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三角形内角和定理证明
三角形内角和定理证明
三角形内角和定理是几何学中一个重要的定理，该定理在三角形中描述了三个内角之和为180°。
该定理有很多不同的证明方法，而在本文中，我们将使用向量方法来证明三角形内角和定理。
证明：
假设有ABC三角形，由OA、OB、OC分别表示三边AB 、BC、CA所对应的单位向量，则有：
OA+OB+OC=0
推导：假设OA和OB的夹角为θ ,OA和OC的夹角为φ。
记角度A＝|OA，OB|，C＝|OC，OA|，以及B＝|OB，OC|，
根据内积公式有：
OA·OB = |OA|. |OB|cosθ
代入上式：
OA·OB + OC·OA + OB·OC=(|OA|. |OB| + |OB|. |OC| + |OC|. |OA|)cosθ cosφ cos（180°-θ-φ）
结合此处弦长恒等于两边之和（a²=b²+c²-2bc·cosA）：
结论：由上述推导，OA+OB+OC=0，即A+B+C=180°。
三角形内角和三种证明
三角形内角和三种证明
三角形内角和是指三角形内部所有角的度数之和。
为了方便计算和分析，人们一般都将三角形内角和定义为180度。
三角形内角和有三种不同的证明方法。
第一种证明方法是基于平行线相交定理。
这个定理告诉我们，如果一条直线与两条平行线相交，那么相交两侧的对应角相等。
我们可以将三角形的一条边延长，再在延长线上画一条平行线，使其与另一边相交。
这样，我们就得到了两个相等的内角，它们的和是180度。
我们再用同样的方法证明另外两个内角的和也是180度，这样就得到了整个三角形内角和为180度的结论。
第二种证明方法是基于三角形的外角和定理。
这个定理告诉我们，三角形的一个外角等于其对应内角的补角。
也就是说，三角形的三个外角的和等于360度。
然后我们就可以用180度减去一个内角的补角，得到了这个内角的度数。
我们对三个内角分别做这样的计算，再把它们相加，就得到了三角形内角和为180度的结论。
第三种证明方法是基于等腰三角形的性质。
如果一个三角形两边相等，那么它的两个内角也相等。
我们可以把一个三角形分成两个等腰三角形，然后分别计算它们的内角和。
由于它们的内角相等，所以它们的和也相等。
最后把这两个和相加，就得到了整个三角形内角和为180度的结论。
- 1 -。
三角形内角和定理证明方法
三角形内角和定理证明方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊三角形内角和定理的证明方法呀！这可是几何里超级重要的一块呢！你看那三角形，三个角就像三个小伙伴，它们凑在一起可有大秘密哦！咱们要证明它们的和永远是 180 度，这多有意思呀！有一种证明方法就像是搭积木一样。
我们可以画一个三角形，然后把它的三个角剪下来，哎哟，这就像把小伙伴们分开啦。
接着呢，把这三个角拼在一起，你猜怎么着，嘿，它们正好能拼成一个平角，那不就是 180 度嘛！你说神奇不神奇？这就好像三个小伙伴手牵手围成了一个圈一样。
还有一种方法呢，就像是走迷宫找出口。
我们在三角形里画一条平行线，然后通过各种角度的关系来发现内角和的秘密。
就好像在迷宫里找到正确的路径，一旦找到了，哇，恍然大悟！这不是 180 度嘛！咱再想想，这三角形内角和定理不就像是家里的规矩一样嘛，是永远不变的呀！不管这个三角形是大是小，是胖是瘦，它的内角和永远都是 180 度，就像家里的一些老规矩，不管啥时候都得遵守。
你说要是没有这个定理，那几何的世界得乱成啥样呀？就好比没有了交通规则，马路上还不得乱套啦！大家可别小瞧了这个定理哦，它在好多地方都有用呢！盖房子的时候，工程师得用它来保证房子结构稳定吧；画图画设计的时候，设计师也得靠它来让图形更完美吧。
所以说呀，三角形内角和定理真的是太重要啦！咱可得把它牢牢记住，就像记住自己的名字一样。
以后看到三角形，就想想它那三个角加起来是180 度，这多有意思呀！总之呢，三角形内角和定理的证明方法多种多样，但不管哪种方法，都让我们更深入地了解了几何的奇妙世界。
它就像一把钥匙，打开了我们探索几何奥秘的大门。
让我们一起在这个奇妙的几何世界里尽情遨游吧！。
三角形的内角和证明
三角形的内角和证明
定理:三角形内三个角的和等于180度。
证明:
1. 先取一个平面内的任意直线l,在该直线上取一点P。
2. 在直线l的同侧作一条射线q,使其与直线l的夹角为A。
3. 令q绕点P作旋转,使之与初始位置重合。
4. 在此过程中,q转过了一个平面角。
我们知道,平面角的大小等于360度。
5. 当q旋转时,它与直线l所成的夹角不断变化,从A变为A+B,再变为A+B+C,最后又变回A。
6. 因此,A + B + C = 360度。
