三角形内角和定理证明方法赏析
三角形的初步知识—证明（详细解析考点分析名师点评）
三角形的初步认识—三角形的内角和定理答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于（）A、2度B、3度C、5度D、7度考点：质数与合数；三角形内角和定理。
专题：探究型。
分析：由题意，根据三个角的内角和是180°可判断出，三个内角中必有一个内角是偶数，找出既是偶数又是质数的数即可．解答：解：∵三个内角的和是180°，是一个偶数，∴必有一个内角为偶数，又∵三角形三个内角的度数都是质数，∴既是偶数又是质数的只有2；∴这三个内角中必定有一个内角等于2°；故选A．点评：本题考查的是质数与合数，知道既是偶数又是质数的只有2，是解答此题的关键．2、如图，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC的度数为（）A、68°B、112°C、121°D、136°3、如图：BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A=100°，则∠BOC的度数为（）A、80°B、90°C、120°D、140°考点：角平分线的定义；三角形内角和定理。
分析：△ABC中，已知∠A即可得到∠ABC与∠ACB的和，而BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，即可求得∠OBC与∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理即可求解．解答：解：△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣100°=80°，∵BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线．∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=40°，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=140°．故选D．点评：本题主要考查了三角形的内角和定理，以及三角形的角平分线的定义．4、如图，AE⊥AB，∠ABC=90°，AC平分∠BAD，∠3=∠4，则下列结论中错误的是（）A、BC∥AEB、∠1+∠7=∠5+∠6C、∠APE=90°﹣∠7D、∠6=∠8故B正确；∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠7=180°，∴（∠1+∠2+∠3+∠4）=180°﹣∠7，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°﹣∠7∴∠APB=180°﹣（∠1+∠3）=90°+∠7，∴∠APE=180°﹣（90°+∠7）=90°﹣∠7，故C正确；∵A、B、C都正确，∴只有D错误．故选D．点评：此题主要考查了角平分线的性质，三角形外角与内角的关系，平行线的判定，题目综合性较强，但是难度不大，较好．5、（2011•昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）A、45°B、60°C、75°D、85°6、（2011•台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（）A、37B、57C、77D、97考点：三角形内角和定理。
第4章三角形证明题型解读1 三角形内角和定理及外角定理题型-2020-2021学年北师大版七数学
《三角形证明》题型解读1：三角形内角和定理及外角定理题型【知识梳理】1.三角形内角和定理①三角形的三个内角的和等于1800。
②证明过程---解题思路：把三角形三个内角，通过平行线性质，转化成一个平角。
如图，过△ABC 的顶点A 作DE//BC ，∵DE//BC ，∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC ，∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形的三个内角和是180°.③拓展：n 边形内角和公式（n-2）×18002.三角形的外角①三角形外角的特征：顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三角形的一边；另一条边是三角形另一边的延长线；如图2，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6均是△ABC 的外角；由于这6个角中存在三组对顶角，所以一般说一个三角形的外角，是指它的三个外角。
