多边形内角和定理的证明

正五边形的定理

正五边形的定理
正五边形的定理指的是正五边形内角和的性质。

下面是正五边形的定理：
在一个正五边形中，五个内角的和等于540度。

正五边形是一个具有五个边和五个角的多边形，每个角都是108度。

根据正五边形的性质，我们可以得出以下定理：
定理：正五边形的五个内角的和等于540度。

证明：
1. 一个正五边形可以被分为五个等边三角形。

由于等边三角形的三个角都是60度，因此每个等边三角形的一个内角为60度。

2. 每个等边三角形的两个内角和等于180度，所以每个等边三角形的另一个内角为120度。

3. 由于正五边形由五个等边三角形组成，所以五个等边三角形的五个内角和为5 × 120度 = 600度。

4. 但是，正五边形的五个内角和必须等于多边形内角和，根据多边形内角和的定理，五个内角和为(5 - 2) × 180度 = 540度。

5. 因此，正五边形的五个内角的和等于540度。

这个定理表明，在正五边形中，五个内角的和总是等于540度，无论正五边形的大小。

这是正五边形的一个重要性质，对于几何学和数学的研究具有重要意义。

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多边形及其内角和知识点

多边形及其内角和知识点-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII多边形及其内角和一、知识点总结、n边形的内角和等于180°（n-2）。

360°。

1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。

镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。

知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。

第3讲-多边形及其内角和知识点

第3讲多边形及其内角和（11.3）一、知识点总结边形的内角和等于180°（n-2）。

360°。

边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）3、4、6/。

拼成360度的角：3、4。

知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。

要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

多边形及其内角和知识点

多边形及其内角和一、知识点总结定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。

凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

分类2：多边形非正多边形：1、n边形的内角和等于180°（n-2）。

多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。

3、边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。

镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。

知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD 的一条对角线。

9.2多边形的内角和和外角和

4.若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这 8 个多边形的边数为________.
5.若一个十边形的每个外角都相等，则它的 36度，每个内角的度数每个外角的度数为________ 144度为________. 6.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和， 4 则它的边数是_________. 7.如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为2880°，那么它的内角为 _________. 160度
解：设这个多边形为n边形。（n-2）×180° =1440° n-2=1440°÷180° n-2=8 n=10 答：这个多边形为十边形。
典型例题
例、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ C 解：如图四边形ABCD中， D
A C 180
因为：
0
A
0 0
B
A B C D (4 2) 180 360
三角形的内角和是多少？
1
2
3
180° ∠1+ ∠2+ ∠3= ？
什么叫三角形的外角？什么叫外角和？三角形的外角和是多少？
外角
4 1
外角和 ∠4+ ∠5+ ∠6= 360 ？°
3 6
2 5
多边形的内角和公式
图形边数过一个顶点的对分成的三角形个角线条数数内角和
3
4 5 6
n边形
0 1 2 3 n-3
例.已知多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求多边形的边数.
分析：根据n边形的内角和定理可知：n边形内角和为（n-2）×180°．设这个外角度数为x度，而任何多边形的一个外角必定是大于0，且小于180度即:0<x<180 利用方程即可求出答案．解：设这个外角度数为x，根据题意，得（n-2）×180°+x=1350°，解得：x=1350°-180°n+360° x =1710°-180°n，由于 0＜x＜180°，即： 0＜1710°-180°n＜180°，解得：8.5＜n＜9.5，所以 n=9．故多边形的边数是9．

(完整版)多边形及其内角和知识点

知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。

360°。

边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）3、4、6/。

拼成360度的角3、4。

知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形凹多边形图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD 为四边形ABCD 的一条对角线。

要点诠释： (1)从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形。

多边形内角和定理的证明三种方法

多边形内角和定理的证明三种方法下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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7.3.2 多边形的内角和

