－1B.π2－1C.πD.π＋1【解析】y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π. 2. 函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)( ) A.有最值，但无极值 B.有最值，也有极值 C.既无最值，也无极值 D.无最值，但有极值【解析】f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在(－1，1)上单调递减， 无最大值和最小值，也无极值.3. 当0<x <1时，f ()x ＝ln xx ，则下列大小关系正确的是( ) A.f 2()x <f ()x 2<f ()x B.f ()x 2<f 2()x <f ()x C.f ()x <f ()x 2<f 2()x D.f ()x 2<f ()x <f 2()x【解析】根据0<x <1得到0<x 2<x <1，而f ′()x ＝1－ln xx 2，所以根据对数函数的单调性可知，当0<x <1时，1－ln x >0， 从而可得f ′()x >0，函数f ()x 单调递增， 所以f ()x 2<f ()x <f ()1＝0，而f 2()x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2>0，所以有f ()x 2<f ()x <f 2()x .4. 已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的连续可导函数，且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )，因为f ′(x )<g ′(x )，所以F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，所以F (x )在[a ，b ]上单调递减，所以F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a ).故选A.5. 已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－3【解析】因为f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，所以f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以当x ＝0时，f (0)＝m 最大，所以m ＝3.因为f (－2)＝－37，f (2)＝－5，所以最小值为－37.6. 函数f (x )＝13x 3－x 2＋a ，函数g (x )＝x 2－3x ，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x )的图象始终在函数g (x )图象的上方，那么a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0) C. ⎝⎛⎭⎪⎫－43，＋∞ D. ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43【解析】设h (x )＝f (x )－g (x )＝13x 3－2x 2＋3x ＋a ，则h ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －3)(x －1)，所以当x ∈(1,3)时，h (x )单调递减；当x ∈(3，＋∞)时，h (x )单调递增.当x ＝3时，函数h (x )取得最小值。
导数的最大值与原函数的最大值大小关系
导数的最大值与原函数的最大值大小关系一、导数的最大值与原函数的极值在微积分中，导数代表了函数在某一点的变化率。
对于一个连续可导的函数，其导数存在最大值的情况是很常见的。
这种情况下，我们常常会思考导数的最大值与原函数的最大值之间是否存在某种大小关系。
二、导数的最大值1. 定义导数的最大值指的是函数在某一区间上导数的绝对值的最大值。
也就是说，导数的最大值是指在特定区间上，函数的变化率最大的点所对应的导数值。
2. 导数的最大值的意义当导数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上的变化率最大。
这个点可能是函数的极大值点，也可能是函数的拐点。
在这个点上，函数的变化速率达到了最高点。
三、原函数的最大值1. 定义原函数的最大值指的是函数在某一区间上的函数值的最大值。
也就是说，原函数的最大值是指在特定区间上，函数取得的最大值。
2. 原函数的最大值的意义当函数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上取得了最大值。
这个点就是函数的最高点或者最大点。
在这个点上，函数的取值达到了最大值。
四、导数的最大值与原函数的最大值的关系1. 关系的探讨在一般情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间是存在某种关系的。
通常来说，如果函数在某一点上的导数的最大值为正数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递增的，从而原函数在该点上可能取得最大值。
同样地，如果函数在某一点上的导数的最大值为负数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递减的，从而原函数在该点上可能取得最大值。
2. 特殊情况然而，也存在一些特殊情况。
某个函数的导数在某一点上存在最大值，但是函数在该点上并不取得极值。
这种情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间并不一定存在确定的关系。
五、结论导数的最大值与原函数的最大值之间存在某种关系，在一般情况下，可以通过导数的最大值来推断原函数的最大值。
然而，也存在一些特殊情况，需要具体问题具体分析。
导数的最大值与原函数的最大值之间具有一定的关系，但需要根据具体情况具体分析。
导数法求最大最小值
令V(x)60x3x20,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=
16000.
2
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子
的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省?
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注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.
练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
函数的最大值 与最小值
一、复习与引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: ①如果在x0附近的左侧 f(x)0 右侧 f(x)0,那么,f(x0) 是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f(x)0右侧 f(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到.
例2:如图,铁路线上AB段长
C
100km,工厂C到铁路的
距离CA=20km.现在要
在AB上某一处D,向C修 一条公路.已知铁路每吨 B
D
A
千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料
从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x2 400 x2km.
【2022高考数学一轮复习(步步高)】第三章 §3.3 导数与函数的极值、最值
§3.3导数与函数的极值、最值考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．1．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．微思考1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的什么条件？提示必要不充分．2．函数的极大值一定大于极小值吗？提示不一定．函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )在区间(a ，b )上不存在最值．( × ) (2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × ) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √ ) (4)函数y ＝f ′(x )的零点是函数y ＝f (x )的极值点．( × ) 题组二 教材改编2．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正． 3．当x >0时，ln x ，x ，e x 的大小关系是________． 答案 ln x <x <e x解析 构造函数f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1，可得x ＝1为函数f (x )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f (x )≤f (1)＝－1<0，所以ln x <x .同理可得x <e x ，故ln x <x <e x . 4．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 答案227a 3 解析 容积V ＝(a －2x )2x ,0<x <a2，则V ′＝2(a －2x )×(－2x )＋(a －2x )2＝(a －2x )(a －6x )，由V ′＝0得x ＝a 6或x ＝a 2(舍去)，则x ＝a6为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时V max＝227a 3. 题组三 易错自纠5．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞) B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) C ．(－6，6) D ．[－6，6] 答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2， 由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.6．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________.答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (多选)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数g (x )＝xf ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．f (x )有两个极值点B ．f (0)为函数的极大值C ．f (x )有两个极小值D ．f (－1)为f (x )的极小值 答案 BC解析 由题图知，当x ∈(－∞，－2)时，g (x )>0， ∴f ′(x )<0，当x ∈(－2,0)时，g (x )<0，∴f ′(x )>0， 当x ∈(0,1)时，g (x )<0，∴f ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，g (x )>0，∴f ′(x )>0. ∴f (x )在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减， 在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增． 故AD 错误，BC 正确． 命题点2 求已知函数的极值例2 已知函数f (x )＝x 2－1－2a ln x (a ≠0)，求函数f (x )的极值． 解 因为f (x )＝x 2－1－2a ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －2a x ＝2(x 2－a )x.①当a <0时，因为x >0，且x 2－a >0，所以f ′(x )>0对x >0恒成立．所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )无极值．②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)． 所以当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗所以当x ＝a 时，f (x )取得极小值，且f (a )＝(a )2－1－2a ln a ＝a －1－a ln a ．无极大值． 综上，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上无极值．当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a ，无极大值． 命题点3 已知极值(点)求参数例3 (1)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________. 答案 11解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴f (x )无极值，所以a ＝1，b ＝3不符合题意， 当a ＝2，b ＝9时，经检验满足题意． ∴a ＋b ＝11.(2)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f (x )＝x (ln x －ax )，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋ln x －2ax .由题意知，当x >0时，1＋ln x －2ax ＝0有两个不相等的实数根， 即2a ＝1＋ln xx有两个不相等的实数根，令φ(x )＝1＋ln x x (x >0)，∴φ′(x )＝－ln xx 2.当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 且φ(1)＝1，当x →0时，φ(x )→－∞， 当x →＋∞时，φ(x )→0， 则0<2a <1，即0<a <12.思维升华 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f (x )极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域． ②求导数f ′(x )．③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根． ④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号． (2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2020·滨州模拟)已知x ＝1是f (x )＝[x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3]e x 的极小值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，1)答案 D解析 f ′(x )＝[x 2－(a ＋1)x ＋a ]e x ＝(x －a )(x －1)e x . 令f ′(x )＝0，得(x －a )(x －1)e x ＝0. 设g (x )＝(x －1)(x －a )．①当a ＝1时，g (x )≥0，f ′(x )≥0，f (x )没有极值． ②当a >1时，当x >a 或x <1时，g (x )>0，f ′(x )>0； 当1<x <a 时，g (x )<0，则f ′(x )<0.∴x ＝1是函数f (x )的极大值点，不符合题意． ③当a <1时，当x >1或x <a 时，f ′(x )>0， 当a <x <1时，f ′(x )<0.所以x ＝1是f (x )的极小值点，符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．(2)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 有极值，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，18 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋ax ，由题意知y ＝f ′(x )有变号零点， 令2x 2－x ＋a ＝0， 即a ＝－2x 2＋x (x >0)，令φ(x )＝－2x 2＋x ＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋18(x >0)， 其图象如图所示，故a <18.题型二 利用导数求函数的最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )． (1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值； (2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )． 解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ， ∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x ，∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0， ∴g (x )在[1，e]上单调递增， ∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1. (2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝ax ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.思维升华 (1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，则f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在区间[a ，b ]内有极值，则要先求出函数在[a ，b ]上的极值，再与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．(4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数． (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值． 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎡⎭⎫1e，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意．②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a ；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2， 即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求．故实数a 的值为－e 2.课时精练1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0答案 C解析 f ′(x )＝2(x 2－1)·2x ＝4x (x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1. 2．函数y ＝xe x 在[0,2]上的最大值是( )A.1eB.2e 2 C ．0 D.12e 答案 A解析 易知y ′＝1－xe x ，x ∈[0,2]，令y ′>0，得0≤x <1， 令y ′<0，得1<x ≤2，所以函数y ＝x e x 在[0,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是1e ，故选A.3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( ) A ．2 B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减， ∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52.4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.163 答案 C解析 由题中图象可知f (x )的图象经过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，所以1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－2×23＝83.5．(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的最小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3,1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零 答案 BD解析 根据导函数的图象可知当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )<0，当x ∈(－3，＋∞)时，f ′(x )≥0， ∴函数y ＝f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y ＝f (x )的极值点，∵函数y ＝f (x )在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y ＝f (x )的最小值点， ∵函数y ＝f (x )在x ＝0处的导数大于0，∴y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率大于零． 故错误的命题为BD.6．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为2答案 ABC解析 由f (x )＝0，得x 2＋x －1＝0， ∴x ＝－1±52，故A 正确．f ′(x )＝－x 2－x －2e x＝－(x ＋1)(x －2)e x， 当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－1,2)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1,2)上单调递增， ∴f (－1)是函数的极小值，f (2)是函数的极大值，故B 正确． 又f (－1)＝－e ，f (2)＝5e2，且当x →－∞时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→0， ∴f (x )的图象如图所示，由图知C 正确，D 不正确．7．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________． 答案 1＋ln 2解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2－1x ＝2x －1x ，当0<x <12时，f ′(x )<0；当x >12时，f ′(x )>0.∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln 12＝1＋ln 2. 8．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有两个极值点，则实数c 的取值范围为______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有两个极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不相等的实根，故Δ＝(－4c )2－12>0，解得c >32或c <－32. 所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 9．已知函数f (x )＝sin x －13x ，x ∈[0，π]，cos x 0＝13，x 0∈[0，π]． ①f (x )的最大值为f (x 0)；②f (x )的最小值为f (x 0)；③f (x )在[0，x 0]上是减函数；④f (x 0)为f (x )的极大值．那么上面命题中真命题的序号是________．答案 ①④解析 f ′(x )＝cos x －13，由f ′(x )＝0，得cos x ＝13，即x ＝x 0，因为x 0∈[0，π]，当0≤x <x 0时，f ′(x )>0；当x 0<x ≤π时，f ′(x )<0，所以f (x )在[0，x 0)上单调递增，在(x 0，π]上单调递减，所以f (x 0)为f (x )的极大值且为最大值．故①④正确，②③不正确．10．已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________． 答案 e －1解析 ∀x ∈(0，＋∞)，不等式e x－1≥kx ＋ln x 恒成立，等价于∀x ∈(0，＋∞)，k ≤e x －1－ln x x 恒成立，令φ(x )＝e x －1－ln x x(x >0)， 则φ′(x )＝e x (x －1)＋ln x x 2， 当x ∈(0,1)时，φ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝e －1，∴k ≤e －1.11．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x 2x， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表． ↗故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值．(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x. 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a >0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ，则f ′(x )>0， 若x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，则f ′(x )<0， 故函数在x ＝1a处有极大值． 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点，当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a. 12．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1，x >0，由f ′(x )＝0，得x ＝1e. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增． 所以x ＝1e是函数f (x )的极小值点，极大值点不存在． (2)g (x )＝x ln x －a (x －1)，则g ′(x )＝ln x ＋1－a ，由g ′(x )＝0，得x ＝e a －1.所以在区间(0，e a －1)上，g (x )单调递减，在区间(e a －1，＋∞)上，g (x )单调递增．当e a －1≥e ，即a ≥2时，g (x )在(0，e]上单调递减，∴g (x )min ＝g (e)＝a ＋e －a e ，当e a －1<e 即a <2时，g (x )在(0，e a －1)上单调递减，在(e a －1，e]上单调递增，∴g (x )min ＝g (e a －1)＝a －e a －1，令g (x )的最小值为h (a )，综上有h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e a －1，a <2，a ＋e －a e ，a ≥2.13．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3 B.⎣⎡⎦⎤0，4π3－3 C.⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2πD ．[0,2π]答案 D解析 f ′(x )＝1＋2cos x ，x ∈[0,2π]，令f ′(x )＝0，得cos x ＝－12， ∴x ＝2π3或x ＝4π3， 又f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2π3＋3，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝4π3－3，f (0)＝0，f (2π)＝2π，f ⎝⎛⎭⎫4π3－f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2π3－23<0， ∴f (0)<f ⎝⎛⎭⎫4π3<f ⎝⎛⎭⎫2π3<f (2π)，∴f (x )max ＝f (2π)＝2π，f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )的值域为[0,2π]．14．(2020·邢台模拟)若函数f (x )＝12x2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析 对函数求导得f ′(x )＝x －1＋a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＝(x ＋a )(x －1)x，x >0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0，故x ＝1是唯一的极值点，此时－a ≤0，且f (1)＝－12＋a ≥1，所以a ≥32. 15．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1e ，0 解析 f (x )＝x ln x ＋m e x (x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋m e x (x >0)，令f ′(x )＝0，得－m ＝ln x ＋1e x，设g (x )＝ln x ＋1e x， 则g ′(x )＝1x －ln x －1e x (x >0)，令h (x )＝1x－ln x －1， 则h ′(x )＝－1x 2－1x<0(x >0)， ∴h (x )在(0，＋∞)上单调递减且h (1)＝0，∴当x ∈(0,1]时，h (x )≥0，即g ′(x )≥0，g (x )在(0,1]上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，即g ′(x )<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减，故g (x )max ＝g (1)＝1e， 而当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，若f (x )有两极值点，只要y ＝－m 和g (x )的图象在(0，＋∞)上有两个交点，只需0<－m <1e ，故－1e<m <0. 16．(2019·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3. 若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递减； 若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 3，0上单调递减． (2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 3，1上单调递增，所以f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a . 于是m ＝－a 327＋2，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧4－a ，0<a <2，2，2≤a <3. 所以M －m ＝⎩⎨⎧ 2－a ＋a 327，0<a <2，a 327，2≤a <3.①当0<a <2时，可知y ＝2－a ＋a 327单调递减， 所以M －m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫827，2.②当2≤a <3时，y ＝a 327单调递增， 所以M －m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫827，1.综上，M －m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫827，2.。
函数的最大小值与导数的教学设计与反思
函数的最大小值与导数的教学设计与反思
一、教学设计
1、教学前准备
(1)教学准备:课件、课文《微积分基础》
(2)教学活动准备:多媒体课件、白板、笔。
2、教学过程
（一）活动一:理解二元函数的最大值与最小值
1.板书函数y=f(x)，并用图示阐释函数的含义
2.引导学生探讨函数y=f(x)的最大值和最小值，阐释定义：在函数f(x)的定义域内，存在一个实数m，使得f(m)≥f(x)∀x∈D，则m叫函数f(x)的极大值，f(m)叫函数f(x)的最大值。
（二）活动二:求二元函数的最大值与最小值
1.指导学生了解求最大最小值的四种方法：（1）图像法；（2）极值点法；（3）反函数法；（4）利用导数法。
2.指导学生学习利用导数法求最大最小值，并强调：由二元函数的导数大小可以判断函数的最大最小值；由二元函数的导数与切线的方向关系可以决定函数的极值点在哪个区间上。
（三）活动三:练习
1.用导数法求函数y=x^2-2x+4的极大值
2. 用导数法求函数y=2cosx-sinx的极小值
3.导出开口为2的双曲线x^2/4-y^2/9=1的极值点的坐标
（四）活动四:总结
1.复习前面内容，板书导数法求最大最小值的基本过程
2.总结本节课学习内容，梳理求极值点的方法
二、反思
本次教学中，我采用活动教学的方法。
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值为8，最小值为-1
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一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的 最大值与最小值的步骤如下： (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或 极小值)
(2) 将 y=f(x) 的各极值与端点处函数值 f(a) f(b) 比较 , 其中最大的一个为最大值，最小 的 一个最小值.