②三角形的外角和定理：三角形的三个外角和等于360º如图2，∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6=360°； ③三角形的外角性质：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，注意：“不相邻”； 如图2，∠1=∠2=∠ACB+∠ABC 、∠3=∠4=∠BAC+∠ACB 、∠5=∠6=∠BAC+∠ABC.④三角形的外角大于和它不相邻的任意一个内角，注意：“不相邻”；⑤拓展：四边形的外角性质:如图，当∠A+∠C=180°时∠EDC=∠B【典型例题】 例1. 已知AB//CD ，求证：∠B=∠E+∠DE D C B AE D C B A E DC B A ∠∠°∠∠∠°∠∠∠∴∠=∠D+∠E （等量代换）21图2654321CB A【解析】：这是平行线中三大典型模型的“牛角模型”，未知外角性质定理时，我们的证明过程如下：当我们学习了外角性质定理时，证明过程就要简洁一些了。
证明：∵AB//CD （已知）， ∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等），∵∠1=∠D+∠E （三角形外角性质），∴∠B=∠D+∠E （等量代换）.例2.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，则这个“特征三角形”的最小内角的度数为____.【解析】：定义新运算题型，考查数学阅读理解能力，运用三角形的内角和定理即可解答。
三角形内角和证明方法
三角形内角和证明方法三角形内角和是指三角形的三个内角的度数之和，它是三角形最基本的性质之一。
在本文中，我们将介绍一些关于三角形内角和的证明方法。
1.我们可以使用三角形内角和定理来证明三角形内角和的性质。
根据该定理，三角形的内角和等于180度。
证明方法：假设ABC是一个三角形，我们可以作三角形的外接圆O。
连接AO，BO，CO，以及连接AO与BC的垂线OD。
根据外接圆的性质，AO的长度等于半径R，而R为定值。
又因为AO与OD相交，所以AO的垂足D到外接圆的距离等于OD的长度。
由于OD与BC垂直，并且是BC的中线，所以OD的长度等于BC的一半，即OD=BC/2。
根据三角形ABC的内角和定理，∠A+∠B+∠C=180度，而∠A和∠B是三角形的两个锐角，它们可以理解为AO和BO在三角形内角A和B上的倒影，所以∠A和∠B的和等于AO和BO的倒影两个角之和，即∠A+∠B=∠DOA+∠DOB。
同理，∠B+∠C=∠BOC+∠BOA，∠C+∠A=∠COA+∠COD。
因为∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD=360度，而∠A+∠B+∠C=180度，所以∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD-∠A-∠B-∠C=360度-180度=180度。
同理∠DOA+∠COA=180度-∠A-∠C，∠DOB+∠BOA=180度-∠A-∠B，∠BOC+∠COD=180度-∠B-∠C。
将上述等式代入∠A+∠B+∠C=180度，得到：(180度-∠A-∠C)+(180度-∠A-∠B)+(180度-∠B-∠C)=180度。
化简上述等式，可以得到3*180度-2*(∠A+∠B+∠C)=180度，即3*180度=2*(∠A+∠B+∠C)，进一步化简为∠A+∠B+∠C=180度。
证明完毕。
2.另一种证明三角形内角和的方法是使用拓扑学中的欧拉公式。
根据欧拉公式，一个简单多边形的顶点数、边数和面数之间存在着一个关系。
三角形的内角和定理的证明反思
《三角形的内角和定理的证明》教学反思古交市实验中学王巧珍《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖与记忆，动手实践自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式”。
要使学生逐步探究发现三角形三个内角的度数和等于180°，最有效方法是让学生真正投入到探究活动的全过程中，本节课我让学生寻求拼折以外的其它方法来求出三角形的内角和。
通过小组讨论，学生从已有的知识出发，通过作平行线，利用同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，很快推理出三角形的内角和是180度。
温故而知新，让学生在自主探究，合作交流中经历，猜想、验证、结论这一个过程，体验探究学习的乐趣。
学生分组，探讨证明方法，教师巡回指导。
之后总结学生探讨出来的各种证明方法，由学生相互评价，教师在对学生的各证明方法给出鼓励性的评价。
另外，利用电子白板进行本节教学，也给我带来很大的方便。
例如配合利用智能感应电子白板的手写笔就能代替鼠标操作，可以在上面进行任意的书写、批注以及操作电脑，从而提高教学效率和课件演示的生动性。
还有，电子白板还可以模拟黑板、绿板、白板等的板书教学模式，在板书写满时候，只需一键选择清屏，或者新建页面教学，这样也可以节省很多传统的擦除字迹的时间，而且没有粉尘。
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通过这节课的教学我认为：在素质教育不断发展的今天，作为教师，我们应该不断更新自己的教学观念，树立先进的教学理念，并把先进的教学理念化为教学行为，只有这样，我们才能改变长期形成的、习惯了的旧的教学方式，才会树立“以学生发展为本”的理念，让学生充分从事数学探究活动，发挥学生学习的自主性、主动性、选择性和创造性，让学生在自主探索中不断地发展！。
三角形内角定理
三角形内角定理介绍三角形内角定理是几何学中的重要定理之一，它揭示了三角形内角之间的关系。
本文将全面探讨三角形内角定理及其相关概念，包括定义、性质、证明方法等。
通过深入研究此定理，我们可以更好地理解三角形的性质和几何学的基本原理。
三角形的定义在几何学中，三角形是由三条线段连接在一起的平面图形。
其中的三个线段称为边，连接边的点称为角。
三角形有三个内角和三个外角，内角是指三角形内部的角度，外角则是指三角形内一点与两条邻边所形成的角度。
下面是三角形定义的形式化表示：定义 1：三角形是由三个不共线的点所确定的一个平面图形。
三角形内角和对于任意一个三角形ABC，它的三个内角分别为∠A、∠B、∠C。
根据三角形内角和定理，这三个内角的和等于180°，即：三角形内角和定理：∠A + ∠B + ∠C = 180°内角和定理是三角形的基本性质，它适用于任何三角形，无论是等边三角形、等腰三角形还是一般的三角形。
这个定理可以通过多种方法进行证明，下面我们将介绍两种常用的证明方法。
证明方法一：平行线相交定理在平面几何中，平行线相交定理指出，如果一条直线和两条平行线相交，那么所形成的对应内角相等。
我们可以利用这个定理来证明三角形内角和定理。
证明方法二：直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个内角为90°的角。
我们可以通过构造直角三角形来证明三角形内角和定理。
三角形内角和定理的应用三角形内角和定理在几何学的应用中非常广泛。
它可以帮助我们解决各种与三角形有关的问题，例如计算缺失的角度、证明两个三角形相似或全等等。
应用一：计算缺失的角度在已知一个三角形的两个内角，我们可以利用内角和定理计算出第三个内角。
例如，如果已知一个三角形的两个内角分别为60°和90°，我们可以使用内角和定理计算第三个内角：180° - 60° - 90° = 30°。
应用三角形内角和定理及其推论解题例析
应用三角形内角和定理及其推论解题例析三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论1：直角三角形的两个锐角互余；推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； 推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
以上关于三角形的内角和定理及其推论在解题中有比较广泛的应用，下面举例说明。
一、求角度的大小例1：在△ABC 中，若∠A: ∠B: ∠C=1:2:3，则∠C=_______。
解：依题意，不妨设∠A=x ，则∠B=2x ，∠C=3x ，因此由三角形的内角和定理可得：x+2x+3x=180°，解之得：x=30°，故∠C=3x=90°。
例2：如图1，已知∠1=20°，∠=25°，∠A=35°，则∠BDC 的度数为_______。
图1 图2 解：在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-35°=145°， ∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)-( ∠1+∠2)=145°-(20°+25°)=100°. 在△BDC 中，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-100°=80°.例3：如图2，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于E ，交AC 于D 。
若∠B=53°，则∠CDE=_______.解：∵△ABC 是直角三角形，∠B=53°，∴由三角形内角和定理的推论1，得∠A=90°-53°=37°。
再由三角形内角和定理的推论2，得∠CDE=∠A+∠AED=37°+90°=127°。
二、求多角的和例4：如图3，一个任意的五角星，它的五个角(∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E)的和为（ ） A.50° B.100° C.180° D.200°BCD1 1BCDAEA图3 图4解：由推论2知，∠2=∠B+∠D ，∠1=∠C+∠E ；又由定理知：∠1+∠2+∠A=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故本题应选C 。
三角形内角和定理的证明剖析
三角形内角和定理的证明剖析首先，我们可以从实际中观察到三角形的内角和等于180度。
我们可以绘制一个实际的三角形，并利用一个转角器测量三个内角的度数，然后相加。
例如，我们可以绘制一个直角三角形，其中两个直角边的长度分别为3cm和4cm。
通过使用一个转角器，我们可以发现三个内角的度数分别为90度、45度和45度。
相加后得到180度，与三角形内角和定理一致。
接下来，我们来分析三角形内角和定理的几何证明。
设有一个任意的三角形ABC，我们通过将角A的边BC边上面画一条高AD，将三角形ABC分为两个小三角形ABD和ACD。
由于三角形ABD和ACD是由相等的直角和边AD分割而成的，所以它们是相似三角形，即具有相等的对应角。
因此，角DAB等于角DAC，记作∠DAB=∠DAC。
再来考虑三角形ABC的另一个内角B。
我们可以通过在角B的边AC上面画一条高BE，将三角形ABC分为两个小三角形AEB和CEB。
同样地，由于三角形AEB和CEB是由相等的直角和边BE分割而成的，所以它们是相似三角形，即具有相等的对应角。
所以，角AEB等于角CEB，记作∠AEB=∠CEB。
因为∠DAB=∠DAC，∠AEB=∠CEB，并且两个相似三角形ABD和ACD以及AEB和CEB共享一条边AB和AE，所以根据共享边的夹角相等原理，角ABD等于角ACD（∠ABD=∠ACD），角AEB等于角CEB（∠AEB=∠CEB）。
综上所述，我们利用相似三角形和共享边的夹角相等原理，证明了角ABD等于角ACD，角AEB等于角CEB。
再来考虑三角形ABC的第三个内角C。
我们可以通过在角C的边AB上面画一条高CF，将三角形ABC分为两个小三角形ACF和BCF。
同样地，由于三角形ACF和BCF是由相等的直角和边CF分割而成的，所以它们是相似三角形，即具有相等的对应角。
所以，角ACF等于角BCF，记作∠ACF=∠BCF。
同样地，由于∠ACF=∠BCF，并且两个相似三角形ACF和BCF共享一条边CF，根据共享边的夹角相等原理，可以得出角ACB等于角CAB（∠ACB=∠CAB）。
三角形内角和定理的应用
三角形内角和定理的应用三角形内角和定理是中学数学中的重要知识点之一。
它可以帮助我们计算三角形内角的和，从而解决各种和三角形相关的问题。
本文将介绍三角形内角和定理的定义和公式，并运用定理解决几个实际问题。
一、三角形内角和定理的定义和公式在开始讨论三角形内角和定理的应用之前，我们先来回顾一下定理的定义和公式。
三角形内角和定理是指：一个三角形的内角的和等于180度，或者说三角形的三个内角的和等于180度。
根据上述定理，我们可以得到以下公式：对于任意一个三角形ABC，其三个内角分别记作∠A、∠B、∠C，则有∠A + ∠B + ∠C = 180度。
接下来，我们将通过一些具体的例子来展示三角形内角和定理的应用。
二、应用举例例1：已知某个三角形的两个角分别为70度和45度，求第三个角的度数。
解：根据三角形内角和定理，三个内角的和等于180度。
设第三个角的度数为x，则有70 + 45 + x = 180。
整理方程，得到x = 180 - 70 - 45 = 65。
因此，第三个角的度数为65度。
例2：在某个三角形中，一个角的度数是其它两个角的和的2倍，求这三个角的度数。
解：假设这三个角的度数分别为x、y和z。
根据题意可得条件方程：x = 2(y + z)。
又根据三角形内角和定理可得方程：x + y + z = 180。
将第一个方程代入第二个方程，得到2(y + z) + y + z = 180。
化简方程，得到3y + 3z = 180，进一步化简，得到y + z = 60。
然后将y + z = 60代入第一个方程，得到x = 2 * 60 = 120。
综上所述，这三个角的度数分别为120度、30度和30度。
例3：已知一个三角形的两个角分别为(x+20)度和(2x-10)度，求这个三角形的三个角的度数。
解：设这个三角形的三个角的度数分别为x、y和z。
根据题意可得条件方程：y = x + 20，z = 2x - 10。