7.3.2多边形的内角和Ⅰ．核心知识扫描1．n 边形的内角和等于(n －2)·180°．2．n 边形的外角和等于360°．Ⅱ．知识点全面突破知识点1：n 边形的内角和等于(n －2)×180°（重点、难点）每一个多边形都可以按照如图7-3-2-1的方法分割成若干个三角形．根据这种方法，可以把每一个n 边形分割成(n －2)个三角形．图7-3-2-1这些三角形的内角和恰好是多边形的内角和．所以我们可以得到：多边形○C 内角和定理：n 边形的内角和等于(n －2)·180°例：已知一个n 边形的内角和是1080°，求n ．解：由多边形内角和公式得：(2)n -×180°=1080°，解得n =8.点拨：多边形的内角和公式有两个方面的应用：①已知多边形的边数，计算多边形的内角和；②已知多边形的内角和，求多边形的边数．知识点2：n 边形的外角和等于360°（重点、难点）由于n 边形的每个内角和与它相对应的外角之和为180°，所以n 边形的外角和与内角之和应该为n ×180°．于是有：n 边形的○C 外角和等于360°．例：如果一个各边都相等的多边形，若它的每一个内角是144°，则这个多边形是（）A ．正十边形B ．正九边形C ．正八边形D ．正七边形解法一：设这个多边形为n 边形．则180(n －2)＝144n ，解得：n ＝10．答：这个多边形是十边形．解法二：因为这个多边形的每一个内角是144°，所以这个多边形每个外角等于36°，360°÷36°＝10答：这个多边形是十边形．点拨：思路一是用两种方法计算多边形的内角和为180(n －2)°或144n °，然后得到方程180(n －2)＝144n ，求出这个多边形的边数；思路二是利用正多边形的外角和不变和每个外角相等这一特性来解决问题的，尽管多边形的内角和度数随着边数的增加而增加，但是多边形的外角和的度数始终保持不变，利用这一不变性，可使问题变得简单．知识点3：多边形的内角与外角的联系1．多边形同一个顶点的一个内角和一个外角恰好是一对邻补角；2．n边形的内角和与外角和总共是180n°．例：已知五边形内角度数之比为4∶4∶5∶5∶6，求该五边形各外角对应度数之比．解：设这个五边形五个内角的度数分别为4x°、4x°、5x°、5x°、6x°，则4x°＋4x°＋5x°＋5x°＋6x°＝540°解得：x＝22.5°∴这个五边形五个内角度数分别为90°、90°、112.5°、112.5°、135°对应的五个外角的度数分别为90°、90°、67.5°、67.5°、45°∴五边形各外角对应度数之比为4∶4∶3∶3∶2点拨：求五边形的外角度数之比，先根据内角和公式求出五个内角，根据相邻外角和内角是一对邻补角这一特征可求出五个外角．Ⅲ．提升点全面突破提升点1：增加或减少一个角对内角和的度数的影响例1：如果一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为1190°，则这个多边形的边数是多少？这个内角是多少度？解：设这个多边形为n边形由题意：这个多边形的内角和为1260°∴180（n－2）＝1260，解得：n＝91260°－1190°＝70°答：这个多边形为九边形，这个内角为70°．点拨：从n边形的内角和我们可以看出两方面内容：一是多边形的内角和是180的倍数；二是多边形的内角和和多边形边数有关，如果将内角和除以180°，然后加2后就等于多边形边数；在本题中，这个多边形的内角和是比1190°大，是180°的倍数，而且是与1190°最接近的那个180°的倍数，所以这个多边形的内角和为1260°．例2：一个多边形○C截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能【答案】D【点拨】设新多边形的边数为n，则180(n－2)＝1620，解得n＝11，所以原多边形边数为10、11或12．提升点2：根据多边形的外角推断多边形边数例3：如图7-3-2-3，小明在操场上从A 点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了米．图7-3-2-3【答案】90 【点拨】当回到出发点时，所经过的路线是一个正多边形，这个多边形的每个外角都等于40°，由于多边形的外角和是360°，所以这个多边形的边数为9．例4：一个正多边形的一个外角等于它的相邻的内角的41，则这个多边形是（）． A ．正十二边形 B ．正十边形C ．正八边形D ．正六边形【答案】C【点拨】设这个n 边形外角为x °，有x ＋4x ＝180°，x ＝36，1036360==n ．提升点3：求不规则图形的角度之和例5：如图7-3-2-4，∠B ＋∠F ＝55°，求∠A ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数．A B C D E F图7-3-2-4【解】连结BE∵∠A ＋∠F ＝∠FEB ＋∠ABE∴∠A ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠C ＋∠D ＋∠DEB ＋∠CBE ＝360°【点拨】此题的图形为一不规则图形，对于不规则图形，常常可利用“化归思想”，通过添加辅助线将其转化为规则图形，连结BE ，即可把所求的4个角之和转化为四边形的内角和．40A4040Ⅳ．提升点全面突破例1：（2011，江苏海安七校联考，阅读题）小明和小华一起做功课，小明对小华说：“我给出一道题给你做做！一个多边形各内角都等于72°，求这个多边形的边数．”小华想了又想，答不出来，他灵机一动，对小明说：“我也考考你，一个凸四边形的四个内角的度数比为1∶2∶3∶8，求这个四边形四个内角的度数．”小明想了想说：“你这道题出错了！”小华马上反击道：“你才出错了呢！”他俩说得对吗？若题目正确，请给出回答；若题目不正确，试改变题目中数据使其变成正确的题目，并给出解析．【解】他俩说得都对，小明的题目：设多边形为n边形，则72n＝180(n－2)，解得n＝103，所以小明的题目错误．小华的题目：设四边形的四个角分别为x°，2x°，3x°，8x°，则x＋2x＋3x＋8x＝360，解得x＝1807，所以最大的角等于14407，由于14407＞180°，所以这个四边形不是凸四边形．题目可改为：“一个多边形各内角都等于108°，求这个多边形的边数”，“一个凸四边形的四个内角的度数比为1∶2∶3∶2，求这个四边形四个内角的度数．”【点拨】判断题目是否出错，可由题目做做看，如果能做出合适而定结果则题目正确，如果题目做不出结果，或做出的结果不符合要求，则题目不正确．