陕西省西安市2021届高三数学第一次质量检测试题 理(含解析).doc
面 ABC 成 30°角，求出球半径后，代入球的表面积公式，即可得到答案．
【详解】在 中，由余弦定理得到
求得
，
由勾股定理得 为直角，∴ 中点 即 所在小圆的圆心，
∴
平面 ，且小圆半径为 1，
又直线 与截面 所成的角为
，
∴在直角三角形 中，球的半径为
,
∴球 的表面积为
.
故应选 D. 【点睛】本题考查了球的截面问题，考查了球的表面积公式，其中根据已知条件求出球的半 径是解答本题的关键，属于中档题．
得
，运用等差数列的性质和求和公式，计算可得到所求和．
【详解】函数
的图象关于 轴对称，平移可得
的图象关于 对称，且函
数在
上单调，由数列 是公差不为 0 的等差数列，且
，可得
，所以
，可得数列 的前 21 项和
.
故选：C. 【点睛】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及等差数列的求和公式， 考查运算能力，属于中档题．
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C.
D.
时， ，排除 C；当
时， ，排除 D,故选 A．
6.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排
甲，则不同的排法共有（ ）
A. 192 种
B. 216 种
C. 240 种
D. 288 种
在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合
，
，则集合
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由题意可得：
，
则集合
.
本题选择 A 选项.
2.在复平面内，为虚数单位，复数
对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，那么
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（2）X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 ．
【详解】（1）由公式
，所以有
的把握认为
喜欢“人文景观”景点与年龄有关. （2）随机变量 可能取得值为 0，1，2，3.
∴
，
，
，
，
∴ 的分布列为
0
1
2
3
则
.
【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算
交于不同两点 ， .线段 的垂直平分线交 轴于点
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的取值范围.
【详解】函数
的导数为
，得 在点 处的切线斜率
为
，因为函数 在点 处的切线方程为
，所以
，解得 .
故答案为： 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，导数的几何意义，属于基础题．
15.设 ，
，若对任意实数 都有
，则满足条件的有序实
数对 的对数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得 a、b 即可．
∴
.又∵
，∴
，∴
.
∵
，∴ 平面 .∵ 平面 ，∴平面
平面 .
（2）以 为原点,HA 为 x 轴，在平面 ADCB 过 H 作 AB 的垂线为 y 轴，以 HP 为 z 轴，建立建
立如图所示的空间之间坐标系
，则
，
，
，
，
，
则
，
.设平面 的法向量为
，由
，
解得 ∴
，即平面 的一个法向量为
，设二面角
的平面角为 ，
16.已知 是抛物线 的焦点， ， 是该抛物线上的两点， 点到准线的距离为______． 【答案】 【解析】 试题分析：设 A、B 的横坐标分别是 m、n，由抛物线定义，得
，则线段 的中 =m+ +n+ = m+n+ =3，
故 m+n= ，
，故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为
考点：本题考查了抛物线的性质
（2）由
，分别求得
，利用数列{bn}为等比数列，则有
，能求出 t 的值．
【详解】（1）由
，
当 时，
，得 ，
当 时，
，即
，
，
∴
，
故 成等比数列.
（2）由（1）知 是等比数列且公比是，∴
，
故
，即
，
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若数列 是等比数列，则有
，
而
，
，
.
故
，解得 ，
再将 代入 得：
.
【点睛】本题考查了由递推关系证明等比数列，考查了等比数列的应用，考查了运算求解能 力，推理论证能力，属于中档题． 18.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了 55 名市民，得 到数据如下表：
数为 ，求 的分布列、数学期望.
（参考公式：
，其中
）
0.15
0.10
0.05
0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）有
的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）计算 K2 的值，与临界值比较，即可得到结论；
）2 2+2 •
2＝9+3t+t2＝13，
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又由 t＞0，则 t＝1；
故答案为 1．
【点睛】本题考查向量数量积的计算公式，考查了向量的模的转化，属于基础题．
14.设函数
在点 处的切线方程为
，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】
对 求导，得 在点 处的切线斜率，由切线方程的斜率，即可得到 a 的值．
向量 对应的复数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
,选 D.
3.如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BC、BB1 的中点，则下列直线中与直线 EF
相交的是（ ）
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（A）直线 AA1 （B）直线 A1B1 （C）直线 A1D1（D）直线 B1C1 【答案】D 【解析】 试题分析： 只有 与 在同一平面内，是相交的，其他 A，B，C 中直线与 都是异面直线，故选 D． 考点：异面直线
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线的距离公式，以及两点间的距离公式，属于基础题.
8.已知函数
的图象关于 轴对称，且函数 在
上单调，若数列
差不为 0 的等差数列，且
，则 的前 21 项之和为（ ）
是公
A. 0
B.
C. 21
D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数 y＝f（x+1）的图象关于 y 轴对称，可得 y＝f（x）的图象关于 x＝1 对称，由题意可
，又∵
，∴
.又平面 的一个法向量为 ，
∴二面角
的平面角为 .
【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查二面角平面角的值，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，利用向量法是解决问题的常用方法，属于中档题．
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20.已知椭圆 ：
的短轴长为 ，离心率为 ，过右焦点 的直线与椭圆
4.
的展开式的常数项是（ ）
A. -3
B. -2
C. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．
D. 3
【详解】
，
∴展开式的常数项
.
故选:D. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，求展开式中指定项的系数，属于基础题．
5.函数
的图象大致是（ ）
A.
B.
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由此能证明平面 PAB⊥平面 ABCD．
（2）以 H 为原点，HA 为 x 轴，在平面 ADCB 过 H 作 AB 的垂线为 y 轴，以 HP 为 z 轴，建立
空间直角坐标系 H﹣xyz，利用向量法能求出二面角
．
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，∵ 是正三角形， 为 中点，
，
∴
，且
.∵ 是矩形，
，
，
，
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可得
， ，解得 .