7. 由于三角形的三个内角分别为A,B,C,所以三角形的内角和为180度。
结论:任意三角形的内角和都等于180度。
人们常以这种方式来证明三角形内角和等于180度的定理。
该证明基于射线的旋转和平面角的性质,并利用了代数计算。
这种证明不仅清晰简洁,而且富有几何意味,是一种经典的证明方法。
三角形内角和定理的证明
随堂练习
☞
2、已知：如图在△ABC中， 已知：如图在△ABC中 DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： 求证： ∠ADE=500
证明： DE∥BC（已知） 证明：∵ DE∥BC（已知） ∴∠AED=∠C ∴∠AED=∠C D E 两直线平行，同位角相等） （两直线平行，同位角相等） C B ∵∠C=70 已知） ∵∠C=700（已知） （第2题） 题 ∴∠AED=70 等量代换） ∴∠AED=700（等量代换） ∵∠A+∠AED+∠ADE=180 ∵∠A+∠AED+∠ADE=1800 三角形的内角和定理） （三角形的内角和定理） 已知） ∠A=600（已知） ∴∠ADE=180 等量代换） ∴∠ADE=1800-600-700=500（等量代换） 即∠ADE=500
1 2
1 2 B D
图5
3
C
C
图6
D
…………
回顾与思考 ☞
言必有“据”
我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个 结论的探索过程吗? A (1)如图,当时我们是 1 把∠A移到了∠1的位 置,∠B移到了∠2的位 置.如果不实际移动 3 1 2 ∠A和∠B,那么你还有 B 2 C D 其它方法可以 达到同 样的效果? (2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
三角形内角和定理---三角形内角和定理---三角形三个内角的和等于180 三角形三个内角的和等于1800
在证明三角形内角和定理时, 在证明三角形内角和定理时,小明的想法是 把三个角“ 他过点A 把三个角“凑”到A处,他过点A作直线 PQ∥BC(如图),他的想法可以吗 如图),他的想法可以吗? PQ∥BC(如图),他的想法可以吗? P A Q 1 3 2 证明：过点A作 ∥ ， 证明：过点 作PQ∥BC，则 两直线平行,内错角 ∠1=∠B(两直线平行 内错角 B ∠ 两直线平行 C ∠ 两直线平行,内错角相等 两直线平行 内错角相等 相等) 相等 ∠2=∠C(两直线平行 内错角相等) ∵∠1+∠ ∠3 ∠3=1800 (平角的定义 平角的定义) 又∵∠ ∠2+∠3 平角的定义 ∠C=1800 (等量代换 等量代换). ∴ ∠BAC+∠B+∠C ∠ ∠C 等量代换
《三角形内角和定理的证明》上课课件
☞ 回顾与思考
我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还 记得这个结论的探索过程吗? (1)如图,当时我们是把∠A移 到了∠1的位置,∠B移到了 ∠2的位置.如果不实际移动 ∠A和∠B,那么你还有其它方 B 2 法可以 达到同样的效果?
A
1
3 1 2 C
D
(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说 这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出 这一证明过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于1800.
例题欣赏 ☞
已知:如图6-9,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800.
分析:延长BC到D,过点C作射 B 线CE∥AB,这样,就相当于把 ∠A移到了∠1的位置,把∠B 移到了∠2的位置. 证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
6.5 三角形内角和定理的证明
回顾与思考 ☞
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路; (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地 写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善. 与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.
A
1
E
3
C
பைடு நூலகம்
2
D
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅助 线通常画成 虚线.
三角形的内角和定理的证明
三角形的内角和定理的证明
三角形的内角和定理是指任意三角形的三个内角的和等于180度。
在
数学中，三角形是最基本的几何图形之一，研究三角形性质的重要一环就
是研究三角形的内角和。
证明三角形的内角和定理可以通过几何方法或代
数方法。
下面我将通过几何方法进行证明。
证明三角形的内角和定理：
D_____________E
____________
由平行线的性质，得∠ACD=∠CDE（对应角）、∠CBD=∠CDE（同位角）。
则∠ACD+∠CBD=∠ACD+∠CDE+∠CBD=∠CDE+∠CDE=2∠CDE。
而∠ACB和∠CDE是同位角，根据同位角相等的性质，得∠ACB=∠CDE。
因此，∠ACB+∠CDE=∠ACB+∠ACB=2∠ACB。
类似地，我们还可以得到∠ABC+∠CDE=2∠ACB。
再根据同位角相等的性质，得∠ABC+∠ACB=∠ACB+∠ACB=2∠ACB。
综上所述，∠ACB+∠ABC+∠ACB=2∠ACB+2∠ACB=4∠ACB。
(1)
另一方面，由三角形的补角性质可知，∠ACB和∠ABC是补角，即
∠ACB+∠ABC=180度。
(2)
将方程(2)代入方程(1)中，得4∠ACB=180度，即∠ACB=45度。
所以，三角形的内角和定理得证，即∠ACB+∠ABC+∠ACB=180度。
综上所述，任意三角形的三个角的和等于180度，即三角形的内角和定理成立。
【注意】：
实际上，这个证明是利用了平行线和同位角的性质，通过构造了平行线DE来推导三角形的内角和定理。
7.5三角形内角和定理的证明
D
E C
（第3题）
∴ ∠ AED= ∠ C = 700 （两直线平行，同位角相等）
∵ ∠ A+ ∠ AED+ ∠ ADE=1800（三角形的内角和定理） ∠ A=600（已知） ∴ ∠ ADE=1800—600—700=500（等量代换） 即∠ ADE= 500
证明： 因为 ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
所以 ∠A+∠B=180°-∠ACB（等式性质） 又因为 ∠ACF+∠ACB=180°（三角形外角定义） 所以 ∠ACF=180°-∠ACB（等式性质）
所以 ∠ACF=∠A+∠B（等量代换）
• 在任意一个三角形中，无论这个三角形的形状如 何，三角形的内角和总等于180度。
1、△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ 2、 △ABC中∠A=50°，∠B=∠C，则∠B=？
练一练
3、三角形的三个内角中，只能有__个直角或__个钝角 4、任意一个三角形，至少有__个锐角,至多有__个锐角 5、任意一个三角形，最大的角一定不小于 度； 6、三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？
证明： 因为 ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理）
所以 ∠A+∠B=180°-∠ACB（等式性质） 又因为 ∠ACF+∠ACB=180°（三角形外角定义） 所以 ∠ACF=180°-∠ACB（等式性质）
所以 ∠ACF=∠A+∠B（等量代换）
实际问题
如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶， C处有一灯塔，轮船行驶到哪一点时距离 灯塔最近？当轮船从A点行驶到B点时， ∠ACB的度数是多少？当轮船行驶到距离 灯塔最近点时呢？ C
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（六）板书设计
三角形内角和定理的证明
定理 三角形的内角和等于180° （1）CAB型
已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B+∠ACB=180°
证明：作BC的延长线CD，过
点C作射线CE∥BA，则有
∠1=∠A（两直线平行，
A
D
B
C
课堂练习
1、三角形的内角和等于_____,直角三角形 的两个锐角的和等于_____.
2、在△ABC中，∠A=10°， ∠B=25°，则 ∠C=____。
3、在△ABC中，∠A=30°，∠C=2∠ B， 则∠B=____。
4、在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=2︰3︰4 ， 则∠A=___,∠B=____,∠C =____.
5、在△ABC中，∠A-∠B=∠C，则∠A=____.
6、在△ABC中，∠A=58°， ∠B=42°， 则△ABC是（ ） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
7、如图，∠A+∠B+∠C+∠A+∠B等于（ ） A、180° B、360° C、540° D、不确定
A
B
E
C
D
知识运用
内错角相等）
∠2=∠B（两直线平行，
（2）CBA型
同位角相等）
∵ ∠1+∠2+∠ACB=180°
（平角的定义）
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°
（等量代换）
（3）BCA型 （4）B（CA）型
例：如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边 上的高，你能得到那些有关 角的结论（包括角的度数以 及角与角之间的关系）？并 说明理由。
（1）CAB型
A
（3）BCA型 A
A
B
CB
（2）CBA型
A
A
B
C
B
（4）B（CA）型
A
B CA B
B
CA
（1）CAB型
A
A
B
CB
（2）CBA型
A B
CA B
A
E
12
B
D
C
A E
B
D
C
（3）BCA型
A
A
B
C
B
（4）B（CA）型
A
B
CA
A
D
B
C
E
A D
B C
如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边 上的高，你能得到那些有关角的结论（包括角 的度数以及角与角之间的关系）？并说明理由。
A
D
B
C
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己Leabharlann 饭量自己知道。——苏联某单位需一大型模板如图所示.设计要 求BA与CD成30°角,DA与CB成20°角.假 设你是质检员,你将通过怎样的检测手段,来 检查模板是否合格?
A
D
B
C
(五)课堂小结
1、三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°
2、三角形内角和定理的证明的基本思路： （1）把三个内角拼在一起构成平角 （2）利用“两直线平行，同旁内角互补” 实现转化
三角形内角和定理证明
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
三角形内角和定理的证明
任意剪下三角形的三个内角，你可以怎 样拼成一个平角？（用尽可能多的方法）