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知识回顾
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
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2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
（2）函数f（x）若在闭区间[a，b]上有定义，但有 间断点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小值
总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x）的图像 是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如 何求最值？ 只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就 可求最大值、最小值
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例题讲解
例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间 [-1，4]内的最大值和最小值
解:f′(x)=2x- 4 令f′(x)=0，即2x–4=0，得x =2
x
f ( x)
f ( x)
-1 （-1,2） 2
8
（2 ，4 ）
+
4
3
0
-1
故函数 f (x) 在区间 [-1 ， 4] 内的最大
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观察下列函数，作图观察函数最值情况： （1）f（x）=|x| （-2<x≤1)
-2 2 1 1
1 (2 f( ) x x ) (0 x 1) x
X （0≤x<2） 0
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（3）f（x）=
（x=2） 0 2
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归纳结论：
（1）函数f（x）的图像若在开区间（a，b）上是连续不 断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或 最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此
4
3 A. 2
1 B. 2
1 C. 2
3 D. 2 或
1 2
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4.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在区间[2，2]上有最小值-37， （1）求实数a的值； （2）求f(x)在区间[-2，2]上的最大 值.
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知识要点：
小结
.函数的最大与最小值 ⑴设y = f(x)是定义在区间[a , b]上的函数,y = f(x) 在(a , b)内有导数,求函数y = f(x) 在区间[a , b] 上的最大最小值,可分两步进行: ①求y = f(x)在区间(a,b)内的极值; ②将y = f(x)在各极值点的极值与f(a), f(b)比较， 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。
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三、用导数法求解函数极值的步骤：
(1) (2) (3) 右
的符号，并根据符号确定极大值与极 小 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。 值.
求导函数f `(x)； 求解方程f `(x)=0； 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左
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新课引入
极值是一个局部概念，极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最 大或最小,并不意味着它在函数的整个 的定义域内最大或最小。
1.3.3函数的最大（小）值与导数
复习:一、函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，
f(x)为增函数 f(x)为减函数 y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x)
பைடு நூலகம்
f '(x)<0
o a o a b x b x )0 ,则 f ( x)为常数. 如果在某个区间内恒有 f (x
在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益， 常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大 等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数 的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们 与函数极值关系如何？
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教学目的： ⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概 念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包 括端点）处的函数中的最大（或最小）值 必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值 的方法和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最 小值的方法． 教学难点：函数的最大值、最小值与函数 的极大值和极小值的区别与联系．
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
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讲授新课
阅读课本判断下列命题的真假： 1.函数在其定义域上的最大值与最小值至多 各有一个； 2、最大值一定是极大值； 3、最大值一定大于极小值；
f(x1) y
f(x3)
f(b)
g
a x1
g
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x2
0
x4 x3 b x
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f(a)
f(x2)
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二、函数的极值定义
y
y
使函数取得极值的 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义， •如果对x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； •如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称为极值.
3
0 2
+
11
故函数 f(x) 在区间 [1 ， 5] 内的最大值 为11，最小值为2
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练 习
2、 函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的
最大值为(
A.-4 B.0
C
)
C.16 D.20
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3.已知函数y=-x2-2x+3在区间[a,2] 15 上的最大值为 ，则a等于（ ）
练习
1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
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1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2 x 1 （1,2） 2 （2,5） 5 y， y