故应选 B.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及斜率公式，考查计算能力，属于基础题．
12.设函数
，
若实数 满足
，
则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
试题分析：对函数
求导得
，函数单调递增，
，由
知
，同理对函数
求导，
知在定义域内单调递增，
【详解】∵对于任意实数 都有
，
则函数的周期相同，若 ，
此时
，
此时
，
若
，则方程等价为
，
则
，则
，
综上满足条件的有序实数组 为
，
，共有 2 组.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质， 结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．
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陕西西安2021高三数学上第一次质量检测(文)(解析版)
2021届陕西省西安市高三上学期第一次质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2450A x x x =--<，{}1,0,1,2,3,5B =-，则AB =（ ）．A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】D【分析】解一元二次不等式求出集合A ，两集合取交集即可. 【详解】因为{}15A x x =-<<，{}1,0,2,3,5B =-，所以{}0,1,2,3A B =．故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式，属于基础题. 2．若i 为虚数单位，(23)i i +=（ ） A ．32i - B ．32i + C ．32i -- D ．32i -+【答案】D【分析】根据复数的基本运算可求出结果． 【详解】()2232332i i i i i +=+=-+.故选：D.3．已知点()2,3A -在抛物线22y px =的准线上，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【分析】由题意点()2,3A -在抛物线的准线上得到22p-=-可得答案. 【详解】由已知得，抛物线22y px =的准线方程为2px =-，且过点()2,3A -， 故22p-=-，则4p =. 故选：C.4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{}n a 中，2a ，8a ，12a 依次成等比数列，则4a 的值是（ ）A ．1619B ．2219C ．26-D ．58【答案】A【分析】由已知得11a =和28212a a a =⋅，可求出119d =-，利用等差数列的通项公式得到4a . 【详解】设公差不为零的等差数列{}n a 的公差为d ，则有0d ≠， 因为2a ，8a ，12a 依次成等比数列，11a =，所以有28212a a a =⋅，即121(71)1()()a d a d a d +=++，整理得2119d a d =-，因为0d ≠，所以119a d =-，119d =-， 因此14316311919a a d =+=-=， 故选：A.5．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】观察九宫格中的图形变化规律，发现图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据些规律得到正确的答案． 【详解】观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的， 根据这些规律观察四个答案， 发现B 符合要求． 故选B ．【点睛】本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】B【分析】由三视图画出该三棱锥的直观图，进而求出该三锥体的体积即可.【详解】由三视图画出该三棱锥的直观图，如下图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，4AB =，BC CD ⊥，且4BC =，3CD =， 所以该三棱锥的体积1114348332BCDV S AB =⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三视图，考查三棱锥体积的计算，考查学生的空间想象能力，属于基础题.7．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+其中(0,2)ϕπ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切x ∈R 恒成立，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】先由三角函数的最值得π2π6k ϕ=+，由其范围求得函数()f x 的解析式，进而可得单调增区间. 【详解】因为对任意(),6x R f x f π⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2π6k ϕ=+，又因为(0,2)ϕπ∈，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间是,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； 故选：B.8．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2()f x f x +=，且当01x ≤≤时，()2(12)f x g x =+，则()2021f -=（ ） A ．lg3- B ．lg 9 C ．lg 3D ．0【答案】C【分析】由()()2f x f x +=得出函数的周期2T =，所以()()20211f f -=代入解析式可得答案. 【详解】由()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数的周期2T =，且当01x ≤≤时，()2(12)f x g x =+，所以()()20211lg3f f -==. 故选：C.9．直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P ,则2a b +=( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P ,可得1,2,k b ==求得()f x 的导数,可得1a =,即可求得答案. 【详解】直线1y kx =+与曲线()ln f x a x b =+相切于点()1,2P将()1,2P 代入1y kx =+可得:12k += 解得:1k =()ln f x a x b =+∴ ()af x x'=由(1)11af '==,解得:1a =. 可得()ln f x x b =+,根据()1,2P 在()ln f x x b =+上∴ ()1ln12b f =+=,解得:2b =故222 4.a b +=+= 故选:A.【点睛】本题考查了根据切点求参数问题,解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．53C ．94D ．3【答案】B【分析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出22949b b ab -=，可求得b a，再由公式e =可求得双曲线的离心率的值.【详解】由双曲线的定义得122PF PF a -=，又123PF PF b +=，()()2222121294PFPF PFPF b a +--=-，即1249PF PF ab ⋅=，因此22949b a ab -=，即29940b b a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则33140b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得43b a =，13b a =-（舍去），因此，该双曲线的离心率为53c e a ====. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立a 、b 所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.11．天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲､乙，丙､丁､戊､己､庚，辛，壬､癸；地支有十二，即：子､丑､寅､卯､辰，巳､午，未､申､酉､戌､亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（ ）年. A ．己巳 B ．甲申C ．戊寅D ．丙戌【答案】C【分析】利用列举法确定正确选项.【详解】列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，得2058年是戊寅年. 故选：C12．三棱柱111ABC A B C -中，棱1AB AC AA 、、两两垂直，12AA =，底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．8 B ．10πC ．12πD ．π【答案】 C【分析】三棱柱底面是等腰直角三角形，把它补成一个正方体，正方体的外接球就是三棱柱的外接球，而正方体的对角线是球的直径，由此可得球半径，从而计算出表面积．【详解】底面ABC 是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱111ABC A B C -可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：2=，所以球O 的表面积为2412ππ=， 故选：C ．.二、填空题13．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩，则2x y -的最大值为__________.【答案】4【分析】作出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出. 【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影分所示.令2,2z x y y x z =-=-，作直线2y x =，向下平移，易知当直线经过点(2)0，时z 最大，所以max 2204z =⨯-=. 故答案为：4.14．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10121414151516171717、、、、、、、、、，记这组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则,,a b c 由大到小的顺序为________. 【答案】c b a >>【分析】根据平均数，中位数，众数的定义求出,,a b c 后可判断． 【详解】平均效10121421521617310a ++⨯+⨯++⨯=14.7=，中位数15b =，众数=17c ，则c b a >>. 故答案为：c b a >>.15．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.【答案】9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域， 设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值. 当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=. 故答案为：9【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
陕西西安2021高三数学(理)上第一次质量检测(解析版)
当直线 经过点 时，直线的纵截距 最大， 最大.
此时 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：9
【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量 ；
（2）列出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数 ；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，又 ，∴ 平面 ，
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴平面 平面 .
（2）当 点为半圆的中点时， ，
以 为原点，以 ， ， 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
则 ， ，即 ， ，
【详解】将 变形为 ，即 ，
又 ， ， 符合上式，
是首项 ，公差 的等差数列
.
故答案为：84
【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推关系及等差数列的求和公式，利用数列递推关系求数列通项公式常用的方法：（1）由 与 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的转化与化归思想及运算能力，属于基础题.
【详解】由已知得，抛物线 的准线方程为 ，且过点 ，
故 ，则 .
故选：C.
3．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列 中， ， ， 依次成等比数列，则 的值是（）
A． B． C． D．58
【答案】A
【分析】由已知得 和 ，可求出 ，利用等差数列的通项公式得到 .
【详解】设公差不为零的等差数列 的公差为d，则有 ，
【详解】设正方体的棱长为 ，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即 ，
西安市长安区第一中学2021届高三第一学期第一次教学质量检测数学(理)试卷
长安一中2020－2021学年度第一学期第一次教学质量检测高三年级数学(理科)试题一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A ∩B =（） A.[−2,4]B.[)1,+∞ C.(]0,4D.[)2,-+∞2.已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，且满足i z z 232-=+，则=z () A ．2+iB ．1+2iC ．2-iD.1-2i3.已知等差数列{}n a 中，92832823=++a a a a ,且0<n a ，则数列{}n a 的前10项和为()A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-4.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)，则P (μ−σ<X <μ+σ)=68.26%, P (μ−2σ<X <μ+2σ)=95.44%） A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%5.函数1)(3+=x e x x f 的图象大致是（）A. B.C. D.6.我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是() A. 1,1?,7+=-=≤i i is s iB.i i is s i 2,1?,128=-=≤ C.1,21?,7+=-=≤i i is s iD.i i is s i 2,21?,128=-=≤ 7.已知Rt△ABC，点D 为斜边BC 的中点，，，，则等于（ ） A ．14-B ．9-C ．9D ．148.设01p <<ξξ0 1 2P12 2p 12p- 则当p 在()0,1内增大时（） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ增大，()D ξ增大9.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被x y 6sin3π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A ．361B ．181C ．121 D ．91 10.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的渐近线与抛物线()02:2>=p px y E 的准线分别交于B A ,两点，若抛物线E 的焦点为F ，且0=⋅，则双曲线C 的离心率为()A ．2B ．3C.2D ．511. 已知函数)1,0()(≠>+=a a b a x f x的图象经过点)3,1(P ，)5,2(Q ，当*N n ∈时，)1()(1)(+⋅-=n f n f n f a n ，记数列{n a }的前n 项和为n S ，当3310=n S 时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≠==-0,0,1)(x e x m x f x ，若方程 有5个解，则m 的取值范围是（） A.(1,)+∞ B.331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0,1)(1,)⋃+∞第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上） 13.已知),0(πθ∈，且102)4sin(=-πθ，则tan2θ=________． 14.已知()()7280128212x x a a x a x a x +-=+++，则128a a a ++=_____,3a =_____．15.5位同学分成3组，参加3个不同的志愿者活动，每组至少1人，其中甲乙2人不能分在同一组，则不同的分配方案有_____种.（用数字作答）2)()32()(32=++-x f m x mf16. 已知平面向量a ,m ,n ，满足4=→a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅-=+⋅-010122n a n m a m ，则当=-→→n m _____，则→m 与→n 的夹角最大．三、解答题：（共7小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22、23题为选考题,考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. (本小题满分12分)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设23sin()cos 22B AC +=. （Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为8，求ABC ∆的面积的最大值.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点. （I ）求证：//PA 平面BDE ；（II ）若直线BD 与平面PBC 所成角为30，求二面角C PB D --的大小. 19. (本小题满分12分)新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒， 有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于n 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1+k 次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为322． （Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20. （本小题满分12分）已知圆8)1(:22=++y x C ，定点)0,1(A ，M 为圆上一动点， 线段MA 的垂直平分线交线段MC 于点N ，设点N 的轨迹为曲线E ；（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若经过)2,0(F 的直线l 交曲线E 于不同的两点H G ,，（点G 在点F ,H 之间），且满足53=，求直线l 的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数R a x a x a x e x f x∈+++-=,)ln()()(． （1）当1=a 时，求函数)(x f 的图象在0=x 处的切线方程； （2）若函数)(x f 在定义域上为单调增函数．①求a 最大整数值；②证明:1)1(ln)34(ln )23(ln 2ln 32-<+++++e en n n ． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C ：222812(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数）和直线l ：2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）． （1）将曲线C 的方程化为普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且P （2，1）为弦AB 的中点，求弦AB 所在的直线方程．23. [选修：不等式选讲]（本小题满分10分） 设函数()1f x x x =+-的最大值为m.（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值. 长安一中2020－2021学年度第一学期第一次教学质量检测高三年级数学(理科)答案二、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)45-二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.247-14.476,5--15.11416.3四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题共12分）（1）23sin()cos2BA C+=且sin()sinA C B+=2sin2sin cos cos22222B B BB=⋅=，又22Bπ<<，sin0cos222B B B∴>=tan sin2263B BB Bππ∴==∴=∴=（2）由题意知：8()b a c=-+2226416()21cos222a cb ac acBac ac+--++-∴=== 36416()64ac a c∴=-++≥-+，36408)0ac∴-≥∴≥83≤8≥（舍）649ac∴≤1sin2ABCS ac B∆∴==≤（当a c=时取“=”）综上，ABC的面积的最大值为9316.18.（本小题满分12分）（1）连接AC交BD于O，连接OE，由题意可知，,PE EC AO OC ==，//PA EO ∴，又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，则(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，， (,1,0)DB a =，(,)1,1PB a =-，()0,1,1PC =-，设平面PBC 的法向量(,)n x y z =，， 由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩，得0ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =，又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30， 得21cos ,212DB n DB n DB na ===+⨯，解得1a =， 同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-， 由向量的夹角公式，可得1cos ,222n m n m n m===⨯，又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒. 19. (本小题满分12分)（Ⅰ）该混合样本阴性的概率为：22289⎛⎫= ⎪⎝⎭， 根据对立事件原理，阳性的概率为：81199-=． （Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4．方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检验次数为1，概率为89； 若阳性则检验次数为3，概率为19， 设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2,4,6，()28642981P ξ⎛⎫∴===⎪⎝⎭；()12181649981P C ξ==⨯⨯=；()11169981P ξ==⨯=，则ξ的分布列如下：可求得方案二的期望为()6416119822246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==． 方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，()4641381P η⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭，()6417518181P η==-=， 则η的分布列如下：可求得方案三的期望为()641714915818181E η=⨯+⨯=． 比较可得()()4E E ηξ<<，故选择方案三最“优”．20. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设点N 的坐标为()y x ,，NP 是线段AM 的垂直平分线，NM NA =,又点N 在CM 上，圆()81:22=++y x C ，半径是,22=r .22,22AC NM NC NA NC NM NC >=+=+=+∴∴点N 的轨迹是以C A ,为焦点的椭圆，设其方程为()01:2222>>=+b a b y a x ，则.1,1,2,222222=-====c a b c a a ∴曲线E 方程：.1222=+y x（Ⅱ）设()(),,,,2211y x H y x G当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k 则直线GH 的方程为2+=kx y ,⎪⎩⎪⎨⎧=++=∴12222y x kx y ,整理得：0342122=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+kx x k ,由0>∆，解得：.213,214,232212212k x x k k x x k +=⋅+-=+>------①又()()2,,,2,,2211-=-=y x y x ,由FH FG 53=,得2153x x =，结合①得 22221621553k k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，即2322>=k , 解得.2±=k ∴直线l 的方程为：22+±=x y , 当直线GH 斜率不存在时，直线l 的方程为x 31,0==与53=矛盾. ∴直线l 的方程为：.22+±=x y21. （本小题满分12分）解：（1）当a=1时，f （x ）=ex ﹣（x+1）ln （x+1）+x ，∴f（0）=1， 又f'（x ）=ex ﹣ln （x+1），∴f'（0）=1， 则所求切线方程为y ﹣1=x ，即x ﹣y+1=0．（2）由题意知f（x）=ex﹣（x+a）ln（x+a）+x，f′（x）=ex﹣ln（x+a），若函数f（x）在定义域上为单调增函数，则f'（x）≥0恒成立．①先证明ex≥x+1．设g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1，则函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0，即ex≥x+1．同理可证lnx≤x﹣1，∴ln（x+2）≤x+1，∴ex≥x+1≥ln（x+2）．当a≤2时，f'（x）＞0恒成立．当a≥3时，f'（0）=1﹣lna＜0，即f'（x）=ex﹣ln（x+a）≥0不恒成立．综上所述，a的最大整数值为2．②证明：由①知，ex≥ln（x+2），令，∴，∴．由此可知，当t=1时，e0＞ln2．当t=2时，，当t=3时，，…，当t=n时，．累加得．又，∴．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程22.【解析】（1）由，得，即，又，两式相除得，代入，得，整理得，即为C的普通方程．（2）将代入， 整理得（4sin 2θ+cos 2θ）t 2+（4cosθ+8sinθ）t ﹣8＝0．由P 为AB 的中点，则． ∴cosθ+2sinθ＝0，即，故，即， 所以所求的直线方程为x+2y ﹣4＝0．23．（本小题满分10分）选修：不等式选讲【解析】（1）f(x)＝|x ＋1|－|x|＝由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．所以m ＝1．（2）由（1）可知，a ＋b ＝1，＋＝(＋)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝[a 2＋b 2＋＋] ≥(a 2＋b 2＋2) ＝(a ＋b)2＝．当且仅当a ＝b ＝时取等号．即＋的最小值为． 45。
陕西省西安市2021届高三数学第一次质量检测试卷理(含解析)
陕西省西安市2021届高三数学第一次质量检测试卷理（含解析）西安市高三年级第一次质量检测科学数学注意事项：1.本卷共150分，考试时间为答题前120分钟，考生必须在答题卡上填写姓名和录取证号2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将试题和答题卡一起退回一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集a.c.【答案】a【解析】由题意可得：则集合为这个问题选择选项a2.在复平面内，为虚数单位，复数向量a.对应的复数是（）b.Cd.对应的向量是，复数对应的向量为然后.，，集合，b.d.，然后设置（）[答：]d[分析],选d.3.如图所示，在立方体中ABCD？在a1b1c1d1中，e和F分别是BC和BB1的中点，然后以下直线与直线ef相交（）1（a）直线Aa1（b）直线A1B1（c）直线a1d1（d）直线b1c1[回答]d[分析]问题分析：仅限与在同一平面上，它相交，a、B和C中的其他直线相交都是异面直线，故选d．测试点：不同平面的直线4a-3[回答]d[分析][分析]把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．【详解】∴展开式的常数项故选:d.【终点】本课题研究二项式定理的应用，并在展开式中找到指定项的系数，这属于基本问题。
5功能的图象大致是（）.，展开式的常数项为（）b.-2c、二,d.3a、 b。
2【答案】a【解析】因为时，有两个零，排除d,故选a．，因此排除B；什么时候时，，不包括C；什么时候6.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）a.192种【答案】b【解析】试题分析：本次活动的完成分为两类：第一类，前排a，其余均安排；第二类是前排B。
最后有四种安排，其他位置是种不同的排法.试验地点：1分类加法计数原理；2.分步乘法计数原理；3.整理知识。
【名师解析】陕西省西安市第一中学2021届高三大练习(一)(一模)数学(文科)试题 Word版含解析
2021年陕西省西安一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共50分）1．（5分）（2022•齐齐哈尔三模）若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（）A．0 B． 1 C．﹣1 D．0或1【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】：计算题．【分析】：利用两个复数代数形式的除法法则化简z为（x2﹣x）﹣xi，再由z 为纯虚数，可得，由此求得x的值．【解答】：解：∵===（x2﹣x）﹣xi，又z为纯虚数，则有，故x=1，故选B．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，属于基础题．2．（5分）（2007•广东）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x＜1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．∅【考点】：交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】：依据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．【解答】：解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选C．【点评】：本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）（2011•福建模拟）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3a5=4，则数列{log2a n}的前7项和等于（）A．7 B．8 C．27 D．28【考点】：等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：依据等比数列的性质，由已知的等式求出a4的值，然后利用对数的运算性质化简数列{log2a n}的前7项和，把a4的值代入即可求出数列{log2a n}的前7项和．【解答】：解：由a3a5=a42=4，又等比数列{a n}的各项均为正数，∴a4=2，则数列{log2a n}的前7项和S7=++…+====7．故选A【点评】：此题考查同学机敏运用等比数列的性质化简求值，把握对数的运算性质，是一道基础题．4．（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（）A．B． 1 C．D．【考点】：正弦定理；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：a，b，c成等比数列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=【解答】：解：∵a，b，c成等比数列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故选D【点评】：本题主要考查了利用正弦定理进行解三角形，属于基础试题，难度不大．5．（5分）（2011•湘西州一模）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为（）（不考虑接触点）A．B．C．D．32+π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：由三视图可以看出，此几何体由一个半径为1的球体与一底面连长为2的直三棱柱所组成，故其表面积为球体的表面积加上直三棱柱的表面积．【解答】：解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为的球体，故其表面积为π下部为始终三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，且题中已给出此三角形的高为故三棱柱的侧面积为3×（2+2+2）=18，由于不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底面的面积为×2×=故组合体的表面积为故选C【点评】：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再依据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积．三视图的投影规章是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．6．（5分）已知图象不间断函数f（x）是区间[a，b]上的单调函数，且在区间（a，b）上存在零点．上图是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图，推断框内可以填写的内容有如下四个选择：①f（a）f（m）＜0，②f（a）f（m）＞0，③f（b）f（m）＜0，④f（b）f（m）＞0，其中能够正确求出近似解的是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【考点】：程序框图．【专题】：函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】：由零点的判定定理知，推断框可以填写f（a）f（m）＜0或f（m）f（b）＞0，由此可得答案．【解答】：解：由二分法求方程f（x）=0近似解的流程知：当满足f（a）f（m）＜0时，令b=m；否则令a=m；故①正确，②错误；当满足f（m）f（b）＞0时，令a=m；否则令b=m；故④正确，③错误．故选：A．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）（2010•宁夏）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【分析】：本题的求解可以利用排解法，依据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】：解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d 为，于是可以排解答案A，D，再依据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排解答案B，故应选C．【点评】：本题主要考查了函数的图象，以及排解法的应用和数形结合的思想，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】：函数单调性的性质．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．【解答】：解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D【点评】：本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等学问，属于基础题．9．（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M ，则的值为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简洁性质．【专题】：计算题．【分析】：依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的其次定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．【解答】：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴线段PQ的中点N （﹣，﹣），∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），∴|MF|=5+=．①设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，则由双曲线的其次定义得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故选B．【点评】：本题考查双曲线的其次定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．10．（5分）（2021•肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；②对任意a∈R，a⊕0=a；③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．函数f（x）=x ⊕（x＞0）的最小值为（）A．4 B． 3 C．2D． 1【考点】：进行简洁的合情推理；函数的值域．【专题】：计算题；新定义．【分析】：依据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x ⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．【解答】：解：依据题意，得f（x）=x ⊕=（x ⊕）⊕0=0⊕（x •）+（x⊕0）+（⊕0 ）﹣2×0=1+x+。
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷(文科)(一模)(解析版)
2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（文科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3} 2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）A．B．C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C ．D ．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AA1＝2，底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（）A．8B．10πC．12πD．π二、填空题（共4小题）.13．已知x，y 满足约束条件，则2x﹣y的最大值为．14．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c由大到小的顺序为．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a ＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号t12345672.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9人均纯收入y（1）求y关于t的线性回方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．19．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别是AD、CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣PAD与三棱锥P﹣DEF的体积相等，求M点的位置．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：D．2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，3），故，p＝4．故选：C．4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a8，a12依次成等比数列，∴a82＝a2a12，即（a1+7d）2＝（a1+d）（a1+11d），可得19d2＝﹣a1d，∵d≠0，∴a1＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．5．观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为（）A．B．C．D．解：观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据这些规律观察四个答案，发现B符合要求．故选：B．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为4，故．故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R 恒成立，则2×+φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg3，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．9．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．10．设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解法一：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|＝ex+a，|PF2|＝ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，∴2ex＝3b，（ex）2﹣a2＝ab∴b2﹣a2＝ab，即9b2﹣4a2﹣9ab＝0，∴（3b﹣4a）（3b+a）＝0∴a＝b，∴c＝＝b，∴e＝＝．解法二：不妨设不妨设右支上P点，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|+|PF2|＝3b，联立解得：|PF1|＝，|PF2|＝，然后代入|PF1|•|PF2|＝ab，可得：×＝ab，∴9b2﹣4a2﹣9ab＝0，∴（3b﹣4a）（3b+a）＝0∴a ＝b，∴c ＝＝b，∴e ＝＝．故选：B．11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，可得2058年是戊寅．故选：C．12．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB、AC、AA1两两垂直，AA1＝2，底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（）A．8B．10πC．12πD．π解：如图：底面△ABC是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：，所以球O的表面积为，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值为4．解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影分所示．令z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，作直线y＝2x，向下平移，可知当直线经过点（2，0）时z最大，∴z max＝2×2﹣0＝4．故答案为：4．14．某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c由大到小的顺序为c＞b＞a．解：平均数＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，则c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，当直线t＝x+2y过A时，t有最大值为t＝2，此时z＝3x+2y的最大值为9．故答案为：9．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．解：2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，可得cos B ＝＝＝，因为B∈（0，π），可得B ＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝2b，所以cos B ＝≥，当且仅当b ＝时取等号，此时B ＝，C ＝，所以△ABC的面积S ＝ab ＝＝．18．某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y（单位：万元）的数据如表：年份2014201520162017201820192020年份代号t12345672.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9人均纯收入y（1）求y关于t的线性回方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．解：（1）由所给数据计算得＝，＝．，．．．所求回归方程为．（2）由（1）知，b＝0.5＞0，故2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元．将2021年的年份代号t＝8代入（1）中的回归方程得．故预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.3万元．19．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别是AD、CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣PAD与三棱锥P﹣DEF的体积相等，求M点的位置．【解答】（1）证明：连接AC，∵PA＝PD且E是AD的中点，∴PE⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD．∴PE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PE．又ABCD为菱形，且E、F分别为棱AD、CD的中点，∴EF∥AC．∵BD⊥AC，∴BD⊥EF，又BD⊥PE，PE∩EF＝E，PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，∴BD⊥平面PEF；∴PF⊂平面PEF，∴BD⊥PF．（2）解：如图，连接MA、MD，设，则，∴，又．∴．解得，即M点在PB上靠近P点的四等分点处．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k PA，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣•＝﹣，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，所以，所以＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．21．设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，令x1＝t∈，可得：b＝．∴M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝t（t﹣b）（t﹣1）＝，M′＝．令g（t）＝﹣6t3+12t2﹣8t+2，g′（t）＝﹣18t2+24t﹣8＝﹣2（3t﹣2）2＜0，∴函数g（t）在t∈上单调递减，＝＞0．∴t•g（t）＞0．∴M′＞0．∴函数M（t）在t∈上单调递增，∴M（t）≤＝．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x2+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣6，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ1+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝±＝，所以l的斜率为或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，不等式g（x2）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．。
陕西省西安市第一中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
市一中高校区2022—2021学年度第一学期期中考试 高三数学（理科）试题命题人：付 功一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1. 已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2x B x =-≥,则=⋂B C A R ( )(A))1,2(-- (B))0,1(- (C))0,1[- (D)]1,2(--2.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立； ④“平面对量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”. (A)1 (B)2 (C)3 (D)43．复数z 满足i z i 34)23(+=⋅-，则复平面内表示复数z 的点在( )（A ）第一象限 （B ）其次象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4.将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) （A ） 12π （B ）6π （C ） 3π（D ）56π5. 已知数列{}n a 为等差数列，满足OC a OB a OA 20133+=，其中C B A ,,在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（ ） （A ）22015（B ） 2015 （C ）2016 （D ）2013 6. 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则[])()(22x f x f y +=的最大值为（ ）（A ）33 （B ）22 （C ） 13 （D ）67.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 （ ）A ．（0，6π] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3π，π）8. 在ABC∆中，060=A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为23，则BC 的长为（ ） （A ）2 （B ）23 （C ）32 （D ）39.已知向量（，），（，），与的夹角为060,则直线021sin cos =+-ααy x 与圆()()21sin cos 22=++-ββy x 的位置 关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离 （C ）相切 （D ）随的值而定10．设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点N M ,，则MN 的最小值为（ ）（A ）2ln 2121+ （B ）2ln 2121- （C ） 2ln 1+ （D ）12ln - 11.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ） （A ）62 （B ）92 （C ） 122 （D ）15212．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．（A ）f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12 （B ）f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12 （C ）f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12 （D ）f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12二、填空题 :(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上). 13. 设向量)2,1(),1,(=+=b x x a ,且b a ⊥,则=x .１４．已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ，则当k =______时，0)(=k a f15在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足2223()4S a b c =+- 则角C 的大小为。
2021年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2021年陕西省西安市长安区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若z＝2+i，则|z2﹣z|＝（）A ．B．2C ．D．32．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}，则a＝（）A．2B．﹣2C．﹣4D．43．设抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线为l．P是抛物线C上异于O的一点，过P作PQ ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A．经过点P B．经过点OC．平行于直线OP D．垂直于直线OP4．（x﹣2y）（x+y）6的展开式中x3y4的系数为（）A．25B．﹣25C．15D．﹣155．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：456789单价x（元）908483807568销量V（件）由表中数据．求得线性回归方程为＝﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积S＝2πRh，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当C＝2π，S＝16π时，＝（）A．B．C．D．7．将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是（）A．B．1C．D．8．已知直线l是曲线f（x）＝x4﹣2x3在点（1，f（1））处的切线，点P（m，n）是直线l 上位于第一象限的一点，则的最小值为（）A．4B．9C．25D．169．一个动圆与定圆F：（x﹣3）2+y2＝4相外切，且与直线l：x＝﹣1相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A．y2＝6x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝12x10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，b+c ＝10，△ABC的面积为，则a＝（）A．B．5C．8D．11．已知a＝，b＝2log52，c＝0.75，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c12．设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图，若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x•y的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知α∈（，π），2sin2α＝cos2α﹣1，则tanα＝．14．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是．15．点P在双曲线（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的离心率为．16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物．将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（1）必考题：每小题12分，共60分．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，PD＝AB＝2AD＝2CD＝2，E为PA上一点，且3PE＝2PA．（1）证明：平面EBC⊥平面PAC；（2）求直线PB与平面BEC所成角的正弦值．18．已知等差数列{a n}中，公差d＞0，S11＝77，且a2，a6﹣1，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若T n为数列的前n项和，且存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立，求实数λ的取值范围．19．2020年疫情期间，某公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验480人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验480次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1．试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．20．已知点P到的距离与它到直线l：x＝的距离之比为．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点D（﹣3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值．21．已知函数f（x）＝e x+m（2x2﹣3x）．（1）若函数y＝f'（x）（其中f'（x）是f（x）的导函数）在（1，+∞）上单调递增，求m的取值范围；（2）当m＝1时，若关于x的不等式在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）写出曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设点M的极坐标为，射线分别交C1，C2于A，B两点（异于极点），当∠AMB＝时，求tanα．23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．（1）解不等式：f（x）≤5；（2）记f（x）的最小值为M，若实数a，b满足a2+b2＝M，试证明：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若z＝2+i，则|z2﹣z|＝（）A．B．2C．D．3解：∵z＝2+i，∴z2＝（2+i）2＝4+4i+i2＝3+4i，则|z2﹣z|＝|3+4i﹣2﹣i|＝|1+3i|＝．故选：A．2．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}，则a＝（）A．2B．﹣2C．﹣4D．4解：∵，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴，解得a＝﹣4．故选：C．3．设抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线为l．P是抛物线C上异于O的一点，过P作PQ ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A．经过点P B．经过点OC．平行于直线OP D．垂直于直线OP解：如图所示：，由抛物线的定义可知，|PF|＝|PQ|，∴△FPQ为等腰三角形，且FQ为等腰三角形FPQ的底边，∴线段FQ的垂直平分线经过点P，故选：A．4．（x﹣2y）（x+y）6的展开式中x3y4的系数为（）A．25B．﹣25C．15D．﹣15解：在（x﹣2y）（x+y）6的展开式中，x3y4的系数为﹣2＝15﹣2×20＝﹣25．故选：B．5．某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：456789单价x（元）908483807568销量V（件）由表中数据．求得线性回归方程为＝﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（）A ．B ．C ．D ．解：＝（4+5+6+7+8+9）＝，＝（90+84+83+80+75+68）＝80∵＝﹣4x+a，∴a＝106，∴回归直线方程＝﹣4x+106；数据（4，90），（5，84），（6，83），（7，80），（8，75），（9，68）．6个点中有3个点在直线右上方，即（6，83），（7，80），（8，75）．其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，故这点恰好在回归直线右上方的概率P ＝＝．故选：C．6．“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）．其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积S＝2πRh，其中R为球的半径，h为球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则当C＝2π，S＝16π时，＝（）A．B．C．D．解：由已知可得平面中心到球心的距离为R﹣h，又球冠周长为C＝2πr＝2π，所以r＝1，又S＝2πRh＝16π，所以h＝，因为r2+（R﹣h）2＝R2，即1+R2﹣2Rh+h2＝R2，解得R，即R＝，故，故选：B．7．将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是（）A．B．1C．D．解：将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得y＝sinω（x﹣）＝sin（ωx﹣），∵y＝sin（ωx﹣）的图象关于直线x＝π对称，∴ωπ﹣＝+kπ，k∈Z，∴ω＝+k，k∈Z，∵ω＞0，∴ω的最小值为，故选：D．8．已知直线l是曲线f（x）＝x4﹣2x3在点（1，f（1））处的切线，点P（m，n）是直线l 上位于第一象限的一点，则的最小值为（）A．4B．9C．25D．16解：f（x）＝x4﹣2x3的导数为f′（x）＝4x3﹣6x2，可得在点（1，f（1））处的切线的斜率为4﹣6＝﹣2，切点为（1，﹣1），切线的方程为y+1＝﹣2（x﹣1），即为2x+y＝1，则2m+n＝1（m，n＞0），所以＝（2m+n）（+）＝5++≥5+2×2＝9，当且仅当m＝n＝时，取得等号．则的最小值为9．故选：B．9．一个动圆与定圆F：（x﹣3）2+y2＝4相外切，且与直线l：x＝﹣1相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A．y2＝6x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝12x解：定圆F：（x﹣3）2+y2＝4的圆心F（3，0），半径为2，设动圆圆心P点坐标为（x，y），动圆得半径为r，d为动圆圆心到直线x＝﹣1的距离，即r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA﹣2＝r，d＝r∴|PA|﹣d＝2，即：，化简得：y2＝12x．∴动圆圆心轨迹方程为y2＝12x．故选：D．10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，b+c ＝10，△ABC的面积为，则a＝（）A．B．5C．8D．解：因为，由正弦定理可得sin A sin A sin B＝sin B﹣sin B cos A，因为0＜B＜π，所以sin B≠0，所以sin2A＝﹣cos A，可得1﹣cos2A＝﹣cos A，即（2cos A﹣1）2＝0，解得cos A＝，所以sin A＝，因为S△ABC＝bc sin A＝，所以bc＝25，又b+c＝10，所以a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc＝100﹣3×25＝25，所以a＝5．故选：B．11．已知a＝，b＝2log52，c＝0.75，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c解：∵a＝log23＞log22＝log2＝，∴a＞，即a＞c，∵a＝log23＝log2＝＝＝1﹣＝1﹣，∵b＝2log52＝log54＝＝1﹣＝1﹣，∵＞，∴lg＞lg，又∵lg4＜lg5，∴＞，即a＜b，∴b＞a＞c，故选：D．12．设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图，若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x•y的最大值是（）A．B．C．D．解：因为∠BAC＝30°，所以∠BPC＝60°，设△ABC外接圆半径为r，所以，解得，设∠APC＝θ，120°＜θ＜180°，则∠APB＝300°﹣θ，＝，＝，故x•y＝＝＝＝当θ＝150°时，等号成立．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知α∈（，π），2sin2α＝cos2α﹣1，则tanα＝﹣2．解：因为2sin2α＝cos2α﹣1，所以4sinαcosα＝1﹣2sin2α﹣1，因为α∈（，π），可得2cosα＝﹣sinα，可得tanα＝﹣2．故答案为：﹣2．14．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣1．解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影所示：目标函数z＝2x+y可化为y＝﹣2x+z，平移目标函数知，当目标函数过点C（0，﹣1）时，直线y＝﹣2x+z在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，所以z的最小值为z min＝2×0﹣1＝﹣1．故答案为：﹣1．15．点P在双曲线（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的离心率为．解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|＝|F1F2|＝2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|＝a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|＝2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|＝＝2b，即有|PF1|＝4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，即有4b2＝（a+c）2，即4（c2﹣a2）＝（a+c）2，可得a＝c，即e＝，故答案为：．16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物．将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是．解：由题意可得该六面体是由两个全等的四面体组合而成，四面体的两两垂直的棱长为2，如图，该六面体的体积为V＝2V S﹣ABC＝2×＝，当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，其中D为BC的中点，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球的半径，SA＝2，OA＝，故SO＝，SD＝，OD＝，因为SO×OD＝SD×OE，所以球的半径OE＝＝，所以该球的表面积为4，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（1）必考题：每小题12分，共60分．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，PD＝AB＝2AD＝2CD＝2，E为PA上一点，且3PE＝2PA．（1）证明：平面EBC⊥平面PAC；（2）求直线PB与平面BEC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，AD＝CD＝1，∴，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A．PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面EBC，∴平面EBC⊥平面PAC；…………………………………………（2）解：以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）．易知．则，．设是平面BCE的法向量．则即所以可取∵∴直线PB与平面BEC所成角的正弦值为．…………………………………18．已知等差数列{a n}中，公差d＞0，S11＝77，且a2，a6﹣1，a11成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若T n为数列的前n项和，且存在n∈N*，使得T n﹣λa n+1≥0成立，求实数λ的取值范围．解：（1）由题意可得即又因为d＞0，所以所以a n＝n+1．………………………………………（2）∵，∴＝．∵存在n∈N*，使得T n﹣λa n﹣1≥0成立．∴存在n∈N*，使得成立．即存在n∈N*，使得成立．∵（当且仅当n＝2时取等号）．∴，即实数λ的取值范围是．…………………………19．2020年疫情期间，某公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查．为此需要抽验480人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验480次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验．这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1．试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）．解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则q＝1﹣p．所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为q k＝（1﹣p）k，呈阳性反应的概率为1﹣q k＝1﹣（1﹣p）k．依题意可知，所以X的分布列为：XP（1﹣p）k1﹣（1﹣p）k………………………………………（2）方案②中．结合（1）知每个人的平均化验次数为：，∵p＝0.1∴当k＝2时，，此时480人需要化验的总次数为331次，k＝3时，，此时480人需要化验的总次数为290次，k＝4时，，此时480人需要化验的次数总为285次，即k＝2时化验次数最多，k＝3时次数居中，k＝4时化验次数最少．而采用方案①则需化验480次，故在这三种分组情况下，相比方案①，当k＝4时化验次数最多可以平均减少480﹣285＝195次．………………20．已知点P到的距离与它到直线l：x＝的距离之比为．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若A是轨迹E与x轴负半轴的交点，过点D（﹣3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值．解：（1）设点P（x，y），由题意可得．化简整理可得，所以点P的轨迹E的方程为．………………………………………（2）证明：由（1）可得，过点D的直线l斜率存在且不为0，故可设l的方程为y＝kx+m（k≠0），B（x1，y1），C（x2，y2），由得（4+9k2）x2+18kmx+9m2﹣36＝0，△＝（18km）2﹣4（4+9k2）（9m2﹣36）＝144（9k2﹣m2+4）＞0，即m2＜9k2+4，，而＝＝＝＝＝，由于直线l过点D（﹣3，8），所以﹣3k+m＝8，所以（即为定值）．………………………………………21．已知函数f（x）＝e x+m（2x2﹣3x）．（1）若函数y＝f'（x）（其中f'（x）是f（x）的导函数）在（1，+∞）上单调递增，求m的取值范围；（2）当m＝1时，若关于x的不等式在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）∵函数f（x）＝e x+m（2x2﹣3x）的导数f'（x）＝e x+m（4x﹣3），∴f''（x）＝e x+4m，∵y＝f'（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f''（x）＝e x+4m≥0在（1，+∞）上恒成立，∴m≥﹣在（1，+∞）上恒成立，∴，故m的取值范围为．（2）当m＝1时，f（x）＝e x+2x2﹣3x，∵关于x的不等式在[1，+∞）上恒成立，∴，设，则，由y＝e x﹣x﹣1的导数为y'＝e x﹣1，可得x＞0时，y'＞0，函数y＝e x﹣x﹣1递增，x＜0时，函数y＝e x﹣x﹣1递减，则e x﹣x﹣1≥0，即e x≥x+1＞0，∴当x≥1时，，则在[1，+∞）递增，可得，则，即a的取值范围是（﹣∞，e﹣]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）写出曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设点M的极坐标为，射线分别交C1，C2于A，B两点（异于极点），当∠AMB＝时，求tanα．解：（1）∵（α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2＝4，即x2+y2﹣4y＝0，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴ρ2﹣4ρsinθ＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0．………………………………（2）依题意设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∴由，可得ρ1＝4sinα，由，得ρ2＝4cosα．∵，∴ρ1＞ρ2，∴|AB|＝|OA|﹣|OB|＝ρ1﹣ρ2＝4sinα﹣4cosα，∵OM是圆C2的直径，∴．∴在直角Rt△OAM中，|AM|＝4cosα，∵在直角Rt△ABM中，，∴|AB|＝|AM|，即4sinα﹣4cosα＝4cosα，∴tanα＝2．………………………………………23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．（1）解不等式：f（x）≤5；（2）记f（x）的最小值为M，若实数a，b满足a2+b2＝M，试证明：．解：（1）易知因为f（x）≤5，所以，或，或所以，或0≤x≤2，或∅，所以，所以不等式的解集为（2）证明：∵f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|≥|x﹣2|+|（x﹣2）﹣（x+1）|＝|x﹣2|+3≥3，当且仅当x＝2时取等号．∴f（x）的最小值为M＝3，所以a2+b2＝3，所以＝，当且仅当，即a2＝1，b2＝2时取等号．。
陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第一次教学质量检测试题文含解析
所以 边所在直线的方程为 .即 .
由 ，得点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ 为 外接圆的圆心，
又 .
所以 外接圆的方程为： .
（2）设动圆圆心为 ，因为动圆过点 ，且与 外接圆 外切，
所以 ，即 .
故点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 ，半焦距 的双曲线的左支.
（2）由（1）知 ，又 ，然后利用裂项相消法求解.
【详解】（1）因 对于 ，总有 ①成立
∴ ②
①-②得 ，
∴ ，
∵ ， 均为正数，∴ ，
∴数列 是公差为1的等差数列，
又 时， ，解得 ，
∴ .
（2）由（1）可知 ，
∵ ，
∴ .
【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法
(1)公式法：①等差数列的前n项和公式， ②等比数列的前n项和公式 ；
陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第一次教学质量检测试题 文（含解析）
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 为纯虚数，则实数 的值为
A. 3B.1C. -3D. 1或-3
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得
17. 已知函数
偶函数， 且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 为三角形 的一个内角，求满足 的 的值.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）
由 为偶函数得
又
（Ⅱ）由 得 ,又 为三角形内角，
考点：三角函数二倍角公式，函数奇偶性
点评：基本公式的考查，难度不大，要求学生熟记掌握的基础上加强练习
2021届陕西省西安市高三第一次质检(一模)(文)
绝密★启用前2021届陕西省西安市高三第一次质检（一模）（文）时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：郭蒙一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合,,则( )A. B.C. D.答案：D解：因为,,所以.2. ( )A. B.C. D.答案：D解：.3. 已知点在抛物线的准线上,则( )A. B.C. D.答案：C解：由已知得,抛物线的准线方程为,且过点,故,.4. 已知首项为最小正整数,公差不为零的等差数列中,,,依次成等比数列,则的值是( )A. B.C. D.答案：A解：设公差不为零的等差数列的公差为,∵,,,依次成等比数列,∴,即,可得,∵,∴,又由已知可得,在,因此,.5. 观察九宫格中的图形规律,在空格内画上合适的图形应为( )A. B.C. D.答案：B解：观察已知的个图象,每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的,根据这些规律观察四个答案,发现B符合要求.6. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A. B.C. D.答案：B解：根据几何体的三视图转换为几何体为:如图所示,所以,由于锥体的高为,故.7. 已知函数其中,若对于一切恒成立,则的单调递增区间是( )A.B.C.D.答案：B解：函数,其中,若,对于一切恒成立, 则,,所以,,由于,所以,即,令,,解得,,即的单调递增区间是.8. 已知定义域为的函数满足,且当时,,则=( )A. B.C. D.答案：C解：根据题意,定义域为的函数满足,则是周期为的周期函数,则有,又由当时,,则,则.9. 直线与曲线相切于点,则( )A. B.C. D.答案：A解：直线与曲线相切于点,可得,即,,的导数为,即有,则.10. 设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.答案：B解：由双曲线定义根据点为双曲线上一点，所以，又，所以. 又因为，所以有，解得或（舍），所以，即，故选择B.11. 天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十,即:甲、乙,丙、丁、戊、己、庚,辛,壬、癸;地支有十二,即:子、丑、寅、卯、辰,巳、午,未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中,天干地支对应的规律如表,年是新中国成立周年.这一百年,中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法,年是己巳年,则年是( )年.A. 己巳B. 甲申C. 戊寅D. 丙戌答案：C解：根据题意,列表如下,年是己巳年,往后数年,可得年是戊寅.12. 三棱柱中,棱、、两两垂直,,底面是面积为的等腰直角三角形,若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上,则球的表面积为( )A. B.C. D.答案：C解：如图:底面是面积为的等腰直角三角形,所以直角边长为,所以三棱柱可以补充成边长为的正方体, 其外接球半径为:,所以球的表面积为.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知,满足约束条件,则的最大值为__________.答案：解：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影分所示.令,则,作直线,向下平移,可知当直线经过点时最大,∴.14. 某工厂名工人某天生产同一类型零件,生产的件数分别是、、、、、、、、、,记这组数据的平均数为,中位数为,众数为,则,,由大到小的顺序为__________.答案：解：平均数,中位数,众数,则. 15. 已知实数,满足约束条件,则的最大值__________.答案：解：由约束条件直线可行域如图,令,由图可知,当直线过时,有最大值为,此时的最大值为.16. 已知数列的前项和为,满足,,则数列的前项和__________.答案：解：,化为,即,∵,∴为等差数列,公差,,∴.三、解答题（每小题12分,共60分）17. 在中,角、、所对的边分别为、、,. (1)若,求角; (2)若,当角最大时,求的面积.答案：见解析解：(1)因为,所以得, 得:,∴,∵为内角,∴. (2)在中,, ,所以, 当且仅当时取等号,此时,,所以.18. 某地区年至年农村居民家庭人均纯收入(单位:万元)的数据如表:(1)求关于的线性回方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析年至年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,.答案：见解析解：(1)由所给数据计算得,,,,,.所求回归方程为. (2)由(1)知,,故年至年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加万元. 将年的年份代号代入(1)中的回归方程得. 故预测该地区年农村居民家庭人均纯收入为万元.19. 如图在四棱锥中,底面为菱形,为正三角形,平面平面,、分别是、的中点. (1)证明:; (2)若是棱上一点,三棱锥与三棱锥的体积相等,求点的位置.答案：见解析解：(1)证明:连接,∵且是的中点,∴,又平面平面,平面平面,平面.∴平面,平面,∴. 又为菱形,且、分别为棱、的中点,∴. ∵,∴,又,,平面,平面,∴平面;∴平面,∴. (2)如图,连接、,设,则,∴,又,∴.解得,即点在上靠近点的四等分点处.20. 已知椭圆离心率为,点,,,分别是的左,右,上,下顶点,且四边形的面积为. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知是的右焦点,过的直线交椭圆于,两点,记直线,的交点为,求证:点横坐标为定值.答案：见解析解：(1)设椭圆的半焦距为,根据题意,,解得,所以椭圆的方程为. (2)证明:由(1)知,,,设,,,由,得,,得,两式相除得,又,故,, 故,于是,由于直线经过点,故设直线的方程为,联立椭圆的方程可得,所以,所以,解得,所以点横坐标为定值.21. （2019江苏）设函数,,,,为的导函数. (1)若,,求的值; (2)若,,且和的零点均在集合中,求的极小值; (3)若,,,且的极大值为,求证:.答案：见解析解：(1)因为,所以. 因为,所以,解得. (2)因为,所以, 从而. 令,得或. 因为,,都在集合中,且, 所以,,. 此时,,. 令,得或.列表如下:所以的极小值为. (3)因为,,所以,. 因为,所以, 则有个不同的零点,设为,. 由,得,. 列表如下:所以的极大值.. 因此.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆的极坐标方程为. (1)求圆心的直角坐标; (2)若直线的参数方程是(为参数),与交于,两点,,求的斜率.答案：见解析解：(1)将,,代入,得,即,所以圆的圆心坐标为; (2)在极坐标系中,直线的极坐标方程为,设,所对应的极径分别为,,将的极坐标方程代入的极坐标方程得,于是,,, ,由,得,,,所以的斜率为或.22B. 已知函数,,. (1)当时,解不等式;(2)对任意,.若不等式恒成立,求实数的取值范围.答案：见解析解：(1)当时,,不等式,即,即,解得或(舍去),由,解得或,所以不等式的解集是. (2)由题意知,只需满足即可,因为,所以,依题意,当时,,得,得,即,所以,即的取值范围是.。