Ⅴ．分层实战A组．基础训练1．（知识点1）四边形的内角和为（）A．90°B．180°C．360°D．720°2．（知识点3）已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形B．十二边形C．十边形D．九边形3．（知识点1）一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为（）．A．9B．8C．7D．64．（知识点2）如果一个多边形的每个外角都相等，且小于45°，那么这个多边形的边数最少是（）A．8 B．9 C．10 D．115．（知识点3）一个多边形的每一个外角的度数等于其相邻内角度数的13，则这个多边形是_________边形．6．（知识点2）n边形的每个外角都为24°，则边数n为___________．7．（知识点2）四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1∶2∶3∶4，那么∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝．8．（知识点1）如图7-3-2-5，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，则∠C的度数是，∠D的度数是．图7-3-2-5 9．（知识点1）两个多边形的边数之比为1：2，内角和度数之比为1：3，这两个多边形分别是_____边形和_____边形．B组．培优训练1．（提升点1）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为1800°，你知道原多边形的边数为（）A．11 B．12 C．13 D．11或12或132．（提升点2）某花园内有一块五边形的空地如图7-3-2-6所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2 m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（）A．6πm2B．5πm2C．4πm2D．3πm27-3-2-63．（提升点1）一个多边形恰好有三个角是钝角，这个多边形最多有________条边．B组．培优训练1．D，点拨：先求出截后的多边形边数为12，因为截取一个角后，多边形有可能增加、减少一条边或者边数不变．2．A，点拨：本题中暗含了一个条件是：各个扇形的圆心角之和为360°，即各个扇形的面积正好等于一个半径为2m长的圆的面积．4．（提升点1）多边形的内角和与某一个外角的度数之和为1350°，求这个多边形的边数．5．（提升点3）如图7-3-2-7，在四边形ABCD中，∠C与∠D的平分线相交于P，且∠A＝70°，∠B＝80°，求∠P的度数．图7-3-2-7 6．（提升点1）在一个凸n边形中，有（n－1）个内角的和恰为8 940°，求边数n的值．7．（提升点3）如图7-3-2-8，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠AGF 的度数．图7-3-2-87.3.2多边形的内角和A 组．基础训练1．C ，点拨：四边形的内角和等于180°×(4－2)＝360°．2．C ，点拨：设多边形的边数为n ，则有（n －2）×180＝360×4，解得n ＝10．3．D ，点拨：设这个多边形的边数为n ，则有120n ＝(n －2)180，解得n ＝6．4．B ，点拨：正多边形的边数越多，每个外角度数就越小，当每个外角度数为45°，这个多边形是8边形，当每个外角小于45°时，那么这个多边形的边数最少为9．5．八，点拨：先求出每个外角等于45°．6．15，点拨：由于多边形的外角和为360°，360÷24＝15，所以多边形有15条边．7．4∶3∶2∶1，点拨：设四个外角分别为x°、2x°、3x°、4x°，则x ＋2x ＋3x ＋4x ＝360，解得x ＝36，则四个外角分别为36°、72°、108°、144°，则这四个角的度数为144°、108°、72°、36°．8．160°，120°，点拨：延长AB 交DC 的延长线于点G ，因为AF ∥CD ，∠A ＝120°，所以∠G ＝60°，因为∠B ＝80°，∠G ＝60°，所以∠BCG ＝20°，所以∠BCD ＝160°，因为AB ∥DE ，所以∠D ＝180°－∠G ＝120°．9．四；八，点拨：设这两个多边形的边数分别为n °、2n °，所以180(n －2)∶180(2n －2)＝1∶3，解得：n ＝4．B 组．培优训练1．D ，点拨：先求出截后的多边形边数为12，因为截取一个角后，多边形有可能增加、减少一条边或者边数不变．2．A ，点拨：本题中暗含了一个条件是：各个扇形的圆心角之和为360°，即各个扇形的面积正好等于一个半径为2m 长的圆的面积．3．6，点拨：由于这个多边形有三个角是钝角，则这个多边形有三个外角是锐角，由于多边形的外角和为360°，所以其他最多有3个钝角或直角．4．解：设多边形的边数为n ，由题意，这个多边形内角和小于1350°，且是180°的倍数，所以这个多边形的内角和180(n －2)＝1260，解得：n ＝9．AEF BG DC所以这个多边形的边数为9．5．解：∠P＝180°－12∠ACD－12∠CDB＝180°－12(∠ACD＋∠CDB)＝180°－12(360°－∠A－∠B)＝180°－12(360°－150°)＝75°6．解：设此凸n边形中有一个内角为α，剩余（n－1）个内角之和恰好8940°．∴α=（n－2）·180°－8940°．∵0°＜α＜180°，内角和比8940大，且是180°的倍数，∴（n－2）·180°＝9000°∴n－2＝50，∴n＝52．∴这个凸多边形是凸52边形．7．解：连结BF，设AB与FG相交于O点，在△AOG和△BOF中，∵∠AOG = ∠FOB，∴∠A＋∠AGF =∠1＋∠2，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠AGF=（∠1＋∠ABC）＋（∠2＋∠EFG）＋∠C＋∠D＋∠E=∠CBF＋∠BFE＋∠C＋∠D＋∠E．而这5个角之和为五边形BFEDC的内角和，故为（5－2）×180°＝540°．∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠AGF＝540°．。